廣西壯族自治區(qū)柳州市2025屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

柳州市2025屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)（考試時(shí)間120分鐘滿分150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的乘法和除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，即可得出答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所以的虛部?故選：A.2.對(duì)于非零向量，，“”是“”的（）．A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)相反向量一定是共線向量，共線向量不一定是相反向量可求解.【詳解】對(duì)于非零向量，，因?yàn)?，所以，則，即“”能推出，但當(dāng)時(shí)，，顯然不一定成立，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.3.已知雙曲線的一條漸近線方程為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】對(duì)于雙曲線，求出、，根據(jù)可求出的值.【詳解】因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程為，則，且，，則，解得.故選：B4.若過(guò)點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分析可知，切線的斜率存在，設(shè)切線的方程為，利用圓心到切線的距離等于半徑求出的值，再利用二倍角的余弦公式、弦化切可求得的值.【詳解】圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為，若切線的斜率不存在，則直線的方程為，且該直線與圓相離，不合乎題意，所以，切線的斜率存在，設(shè)切線的方程為，即，則，解得，不妨設(shè)直線的傾斜角為，因?yàn)?，則，則，所以，，故.故選：C.5.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，直線，相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積是，則點(diǎn)的軌跡方程為（）．A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)點(diǎn),由題意列出方程，化簡(jiǎn)整理即得點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】依題意，設(shè)點(diǎn)，由，可得，即得點(diǎn)的軌跡方程為.故選：A.6.設(shè)函數(shù)，已知，，且的最小值為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意求出函數(shù)的最小正周期，再利用余弦型函數(shù)的周期公式可求得的值.【詳解】設(shè)函數(shù)的最小正周期為，因?yàn)楹瘮?shù)，已知，，且的最小值為，則，可得，故.故選：D.7.已知正四棱臺(tái)的體積為，，，則與底面所成角的正切值為（）A. B. C. D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)體積求出正四棱臺(tái)的高，分別取的中點(diǎn)，過(guò)作交于，則為與底面所成的角，求解即可.【詳解】∵，，∴上，下底面的面積分別為，設(shè)正四棱臺(tái)的高為，則其體積為，解得，連接，分別取的中點(diǎn)，∵面，面，∴，過(guò)作交于，則，面，∴為與底面所成的角，∵，，∴，即與底面所成角的正切值為.故選：C.8.設(shè)函數(shù)，若，則最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分類討論求出的值，然后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】因?yàn)?，若，則對(duì)任意的，，則當(dāng)時(shí)，，不合乎題意；若時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，，不合乎題意；若，則當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，，不合乎題意.所以，，此時(shí)，，則f1=0，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，.所以，對(duì)任意的，，合乎題意，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.故選：D.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，即，則（）．A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】由正態(tài)分布概念、組成的理解和正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性逐一判斷即得.【詳解】由可得，，故A錯(cuò)誤；B正確；對(duì)于C，因,則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因，則,故，即D正確.故選：BD.10.過(guò)拋物線：y2=2pxp>0的焦點(diǎn)作傾斜角為的直線交于，兩點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)和原點(diǎn)的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）．A. B.C.以為直徑的圓與軸相切 D.【答案】ACD【解析】【分析】設(shè)直線l的方程為，，，將該直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理可判斷B；設(shè)，由可判斷A；比較半徑與圓心到軸的距離即可判斷C；由拋物線的定義表示出，將韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)可判斷D.【詳解】由題意可設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線l的方程為，設(shè)，，聯(lián)立方程組，消去整理得，即，所以，，，所以，所以，故B錯(cuò)誤；設(shè)，設(shè)直線的方程為，令，所以，,所以直線的斜率為，所以，故A正確.因?yàn)?，所以以為直徑的圓的圓心為，半徑為，所以圓心到軸的距離為，所以以為直徑的圓與軸相切，故C正確；由拋物線的定義知：，所以，故D正確.故選：ACD.11.我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．已知是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，若函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)為偶函數(shù)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A. B.C.為奇函數(shù) D.【答案】BCD【解析】【分析】利用函數(shù)對(duì)稱性的定義可判斷A選項(xiàng)；舉特例可判斷BCD選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且函數(shù)的定義域?yàn)?，則，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，不妨取，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，則函數(shù)符合題意，，所以，為偶函數(shù)，但，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，不妨取，則為奇函數(shù)，，為偶函數(shù)，合乎題意，但不是奇函數(shù)，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，若，則該函數(shù)的最小正周期為，，所以，，D錯(cuò).故選：BCD.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)的對(duì)稱性與周期性：（1）若，則函數(shù)關(guān)于中心對(duì)稱；（2）若，則函數(shù)關(guān)于對(duì)稱；（3）若，則函數(shù)的周期為；（4）若，則函數(shù)的周期為.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，則_________．【答案】6【解析】【分析】對(duì)兩邊都除以可得，兩邊再平方可得答案.【詳解】由知，可得，即，所以，則.故答案：6.13.在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為_________．【答案】70【解析】【分析】利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式即可求解．【詳解】的通項(xiàng)公式，令，解得，∴常數(shù)項(xiàng)．故答案為：70.14.如圖，在的格子中，有一只螞蟻從點(diǎn)爬到點(diǎn)，每次只能向右或向上移動(dòng)一格，則從點(diǎn)爬到點(diǎn)的所有路徑總數(shù)為_________，若螞蟻只在下三角形（對(duì)角線及以下的部分所圍成的三角形）行走，則從點(diǎn)到點(diǎn)的所有總路徑數(shù)為_________．【答案】①.②.【解析】【分析】在的格子中，螞蟻從點(diǎn)爬到點(diǎn)需要走步，從點(diǎn)爬到點(diǎn)的所有路徑總數(shù)為從步中選擇步橫向的組合數(shù)；若螞蟻只在下三角形行走，用列舉法一一列舉即可.【詳解】螞蟻從點(diǎn)爬到點(diǎn)需要走步，其中步橫向，步縱向，所有路徑數(shù)為從步中選擇步橫向的組合數(shù)，所以；螞蟻只在下三角形（對(duì)角線及以下的部分所圍成的三角形）行走，如下：共種.故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.記內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知．（1）求；（2）若，，求的周長(zhǎng)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）應(yīng)用輔助角公式計(jì)算得出，再結(jié)合角的范圍即可求出角；（2）已知結(jié)合正弦定理化簡(jiǎn)計(jì)算得出，再應(yīng)用兩角和正弦公式計(jì)算，最后正弦定理計(jì)算邊長(zhǎng)即可得出周長(zhǎng).【小問(wèn)1詳解】由得，，即，由于，；【小問(wèn)2詳解】由題設(shè)條件和正弦定理，又，，則，進(jìn)而，得到，于是，，由正弦定理得，解得，，故的周長(zhǎng)為.16.如圖，在圓錐中，為圓錐底面的直徑，為底面圓周上一點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，，．（1）證明：平面；（2）若圓錐的側(cè)面積為，求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證明、，然后利用線面垂直的判定定理證明即可；（2）根據(jù)圓錐的側(cè)面積求得及，求出平面、平面的一個(gè)法向量，利用向量法求得二面角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】平面，，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正方向，為軸正方向，與同向方向?yàn)檩S正方向建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，故，A2,0,0，，，，，，．，．故，，，，平面，平面；【小問(wèn)2詳解】圓錐的側(cè)面積，，,由（1）可知，為平面的法向量，設(shè)平面的法向量為，而，，故，令得，則，所以二面角的正弦值為．17.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；（2）若有極小值，且極小值小于0，求的取值范圍．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；（2）求導(dǎo)，分析和兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性和極值，分析可得，構(gòu)建函數(shù)解不等式即可.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，則，可得f1=0，，即切點(diǎn)坐標(biāo)為1,0，切線斜率為，所以切線方程為.【小問(wèn)2詳解】定義域?yàn)?,+∞，且，若，則對(duì)任意x∈0,+∞恒成立．所以在0,+∞上單調(diào)遞減，無(wú)極值，不合題意，若，令，解得，令，解得，可知在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，則有極小值，無(wú)極大值，由題意可得：，即.令，，在0,+∞上單調(diào)遞增,又，不等式等價(jià)于，解得,又，綜上的取值范圍是．18.在平面直角坐標(biāo)系中，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，橢圓：的左右頂點(diǎn)分別為，，上、下頂點(diǎn)分別為，．若直線交于另一點(diǎn)，直線交于另一點(diǎn)．（1）求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求四邊形面積的最大值．【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】【分析】（1）依題求出橢圓方程，設(shè)，由直線，方程分別與橢圓方程聯(lián)立，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，由對(duì)稱性知，定點(diǎn)在軸上，設(shè)為，由求出的值即得；（2）根據(jù)圖形，可得四邊形的面積，代入和，經(jīng)過(guò)換元，運(yùn)用基本不等式和函數(shù)的單調(diào)性即可求得面積最大值.【小問(wèn)1詳解】由題意知，，橢圓：如圖，設(shè)，當(dāng)時(shí)，直線的方程為：，代入，得，則，從而，點(diǎn)又直線的方程為：，代入，得則，從而，點(diǎn)由對(duì)稱性知，定點(diǎn)在軸上，設(shè)為由，即，化簡(jiǎn)得，因故得，解得.即直線過(guò)定點(diǎn)，而當(dāng)時(shí)，直線也過(guò)定點(diǎn)．綜上，直線恒過(guò)定點(diǎn)．【小問(wèn)2詳解】由圖可知四邊形的面積為，令，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，因在上單調(diào)遞增，而，故當(dāng)時(shí)，四邊形面積有最大值．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題主要考查直線過(guò)定點(diǎn)和四邊形面積的最值問(wèn)題，數(shù)據(jù)計(jì)算較大.求解直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，一般是通過(guò)消參后將直線方程化成含一個(gè)參數(shù)的方程，再求定點(diǎn)；對(duì)于四邊形面積問(wèn)題，常運(yùn)用合理的拆分或拼接，使其表達(dá)式易于得到，再利用基本不等式，或函數(shù)的單調(diào)性求其范圍即可.19.某購(gòu)物平臺(tái)為了吸引更多的顧客在線購(gòu)物，推出了和兩個(gè)套餐服務(wù)，并在購(gòu)物平臺(tái)上推出了優(yōu)惠券活動(dòng)，顧客可自由選擇和兩個(gè)套餐之一，下圖是該購(gòu)物平臺(tái)7天銷售優(yōu)惠券的情況（單位：千張）的折線圖：（1）由折線圖可看出，可用回歸模型擬合與的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明；（2）假設(shè)每位顧客選擇套餐的概率為，選擇套餐的概率為，其中包含一張優(yōu)惠券，套餐包含兩張優(yōu)惠券，截止某一時(shí)刻，該平臺(tái)恰好銷售了張優(yōu)惠券，設(shè)其概率為，求；（3）記（2）中所得概率的值構(gòu)成數(shù)列，求數(shù)列的最值．參考數(shù)據(jù)：，，，參考公式：相關(guān)系數(shù)【答案】（1）答案見解析（2）（3）最大值，最小值為．【解析】【分析】（1）根據(jù)折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)可計(jì)