廣西壯族自治區(qū)多校高三上學期11月聯(lián)考數(shù)學試題（含答案解析）

高三數(shù)學考試注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.4．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解出集合和，根據(jù)并集的定義既可得出答案.【詳解】，，所以，所以.故選：C2.已知復數(shù)滿足，則的虛部為（）A.－1 B.1 C.－i D.i【答案】B【解析】【分析】通過復數(shù)的除法計算出即可得出答案.【詳解】，虛部為1.故選：B3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可.【詳解】指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，因為，所以，即；冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為，所以，即，即，綜上：，故選：D.4.在長方體中，，則該長方體外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】長方體的體對角線為外接球的直徑，再根據(jù)球的表面積公式可求得結果.【詳解】設長方體外接球的半徑為，則，所以，則球的表面積為，故選：A.5.已知向量，若，則（）A.2 B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】根據(jù)兩向量平行即共線得到的值，代入進去即可求得結果.【詳解】因為，，所以，解得，所以，即，所以，故選：C.6.如圖，對，，，，五塊區(qū)域涂色，現(xiàn)有種不同顏色的顏料可供選擇，要求每塊區(qū)域涂一種顏色，且相鄰區(qū)域（有公共邊）所涂顏料的顏色不相同，則不同的涂色方法共有（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】C【解析】【分析】先涂，，，然后分類討論的顏色，最后利用乘法原理與加法原理可得答案.【詳解】先涂，，，有種方法.若的顏色不同于，，所涂顏色，有種涂法，此時有種涂法，則對應總涂法數(shù)為；若顏色與的顏色相同，此時有種涂法，則對應總涂法數(shù)為；若的顏色與的顏色相同，此時有種涂法，則對應總涂法數(shù)為.綜上，總涂法數(shù)為.故選：C7.已知函數(shù)的定義域為，，且，則（）A.-2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】對和進行賦值即可求解.【詳解】因為，令，則，即，因為，所以，令，則，即，解得，則即故選：B.【點睛】思路點精：這是抽象函數(shù)的問題，則需要對賦值以求目標函數(shù)值，首先題目給定了，且最后求的是的值，考慮到，所以要先求出的值，求的值還需要借助中間函數(shù)值，求則可以考慮方程，從而問題就解決了.8.已知是雙曲線的左焦點，過原點的直線與相交于兩點，若，則的離心率為（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】如圖，設雙曲線右焦點為，由題，幾何知識，雙曲線對稱性可得為直角三角形，即可得答案.【詳解】如圖，設雙曲線右焦點為，連接.因，又，則為直角三角形，又由雙曲線對稱性可知四邊形為平行四邊形，結合為直角三角形，則四邊形為矩形，則為直角三角形.因，又，則，設，則.則.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知一組數(shù)據(jù)，下列結論正確的有（）A.若，則該組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為B.該組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)不可能是77C.若該組數(shù)據(jù)的極差為10，則或78D.若，則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為70【答案】BCD【解析】【分析】利用百分位數(shù)、極差和平均數(shù)的定義即可判斷.【詳解】對于A：因，當時，該組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為；當時，該組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為；故A錯誤.對于B：因，當時，該組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為；當時，該組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為；當時，該組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為.故該組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)不可能是.故B正確.對于C：由極差的定義，當時，則，即；當時，則，即.故C正確.對于D：當時，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為.故D正確.故選：BCD10.若函數(shù)，則下列結論正確的有（）A.為奇函數(shù) B.若，則C.的所有極值點的和為0 D.【答案】AC【解析】【分析】A由奇函數(shù)定義可判斷選項正誤；B注意到，然后在0,1上單調(diào)性可判斷選項正誤；C由B選項分析可判斷選項正誤；D注意到，求出在上值域可判斷選項正誤.【詳解】A選項，，因函數(shù)定義域為R，且，則為奇函數(shù)，故A正確；B選項，，，，.則在上遞增，在上遞減.則在0,1上不單調(diào)，故時，不一定成立，B錯誤；C選項，由B選項分析可知，的極值點為和，則的所有極值點的和為0，C正確；D選項，注意到，又由B分析可知在上遞增，在上遞減.則，，故D錯誤.故選：AC11.如圖，在六面體中，四邊形為菱形，四邊形為正方形，平面平面，若，則下列說法正確的是（）A.四邊形為平行四邊形B.平面平面C.若過的平面與平面平行，則該平面與的交點為棱的中點D.三棱錐體積的最大值為【答案】AD【解析】【分析】對于A，利用面面平行得線線平行即可，當與不平行時，即可判斷B，對是否在上進行分析即可判斷C，當時，取得最大值即可判斷D.【詳解】對于A：因為四邊形為菱形，四邊形為正方形，所以，且，則平面平面，又平面平面，平面平面，得.由，得，又平面，平面，則平面.因為平面平面，所以，則四邊形為平行四邊形，故A正確.對于B：因為平面平面，平面平面，四邊形為正方形，所以平面，當與不平行時，平面與平面不垂直，故B不正確.對于C：如圖，過作，且，連接，易得四邊形為正方形，連接，易證得,且，則平面平面，若在上，則為的中點，即，若不在上，則不為的中點，即，故C不正確.對于D：，顯然當時，取得最大值，且最大值為，故D正確.故選：AD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知拋物線上一點到的焦點的距離比到軸的距離大4，則________．【答案】8【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義以及題意可得，即可求得結果.【詳解】點到的焦點的距離比到軸的距離大4，即點P到準線的距離比到y(tǒng)軸的距離大4，即，即，故答案為：8.13.已知函數(shù)，若，則的取值范圍為________．【答案】【解析】【分析】把的范圍轉(zhuǎn)化為的范圍，再結合的圖像性質(zhì)即可得出結論.【詳解】因為，所以，由可得：，根據(jù)的圖像性質(zhì)可知，要想滿足題意，只需，解得：.故答案為：14.在中，，且，則的最大值為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意求出的值，進而可知，進而可知是以為半徑的圓的內(nèi)接三角形，所以當三點共線時,最大,從而的值最大.【詳解】由中，,得,解得或(舍去),則，設，則是以為半徑的圓的內(nèi)接三角形.如圖所示,當三點共線時，最大，從而的值最大.過作，垂足為，連接,則,從而，則.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.一個不透明的盒子中裝有紅色、黃色、白色、黑色小球各1個，這些小球除顏色外完全相同.現(xiàn)從盒于中隨機抽取若干個小球，抽中的小球的顏色對應的得分如下表.抽中小球的顏色紅色黃色白色黑色得分1234（1）若有放回地從盒子中抽取2次，每次抽取1個小球，求抽中的小球?qū)牡梅种痛笥?的概率；（2）若一次性從盒子中抽取2個小球，記抽中的小球?qū)牡梅种蜑?，求的分布列與期望．【答案】（1）（2）分布列為【解析】【分析】(1)根據(jù)分步計數(shù)原理計算出總數(shù)，再列舉出小球得分大于的情況，最后根據(jù)古典概率公式即可得出答案；(2)先寫出的值，計算對應取值的概率，最后列出分布列，計算數(shù)學期望.【小問1詳解】有放回抽取兩次，總的可能有種，小球得分之和大于的情況只有第一次取白球，第二次取黑球；第一次取黑球，第二次取白球；兩次都取黑球種情況，所以小球得分之和大于的概率.【小問2詳解】的取值有五種可能，，，，，，所以的分布列為.16.已知數(shù)列滿足．（1）求的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得到當時的式子，兩式相減可求得結果；（2）根據(jù)（1）得到的通項公式，再根據(jù)裂項相消可求得結果.【小問1詳解】當時，，當時，①，又②，②①得，所以，當時，滿足，所以；【小問2詳解】由（1）可得，所以，則，所以數(shù)列的前項和.17.如圖1，菱形的邊長為是的中點，將沿著翻折，使點到點處，連接，得到如圖2所示的四棱錐．（1）證明：．（2）當時，求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】（1）證明見詳解；（2）.【解析】【分析】（1）易知，，線面垂直的判定得到平面,再由線面垂直的性質(zhì)得到.（2）以為坐標原點，以為軸正方向，為軸負方向建立空間直角坐標系并寫出有關點坐標，由，求得點坐標，再分別求出平面與平面的法向量，再根據(jù)求兩平面夾角的余弦值的方法求解即可.【小問1詳解】在菱形中，連接，則△是等邊三角形，∵是的中點，∴在四棱錐中，∵，，,平面∴平面,∵平面，∴.【小問2詳解】∵菱形的邊長為是的中點，，.由（1）知平面，以為坐標原點，以為軸正方向，為軸負方向建立空間直角坐標系（如圖）則，，，設，則，由，，得，解得，∴，，，設平面的法向量分別為m=x1,y1,z1，由得，令則平面的一個法向量為.設平面的法向量分別為n=x2,y2,z則令，則，則平面的一個法向量為.設平面與平面的夾角為，則所以平面與平面的夾角的余弦值為.18.已知動圓與圓外切，與圓內(nèi)切，記動圓圓心的運動軌跡為曲線．（1）求的方程；（2）若分別是的左、右頂點，是圓上一點，設和的夾角為，求的取值范圍.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)內(nèi)切和外切可列方程，根據(jù)橢圓的定義求解即可；（2）用余弦定理即可求出，再根據(jù)兩點間的距離公式求出的長，進而求出的取值范圍，即可知的范圍，結合萬能公式即可求解的取值范圍.【小問1詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，設動圓M的半徑為，則依題意有：，，點M的軌跡是以為焦點的橢圓，其中，.【小問2詳解】圓的半徑，在中，為AB的中點，和互補，即，即，整理得,在中,，設Px0,滿足，，同理可得，所以，，所以，所以所以，因所以，因為，所以解不等式得.【點睛】關鍵點點精：本題關鍵點在于角的余弦值用來表示，根據(jù)兩點間的距離公式及題意可求出的范圍，再結合萬能公式即可.19.曲率是表示曲線在某一點的彎曲程度的數(shù)值，曲線的曲率定義如下：若是函數(shù)的導函數(shù)，是的導函數(shù)，則曲線在點處的曲率．（1）若函數(shù)，求曲線在點處的曲率．（2）若函數(shù)，證明：曲線在其上任意一點處的曲率為定值，且該定值為．（3）已知函數(shù)，若在曲線上存在一點，使曲線在點處的曲率，求的取值范圍．【答案】（1）2（2）證明見詳解（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)曲率的定