廣東省湛江市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期11月大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

2025屆高三年級(jí)11月份聯(lián)考數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁(yè)，19題.全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng):1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答:每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.3.非選擇題的作答:用簽字筆直接寫(xiě)在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交.一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知等差數(shù)列滿足，則（）A.3 B.4 C.8 D.10【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，將式子化為與，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則.故選：B.2.已知是實(shí)數(shù)，若為純虛數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)的概念可得出關(guān)于的等式，解之即可.【詳解】因?yàn)闉榧兲摂?shù)，則，解得.故選：B.3.已知函數(shù)為奇函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性求值即可【詳解】解：由為奇函數(shù)知，，令可得，C正確，設(shè)，則，，，，ABD錯(cuò)誤，故選：C.4.如圖，在方格邊長(zhǎng)為的方格紙中，向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)均在格點(diǎn)上，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】建立坐標(biāo)系，寫(xiě)出的坐標(biāo)，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，則，則，所以.故選：A.5.現(xiàn)有一盛水實(shí)心容器，其外形可以通過(guò)如下方式得到：在中，，，以邊所在直線為軸將該三角形旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)體即為該容器，則該容器最多能容納水的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意得到旋轉(zhuǎn)體為一個(gè)圓錐，結(jié)合已知條件求出圓錐的底面半徑和高即可求解.【詳解】由題意知，該容器的盛水部分為圓錐形，過(guò)點(diǎn)向軸作垂線(為垂足)，則即為圓錐的高，為圓錐的底面半徑，因?yàn)椋?，，其中，，故該容器最多能容納水的體積為.故選：B.6.已知點(diǎn)在橢圓上，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將代入橢圓方程可求出，進(jìn)而求出離心率.【詳解】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，得:，因?yàn)椋?，所以橢圓方程，其中，故離心率.故選：C.7.過(guò)點(diǎn)分別作曲線的切線，則這兩條切線的斜率之積為（）A. B.1 C.e D.【答案】B【解析】【分析】由題，關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，可得兩條切線也關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則一條切線的傾斜角為，則另一條的傾斜角為，運(yùn)算得解.【詳解】由于是互為反函數(shù)的曲線，所以其關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，由于點(diǎn)在直線上，所以這兩條切線也關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，不妨設(shè)其中一條切線的傾斜角為，則另一條的傾斜角為，故這兩條切線的斜率之積為.故選：B.8.已知正數(shù)滿足，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)和的立方公式計(jì)算化簡(jiǎn)得出得，換元得出，再結(jié)合基本不等式得出，最后計(jì)算求解即可.【詳解】因?yàn)椋试}干等式可轉(zhuǎn)化為，得，設(shè)，則，解得，因?yàn)?，所以，解得或，又因?yàn)?，所以，整理得，解得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.因此，即2，所以的取值范圍是.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵點(diǎn)是利用換元，結(jié)合基本不等式得出關(guān)于的高次不等式即可求解.二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.某衛(wèi)星主要用于開(kāi)展低軌星座系統(tǒng)新技術(shù)試驗(yàn)，其主要功能用于記錄飛行過(guò)程中觀測(cè)到的低軌行星的數(shù)目，已知該衛(wèi)星連續(xù)8天內(nèi)觀測(cè)到的低軌行星數(shù)目分別為：9，8，6，10，9，7，6，9，則這組樣本數(shù)據(jù)的（）A.極差為3 B.平均數(shù)是8C.上四分位數(shù)是9 D.方差為2【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)極差的概念可得選項(xiàng)A錯(cuò)誤；根據(jù)平均數(shù)的概念計(jì)算可得選項(xiàng)B正確；把數(shù)據(jù)從小到大排序，根據(jù)上四分位數(shù)的概念可得選項(xiàng)C正確；計(jì)算方差可得選項(xiàng)D正確.【詳解】將這組數(shù)據(jù)從小到大排序得6，6，7，8，9，9，9，10.這組數(shù)據(jù)的極差為，故A錯(cuò)誤.平均數(shù)為，故B正確.因?yàn)?，所以上四分位?shù)為，故C正確.方差為，故D正確.故選：BCD.10.已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為1，以為圓心、1為半徑的動(dòng)圓與圓交于兩點(diǎn)，則（）A.存在唯一的圓，使得兩點(diǎn)重合 B.C.若存在，則其不可能為等邊三角形 D.的最大值為【答案】BCD【解析】【分析】由給定條件可得坐標(biāo)原點(diǎn)與點(diǎn)之一重合，利用動(dòng)圓與圓位置關(guān)系判斷A；由圓上的點(diǎn)與定點(diǎn)距離最值判斷B；求出最大值判斷C；由余弦定理求解判斷D.【詳解】依題意，坐標(biāo)原點(diǎn)與點(diǎn)之一重合，不妨設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為，圓的圓心，半徑，對(duì)于A，當(dāng)動(dòng)圓與圓內(nèi)切或外切時(shí)，均有兩點(diǎn)重合，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，點(diǎn)在以為圓心、1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，，，B正確；對(duì)于C，，要使為等邊三角形，則，而，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，則不可能為等邊三角形，C正確；對(duì)于D，要使最大，即最大，只需取最大值2，此時(shí)，，D正確．故選：BCD11.已知水平放置的正方形的邊長(zhǎng)為，利用斜二測(cè)畫(huà)法繪制該正方形在水平平面內(nèi)的直觀圖四邊形，則（）A.的最小值小于 B.的最大值小于C.的最小值大于 D.的最大值大于【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)題意，由斜二測(cè)畫(huà)法的性質(zhì)，畫(huà)出直觀圖，然后對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果【詳解】對(duì)于AB選項(xiàng)，考慮正方形的一條邊與軸重合，由斜二測(cè)畫(huà)法的性質(zhì)，另一條邊與軸重合，如圖所示，由于對(duì)稱(chēng)性與旋轉(zhuǎn)可換性，圖中與均等價(jià)為所求角.而由斜二測(cè)圖性質(zhì)，，過(guò)作的垂線，則，即，故的最小值小于，故正確；過(guò)作的垂線，易有，且，故，則的最大值大于，故B錯(cuò)誤；對(duì)于CD選項(xiàng)，設(shè)圖形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則，即，其中，則最小值為，最大值為，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：AD.三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)的最小正周期為_(kāi)____.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再根據(jù)周期公式即可求解.【詳解】由題意可得，故的最小正周期為.故答案.13已知集合，若集合中有且只有一個(gè)元素，則________【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩個(gè)集合的描述，結(jié)合拋物線的性質(zhì)判斷參數(shù)取值對(duì)應(yīng)點(diǎn)集情況，即可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，表示拋物線的一部分；當(dāng)時(shí)，為空集，因此當(dāng)且僅當(dāng)a=2時(shí)，集合表示一個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)元素.故答案為：14.把3個(gè)紅球和33個(gè)白球隨機(jī)排成一圈，則連續(xù)排列的白球個(gè)數(shù)不超過(guò)13個(gè)的概率是________【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，由條件可得滿足方程的解共有組，然后分，，，，討論，逐一計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】如圖，位于紅球之間的白球個(gè)數(shù)記為，故滿足方程的解共有組，滿足時(shí)解有以下情形：①若時(shí)，有，，共7種；同理，時(shí)，有7種；時(shí)，有7種，去掉重復(fù)的共有18種，②若時(shí)，有，共4種；同理，時(shí)，有4種；時(shí)，有4種，去掉重復(fù)的共有9種，③若，有，此時(shí)只有1種，④若，有，與前面重復(fù)，舍去，⑤若，有，與前面重復(fù)，舍去，⑥若，有，與前面重復(fù)，舍去，⑦若，有，與前面重復(fù)，舍去，⑧若，不存在，共有種，連續(xù)排列的白球個(gè)數(shù)不超過(guò)13個(gè)的概率是.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解答本題的關(guān)鍵在于將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程的正整數(shù)解問(wèn)題，然后分類(lèi)討論求解.四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知雙曲線的離心率為2，右焦點(diǎn)到的一條漸近線的距離為為上不同的兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)為.（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）證明:直線AB的斜率存在且為定值，并求出該定值.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析，定值2【解析】【分析】（1）根據(jù)離心率及點(diǎn)到直線距離列方程結(jié)合計(jì)算即可得出，即可求出標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）應(yīng)用點(diǎn)差法再結(jié)合斜率公式得出斜率的值即可證明.【小問(wèn)1詳解】由題意得，右焦點(diǎn)坐標(biāo)為(c，0)，雙曲線漸近線方程為，故，解得，又，故，故的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，則，兩式相減得若或，則AB的中點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，不滿足，故且，即直線AB的斜率存在且不為0，此時(shí)，即，解得，故直線AB的斜率存在且為定值2.16.已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且.（1）證明：；（2）若，求.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理即同角的三角函數(shù)關(guān)系得到，再由兩角和的正弦展開(kāi)式結(jié)合正弦定理化簡(jiǎn)即可；（2）由余弦定理結(jié)合一元二次方程求解即可；【小問(wèn)1詳解】由及正弦定理得.因?yàn)?，所以，所以，所?由正弦定理，得.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，由余弦定理可得，整理得，即，解得?因?yàn)?，所以，即，?17.如圖，平行六面體的棱長(zhǎng)均為，且AD的中點(diǎn)為.（1）證明:；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)余弦定理和勾股定理的逆定理可得、，結(jié)合線面垂直的判定定理與性質(zhì)可得，即可證明；（2）建立如圖空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)余弦定理計(jì)算可得，進(jìn)而求出坐標(biāo)，利用空間向量法求解面面角即可.【小問(wèn)1詳解】在中，由余弦定理可得:，所以，所以，同理可得，又因?yàn)槠矫嫫矫嫠云矫?，又平面，所以，依題意，有，所以；【小問(wèn)2詳解】以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，過(guò)點(diǎn)作軸垂直于平面，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.在中，由余弦定理得，所以，得，又，所以，由(1)可得平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有，即，取.則，所以二面角的余弦值為.18.已知首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列滿足.（1）探究數(shù)列單調(diào)性；（2）證明：.【答案】（1）數(shù)列為遞減數(shù)列，理由見(jiàn)解析.（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）作差得到，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)證明出，然后結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可求解；（2）構(gòu)造，，利用導(dǎo)數(shù)證明，令，得到，，由累乘和放縮法得到，故【小問(wèn)1詳解】數(shù)列為遞減數(shù)列，理由如下：由題意可得，則，令函數(shù)，則，∴fx在上單調(diào)遞減，則，令，則，，即數(shù)列為遞減數(shù)列；【小問(wèn)2詳解】令函數(shù)，，令函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，h′x<0，當(dāng)x>0時(shí)，h故hx在單調(diào)遞減，在0,+∞故，則，，，故在定義域上單調(diào)遞增，，令，則，又，.當(dāng)時(shí)，.即，又時(shí)，.所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問(wèn)，需要構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，求出，令，得到，，由累乘和放縮法進(jìn)行證明19.小明和小王按照規(guī)定在奇妙種植園中采摘水果，水果越采摘越多.奇妙種植園中的每個(gè)園區(qū)在最初始時(shí)會(huì)提供有限個(gè)橙子和蘋(píng)果供采摘，且每次采摘均為隨機(jī)采摘，當(dāng)每次從種植園中隨機(jī)采摘一次得到一個(gè)水果后，將水果退回種植園，并再添加同種水果個(gè)放入種植園.（1）若小王選擇的園區(qū)初始有5個(gè)橙子和15個(gè)蘋(píng)果，小明選擇的園區(qū)初始有4個(gè)橙子和12個(gè)蘋(píng)果，且a=2.試比較:小王第2次采到橙子的概率和小明第2次采到橙子的概率大小;（2）證明:無(wú)論初始時(shí)橙子和蘋(píng)果的個(gè)數(shù)是多少，每一次采摘到橙子的概率都相等；（3）若初始有個(gè)橙子和個(gè)蘋(píng)果，證明:第次采摘后，累計(jì)采摘到的橙子個(gè)數(shù)的期望是.(附:若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，)【答案】（1）都是（2）證明見(jiàn)解析（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用全概率公式計(jì)算兩人第2次采到橙子的概率，比較即可；（2）證明第次采摘采摘到橙子的概率與第次采摘采摘到橙子的概率相等即可；（3）利用結(jié)合公