2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)單元素養(yǎng)評價一含解析新人教A版必修第一冊

PAGE10-單元素養(yǎng)評價(一)(第一、二章)(120分鐘150分)一、單選題(每小題5分，共40分)1.不等式14-5x-x2<0的解集為 ()A.{x|-7<x<2} B.{x|x<-7或x>2}C.{x|x>2} D.{x|x<-7}【解析】選B.原不等式等價于x2+5x-14>0，所以(x+7)·(x-2)>0，即x<-7或x>2，故選B.2.若a，b，c∈R且a>b，則下列不等式成立的是 ()A.a2>b2 B.QUOTE<QUOTEC.a|c|>b|c| D.QUOTE>QUOTE【解析】選D.選項A：a=0，b=-1，符合a>b，但不等式a2>b2不成立，故本選項是錯誤的；選項B：當a=0，b=-1符合已知條件，但零沒有倒數(shù)，故QUOTE<QUOTE不成立，故本選項是錯誤的；選項C：當c=0時，a|c|>b|c|不成立，故本選項是錯誤的；選項D：因為c2+1>0，所以依據(jù)不等式的性質(zhì)，由a>b能推出QUOTE>QUOTE.3.QUOTE(-6≤a≤3)的最大值為 ()A.9 B.QUOTE C.3 D.QUOTE【解析】選B.因為-6≤a≤3，所以3-a≥0，a+6≥0，所以QUOTE≤QUOTE=QUOTE.當且僅當a=-QUOTE時，等號成立，即QUOTE(-6≤a≤3)的最大值為QUOTE.4.不等式mx2-ax-1>0(m>0)的解集可能是 ()A.QUOTE B.RC.QUOTE D.?【解析】選A.因為Δ=a2+4m>0，所以函數(shù)y=mx2-ax-1的圖象與x軸有兩個交點，又因為m>0，所以原不等式的解集不行能是B，C，D選項.5.某市原來居民用電價為0.52元/kW·h，換裝分時電表后，峰時段(早上八點到晚上九點)的電價為0.55元/kW·h，谷時段(晚上九點到次日早上八點)的電價為0.35元/kW·h.對于一個平均每月用電量為200kW·h的家庭，換裝分時電表后，每月節(jié)約的電費不少于原來電費的10%，則這個家庭每月在峰時段的平均用電量至多為 ()A.110kW·h B.114kW·hC.118kW·h D.120kW·h【解析】選C.設(shè)每月峰時段的平均用電量為xkW·h，則谷時段的用電量為(200-x)kW·h；依據(jù)題意，得：(0.52-0.55)x+(0.52-0.35)(200-x)≥200×0.52×10%，解得x≤118.所以這個家庭每月峰時段的平均用電量至多為118kW·h.6.已知2a+1<0，則關(guān)于x的不等式x2-4ax-5a2>0的解集是 ()A.{x|x<5a或x>-a}B.{x|x>5a或x<-a}C.{x|-a<x<5a}D.{x|5a<x<-a}【解析】選A.方程x2-4ax-5a2=0的兩根為-a，5a.因為2a+1<0，所以a<-QUOTE，所以-a>5a.結(jié)合二次函數(shù)y=x2-4ax-5a2的圖象，得原不等式的解集為{x|x<5a或x>-a}，故選A.7.若0<x<QUOTE，則函數(shù)y=xQUOTE的最大值為 ()A.1 B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.因為0<x<QUOTE，所以1-4x2>0，所以xQUOTE=QUOTE×2xQUOTE≤QUOTE×QUOTE=QUOTE，當且僅當2x=QUOTE，即x=QUOTE時等號成立.8.(2024·攀枝花高一檢測)某公司從2024年起每人的年工資主要由三個項目組成并按下表規(guī)定實施：項目計算方法基礎(chǔ)工資2024年1萬元，以后每年逐增10%住房補貼按工齡計算：400元×工齡醫(yī)療費每年1600元固定不變?nèi)粼摴灸陈毠ぴ?024年將得到的住房補貼與醫(yī)療費之和超過基礎(chǔ)工資的25%，到2024年底這位職工的工齡至少是 ()A.2年 B.3年 C.4年 D.5年【解析】選C.設(shè)這位職工工齡至少為x年，則400x+1600>10000·(1+10%)2×25%，即400x+1600>3025，即x>3.5625，所以至少為4年.二、多選題(每小題5分，共20分，全部選對得5分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分)9.下列說法不正確的是 ()A.某人月收入x不高于2000元可表示為“x<2000B.小明的身高為x，小華的身高為y，則小明比小華矮表示為“x>y”C.某變量x至少是a可表示為“x≥a”D.某變量y不超過a可表示為“y≥a”【解析】選ABD.對于A，x應(yīng)滿意x≤2000，故A錯；對于B，x，y應(yīng)滿意x<y，故B不正確；C正確；對于D，y與a的關(guān)系可表示為y≤a，故D錯誤.10.下列不等式不肯定正確的是 ()A.x+QUOTE≥2 B.QUOTE≥2C.QUOTE>xy D.QUOTE≥QUOTE【解析】選BCD.因為x與QUOTE同號，所以QUOTE=|x|+QUOTE≥2，A正確；當x，y異號時，B不正確；當x=y時，QUOTE=xy，C不正確；當x=1，y=-1時，D不正確.11.已知2<x<3，2<y<3，則 ()A.2x+y的取值范圍為(6，9)B.2x-y的取值范圍為(2，3)C.x-y的取值范圍為(-1，1)D.xy的取值范圍為(4，9)【解析】選ACD.因為2<x<3，2<y<3，所以4<xy<9，4<2x<6，所以6<2x+y<9，而-3<-y<-2，所以1<2x-y<4，-1<x-y<1.12.3+5x-2x2>0的充分不必要條件是 ()A.-QUOTE<x<3 B.-QUOTE<x<0C.1<x<2 D.-1<x<6【解析】選BC.由不等式3+5x-2x2>0，可得2x2-5x-3<0，解得-QUOTE<x<3，由此可得：選項A，-QUOTE<x<3是不等式3+5x-2x2>0成立的充要條件；選項B，-QUOTE<x<0是不等式3+5x-2x2>0成立的充分不必要條件；選項C，1<x<2是不等式3+5x-2x2>0成立的充分不必要條件；選項D，-1<x<6是不等式3+5x-2x2>0成立的必要不充分條件.三、填空題(每小題5分，共20分)13.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(x∈R)的部分對應(yīng)值如表：x-3-2-101234y60-4-6-6-406則a=_______；不等式ax2+bx+c>0的解集為_______.

【解析】由表知x=-2時y=0，x=3時，y=0，所以二次函數(shù)y=ax2+bx+c可化為y=a(x+2)(x-3).又因為x=1時，y=-6，所以a=1，圖象開口向上，結(jié)合二次函數(shù)的圖象可得不等式ax2+bx+c>0的解集為{x|x<-2或x>3}.答案：1{x|x<-2或x>3}14.若a<1，則a+QUOTE與-1的大小關(guān)系是_______.

【解析】因為a<1，即1-a>0，所以-QUOTE=(1-a)+QUOTE≥2QUOTE=2.即a+QUOTE≤-1.答案：a+QUOTE≤-115.已知A={x|1<x<2}，B={x|x2-2ax+a2-1<0}，若A?B，則a的取值范圍是_______.

【解析】方程x2-2ax+a2-1=0的兩根為a+1，a-1，且a+1>a-1，所以B={x|a-1<x<a+1}.因為A?B，所以QUOTE，解得1≤a≤2.答案：1≤a≤216.若正數(shù)a，b滿意a+b=1，則QUOTE+QUOTE的最小值為_______.

【解析】由a+b=1，知QUOTE+QUOTE=QUOTE=QUOTE，又ab≤QUOTE=QUOTE(當且僅當a=b=QUOTE時等號成立)，所以9ab+10≤QUOTE，所以QUOTE≥QUOTE.答案：QUOTE四、解答題(共70分)17.(10分)解下列不等式：(1)2+3x-2x2>0.(2)x(3-x)≤x(x+2)-1.(3)x2-2x+3>0.【解析】(1)原不等式可化為2x2-3x-2<0，所以(2x+1)(x-2)<0，故原不等式的解集是QUOTE.(2)原不等式可化為2x2-x-1≥0.所以(2x+1)(x-1)≥0，故原不等式的解集為QUOTE.(3)因為Δ=(-2)2-4×3=-8<0，故原不等式的解集是R.18.(12分)(1)若x<3，求y=2x+1+QUOTE的最大值.(2)已知x>0，求y=QUOTE的最大值.【解析】(1)因為x<3，所以3-x>0.又因為y=2(x-3)+QUOTE+7=-2(3-x)+QUOTE+7，由基本不等式可得2(3-x)+QUOTE≥2QUOTE=2QUOTE，當且僅當2(3-x)=QUOTE，即x=3-QUOTE時，等號成立，于是-QUOTE≤-2QUOTE，-2(3-x)+QUOTE+7≤7-2QUOTE，故y的最大值是7-2QUOTE.(2)y=QUOTE=QUOTE.因為x>0，所以x+QUOTE≥2QUOTE=2，所以0<y≤QUOTE=1，當且僅當x=QUOTE，即x=1時，等號成立.故y的最大值為1.19.(12分)“綠水青山就是金山銀山”.隨著經(jīng)濟的發(fā)展，我國更加重視對生態(tài)環(huán)境的愛護，2024年起，政府對環(huán)保不達標的養(yǎng)雞場進行限期整改或勒令關(guān)閉.一段時間內(nèi)，雞蛋的價格起伏較大(不同周價格不同).假設(shè)第一周、其次周雞蛋的價格分別為x元、y元(單位：kg)；甲、乙兩人的購買方式不同：甲每周購買3kg雞蛋，乙每周購買10(1)若x=8，y=10，求甲、乙兩周購買雞蛋的平均價格.(2)推斷甲、乙兩人誰的購買方式更實惠(平均價格低視為實惠)，并說明理由.【解析】(1)因為x=8，y=10，所以甲兩周購買雞蛋的平均價格為QUOTE=9(元)，乙兩周購買雞蛋的平均價格為QUOTE=QUOTE(元).(2)甲兩周購買雞蛋的平均價格為QUOTE=QUOTE，乙兩周購買雞蛋的平均價格為QUOTE=QUOTE，由(1)知，當x=8，y=10時，乙兩周購買雞蛋的平均價格比甲兩周購買雞蛋的平均價格低，揣測乙的購買方式更實惠.證法一(比較法)：依題意x，y>0，且x≠y，因為QUOTE-QUOTE=QUOTE=QUOTE>0，所以QUOTE>QUOTE，所以乙兩周購買雞蛋的平均價格比甲兩周購買雞蛋的平均價格低，即乙的購買方式更實惠.證法二(分析法)：依題意x，y>0，且x≠y，要證：QUOTE>QUOTE，只需證：(x+y)2>4xy只需證：x2+y2>2xy，只需證：x≠y(已知).所以乙兩周購買雞蛋的平均價格比甲兩周購買雞蛋的平均價格低，即乙的購買方式更實惠.20.(12分)解關(guān)于x的不等式x2+3ax-4a2<0(a∈R).【解析】由于x2+3ax-4a2<0可化為(x-a)·(x+4a)<0，且方程(x-a)(x+4a)=0的兩個根分別是a和-4a.當a=-4a，即a=0時，不等式的解集為?；當a>-4a，即a>0時，解不等式得-4a<x<a；當a<-4a，即a<0時，解不等式得a<x<-4a.綜上所述，當a=0時，不等式的解集為?；當a>0時，不等式的解集為{x|-4a<x<a}；當a<0時，不等式的解集為{x|a<x<-4a}.21.(12分)已知a，b為正實數(shù)，且QUOTE+QUOTE=2QUOTE.(1)求a2+b2的最小值.(2)若(a-b)2≥4(ab)3，求ab的值.【解析】(1)因為a，b為正實數(shù)，且QUOTE+QUOTE=2QUOTE，所以QUOTE+QUOTE=2QUOTE≥2QUOTE，即ab≥QUOTE(當且僅當a=b時等號成立).因為a2+b2≥2ab≥2×QUOTE=1(當且僅當a=b時等號成立)，所以a2+b2的最小值為1.(2)因為QUOTE+QUOTE=2QUOTE，所以a+b=2QUOTEab.因為(a-b)2≥4(ab)3，所以(a+b)2-4ab≥4(ab)3，即(2QUOTEab)2-4ab≥4(ab)3，即(ab)2-2ab+1≤0，(ab-1)2≤0.因為a，b為正實數(shù)，所以ab=1.22.(12分)(2024·濱州高一檢測)為了緩解市民吃肉難的生活問題，某生豬養(yǎng)殖公司欲將一批豬肉用冷藏汽車從甲地運往相距120千米的乙地，運費為每小時60元，裝卸費為1000元，豬肉在運輸途中的損耗費(單位：元)是汽車速度(km/h)值的2倍.(說明：運輸?shù)目傎M用=運費+裝卸費+損耗費)(1)若汽車的速度為每小時50千米，試求運輸?shù)目傎M用.(2)為使運輸?shù)目傎M用不超過1260元，求汽車行駛速度的范圍.(3)若要使運輸?shù)目傎M用最小，汽車應(yīng)以每小時多少千米的速度行駛？【解析】(1)當汽車的速度為每小時50千米時，運輸?shù)目傎M用為：