2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章空間向量與立體幾何2.2空間向量的運算課時作業(yè)含解析北師大版選修2-1

PAGEPAGE6課時作業(yè)6空間向量的運算時間：45分鐘——基礎(chǔ)鞏固類——一、選擇題1．已知空間隨意四個點A，B，C，D，則eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))等于(C)A.eq\o(DB,\s\up6(→)) B.eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\o(DA,\s\up6(→)) D.eq\o(AC,\s\up6(→))解析：eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→)).2．如圖，在平行六面體ABCD-A′B′C′D′中，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA′,\s\up6(→))＝c，則下列與向量eq\o(A′C,\s\up6(→))相等的表達式是(D)A．－a＋b＋cB．－a－b＋cC．a(chǎn)－b－cD．a(chǎn)＋b－c解析：eq\o(A′C,\s\up6(→))＝eq\o(A′A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝－c＋a＋b＝a＋b－c.3．已知i，j，k是兩兩垂直的單位向量，a＝2i－j＋k，b＝i＋j－3k，則a·b＝(A)A．－2 B．－1C．±1 D．2解析：a·b＝(2i－j＋k)(i＋j－3k)＝2i2－j2－3k2＝－2.4．如圖，已知空間四邊形ABCD，連接AC，BD.設(shè)M，N分別是BC，CD的中點，則eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝(A)A.eq\o(AN,\s\up6(→)) B.eq\o(CN,\s\up6(→))C.eq\o(BC,\s\up6(→)) D.eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))解析：eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→)).5．已知向量a、b是平面α內(nèi)的兩個不相等的非零向量，非零向量c是直線l的一個方向向量，則c·a＝0且c·b＝0是l⊥α的(B)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：當(dāng)a與b不共線時，由c·a＝0，c·b＝0，可推出l⊥α；l⊥α肯定有c·a＝0且c·b＝0，故選B.6．如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，M為AC與BD的交點，若eq\o(A1B1,\s\up6(→))＝a，eq\o(A1D1,\s\up6(→))＝b，eq\o(A1A,\s\up6(→))＝c，則下列向量中與eq\o(B1M,\s\up6(→))相等的向量是(B)A.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cB．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cC.eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋cD．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c解析：eq\o(B1M,\s\up6(→))＝eq\o(B1B,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(A1D1,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(A1B1,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.7．設(shè)A、B、C、D是空間不共面的四點，且滿意eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，則△BCD是(B)A．鈍角三角形 B．銳角三角形C．直角三角形 D．形態(tài)不確定解析：畫出圖形可知B、C、D三點位于長方體同一頂點處的三條棱上，依據(jù)三角形性質(zhì)，可知為銳角三角形．8．已知PA⊥平面ABC，垂足為A，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，則PC等于(C)A．6eq\r(2) B．6C．12 D．144解析：如圖．∵eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(PC,\s\up6(→))2＝eq\o(PA,\s\up6(→))2＋eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(BC,\s\up6(→))2＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝36＋36＋36＋2×36×cos60°＝144.∴|eq\o(PC,\s\up6(→))|＝12.二、填空題9．若空間向量a，b滿意|a|＝|b|＝1，且a與b的夾角為60°，則a·a＋a·b＝eq\f(3,2).解析：由空間向量數(shù)量積的性質(zhì)，知a·a＝|a|2＝1.由空間向量數(shù)量積的定義，得a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝1×1×cos60°＝eq\f(1,2)，從而a·a＋a·b＝1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2).10．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，若E為矩形ABCD對角線的交點，則eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋xeq\o(A1B1,\s\up6(→))＋yeq\o(A1D1,\s\up6(→))中的x，y值應(yīng)為x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,2).解析：eq\o(A1C,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(A1C1,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))，eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(A1C,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(2eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→)))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(A1B1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(A1D1,\s\up6(→))，∴x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,2).11．已知Rt△OAB中，∠AOB為直角，OA與OB的長度都為2，CB垂直于三角形OAB確定的平面，且3|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|，則向量eq\o(BC,\s\up6(→))的模是eq\f(2,3)eq\r(2).解析：eq\o(AB,\s\up6(→))的模為2eq\r(2)，依據(jù)題中條件，可得|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝eq\f(1,3)|eq\o(AB,\s\up6(→))|，即eq\o(BC,\s\up6(→))的模為eq\f(2,3)eq\r(2).三、解答題12．如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)eq\o(AA1,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點，試用a，b，c表示以下各向量：(1)eq\o(AP,\s\up6(→))；(2)eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(NC1,\s\up6(→)).解：(1)∵P是C1D1的中點，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(D1P,\s\up6(→))＝a＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)b.(2)∵M是AA1的中點，∴eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋c＋\f(1,2)b))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.又∵eq\o(NC1,\s\up6(→))＝eq\o(NC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)c＋a，∴eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(NC1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(1,2)b＋c))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)c＋a))＝eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(3,2)c.13．設(shè)a⊥b，〈a，c〉＝eq\f(π,3)，〈b，c〉＝eq\f(π,6)，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，求向量a＋b＋c的模．解：|a＋b＋c|2＝(a＋b＋c)2＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2(a·b＋a·c＋b·c)＝1＋4＋9＋2(0＋1×3×eq\f(1,2)＋2×3×eq\f(\r(3),2))＝17＋6eq\r(3)，∴|a＋b＋c|＝eq\r(17＋6\r(3)).——實力提升類——14．已知P是棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)(含正方體表面)隨意一點，則eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))的最大值為2.解析：由題意畫出圖形，如圖所示，因為eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AP,\s\up6(→))||eq\o(AC,\s\up6(→))|cos〈eq\o(AP,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉，|eq\o(AP,\s\up6(→))|cos〈eq\o(AP,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉是向量eq\o(AP,\s\up6(→))在eq\o(AC,\s\up6(→))上的投影，所以當(dāng)P在棱C1C上時，投影最大，eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))的最大值為eq\o(AC,\s\up6(→))2＝(eq\r(12＋12))2＝2.15．如圖所示，在平行六面體ABCD-A′B′C′D′中，AB＝AD＝AA′＝1，∠A′AD＝∠A′AB＝∠BAD＝60°，求：(1)AC′的長；(2)BD′的長．解：(1)eq\o(AC′,\s\up6(→))2＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC′,\s\up6(→)))2＝eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(BC,\s\up6(→))2＋eq\o(CC′,\s\up6(→))2＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋2eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CC′,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CC′,\s\up6(→))＝1＋1＋1＋2×1×1×eq\f(1,2)＋2×1×1×eq\f(1,2)＋2×1×1×eq\f(1,2)＝6.∴AC′＝|eq\o(AC′,\s\up6(→))|＝eq\r(6).(2)eq\o(BD′,\s\up6(→))2＝(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋