八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《多邊形》講義

第八講多邊形【要點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、多邊形的概念1．定義：在平面內(nèi)不在同一直線上的一些線段首尾順次相接所組成的封閉圖形叫做多邊形．其中，各個(gè)角相等、各條邊相等的多邊形叫做正多邊形．凸多邊形凹多邊形2.多邊形的分類:凸多邊形凹多邊形要點(diǎn)詮釋：(1)正多邊形必須同時(shí)滿足“各邊相等”，“各角相等”兩個(gè)條件，二者缺一不可；(2)過n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引(n-3)條對(duì)角線，n邊形對(duì)角線的條數(shù)為；(3)過n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線可以把n邊形分成(n-2)個(gè)三角形．知識(shí)點(diǎn)二、多邊形內(nèi)角和定理n邊形的內(nèi)角和為(n-2)·180°(n≥3)．要點(diǎn)詮釋：(1)內(nèi)角和定理的應(yīng)用：①已知多邊形的邊數(shù)，求其內(nèi)角和；②已知多邊形內(nèi)角和求其邊數(shù)；(2)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，都等于；知識(shí)點(diǎn)三、多邊形的外角和多邊形的外角和為360°．要點(diǎn)詮釋：(1)在一個(gè)多邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，這些外角的和叫做多邊形的外角和．n邊形的外角和恒等于360°，它與邊數(shù)的多少無關(guān)；(2)正n邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，所以它的每個(gè)外角都相等，都等于；(3)多邊形的外角和為360°的作用是：①已知各相等外角度數(shù)求多邊形邊數(shù)；②已知多邊形邊數(shù)求各相等外角的度數(shù)．【典型例題】類型一、多邊形的內(nèi)角和1.小馬虎同學(xué)在計(jì)算某個(gè)多邊形的內(nèi)角和時(shí)得到，老師說他算錯(cuò)了，于是小馬虎認(rèn)真地檢查了一遍發(fā)現(xiàn)漏算了一個(gè)內(nèi)角，求漏算的那個(gè)內(nèi)角是多少度？這個(gè)多邊形是幾邊形？舉一反三：【變式】小明計(jì)算一個(gè)多邊形的內(nèi)角和時(shí)誤把一個(gè)外角加進(jìn)去了，得其和為．（1）求這個(gè)多加的外角的度數(shù)；（2）求這個(gè)多邊形的邊數(shù)．類型二、求不規(guī)則圖形內(nèi)角和2.如圖1是一個(gè)五角星（1）計(jì)算：的度數(shù)．（2）當(dāng)向上移動(dòng)，過點(diǎn)時(shí)，如圖2，五個(gè)角的和（即有無變化？說明你的理由．舉一反三：【變式】在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中整體思想與轉(zhuǎn)化思想是我們常用到的數(shù)學(xué)思想．如圖（1）中，求的度數(shù)等于多少時(shí)，我們可以連接，利用三角形的內(nèi)角和則有，這樣、、、、的和就轉(zhuǎn)化到同一個(gè)中，即.．嘗試練習(xí)：圖（2）中的度數(shù)等于．圖（3）中的度數(shù)等于．圖（4）中的度數(shù)等于．類型三、多邊形中對(duì)角線問題3.如圖，先研究下面三角形、四邊形、五邊形、六邊形多邊形的邊數(shù)及其對(duì)角線條數(shù)的關(guān)系，再完成下面問題：若一個(gè)多邊形是七邊形，它的對(duì)角線條數(shù)為，邊形的對(duì)角線條數(shù)為（用表示）．（2）求正好65條對(duì)角線的多邊形是幾邊形．類型四、多邊形內(nèi)角和與外角和定理的應(yīng)用4.將正三角形、正四邊形、正五邊形按如圖所示的位置擺放，如果，那么度．A．90 B．80 C．70 D．605.探究發(fā)現(xiàn)探究一：我們知道，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．那么，三角形的一個(gè)內(nèi)角與它不相鄰的兩個(gè)外角的和之間存在何種數(shù)量關(guān)系呢？如圖甲，、為的兩個(gè)外角，則與的數(shù)量關(guān)系．探究二：如圖，四邊形中，為四邊形的的角平分線及外角的平分線所在的直線構(gòu)成的銳角，若設(shè)，；（1）如圖①，，則；（用，表示）（2）如圖②，，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出，且；（用，表示）（3）一定存在嗎？如有，直接寫出的值，如不一定，直接指出，滿足什么條件時(shí)，不存在．【復(fù)習(xí)鞏固】一個(gè)正方形和兩個(gè)等邊三角形的位置如圖所示，若，則A． B． C． D．一個(gè)邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以畫4條對(duì)角線，則它的內(nèi)角和為 B． C． D．3．如圖，小明從點(diǎn)出發(fā)，前進(jìn)后向右轉(zhuǎn)，再前進(jìn)后又向右轉(zhuǎn)，這樣一直下去，直到他第一次回到出發(fā)點(diǎn)為止，他所走的路徑構(gòu)成了一個(gè)多邊形．小明一共走了米？這個(gè)多邊形的內(nèi)角和是度？4．如圖所示，則度．5．如圖所示，．6．如果多邊形的每個(gè)內(nèi)角都比它相鄰的外角的4倍多，求這個(gè)多邊形的內(nèi)角和及對(duì)角線的總條數(shù)．7．一個(gè)多邊形的每個(gè)外角都