醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第三-四章

第三章不定積分

一、不定積分的概念二、不定積分的性質(zhì)基本積分公式三、換元積分法四、分部積分法1一、原函數(shù)與不定積分的概念2原函數(shù)存在定理：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).(2)原函數(shù)之間的關(guān)系:3任意常數(shù)積分號被積函數(shù)被積表達式積分變量4例1

求解5例3

設(shè)曲線通過點(1,2),且其上任一點處的切線斜率等于這點橫坐標的兩倍，求此曲線方程。解設(shè)曲線方程為根據(jù)題意知由曲線通過點（1，2）所求曲線方程為67注:1)求導(dǎo)數(shù)與求不定積分是互逆運算2)同一函數(shù)的不定積分的結(jié)果形式會不同可用求導(dǎo)數(shù)的方法驗證正確性.8實例

由于積分運算和微分運算是互逆的，因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式。二、不定積分的性質(zhì)與基本積分公式1、基本積分表9基本積分表是常數(shù));說明：101112例4

求積分解13證等式成立。（此性質(zhì)可推廣到有限多個函數(shù)之和的情形）2、不定積分的性質(zhì)（積分法則）14例5

求積分解15例6

求積分解16例7：求解：原式17例8

求積分解注：被積函數(shù)有時需要進行恒等變形，再使用基本積分表.例9：求解：原式18解所求曲線方程為19三、換元積分法解決方法利用復(fù)合函數(shù)，設(shè)置中間變量.過程令1、第一類換元法換元換回原變量求導(dǎo)數(shù)驗證結(jié)果問題20第一類換元公式（湊微分法）說明：使用此公式的目的在于化難為易定理1難易21例1

求解（一）解（二）解（三）22例2

求解一般地23例3

求解24例4

求解25例5

求解26例6

求解27例7

求解28例8

求解29例9：求解：原式30例10：求解：原式解：原式=31例12

求解32例13

求解說明當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時，可考慮拆開奇次項去湊微分.33例14

求解34例15

求解法一35類似地可推出36解法二37湊微分常見的類型3839例16

求解40問題解決方法改變中間變量的設(shè)置方法.過程令再用“湊微分”2、第二類換元法難易41證：只要證右端的導(dǎo)數(shù)等于左端的被積函數(shù)定理2由復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，有42第二類積分換元公式注：1）保證代換x=(t)的單調(diào)連續(xù)（有反函數(shù)）；代換x=(t)，一起換。43例17

求解令44例18

求解令45例19

求解令46說明1以上幾例所使用的均為三角代換.三角代換的目的是化掉根式.一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有可令可令可令47

積分中為了化掉根式是否一定采用三角代換并不是絕對的，需根據(jù)被積函數(shù)的情況來定.說明3例20

求（三角代換很繁瑣）令解48例21

求解令

49說明4當(dāng)分母的階較高時,可采用倒代換例23

求令解50說明5當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式時，可采用令（其中為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)）例24

求解令5152問題解決思路利用兩個函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則.分部積分公式1、基本內(nèi)容

四、分部積分法53例1

求積分解（一）令顯然，選擇不當(dāng)，積分更難進行.解（二）令54例2

求積分解（再次使用分部積分法）總結(jié)

若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正(余)弦函數(shù)或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積,就考慮設(shè)冪函數(shù)為,使其降冪一次(假定冪指數(shù)是正整數(shù))55例3

求積分解令56例4

求積分解總結(jié)

若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就考慮設(shè)對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為.57例5

求積分解58例6

求積分解注意循環(huán)形式59解60一、定積分的概念二、定積分的性質(zhì)第四章定積分三、牛頓—萊布尼茲公式四、定積分的換元法和分部積分法61一、定積分的概念

曲邊梯形設(shè)函數(shù)y

f(x)在區(qū)間[a,

b]上非負、連續(xù).

由直線x

a、x

b、y

0及曲線y

f(x)所圍成的圖形稱為曲邊梯形.

Oxyy=f(x)ab1、定積分問題舉例62Oxy

y=f(x)abOxy

y=f(x)abOxy

y=f(x)abOxy

y=f(x)abOxy

y=f(x)ab怎樣求曲邊梯形的面積？看下面的動畫演示:Oxy

y=f(x)ab

分割越細,小矩形面積的和越趨近于曲邊梯形的面積.63求曲邊梯形的面積

(1)分割:

a

x0<

x1<

x2<

<

xn

1<

xn

b,Dxi=xi-xi

1;

小曲邊梯形的面積近似為f(xi)Dxi(xi

1<xi<xi);(2)近似代替:

(4)取極限:

設(shè)

max{Dx1,

Dx2,

,

Dxn},曲邊梯形的面積為(3)求和:

曲邊梯形的面積近似為

;y=f(x)xyObaxixi+1xi64求變速直線運動的路程

把整段時間分割成若干小時間段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程的近似值,再相加，便得到路程的近似值，最后通過對時間的無限細分過程求得路程的精確值．對于勻速運動，我們有公式路程=速度X時間解決變速運動的路程的基本思路

設(shè)某物體做變速直線運動,其速度為.求在時間間隔內(nèi)所走過的路程,其中為區(qū)間上的非負連續(xù)函數(shù).65(1)分割(3)求和(4)取極限路程的精確值(2)近似tOtn==t1ti

1

titn

1

66上述兩個問題的共性:

解決問題的方法步驟相同:“分割,近似,求和,取極限”

所求量極限結(jié)構(gòu)式相同:

特殊乘積和式的極限

許多問題的解決都可以化為上述特定和式的極限問題，將其一般化，就得到定積分的概念.

曲邊梯形的面積變速直線運動的路程

672.定積分的定義定義設(shè)函數(shù)f（x）在[a，b]上有界，在[a，b]中任意插入若干個分點：

分劃任取，作和式

近似求和記

，如果

取極限68存在，且極限值I不依賴于的選取，也不依賴于[a，b]的分法，則稱I為f(x)在[a，b]上的定積分(簡稱積分)，記作,即其中：f(x)叫做被積函數(shù);f(x)dx叫做被積表達式;x叫做積分變量;a叫做積分下限，b叫做積分上限;[a,b]叫做積分區(qū)間。69被積函數(shù)被積表達式積分變量積分上限積分下限積分和70

如果f(x)在[a，b]上的定積分存在，也稱f(x)在[a，b]上可積。否則，稱f(x)在[a，b]上不可積。注：定積分的值只與被積函數(shù)以及積分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量的記法無關(guān)。即71(2)定積分的值只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量的記法無關(guān)，即根據(jù)定積分的定義，曲邊梯形的面積為變速直線運動的路程為注意:(1)定義中區(qū)間的分法和的取法是任意的.

(3)

時,規(guī)定

時,規(guī)定72例

利用定義計算定積分解(1)分割將等分,分點為,小區(qū)間的長度o1

(2)近似取(3)求和73所以(4)取極限當(dāng)743、函數(shù)可積的充分條件定理1若f(x)在[a，b]上連續(xù)，則f(x)在[a，b]上可積。定理2若f(x)在[a，b]上有界，且只有有限個間斷點，則f(x)在[a，b]上可積。754、定積分的幾何意義

當(dāng)f(x)

0時,f(x)在[a,

b]上的定積分表示由曲線y

f(x)、直線x

a、x

b與x軸所圍成的曲邊梯形的面積.

當(dāng)f(x)

0時,

f(x)在[a,

b]上的定積分表示曲邊梯形面積的負值,即Oxyy=f(x)ab76Oyx

當(dāng)f(x)在區(qū)間[a,b]上時正時負,則定積分表示曲線y=f(x)與x

軸介于a、b之間的各部分面積的代數(shù)和.b

y=f(x)aOxyy=f(x)ab77二、定積分的性質(zhì)性質(zhì)1

(1)當(dāng)a=b時，

(2)當(dāng)a>b時,性質(zhì)2函數(shù)的和(差)的定積分等于它們的定積分的和(差)。即

78證注：此性質(zhì)可以推廣到任意有限多個函數(shù)的代數(shù)和的情形。79性質(zhì)3被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分符號外。即證80注：不論a，b，c的相對位置如何，性質(zhì)4總是成立的。例如，當(dāng)a<b<c時，由性質(zhì)4，有于是性質(zhì)4(定積分的區(qū)間可加性)81性質(zhì)5證因f(x)≡1，所以性質(zhì)6若在區(qū)間[a，b]上，，則證因，所以又由于，因此82所以推論1如果在區(qū)間[a，b]上，，則證因，則由性質(zhì)2，有83推論2848586積分中值公式的幾何解釋：

在區(qū)間上至少存在一個點,使得以區(qū)間為底邊，以曲線為曲邊的曲邊梯形的面積,等于同一底邊而高為的矩形的面積.Oxyy=f(x)abf(x)

注意:

通常稱為連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的平均值.87解令于是88解89解9091

實際上,定義本身不失為定積分的一種計算方法.其基本步驟是:先作積分和,然后求其和式極限.這一過程是比較復(fù)雜的,并且應(yīng)用范圍也僅限于少數(shù)幾種特殊的被積函數(shù).在歷史上,尋找定積分新的計算方法,經(jīng)歷了漫長的歲月,直到17世紀中葉,英國數(shù)學(xué)家牛頓(IsaccNewton,1642-1727)和德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨(G.W.Leibniz,1646-1716)創(chuàng)立了微積分基本定理.從而揭示了定積分與不定積分之間的關(guān)系,建立了一種切實可行的、簡單的計算方法.三、牛頓萊布尼茲公式921、變速直線運動中位置函數(shù)與速度函數(shù)之間的聯(lián)系

93949596979899例1求解分析：這是型不定式，應(yīng)用洛必達法則.

100證令101例3-32

求解102103104105106例5設(shè)

,求.解107例6求

解由圖形可知1081、定積分的換元法四、定積分的換元法和分步積分法109110111112例3計算解原式113證114115奇函數(shù)例5計算解原式偶函數(shù)單位圓的面積1162、定積分的分步積分法117118119例3

計算解120例4

計算解121定積分的分部積分公式小結(jié)（注意與不定積分分部積分法的區(qū)別）幾個特殊積分、定積分的幾個等式定積分的換元法122思考題一：解令123思考題二：124思考題一解答計算中第二步是錯誤的.正確解法是125思考題二解答126一、無窮區(qū)間的廣義積分二、無界函數(shù)的廣義積分第四節(jié)反常積分127

問題的提出前面遇到的定積分中那么如何計算下列兩種類型的積分？(1)積分區(qū)間是有限區(qū)間(2)被積函數(shù)在上是有界的128129130131132133134135136137例4

計算瑕積分解瑕點138證139一、平面圖形的面積二、旋轉(zhuǎn)體的體積五、定積分在醫(yī)學(xué)上的應(yīng)用第五節(jié)定積分的應(yīng)用三、變力沿直線所作的功四、連續(xù)函數(shù)在已知區(qū)間上的平均值140Ox

yy=f(x)

ab回憶曲邊梯形面積的求法微元法

(1)分割(2)近似(3)求和(4)取極限141分析面積元素Ox

yy=f(x)

ab142一般解決實際問題的基本步驟(1)

確定所求量和自變量,以及的變化范圍;(2)在中的任一小區(qū)間上以均勻變化近似代替非均勻變化,列出所求量的微元(3)對上式積分,即得所求量A的定積分表達式以上用定積分解決實際問題的方法稱為微元法.143

由曲線、和直線、所圍成的平面圖形.求其面積A.一、平面圖形的面積

現(xiàn)用微元法求解:在內(nèi)任取一小區(qū)間,它所相應(yīng)的窄條面積,近似等于高為(以直代曲)、底為的窄條矩形面積,故微元因此144

同理,由曲線、與直線、所圍成的平面圖形的面積為145解兩曲線的交點面積元素選為積分變量146解兩曲線的交點選為積分變量于是所求面積147解兩曲線的交點148選為積分變量149150

旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形饒這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體．這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸．圓柱圓錐圓臺二、旋轉(zhuǎn)體的體積151xyo旋轉(zhuǎn)體的體積為152解直線方程為153154

例3-44

求由橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積.解將橢圓方程化為由公式得出所求的體積為b-ba-aOx

y155156

例3-45求由拋物線、直線及軸所圍成的平面圖形繞Y軸旋轉(zhuǎn)一周所得的體積.

解所求體積為圓柱體的體積減去中間杯狀物的體積157158解159三、變力沿直線所作的功

物體在常力F作用下沿直線移動的距離為s,那么常力所作的功W為

設(shè)物體在變力作用下,沿軸從移動到.在內(nèi)任取一點,把處的變力近似地看作小區(qū)間[x,x+dx]上的常力,得到功的微元于是所求的功為160解設(shè)木板對鐵釘?shù)淖枇榈谝淮五N擊時所作的功為例1

用鐵錘把釘子釘入木板，設(shè)木板對鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘進入木板的深度成正比，鐵錘在第一次錘擊時將鐵釘擊入1厘米，若