韓信點兵與中國剩余定理

第五節(jié)韓信點兵與中國剩余定理

2021/4/111

一、“韓信點兵”的故事和《孫子算經(jīng)》中的題目

1.“韓信點兵”的故事

韓信閱兵時，讓一隊士兵5人一行排隊從他面前走過，他記下最后一行士兵的人數(shù)（1人）；再讓這隊士兵6人一行排隊從他面前走過，他記下最后一行士兵的人數(shù)（5人）；再讓這隊士兵7人一行排隊從他面前走過，他記下最后一行士兵的人數(shù)（4人），再讓這隊士兵11人一行排隊從他面前走過，他記下最后一行士兵的人數(shù)（10人）。然后韓信就憑這些數(shù)，可以求得這隊士兵的總?cè)藬?shù)。2021/4/112

這里面有什么秘密呢？韓信好像非常重視作除法時的余數(shù)2021/4/113

2.《孫子算經(jīng)》中的題目

我國古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中有“物不知數(shù)”的題目：

今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩2，五五數(shù)之剩3，七七數(shù)之剩2，問物幾何？

2021/4/114

這里面又有什么秘密呢？題目給出的條件，也僅僅是作除法時的余數(shù)2021/4/115《孫子算經(jīng)》2021/4/116

二．問題的解答

1．從另一個問題入手問題：今有物不知其數(shù)，二二數(shù)之剩1，三三數(shù)之剩2，四四數(shù)之剩3，五五數(shù)之剩4，六六數(shù)之剩5，七七數(shù)之剩6，八八數(shù)之剩7，九九數(shù)之剩8，問物幾何？2021/4/117

1）篩法1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，…（

用2除余1）5，11，17，23，…（

用3除余2）11，23，…（

用4除余3）2021/4/118

再從中挑“用5除余4”的數(shù)，…一直篩選下去，舍得下功夫，就一定可得結(jié)果。并且看起來，解，還不是唯一的；可能有無窮多個解。2021/4/119

化繁為簡的思想當(dāng)問題中有很多類似的條件時，我們先只看其中兩三個條件，這就是化繁為簡。一個復(fù)雜的問題，如果在簡化時仍然保留了原來問題的特點和本質(zhì)，那么簡化就“不失一般性”。學(xué)會“簡化問題”與學(xué)會“推廣問題”一樣，是一種重要的數(shù)學(xué)能力。

尋找規(guī)律的思想

把我們的解題方法總結(jié)為篩法，是重要的進步，是質(zhì)的飛躍：——找到規(guī)律了。篩法是一般性方法，還可以用來解決其他類似的問題。2021/4/1110

2）公倍數(shù)法

①化繁為簡我們還是先看只有前兩個條件的簡化題目。

1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，…（

用2除余1）5，11，17，23，…（

用3除余2）上述篩選過程的第一步，得到:1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，…

其實是列出了“用2除余1”的數(shù)組成的數(shù)列。這個數(shù)列實際上是用帶余除法的式子得到的。2021/4/1111

所謂“帶余除法”，是指整數(shù)的如下“除法”：被除數(shù)，除數(shù),必唯一存在商和余，使

2021/4/1112當(dāng)余時，則，稱為“整除”，或“整除”，這是通常除法“”的另一種表達形式。所以，帶余除法是通常除法的推廣。2021/4/1113

回到求“用2除余1的數(shù)”的問題。設(shè)這樣的數(shù)為，則。這里是被除數(shù)，2是除數(shù)，是商，1是余，且。2021/4/1114

這就是“帶余除法”的式子。當(dāng)取時，用上式求得的正好組成上述數(shù)列

1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，…

2021/4/1115接著從中篩選出“用3除余2”的數(shù)，就是挑出符合下面“帶余除法”表達式的數(shù)，這里可取0，1，2，3，4，…再繼續(xù)做下去。。。。。。2021/4/1116如果我們不分上面兩步，而是一上來就綜合考慮兩者，則就是要解聯(lián)立方程組

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那么，為了解這個方程組，除了剛才的篩法外，還有沒有更加巧妙的解法？我們考察上邊兩個方程的特點，發(fā)現(xiàn)，兩個“帶余除法”的式子，都是“余數(shù)比除數(shù)少1”。于是想到，如果把被除數(shù)再加1，不是余數(shù)就為0了嗎？換句話說，不是就出現(xiàn)整除的情況了嗎？2021/4/1118于是把上邊每個方程兩邊都加上1，成為

這說明，既是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)，因此，它是2與3的公倍數(shù)。由此想到2021/4/1119對整個問題尋找規(guī)律問題：今有物不知其數(shù)，二二數(shù)之剩1，三三數(shù)之剩2，四四數(shù)之剩3，五五數(shù)之剩4，六六數(shù)之剩5，七七數(shù)之剩6，八八數(shù)之剩7，九九數(shù)之剩8，問物幾何？2021/4/1120

②尋找規(guī)律設(shè)問題中，需要求的數(shù)是，則被2，3，4，5，6，7，8，9去除，所得的余數(shù)都是比除數(shù)少1，于是我們把被除數(shù)再加1，則就可被2，3，4，5，6，7，8，9均整除。也就是說，是2,3,4,5,6,7,8,9的公倍數(shù)，從而是其最小公倍數(shù)[2,3,4,5,6,7,8,9]的倍數(shù)。2021/4/1121即

這就是原問題的全部解，有無窮多個解，其中第一個解是2519；我們只取正數(shù)解，因為“物體的個數(shù)”總是正整數(shù)。

2021/4/1122

[思]：①求“用2除余1，3除余2，…用m除余m－1”的數(shù)。②求“用a除余a－1，用b除余b－1，用c除余c－1”的數(shù)。（a,b,c是任意大于1的自然數(shù)）③求“用2，3，4，5，6，7，8，9除都余1”的數(shù)。④求“用5，7，9，11除都余2”的數(shù)。2021/4/1123

2．《孫子算經(jīng)》中“有物不知其數(shù)”問題的解答

問題：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩2，五五數(shù)之剩3，七七數(shù)之剩2，問物幾何？2021/4/11241）篩法.2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，…（用3除余2）8，23，…（用5除余3）23，…（用7除余2）

由此得到，23是最小的一個解。至于下一個解是什么，要把“…”寫出來才知道；實踐以后發(fā)現(xiàn)，是要費一點兒功夫的。2021/4/1125

2）公倍數(shù)法現(xiàn)在仿照上邊用過的“公倍數(shù)法”，設(shè)要求的數(shù)為，則依題意，得聯(lián)立方程組2021/4/1126

按上一問題中“公倍數(shù)法”解決問題的思路：把方程兩邊同時加上或減去一個什么樣的數(shù)，就能使三個等式的右邊分別是3，5，7的倍數(shù)，從而等式左邊就是3，5，7的公倍數(shù)了。這要通過反復(fù)的試算去完成。2021/4/1127一種試算的方法

2021/4/1128

從第三個等式入手，兩邊加5（或減2）則得

2021/4/1129

則右邊是7的倍數(shù)了，但兩邊加5（或減2）并不能使前兩式的右邊分別是3的倍數(shù)和5的倍數(shù)，所以兩邊加5（或減2）并不能使右邊成為3，5，7的公倍數(shù)。再繼續(xù)從第三個等式入手，為使第三個等式右邊仍然保持是7的倍數(shù)，可再加（或再減），則

（或）將代入試算、分析，2021/4/1130最后發(fā)現(xiàn)，為達到目的（三個等式的右邊分別是3，5，7的倍數(shù)），最小的加數(shù)是82（時）（或最小的減數(shù)是23，即時）。2021/4/1131

用等式兩邊加82來求解，有

用等式兩邊減23來求解，有

多了一個“”，因這時也是正數(shù)，合要求。2021/4/1132

這兩組解是一樣的，都是“23，23+105，23+2×105，……”。原因是82+23=105，故令第一組解就成為便轉(zhuǎn)化成第二組解。2021/4/1133但是，這82和23來之不易；并且如果題目中的余數(shù)變了，就得重新試算，所以這方法缺少一般性，為使它具有一般性，要做根本的修改。2021/4/1134

3）單因子構(gòu)件湊成法

我們先對前幾頁（*）式作兩個方面的簡化：一方面是每次只考慮“一個除式”有余數(shù)的情況（即另兩個除式都是整除的情況）；另一方面是把余數(shù)都簡化為最簡單的1。這樣得到三組方程。2021/4/1135（1）式意味著，在5和7的公倍數(shù)中（35，70，105，…）尋找被3除余1的數(shù)；（2）式意味著，在3和7的公倍數(shù)中（21，42，63，…）尋找被5除余1的數(shù)；（3）式意味著，在3和5的公倍數(shù)中（15，30，45，…）尋找被7除余1的數(shù)。2021/4/1136對（1）式而言，這個數(shù)可以取70，對（2）式而言，這個數(shù)可以取21，對（3）式而言，這個數(shù)可以取15。

于是（1）式兩邊同減70變?yōu)檫@樣：第二式右邊仍是5的倍數(shù)，第三式右邊仍是7的倍數(shù)，而第一式右邊因為減的70是“用3除余1”的數(shù)，正好原來也多一個1，減沒了。第一式右邊也成為了倍數(shù)，是3的倍數(shù)。

2021/4/1137（2）式兩邊同減21變?yōu)?021/4/1138（3）式兩邊同減15變?yōu)?/p>

于是得到

2021/4/1139現(xiàn)在重復(fù)一下：所得的x是被3除余1，被5和7除余0的數(shù)；y是被5除余1，被3和7除余0的數(shù)；z是被7除余1，被3和5除余0的數(shù)。2021/4/1140那么，湊出，s不就是我們需要求的數(shù)嗎？

2021/4/1141

因為，用3去除s時，除y及除z均余0除3y及除2z均余0，又除x余1除2x余2，∴用3除s時余2。用5去除s時，除x及除z均余0除2x及除2z均余0，又除y余1除3y余3，∴用5除s時余3。用7去除s時，除x及除y均余0除2x及除3y均余0，又除z余1除2z余2，∴用7除s時余2。2021/4/1142

于是我們要求的數(shù)是這就是《孫子算經(jīng)》中“物不知其數(shù)”一題的解，有無窮多解，最小的正整數(shù)解是23（時）。2021/4/1143

這里，（1），（2），（3）三式分別叫三個“單子因構(gòu)件”，分別解得每個單因子構(gòu)件，都是用某一個數(shù)去除余1，用另兩個數(shù)去除均余0的情況。再據(jù)題目要求余數(shù)分別是2，3，2的情況，湊成2021/4/1144

所以，上述方法叫“單因子構(gòu)件湊成法”——解決“由幾個平行條件表述的問題”的方法（也稱“孫子—華方法”）這種方法的最大優(yōu)點是，可以任意改變余數(shù)，加以推廣：

題：有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩a，五五數(shù)之剩b，七七數(shù)之剩c，問物幾何？

答：解為（的選取應(yīng)使）.2021/4/11454）歌訣

推廣了的“物不知其數(shù)”問題的解為

明朝數(shù)學(xué)家程大位在《算法統(tǒng)宗》中把上式總結(jié)為一首通俗易懂的歌決：

三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團圓正半月，除百零五便得知。其中正半月是指15，這個口訣把3，5，7；70，21，15及105這幾個關(guān)鍵的數(shù)都總結(jié)在內(nèi)了。詳細(xì)說，歌訣的含義是：用3除的余數(shù)乘70，5除的余數(shù)乘21，7除的余數(shù)乘15，相加后再減去（“除”當(dāng)“減”講）105的適當(dāng)倍數(shù)，就是需要求的（最小）解了。2021/4/1146

當(dāng)然，解，不是唯一的，每差105，都是另一個解答，但如果結(jié)合實際問題，答案往往就是唯一的了。例如一隊士兵的大約人數(shù)，韓信應(yīng)是知道的。2021/4/1147

三、中國剩余定理

1247年南宋的數(shù)學(xué)家秦九韶把《孫子算經(jīng)》中“物不知其數(shù)”一題的方法推廣到一般的情況，得到稱之為“大衍求一術(shù)”的方法，在《數(shù)書九章》中發(fā)表。這個結(jié)論在歐洲要到十八世紀(jì)才由數(shù)學(xué)家高斯和歐拉發(fā)現(xiàn)。所以世界公認(rèn)這個定理是中國人最早發(fā)現(xiàn)的，特別稱之為“中國剩余定理”（Chineseremaindertheorem）。2021/4/1148

該定理用現(xiàn)在的語言表達如下：設(shè)兩兩互素，設(shè)分別被除所得的余數(shù)為，則可表示為下式

其中是的最小公倍數(shù)；是的公倍數(shù)，而且被除所得余數(shù)為1；是任意整數(shù)。2021/4/1149

要注意的是，用上述定理時，必須兩兩互素。前面的問題中，3，5，7是兩兩互素的，所以“三三數(shù)，五五數(shù)，七七數(shù)”得余數(shù)后可用此公式。但“四四數(shù)，六六數(shù)，九九數(shù)”得余數(shù)后就不能用此公式，因為4、6、9并不是兩兩互素的。2021/4/1150

“中國剩余定理”不僅有光輝的歷史意義，直到現(xiàn)在還是一個非常重要的定理。1970年，年輕的蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家尤里.馬季亞謝維奇（Матиясевич）（28歲）解決了希爾伯特提出的23個問題中的第10個問題，轟動了世界數(shù)學(xué)界。他在解決這個問題時，用到的知識十分廣泛，而在一個關(guān)鍵的地方，就用到了我們的祖先一千多年前發(fā)現(xiàn)的這個“中國剩余定理”。2021/4/1151希爾伯特的第10個問題：丟番圖方程的可解性能求出一個整系數(shù)方程的整數(shù)根，稱為丟番圖方程可解。希爾伯特問，能否用一種由有限步構(gòu)成的一般算法判斷一個丟番圖方程的可解性？1970年，蘇聯(lián)的IO.B.馬季亞謝維奇證明了希爾伯特所期望的算法不存在。

希爾伯特2021/4/1152四、有趣的應(yīng)用

某單位有100把鎖，分別編號為1，2，3，…，100?，F(xiàn)在要對鑰匙編號，使外單位的人看不懂，而本單位的人一看見鎖的號碼就知道該用哪一把鑰匙。

2021/4/1153

能采用的方法很多，其中一種就是利用中國剩余定理，把鎖的號碼被3，5，7去除所得的三個余數(shù)來作鑰匙的號碼（首位余數(shù)是0時，也不能省略）。這樣每把鑰匙都有一個三位數(shù)編號。例如23號鎖的鑰匙編號是232號，52號鎖的鑰匙編號是123號。2021/4/1154

8號鎖——23119號鎖——14545號鎖——00352號鎖——123因為只有100把鎖，不超過105，所以鎖的號與鑰匙的號是一一對應(yīng)的。如果希望保密性再強一點兒，則可以把剛才所說的鑰匙編號加上一個固定的常數(shù)作為新的鑰匙編號系統(tǒng)。甚至可以每過一個月更換一次這個常數(shù)。這樣，仍不破壞鎖的號與鑰匙的號之間的一一對應(yīng)，而外人則更難知道了。2021/4/1155趣題——找次品：

1）有5個外形相同的乒乓球，其中只有1個重量不標(biāo)準(zhǔn)的次品乒乓球?，F(xiàn)再給你一個標(biāo)準(zhǔn)球；請用一架不帶砝碼的天平，最多兩次使用該天平，找出上述次品乒乓球。2021/4/1156最優(yōu)化思想最少次數(shù)完成預(yù)定任務(wù)最大限度發(fā)揮該天平的作用2021/4/1157思考題2021/4/1158趣題——找次品：

2）有12個外形相同的乒乓球，其中只有1個重量不標(biāo)準(zhǔn)的次品乒乓球。請用一架不帶砝碼的天平，最多三次