數(shù)學(xué)課堂探究：22用樣本估計(jì)總體（第2課時(shí)）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究1．眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布直方圖的關(guān)系剖析:(1)在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，眾數(shù)的估計(jì)值就是最高矩形上端中點(diǎn)的橫坐標(biāo)．(2)在頻率分布直方圖中,中位數(shù)左右兩側(cè)的直方圖的面積相等，但是因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)的頻率分布直方圖只是直觀地表明分布的特征，因而從直方圖本身得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容，所以由頻率分布直方圖得到的中位數(shù)估計(jì)值往往與樣本的實(shí)際中位數(shù)的值不一致．（3)平均數(shù)顯然是頻率分布直方圖的“重心”．在頻率分布直方圖中,平均數(shù)的估計(jì)值等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和．2．理解方差與標(biāo)準(zhǔn)差剖析:(1）標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大?。畼?biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小,數(shù)據(jù)的離散程度越?。?2)標(biāo)準(zhǔn)差、方差的取值范圍是［0，＋∞）．標(biāo)準(zhǔn)差、方差為0時(shí)，樣本各數(shù)據(jù)全相等，表明數(shù)據(jù)沒有波動幅度，數(shù)據(jù)沒有離散性．(3)因?yàn)榉讲钆c原始數(shù)據(jù)的單位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以雖然方差與標(biāo)準(zhǔn)差在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分散程度上是一樣的,但在解決實(shí)際問題時(shí),一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差．題型一計(jì)算方差(標(biāo)準(zhǔn)差）【例題1】從某項(xiàng)綜合能力測試中抽取100人的成績,統(tǒng)計(jì)如下表，則這100人成績的標(biāo)準(zhǔn)差為________．分?jǐn)?shù)54321人數(shù)2010303010解析:這100人的總成績?yōu)?×20＋4×10＋3×30＋2×30＋1×10＝300，平均成績?yōu)閑q\f（300,100）＝3，則該100人成績的標(biāo)準(zhǔn)差為eq\r（\f（1,100)［(5－3)2×20＋（4－3）2×10＋(3－3）2×30＋(2－3)2×30＋（1－3)2×10])＝eq\f(2\r（10），5)。答案:eq\f(2\r（10），5)反思求一組數(shù)據(jù)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差的步驟如下：①先求平均數(shù)eq\x\to(x）。②代入公式得方差和標(biāo)準(zhǔn)差s2＝eq\f(1，n)［(x1－eq\x\to（x)）2＋（x2－eq\x\to（x)）2＋…＋(xn－eq\x\to（x））2］，s＝eq\r（\f(1,n)[（x1－\x\to（x）)2＋（x2－\x\to(x))2＋…＋（xn－\x\to(x)）2］)。題型二眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的應(yīng)用【例題2】某工廠人員及月工資構(gòu)成如下：人員經(jīng)理管理人員高級技工工人學(xué)徒合計(jì)月工資（元)22000250022002000100029700人數(shù)16510123合計(jì)22000150001100020000100069000(1）指出這個(gè)問題中的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．(2）這個(gè)問題中，平均數(shù)能客觀地反映該工廠的月工資水平嗎?為什么?解:（1)由表格可知，眾數(shù)為2000元．把23個(gè)數(shù)據(jù)按從小到大(或從大到?。┑捻樞蚺帕?排在中間的數(shù)應(yīng)是第12個(gè)數(shù)，其值為2200，故中位數(shù)為2200元．平均數(shù)為（22000＋15000＋11000＋20000＋1000)÷23＝69000÷23＝3000(元）．(2）雖然平均數(shù)為3000元/月，但由表格中所列出的數(shù)據(jù)可見，只有經(jīng)理在平均數(shù)以上,其余的人都在平均數(shù)以下，故用平均數(shù)不能客觀真實(shí)地反映該工廠的工資水平．反思(1)如果樣本平均數(shù)大于樣本中位數(shù)，說明數(shù)據(jù)中存在較大的極端值．在實(shí)際應(yīng)用中,如果同時(shí)知道樣本中位數(shù)和樣本平均數(shù)，可以使我們了解樣本數(shù)據(jù)中的極端數(shù)據(jù)信息，幫助我們作出決策．(2）眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)三者比較,平均數(shù)更能體現(xiàn)每個(gè)數(shù)據(jù)的特征,它是各個(gè)數(shù)據(jù)的重心.題型三方差的應(yīng)用【例題3】甲、乙兩臺包裝機(jī)同時(shí)包裝質(zhì)量為200克的糖果,從中各抽出10袋,測得其實(shí)際質(zhì)量分別如下（單位：克)：甲:203204202196199201205197202199乙：201200208206210209200193194194(1）分別計(jì)算兩個(gè)樣本的平均數(shù)與方差．(2）從計(jì)算結(jié)果看，哪臺包裝機(jī)包裝的10袋糖果的平均質(zhì)量更接近于200克？哪臺包裝機(jī)包裝的10袋糖果的質(zhì)量比較穩(wěn)定？解:(1)eq\x\to（x甲）＝eq\f（1，10)（3＋4＋2－4－1＋1＋5－3＋2－1)＋200＝200.8。eq\x\to(x乙)＝eq\f（1,10)(1＋0＋8＋6＋10＋9＋0－7－6－6）＋200＝201.5。seq\o\al（2,甲）＝7。96，seq\o\al（2，乙）＝38。05。(2)∵200＜eq\x\to(x甲)＜eq\x\to(x乙)，∴甲臺包裝機(jī)包裝的10袋糖果的平均質(zhì)量更接近于200克．∵seq\o\al(2,甲）＜seq\o\al（2，乙），∴甲臺包裝機(jī)包裝的10袋糖果的質(zhì)量比較穩(wěn)定．反思研究兩個(gè)樣本的波動情況或比較它們的穩(wěn)定性、可靠性等性能好壞的這類題，先求平均數(shù)，比較一下哪一個(gè)更接近標(biāo)準(zhǔn)．若平均數(shù)相等，則再比較兩個(gè)樣本方差的大小來作出判斷．在計(jì)算過程中，要仔細(xì)觀察所給樣本數(shù)據(jù)的特征，選擇恰當(dāng)?shù)墓絹碛?jì)算平均數(shù)和方差,這樣可避免計(jì)算的煩瑣，降低錯誤率。題型四易錯辨析【例題4】小明是班里的優(yōu)秀學(xué)生,他的歷次數(shù)學(xué)成績是96,98,95,93分,但最近的一次考試成績只有45分,原因是他帶病參加了考試．期末評價(jià)時(shí)，怎樣給小明評價(jià)？錯解：這五次數(shù)學(xué)考試的平均分是eq\f（96＋98＋95＋93＋45，5）＝85.4,則按平均分給小明一個(gè)“良好”．錯因分析：這種評價(jià)是不合理的，盡管平均分是反映一組數(shù)據(jù)平均水平的重要特征，但任何一個(gè)數(shù)據(jù)的改變都會引起它的變化，而中位數(shù)則不受某些極端值的影響