數(shù)學(xué)課堂探究：　數(shù)學(xué)歸納法

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一用數(shù)學(xué)歸納法證明等式用數(shù)學(xué)歸納法證明等式的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1）驗(yàn)證是基礎(chǔ)．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的原理表明：第一個(gè)步驟是要找一個(gè)數(shù)n0（n0≥1,n∈N＊)，這個(gè)n0，就是我們要證明的命題對(duì)象對(duì)應(yīng)的最小自然數(shù)，這個(gè)自然數(shù)并不一定都是“1”，因此“找準(zhǔn)起點(diǎn),奠基要穩(wěn)”是第一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)．（2)遞推是關(guān)鍵．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)在于遞推，所以從“k"到“k＋1”的過程中，要正確分析式子項(xiàng)數(shù)的變化．關(guān)鍵是弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，弄清由n＝k到n＝k＋1時(shí)，等式的兩邊會(huì)增加多少項(xiàng)，增加怎樣的項(xiàng)．（3)利用假設(shè)是核心．在第二步證明n＝k＋1成立時(shí),一定要利用歸納假設(shè),即必須把歸納假設(shè)“n＝k時(shí)命題成立"作為條件來導(dǎo)出“n＝k＋1”，在書寫f（k＋1)時(shí),一定要把包含f(k）的式子寫出來，尤其是f(k)中的最后一項(xiàng)，這是數(shù)學(xué)歸納法的核心，不用歸納假設(shè)的證明就不是數(shù)學(xué)歸納法．【典型例題1】用數(shù)學(xué)歸納法證明:1＋3＋5＋…＋(2n－3）＋（2n－1）＋(2n－3）＋…＋5＋3＋1＝2n2－2n＋1(n∈N*)．思路分析：第一步先驗(yàn)證等式成立的第一個(gè)值n0;第二步在n＝k時(shí)等式成立的基礎(chǔ)上,等式左邊加上n＝k＋1時(shí)新增的項(xiàng)，整理出等式右邊的項(xiàng)．證明：(1）當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1,右邊＝2×12－2×1＋1＝1,等式成立．（2）假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＊)時(shí)，等式成立，即1＋3＋5＋…＋（2k－3)＋（2k－1)＋(2k－3)＋…＋5＋3＋1＝2k2－2k＋1。則n＝k＋1時(shí)，左邊＝1＋3＋5＋…＋(2k－3）＋(2k－1)＋(2k＋1）＋(2k－1）＋（2k－3）＋…＋5＋3＋1＝2k2－2k＋1＋（2k＋1)＋(2k－1)＝2k2＋2k＋1＝2(k＋1）2－2(k＋1）＋1，即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式成立，由（1）（2)知，等式對(duì)任意n∈N*都成立．探究二用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的四個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：1．驗(yàn)證第1個(gè)n的取值時(shí)，要注意n0不一定為1，若條件為n＞k,則n0＝k＋1.2．證明不等式的第二步中，從n＝k到n＝k＋1的推導(dǎo)過程中,一定要應(yīng)用歸納假設(shè)，不應(yīng)用歸納假設(shè)的證明不是數(shù)學(xué)歸納法，因?yàn)槿鄙佟皻w納遞推"．3．應(yīng)用歸納假設(shè)后，若證明方法不明確，可采用分析法證明n＝k＋1時(shí)也成立，這樣既易于找到證明的突破口，又完整表達(dá)了證明過程．4．證明n＝k＋1成立時(shí)，應(yīng)加強(qiáng)目標(biāo)意識(shí)，即明確要證明的不等式是什么,目標(biāo)明確了，要根據(jù)不等號(hào)的方向適當(dāng)放縮，但不可“放的過大"或“縮的過小”．【典型例題2】用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋eq\f(1，\r（2))＋eq\f(1，\r（3）)＋…＋eq\f（1，\r（n））＞eq\r（n)(其中n∈N*，n＞1）．思路分析：按照數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)問題的方法與步驟進(jìn)行證明，在由n＝k證n＝k＋1成立時(shí)，可利用比較法或放縮法證得結(jié)論．證明:①當(dāng)n＝2時(shí),左邊＝1＋eq\f（1，\r(2）），右邊＝eq\r(2)，eq\b\lc\(\rc\)（eq\a\vs4\al\co1（1＋\f(1,\r（2)）））－eq\r(2）＝1－eq\f(\r(2）,2)＞0,所以左邊＞右邊,即不等式成立．②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，k∈N＊）時(shí)，不等式成立,即1＋eq\f(1,\r（2））＋eq\f（1，\r(3）)＋…＋eq\f(1,\r(k))＞eq\r(k),則當(dāng)n＝k＋1時(shí),1＋eq\f(1,\r(2）)＋eq\f(1，\r（3））＋…＋eq\f（1，\r（k）)＋eq\f(1,\r（k＋1）)＞eq\r（k）＋eq\f(1，\r(k＋1))。（方法1）由于eq\b\lc\（\rc\)（eq\a\vs4\al\co1（\r(k)＋\f（1,\r（k＋1））））－eq\r（k＋1）＝eq\f(\r（k2＋k)＋1－（k＋1)，\r(k＋1))＝eq\f（\r（k2＋k）－k,\r（k＋1））＝eq\f（k,\r(k＋1）（\r(k2＋k）＋k））＞0，所以eq\r(k)＋eq\f(1,\r（k＋1）)＞eq\r(k＋1),即1＋eq\f(1，\r（2)）＋eq\f(1,\r(3))＋…＋eq\f（1，\r（k））＋eq\f（1，\r（k＋1））＞eq\r（k＋1).(方法2）由于eq\r(k）＋eq\f(1,\r（k＋1))＝eq\f(\r(k2＋k)＋1,\r（k＋1））＞eq\f(\r(k2）＋1,\r(k＋1）)＝eq\f(k＋1,\r(k＋1)）＝eq\r(k＋1),所以1＋eq\f(1,\r(2）)＋eq\f(1,\r（3)）＋…＋eq\f（1,\r(k)）＋eq\f（1,\r（k＋1））＞eq\r(k＋1).即當(dāng)n＝k＋1時(shí)原不等式也成立，由①②知原不等式成立．探究三歸納—猜想—證明數(shù)學(xué)歸納法源于對(duì)某些猜想的證明，而猜想是根據(jù)不完全歸納法對(duì)一些具體的、簡(jiǎn)單的情形進(jìn)行觀察、類比而提出的．因此歸納-猜想—證明能更好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)歸納法遞推的本質(zhì),在解決某些歸納猜想問題時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：①計(jì)算特例時(shí)，不僅僅是簡(jiǎn)單的算數(shù)過程，有時(shí)要通過計(jì)算過程發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)的變化規(guī)律；②猜想必須準(zhǔn)確，絕對(duì)不能猜錯(cuò)，否則將徒勞無功;【典型例題3】數(shù)列｛an}中，a1＝1，a2＝eq\f(1,4)，且an＋1＝eq\f(（n－1)an，n－an）（n≥2）,求a3,a4，猜想an的表達(dá)式，并加以證明．③如果猜想出來的結(jié)論與正整數(shù)n有關(guān)，一般用數(shù)學(xué)歸納法證明．思路分析:本題考查數(shù)列中的歸納—-猜想——證明問題，先由前n項(xiàng)猜測(cè)an，再用數(shù)學(xué)歸納法證明．解：∵a2＝eq\f（1，4)，且an＋1＝eq\f((n－1)an,n－an）（n≥2），∴a3＝eq\f(a2,2－a2）＝eq\f（\f(1,4)，2－\f（1，4)）＝eq\f（1，7)，a4＝eq\f(2a3,3－a3）＝eq\f(2×\f（1，7),3－\f（1，7））＝eq\f(1，10)。猜想：an＝eq\f（1,3n－2)（n∈N＊）．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想正確．（1）當(dāng)n＝1，2時(shí)易知猜想正確．（2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，k∈N＊）時(shí)猜想正確，即ak＝eq\f（1,3k－2）。當(dāng)n＝k＋1時(shí)，ak＋1＝eq\f（(k－1)ak,k－ak）＝eq\f（（k－1）·\f（1，3k－2），k－\f(1,3k－2))＝eq\f（\f(k－1，3k－2)，\f(3k2－2k－1,3k－2）)＝eq\f(k－1，3k2－2k－1）＝eq\f（k－1，（3k＋1)（k－1）)＝eq\f（1，3k＋1)＝eq\f（1,3（k＋1)－2),即當(dāng)n＝k＋1時(shí)猜想也正確．由（1）（2）可知，猜想對(duì)任意n∈N*都正確．探究四易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn):沒有利用歸納假設(shè)而導(dǎo)致出錯(cuò)【典型例題4】用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋4＋7＋…＋（3n－2）＝eq\f(1,2）n(3n－1)．錯(cuò)解：證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1，右邊＝1，左邊＝右邊，等式成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1,k∈N＊）時(shí)等式成立，即1＋4＋7＋…＋(3k－2）＝eq\f(1，2)k(3k－1)，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，需證1＋4＋7＋…＋（3k－2）＋[3(k＋1）－2］＝eq\f（1，2)（k＋1）（3k＋2)（*)．由于等式左邊是一個(gè)以1為首項(xiàng)，公差為3,項(xiàng)數(shù)為k＋1的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，其和為eq\f(1,2）(k＋1）(1＋3k＋1）＝eq\f(1，2）(k＋1)（3k＋2），所以（＊)式成立，即n＝k＋1時(shí)等式成立．根據(jù)(1)和（2)，可知等式對(duì)一切n∈N*都成立．錯(cuò)因分析:判斷用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)問題是否正確，關(guān)鍵要看兩個(gè)步驟是否齊全，特別是第二步假設(shè)是否被應(yīng)用,如果沒有用到假設(shè)，那就是不正確的．錯(cuò)解在證明當(dāng)n＝k＋1等式成立時(shí),沒有用到假設(shè)“當(dāng)n＝k(k≥1,k∈N＊）時(shí)等式成立"，故不符合數(shù)學(xué)歸納法證題的要求．正解：證明：（1）當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1，右邊＝1,左邊＝右邊，等式成立．（2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時(shí)等式成立,即1＋4＋7＋…＋（3k－2)＝eq\