《機(jī)器人學(xué)簡(jiǎn)明教程》課件第3章

第3章機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)

3.1雙輪移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)3.2三輪全向移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)3.3平面機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)3.4空間機(jī)械臂連桿描述3.5空間機(jī)械臂連桿坐標(biāo)系選擇3.6空間機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)3.7

PUMA560工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)3.8坐標(biāo)系的標(biāo)準(zhǔn)命名規(guī)則 3.1雙輪移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)

1.運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系

輪式移動(dòng)機(jī)器人是目前普遍使用的移動(dòng)機(jī)器人，其中雙輪機(jī)器人因?yàn)榭刂坪?jiǎn)單方便（只需兩個(gè)電機(jī)），在科學(xué)研究和教學(xué)方面得到了最廣泛的應(yīng)用。圖3－1是雙輪差動(dòng)（兩輪獨(dú)立控制）機(jī)器人示意圖。假設(shè)輪與地面之間沒(méi)有滑動(dòng)，（x,y,θ）表示雙輪機(jī)器人位姿，v表示機(jī)器人前進(jìn)速度，ω表示機(jī)器人轉(zhuǎn)動(dòng)速度，則(3－1)圖3－1雙輪差動(dòng)機(jī)器人(3－2)如果給定期望的機(jī)器人前進(jìn)速度v，轉(zhuǎn)動(dòng)速度ω，則可以確定機(jī)器人的兩輪轉(zhuǎn)速為(3－3)因此，可以非常方便地通過(guò)控制電機(jī)的轉(zhuǎn)速來(lái)控制機(jī)器人的移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)速度。

2.機(jī)器人位置估計(jì)

方位角變化第n步機(jī)器人位姿可以按下面公式更新:(3－4) 3.2三輪全向移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)

前面介紹的雙輪移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)中最大的問(wèn)題是不能橫向移動(dòng)，在實(shí)際應(yīng)用中靈活性比較差。最典型的例子就是汽車在路邊固定車位的停車過(guò)程，如果汽車可以橫向移動(dòng)，停車將是一個(gè)非常簡(jiǎn)單的問(wèn)題。圖3－2所示的全向移動(dòng)輪是近年來(lái)出現(xiàn)的一種新的輪式移動(dòng)機(jī)構(gòu)，在大輪的邊緣上布置了若干小輪，使得機(jī)器人的移動(dòng)方向不再限定于大輪所在的平面方向。常用的三輪全向移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)配置如圖3－3所示，xoy是機(jī)器人坐標(biāo)系，機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)速度用vx、vy和ω表示，三個(gè)全向輪的角速度分別用ω1、ω2和ω3表示，v1、v2和v3分別表示三個(gè)全向輪輪心處的線速度。假設(shè)全向輪的半徑為R，距運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)中心的距離為L(zhǎng)，則各速度間關(guān)系為

圖3－2全向移動(dòng)輪圖3－3三輪全向移動(dòng)機(jī)構(gòu)（3－5）根據(jù)式（3－5）可以得到三個(gè)全向輪的角速度與機(jī)器人速度之間的關(guān)系如下:式（3－6）中機(jī)器人的速度是用機(jī)器人坐標(biāo)系表示的，而在實(shí)際問(wèn)題（如機(jī)器人比賽）中，機(jī)器人的期望速度是在全局（場(chǎng)地）坐標(biāo)系下表示的。圖3－4給出了機(jī)器人坐標(biāo)系（xoy）和場(chǎng)地坐標(biāo)系（XOY）的示意圖。在場(chǎng)地坐標(biāo)系下的速度Vx、Vy和Ω與機(jī)器人坐標(biāo)系下機(jī)器人速度之間的變換關(guān)系如下:(3－7)(3－8)

由式（3－6）和式（3－8）可以得到三個(gè)全向輪的角速度與機(jī)器人在場(chǎng)地坐標(biāo)系下速度的變換關(guān)系(3－9)圖3－4機(jī)器人坐標(biāo)系在場(chǎng)地坐標(biāo)系中的位置式（3－9）表明，若給定機(jī)器人在場(chǎng)地坐標(biāo)系下的期望速度矢量，則三個(gè)全向輪的角速度即可確定。因此，機(jī)器人的速度控制問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為電機(jī)的轉(zhuǎn)速控制問(wèn)題。對(duì)于機(jī)器人普遍采用的直流伺服電機(jī)，轉(zhuǎn)速控制已經(jīng)非常成熟，可以采用簡(jiǎn)單的數(shù)字PID控制方法實(shí)現(xiàn)直流伺服電機(jī)的轉(zhuǎn)速控制。隨著全向移動(dòng)技術(shù)的日益成熟，目前在RoboCup機(jī)器人比賽的中型組和小型組隊(duì)伍普遍采用全向移動(dòng)機(jī)器人，其運(yùn)動(dòng)的靈活性較傳統(tǒng)的雙輪移動(dòng)機(jī)器人有了質(zhì)的飛躍。當(dāng)然，全向移動(dòng)機(jī)器人還存在一些不足，如負(fù)載和越障能力較差，能量效率比傳統(tǒng)雙輪機(jī)器人要低。 3.3平面機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)

機(jī)械臂是由多個(gè)連桿通過(guò)關(guān)節(jié)連接起來(lái)的機(jī)構(gòu)，通常首個(gè)關(guān)節(jié)固定在基座上，而且前端裝有末端執(zhí)行器（如手爪）。下面先以簡(jiǎn)單的平面機(jī)械臂為例介紹機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)。

如圖3－5所示的兩連桿平面旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)機(jī)械臂，其結(jié)構(gòu)由連桿長(zhǎng)度L1，L2和關(guān)節(jié)角θ1，θ2確定。表示關(guān)節(jié)位置的變量θ1、θ2稱為關(guān)節(jié)變量。旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)變量一般采用關(guān)節(jié)角θ表示，而移動(dòng)關(guān)節(jié)變量一般采用移動(dòng)距離d表示。在機(jī)器人學(xué)中將機(jī)械臂末端位姿與關(guān)節(jié)變量之間的幾何關(guān)系稱為機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)。圖3－5表示的機(jī)械手末端位置與關(guān)節(jié)角之間的關(guān)系為圖3-5平面機(jī)械臂(3－10)r=f(

)(3－11)ΔOAB中α可以根據(jù)余弦定理確定(3－12)因此，可以得到θ2=π-α(3－13)觀察圖3－6可以發(fā)現(xiàn)，θ1+β和β兩個(gè)角度都可計(jì)算，因此θ1也是可以計(jì)算的。根據(jù)圖中幾何關(guān)系得:因此(3－14)圖3－6平面機(jī)械臂簡(jiǎn)圖 3.4空間機(jī)械臂連桿描述

從機(jī)械結(jié)構(gòu)上看，機(jī)械臂可以看成一系列剛體通過(guò)關(guān)節(jié)連接而成的鏈?zhǔn)竭\(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)。一般把這些剛體稱為連桿，通過(guò)關(guān)節(jié)可將相鄰的連桿連接起來(lái)。旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)和移動(dòng)關(guān)節(jié)是機(jī)械臂設(shè)計(jì)中經(jīng)常采用的單自由度關(guān)節(jié)。

從機(jī)械臂的固定基座開(kāi)始對(duì)連桿進(jìn)行編號(hào)，可以稱基座為連桿0。第一個(gè)可移動(dòng)連桿為連桿1，以此類推，機(jī)械臂的最末端連桿為連桿n。為了使機(jī)械臂末端執(zhí)行器可以在3維空間達(dá)到任意的位置和姿態(tài)，機(jī)械臂至少需要6個(gè)關(guān)節(jié)，因此，典型的工業(yè)機(jī)械臂一般都具有6個(gè)關(guān)節(jié)。圖3－7連桿描述下面給出幾個(gè)連桿參數(shù)的定義:

(1)連桿長(zhǎng)度:即連桿兩端關(guān)節(jié)軸線間公垂線的長(zhǎng)度。圖3－7中ai-1即為連桿i-1的長(zhǎng)度。圖中給出了兩個(gè)關(guān)節(jié)軸為空間異面直線的情況。若兩關(guān)節(jié)軸共面，兩軸線平行時(shí)，連桿長(zhǎng)度為平行線間的距離，兩軸線相交時(shí)，連桿長(zhǎng)度為0。

（2）連桿轉(zhuǎn)角:過(guò)關(guān)節(jié)軸i-1做垂直于公垂線的平面，在該平面內(nèi)做過(guò)垂足且平行于關(guān)節(jié)軸i的直線。該直線與關(guān)節(jié)軸i-1的夾角定義為連桿轉(zhuǎn)角。圖3－7中αi-1即為連桿i-1的轉(zhuǎn)角。連桿轉(zhuǎn)角只在兩個(gè)關(guān)節(jié)軸為空間異面直線的情況下有意義，若兩關(guān)節(jié)軸共面則αi-1值任意選取而不影響機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)結(jié)果。（3）連桿偏距:關(guān)節(jié)軸i與相鄰關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)軸（i-1和i+1）間公垂線間的距離稱為連桿偏距。圖3－7中di即為關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)軸i上的連桿偏距。

(4)關(guān)節(jié)角:兩相鄰連桿繞公共軸線旋轉(zhuǎn)的角度稱為關(guān)節(jié)角。圖3－7中θi即為關(guān)節(jié)i的關(guān)節(jié)角。

機(jī)器人的每個(gè)連桿都可以用以上四個(gè)參數(shù)描述，其中連桿長(zhǎng)度和連桿轉(zhuǎn)角描述連桿本身，連桿偏距和關(guān)節(jié)角描述連桿之間的連接關(guān)系。對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)，θi為關(guān)節(jié)變量，其他三個(gè)參數(shù)是常數(shù)；對(duì)于移動(dòng)關(guān)節(jié)，di為關(guān)節(jié)變量，其他三個(gè)參數(shù)是常數(shù)。這種用連桿參數(shù)描述機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系的規(guī)則稱為DH（DevanitHartenberg）方法，連桿參數(shù)稱為DH參數(shù)。對(duì)于一個(gè)6關(guān)節(jié)機(jī)器人，需要18個(gè)參數(shù)就可以完全描述機(jī)械臂固定的運(yùn)動(dòng)學(xué)結(jié)構(gòu)參數(shù)。如果機(jī)器人6個(gè)關(guān)節(jié)均為轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)，18個(gè)固定參數(shù)可以用6組（αi-1,ai-1,di）表示。機(jī)器人的每個(gè)連桿都可以用以上四個(gè)參數(shù)描述，其中連桿長(zhǎng)度和連桿轉(zhuǎn)角描述連桿本身，連桿偏距和關(guān)節(jié)角描述連桿之間的連接關(guān)系。對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)，θi為關(guān)節(jié)變量，其他三個(gè)參數(shù)是常數(shù)；對(duì)于移動(dòng)關(guān)節(jié)，di為關(guān)節(jié)變量，其他三個(gè)參數(shù)是常數(shù)。這種用連桿參數(shù)描述機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系的規(guī)則稱為DH（DevanitHartenberg）方法，連桿參數(shù)稱為DH參數(shù)。對(duì)于一個(gè)6關(guān)節(jié)機(jī)器人，需要18個(gè)參數(shù)就可以完全描述機(jī)械臂固定的運(yùn)動(dòng)學(xué)結(jié)構(gòu)參數(shù)。如果機(jī)器人6個(gè)關(guān)節(jié)均為轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)，18個(gè)固定參數(shù)可以用6組（αi-1,ai-1,di）表示。3.5空間機(jī)械臂連桿坐標(biāo)系統(tǒng)選擇圖3－8坐標(biāo)系（i）選擇示意圖

1.連桿坐標(biāo)系中連桿參數(shù)的確定若連桿坐標(biāo)系采用DH方法選定，則連桿參數(shù)（DH參數(shù)）可以按以下方法確定:

2.建立連桿坐標(biāo)系的步驟

（1）找出各關(guān)節(jié)軸，并標(biāo)出軸的延長(zhǎng)線。步驟（2）~（5）僅考慮兩個(gè)相鄰關(guān)節(jié)軸（i和i+1）和坐標(biāo)系{i}。

（2）找出關(guān)節(jié)軸i和i+1之間的公垂線或兩個(gè)軸的交點(diǎn)，以兩個(gè)軸的交點(diǎn)或公垂線與關(guān)節(jié)軸i的交點(diǎn)為坐標(biāo)系{i}的原點(diǎn)。

（3）規(guī)定Zi沿關(guān)節(jié)軸i的方向。

（4）規(guī)定Xi沿公垂線指向關(guān)節(jié)軸i+1，若兩個(gè)軸相交，規(guī)定Xi垂直于兩軸所在的平面。

（5）按右手定則確定Yi軸。

（6）當(dāng)?shù)谝粋€(gè)關(guān)節(jié)變量為0時(shí)坐標(biāo)系{1}與坐標(biāo)系{0}重合。對(duì)于坐標(biāo)系{n}，原點(diǎn)位置可以在關(guān)節(jié)軸上任意選取，Xn的方向也是任意的。但在選擇時(shí)應(yīng)盡量使更多的連桿參數(shù)為0。

（4）規(guī)定Xi沿公垂線指向關(guān)節(jié)軸i+1，若兩個(gè)軸相交，規(guī)定Xi垂直于兩軸所在的平面。

（5）按右手定則確定Yi軸。

（6）當(dāng)?shù)谝粋€(gè)關(guān)節(jié)變量為0時(shí)坐標(biāo)系{1}與坐標(biāo)系{0}重合。對(duì)于坐標(biāo)系{n}，原點(diǎn)位置可以在關(guān)節(jié)軸上任意選取，Xn的方向也是任意的。但在選擇時(shí)應(yīng)盡量使更多的連桿參數(shù)為0。

例3－1如圖3－9所示的平面三連桿機(jī)械臂，因?yàn)槿齻€(gè)關(guān)節(jié)均為旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，故稱為RRR（或3R）機(jī)構(gòu)。請(qǐng)?jiān)谠摍C(jī)構(gòu)上建立連桿坐標(biāo)系并寫出DH參數(shù)。

解:首先定義參考坐標(biāo)系{0}，它固定在基座上，當(dāng)?shù)谝粋€(gè)關(guān)節(jié)變量（θ1）為0時(shí)坐標(biāo)系{1}與坐標(biāo)系{0}重合，因此建立參考坐標(biāo)系{0}如圖3－10所示，Z0軸與關(guān)節(jié)1的軸線重合且垂直于機(jī)械臂所在平面。由于機(jī)械臂位于一個(gè)平面上，因此所有Z軸相互平行，且連桿偏距d和連桿轉(zhuǎn)角α均為0。該機(jī)械臂的DH參數(shù)如表3－1所示。圖3－9平面3R機(jī)械臂圖3－10連桿坐標(biāo)系布局表3－1機(jī)械臂DH參數(shù)

例3－2

如圖3－11所示的三連桿3R機(jī)械臂，其中關(guān)節(jié)軸1與關(guān)節(jié)軸2相交，關(guān)節(jié)軸2與關(guān)節(jié)軸3平行。請(qǐng)?jiān)谠摍C(jī)構(gòu)上建立連桿坐標(biāo)系{1}和{2}，并寫出對(duì)應(yīng)的DH參數(shù)。圖3－11三連桿空間機(jī)械臂

解:因?yàn)殛P(guān)節(jié)軸1與關(guān)節(jié)軸2相交，所以X1軸垂直于兩軸所在平面，有兩個(gè)方向可以選擇。另外Z1軸和Z2軸的方向也各有兩種選擇。因此，連桿坐標(biāo)系{1}和{2}共有8種可能的布局。圖3－12給出了其中兩種可能的坐標(biāo)系布局和對(duì)應(yīng)的DH參數(shù)。本例題說(shuō)明了連桿坐標(biāo)系的建立和DH參數(shù)并不是唯一的。圖3－12兩種可能的坐標(biāo)系布局 3.6空間機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)

本節(jié)將導(dǎo)出相鄰連桿間坐標(biāo)系變換的一般形式，然后將這些獨(dú)立的變換聯(lián)系起來(lái)求出連桿n相對(duì)連桿0的位置和姿態(tài)。

按照下列順序建立相鄰兩連桿坐標(biāo)系{i}和{i-1}之間的相對(duì)變換關(guān)系。建立{P}、{Q}和{R}3個(gè)中間坐標(biāo)系，其中{i}和{i-1}是固定在連桿i和i-1上的固連坐標(biāo)系，如圖3－13所示。圖3－13中間坐標(biāo)系選擇示意圖因?yàn)樗凶儞Q都是相對(duì)于動(dòng)坐標(biāo)系的，所以坐標(biāo)系{i}和{i-1}之間的變換矩陣為（3－15）式中，各獨(dú)立變換矩陣如下:代入到式（3－15），得到連桿間的通用變換公式:（3-16）對(duì)于任意的n連桿機(jī)械臂，只要給出各連桿的DH參數(shù)，即可以計(jì)算機(jī)械臂末端在固定坐標(biāo)系{0}下表示的變換矩陣（位置和姿態(tài)）:(3－17)因此，采用DH規(guī)則選擇連桿坐標(biāo)系，并用DH參數(shù)描述連桿，可以非常容易地獲得機(jī)械臂的變換矩陣，關(guān)鍵是首先獲得機(jī)械臂的DH參數(shù)描述。

例3－3利用表3－1的DH參數(shù)計(jì)算各連桿的變換矩陣，并計(jì)算末端連桿相對(duì)固定坐標(biāo)系的變換矩陣。

解:將相應(yīng)的參數(shù)代入式（3－16）的各連桿的變換矩陣:

3.7

PUMA560工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)

圖3－14所示PUMA560是一個(gè)6自由度工業(yè)機(jī)器人，所有關(guān)節(jié)均為轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)。

圖3－15和圖3－16給出了所有關(guān)節(jié)角為零位時(shí)，連桿坐標(biāo)系的分布情況。與大多數(shù)工業(yè)機(jī)器人一樣，PUMA560關(guān)節(jié)4、5和6的軸線相交于同一點(diǎn)，且交點(diǎn)與坐標(biāo)系{4}、{5}和{6}的坐標(biāo)原點(diǎn)重合。后面將介紹如此設(shè)計(jì)的原因。機(jī)器人的連桿參數(shù)如表3－2所示。圖3－14

PUMA560工業(yè)機(jī)器人圖3－15

PUMA560坐標(biāo)系分布圖3－16

PUMA560前臂坐標(biāo)系分布表3－2

PUMA560連桿參數(shù)表將相應(yīng)的參數(shù)代入式（3－16）得各連桿的變換矩陣如下:將以上變換矩陣連乘即可得到，因?yàn)樵诘?章逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解需要，這里計(jì)算一些中間結(jié)果(3－18)(3－19)(3－20)因此得:(3－21)式中，各元素值如下:(3－22)最終得到6個(gè)連桿坐標(biāo)變換矩陣的乘積:(3－23)式中，各元素值如下:(3－24)式（3－24）是PUMA560的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，給出了機(jī)器人末端坐標(biāo)系{6}相對(duì)于基座固定坐標(biāo)系{0}的位姿。顯然，手工計(jì)算6自由度機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程還是比較復(fù)雜的，但是，采用計(jì)算機(jī)編程實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算非常容易。只需要輸入機(jī)器人的DH參數(shù)，再利用式（3－16），6個(gè)矩陣連乘即可獲得運(yùn)動(dòng)學(xué)方程式（3－24）。

3.8坐標(biāo)系的標(biāo)準(zhǔn)命名規(guī)則

為了分析處理方便，機(jī)器人和工作空間一般采用規(guī)范的命名，并采用“標(biāo)準(zhǔn)”的名字對(duì)各種坐標(biāo)系命名。圖3－17表示了5個(gè)坐標(biāo)系，并給出了標(biāo)準(zhǔn)命名。采用該標(biāo)準(zhǔn)命名的坐標(biāo)系進(jìn)行機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)描述和分析具有簡(jiǎn)單通用的特點(diǎn)。圖3－17標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系

1.基坐標(biāo)系{B}

基坐標(biāo)系{B}固連于機(jī)器人的基座上，就是3.7節(jié)介紹的坐標(biāo)系{0}。在連桿描述時(shí)經(jīng)常稱之為連桿0。

2.工作臺(tái)坐標(biāo)系{S}

工作臺(tái)坐標(biāo)系{S}一般固連于機(jī)器人工作臺(tái)的一個(gè)角上。對(duì)于機(jī)器人系統(tǒng)用戶來(lái)說(shuō)，工作臺(tái)坐標(biāo)系{S}是一個(gè)通用坐標(biāo)系。有時(shí)稱之為任務(wù)坐標(biāo)系。機(jī)器人的所有運(yùn)動(dòng)都是相對(duì)于工作臺(tái)坐標(biāo)系{S}執(zhí)行的。工作臺(tái)坐標(biāo)系{S}通常根據(jù)基坐標(biāo)系{B}來(lái)確定，兩個(gè)坐標(biāo)系都是固定坐標(biāo)系。

3.腕部坐標(biāo)系{W}

腕部