2024-2025學年重慶市銅梁區(qū)巴川中學八年級（上）期中數(shù)學試卷

第1頁（共1頁）2024-2025學年重慶市銅梁區(qū)巴川中學八年級（上）期中數(shù)學試卷一、選擇題（本大題10個小題，每小題4分，共40分）在每個小題的下面，都給出了代號為A、B、C、D的四個答案，其中只有一個是正確的，請將答題卡上對應題目的正確答案標號涂黑。1．（4分）下列漢字中，是軸對稱圖形的是（）A．巴 B．川 C．中 D．學2．（4分）三角形的三邊長可以是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，3，6 D．2，5，83．（4分）如圖，∠A＝43°，∠BCD是△ABC的外角，則∠BCD的大小是（）A．120° B．100° C．90° D．114°4．（4分）下列運算正確的是（）A．a(chǎn)2?a3＝a6 B．a(chǎn)12÷a3＝a4 C．a(chǎn)5+a5＝a10 D．（﹣2a）3＝﹣8a35．（4分）根據(jù)下列條件，能畫出唯一△ABC的是（）A．∠A＝30°，∠B＝70°，∠C＝80° B．AB＝6，BC＝5，∠A＝30° C．∠C＝60°，∠B＝45°，AB＝4 D．∠C＝90°，AB＝66．（4分）如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，線段AB的垂直平分線交AB于點D，交AC于點E，若△BCE的周長是10cm，則△ABC的周長是等于（）A．16cm B．14cm C．12cm D．10cm7．（4分）下列說法中正確的是（）A．周長相等的兩個三角形全等 B．任意多邊形外角和為360° C．等腰三角形的高線和角平分線重合 D．等邊三角形有三條對稱軸，分別是三條邊的高線8．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，交AC邊上的高BE于點F，若∠C＝α（）A．α B．α+22.5° C． D．9．（4分）如圖，電子螞蟻P從點A1（﹣2，2）出發(fā)，第1次跳到A2（﹣1，2），第2次跳到A3（﹣1，1），第3次跳到A4（﹣2，1），第4次跳到A5（0，2），第5次跳到A6（0，1），……以此類推，那么第30次跳到了（）A．（2，﹣2） B．（2，﹣3） C．（3，﹣2） D．（3，﹣3）10．（4分）如圖，AD、CF分別是△ABC的高和角平分線，AD與CF相交于G，交CF于M，連接BM交AD于H；②△ABC是等邊三角形；③BC＝BH+2MH；④，錯誤的結(jié)論的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題（本大題8個小題，每小題4分，共32分）請將每小題的答案直接填在答題卡中對應的橫線上。11．（4分）在平面直角坐標系中，點（﹣4，5）關(guān)于x軸的對稱點是．12．（4分）一個多邊形的內(nèi)角和是720°，那么這個多邊形是邊形．13．（4分）如圖，在△ABC中，AB＝20cm，點P以每秒2cm速度從B處向A處運動，同時點Q以每秒1cm速度從A處向C處運動，另一個點停止運動，當∠BPQ＝∠CQP時秒．14．（4分）如圖，點P在∠AOB內(nèi)部，E，F(xiàn)分別是點P關(guān)于直線OA，則∠EOF的度數(shù)為．15．（4分）若x2+x﹣1＝0，則x3+2x2﹣2024＝．16．（4分）如圖，點D、E、F是△ABC三邊上的點，連接DE、DF，BD＝CF，BE＝CD．若∠EDF＝58°．17．（4分）若關(guān)于x的不等式組的解集為x≤﹣3，且關(guān)于m的解滿足2m+n＞11，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之積為．18．（4分）我們規(guī)定：若一個正整數(shù)P＝x2+y，其中x與y都是各數(shù)位均不為0兩位數(shù)，且x與y的十位數(shù)字相同，則稱正整數(shù)P為“方和數(shù)”，并把P分解成x2+y的過程，稱為“方和分解”．例如：因為466＝212+25，21與25的十位數(shù)字相同，個位數(shù)字1與5的和為6，466分解成466＝212+25的過程就是“方和分解”．按照這個規(guī)定，最小的“方和數(shù)”是.把一個“方和數(shù)”P進行“方和分解”，即P＝x2+y，將x放在y的左邊組成一個新的四位數(shù)偶數(shù)Q，若Q除以7為整數(shù)．三、解答題：（本大題1個小題，每小題8分，共8分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形，請將解答過程書寫在答題卡中對應的位置上。19．（8分）計算：（1）；（2）（4y+1）（5﹣y）．四、解答題：（本大題7個小題，每小題10分，共70分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形，請將解答過程書寫在答題卡中對應的位置上。20．（10分）學習了等腰三角形后，愛探究的小巴同學發(fā)現(xiàn)：等腰三角形頂角角平分線上任意一點到底邊兩端點的距離相等．于是他想出了如下證明方法，請根據(jù)他的思路完成以下作圖與填空．如圖，AB＝AC．（1）用直尺和圓規(guī)，作∠BAC的角平分線AD交BC于點D，在線段AD上任取一點E（不與點A、D重合）（不寫作法，不下結(jié)論，只保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下，求證：EB＝EC．證明：∵AB＝AC，AD是∠BAC的角平分線∴AD是邊BC的高，AD是邊BC的①（等腰三角形②）∴AD垂直平分BC∵AD垂直平分BC，點E為AD上一點∴EB＝③．小巴進一步研究發(fā)現(xiàn)，等腰三角形頂角平分線所在直線上的點均有此特征．請你依照題意完成下面命題：等腰三角形頂角平分線所在直線上任意一點④．21．（10分）先化簡，再求值：[y2+（x﹣y）（y+2x）]÷（﹣2x），其中實數(shù)x（y﹣5）2＝0．22．（10分）在△ABC中，AE是邊BC上的高．（1）如圖1，若AD是邊BC上的中線，，AE＝3cm，求CE的長．（2）如圖2，若AD是△ABC的角平分線，∠C＝66°，求∠DAE的度數(shù)．23．（10分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，D為BC下方一點，連接DE，過點D作DF⊥DE交BE于點F，且FB＝CE．（1）求證：∠ACB＝∠DFE；（2）連接AD交BC于點G，若AG＝5，求AD的長．24．（10分）在兩個不全等的三角形中，有兩組邊對應相等，其中一組是公共邊，就稱這兩個三角形為共邊等角三角形．如圖1，AC是公共邊，∠1＝∠2，則△ABC與△ADC是共邊等角三角形．（1）如圖2，在△ABC中，點D為邊AC上一點，當∠ADB與∠C滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時，能使△ABD與△ABC是共邊等角三角形；（2）如圖3，在△ABC和△ADC中，∠BAC＝∠DCA，求證：△ABC與△ADC是共邊等角三角形．25．（10分）上午8時．一條漁船從港口A出發(fā)，以每小時15海里的速度向正北方向AN航行，上午10時到達海島B處．從A，測得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°（如圖所示）．（1）求海島B到海島C的距離；（2）漁船從海島B按原來的方向繼續(xù)航行30海里（記為點D處）出現(xiàn)了故障，它向海島B和海島C都發(fā)出了求救信號．接到求救信號后，海島C派出的救援隊晚出發(fā)10分鐘，速度為每小時25海里26．（10分）在平面直角坐標系中，A（4，0），B（0，4），作點A關(guān)于y軸的對稱點C，連接AB，AD平分∠BAC交BC于D．（1）如圖1，求∠ADB的度數(shù)；（2）如圖2，過點C作CE⊥AD，垂足為E，并證明；（3）如圖3，以AC為邊在x軸上方作等邊△ACH，點G是邊AH垂直平分線上一動點，將△HGC沿HC翻折，點G的對應點為G'，垂足為M．當最小時的值．

2024-2025學年重慶市銅梁區(qū)巴川中學八年級（上）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析題號12345678910答案CBBDCABDCD一、選擇題（本大題10個小題，每小題4分，共40分）在每個小題的下面，都給出了代號為A、B、C、D的四個答案，其中只有一個是正確的，請將答題卡上對應題目的正確答案標號涂黑。1．（4分）下列漢字中，是軸對稱圖形的是（）A．巴 B．川 C．中 D．學【解答】解：選項A、B、D的漢字均不能找到這樣的一條直線，直線兩旁的部分能夠互相重合；選項C的漢字能找到這樣的一條直線，使這個圖形沿一條直線折疊，所以是軸對稱圖形；故選：C．2．（4分）三角形的三邊長可以是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，3，6 D．2，5，8【解答】解：A、1+2＝2，故A不符合題意；B、2+3＞2，故B符合題意；C、3+3＝8，故C不符合題意；D、2+5＜8，故D不符合題意．故選：B．3．（4分）如圖，∠A＝43°，∠BCD是△ABC的外角，則∠BCD的大小是（）A．120° B．100° C．90° D．114°【解答】解：∵∠A＝43°，∠B＝57°，∴∠BCD＝∠A+∠B＝100°．故選：B．4．（4分）下列運算正確的是（）A．a(chǎn)2?a3＝a6 B．a(chǎn)12÷a3＝a4 C．a(chǎn)5+a5＝a10 D．（﹣2a）3＝﹣8a3【解答】解：A、a2?a3＝a3，故該項不正確，不符合題意；B、a12÷a3＝a9，故該項不正確，不符合題意；C、a5+a5＝2a7，故該項不正確，不符合題意；D、（﹣2a）3＝﹣8a3，故該項正確，符合題意；故選：D．5．（4分）根據(jù)下列條件，能畫出唯一△ABC的是（）A．∠A＝30°，∠B＝70°，∠C＝80° B．AB＝6，BC＝5，∠A＝30° C．∠C＝60°，∠B＝45°，AB＝4 D．∠C＝90°，AB＝6【解答】解：A、三個角對應相等的三角形不一定全等；B、∠A是邊BC的對邊，故B不符合題意；C、由AAS判定能畫出唯一的△ABC；D、斜邊長是6的直角三角形有無數(shù)個．故選：C．6．（4分）如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，線段AB的垂直平分線交AB于點D，交AC于點E，若△BCE的周長是10cm，則△ABC的周長是等于（）A．16cm B．14cm C．12cm D．10cm【解答】解：∵線段AB的垂直平分線交AB于點D，∴AE＝BE．∴AE+CE＝BE+CE，∵△BCE的周長等于10cm，BC＝4cm，∴AE+CE＝BE+CE＝6cm，即AC＝6cm，∵AB＝AC，∴AB＝6cm．∴△ABC的周長是AB+AC+BC＝16cm，故選：A．7．（4分）下列說法中正確的是（）A．周長相等的兩個三角形全等 B．任意多邊形外角和為360° C．等腰三角形的高線和角平分線重合 D．等邊三角形有三條對稱軸，分別是三條邊的高線【解答】解：A．周長相等的兩個三角形不一定全等，故本選項不符合題意；B．任意多邊形外角和為360°，故本選項符合題意；C．等腰三角形底邊上的高線和頂角角平分線重合，故本選項不符合題意；D．等邊三角形有三條對稱軸，原說法錯誤；故選：B．8．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，交AC邊上的高BE于點F，若∠C＝α（）A．α B．α+22.5° C． D．【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠C＝α，∴∠BAC＝90°﹣α，∵AD平分∠BAC交BC于點D，∴∠EAF＝∠BAC＝α，∵BE⊥AC于點E，∴∠AEF＝90°，∴∠AFE＝90°﹣∠EAF＝90°﹣（45°﹣α）＝45°+α，∴∠BFD＝∠AFE＝45°+α，故選：D．9．（4分）如圖，電子螞蟻P從點A1（﹣2，2）出發(fā)，第1次跳到A2（﹣1，2），第2次跳到A3（﹣1，1），第3次跳到A4（﹣2，1），第4次跳到A5（0，2），第5次跳到A6（0，1），……以此類推，那么第30次跳到了（）A．（2，﹣2） B．（2，﹣3） C．（3，﹣2） D．（3，﹣3）【解答】解：∵最左邊一列的點分別是電子螞蟻第1次，第4次，第16次到達的點，∴接近30次且小于30次的第25次到達的點也在最左邊一列，∴從點（3，3）開始，﹣2）即為電子螞蟻第30次到達的位置．故選：C．10．（4分）如圖，AD、CF分別是△ABC的高和角平分線，AD與CF相交于G，交CF于M，連接BM交AD于H；②△ABC是等邊三角形；③BC＝BH+2MH；④，錯誤的結(jié)論的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解答】解：①延長BM交AC于點N，如圖所示：∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACB+∠CAD＝90°，∴CF平分∠ACB，AE平分∠CAD，∴∠1＝∠2＝∠ACB∠CAD，∴∠1+∠3＝（∠ACB+∠CAD）＝45°，∴∠AMC＝180°﹣（∠1+∠3）＝135°，故結(jié)論①不正確；②∵AD是△ABC的高，BM⊥AE，∴∠5+∠BHD＝90°，∠4+∠AHM＝90°，又∵∠BHD＝∠AHM，∴∠6＝∠4＝∠5，在△ACM和△BCM中，，∴△ACM≌△BCM（AAS），∴AC＝BC，∴△ABC是等腰三角形，根據(jù)已知條件無法判定AB＝AC或∠ACB＝60°，∴△ABC不一定是等邊三角形，故結(jié)論②不正確；③∵BM⊥AE，∴∠AMN＝∠AMH＝90°，在△AMN和△AMH中，，∴△AMN≌△AMH（ASA），∴MN＝MH，∴HN＝6MH，∴BH+2HN＝BH+HN＝BN，∴∠BNC＝∠AMN+∠3＝90°+∠6，∴∠AMH＝90°，∠CMA＝135°，∴∠CMB＝360°﹣（∠AMH+∠CMA）＝135°，∴∠2＝180°﹣（∠CMB+∠5）＝45°﹣∠7，∴∠BCN＝2∠2＝90°﹣6∠5，∴∠BNC＞∠BCN，∴BC＞BN，即BC＞BH+2HN，∴結(jié)論③不正確；④∵△ACM≌△BCM，∴AM＝BM，S△ACM＝S△BCM，∵BM⊥AE，∴∠AMH＝∠BME＝90°，在△AHM和△BEM中，，∴△AHM≌△BEM（AAS），∴S△AHM＝S△BEM，∴S△AHM+S△CEM＝S△BEM+S△CEM＝S△BCM＝S△ACM，∴S△AHM+S△AFM+S△CEM＝S△ACM+S△AFM＝S△ACF，∵CF是△ABC的平分線，不是AB邊上的中線，∴S△ACF≠S△ABC，故結(jié)論④不正確，綜上所述：錯誤的結(jié)論是①②③④，共4個．二、填空題（本大題8個小題，每小題4分，共32分）請將每小題的答案直接填在答題卡中對應的橫線上。11．（4分）在平面直角坐標系中，點（﹣4，5）關(guān)于x軸的對稱點是（﹣4，﹣5）．【解答】解：點（﹣4，5）關(guān)于x軸的對稱點是（﹣3，故答案為：（﹣4，﹣5）．12．（4分）一個多邊形的內(nèi)角和是720°，那么這個多邊形是六邊形．【解答】解：這個正多邊形的邊數(shù)是n，則（n﹣2）?180°＝720°，解得：n＝6．則這個正多邊形的邊數(shù)是六，故答案為：六．13．（4分）如圖，在△ABC中，AB＝20cm，點P以每秒2cm速度從B處向A處運動，同時點Q以每秒1cm速度從A處向C處運動，另一個點停止運動，當∠BPQ＝∠CQP時秒．【解答】解：當∠BPQ＝∠CQP時，∠APQ＝∠AQC，∴AP＝AQ．20÷2＝10（秒），12÷1＝12（秒）．當運動時間為t（3≤t≤10）秒時，BP＝2tcm，AP＝AB﹣BP＝（20﹣2t）cm，根據(jù)題意得：20﹣5t＝t，解得t＝，∴當∠BPQ＝∠CQP時，運動時間為秒．故答案為：．14．（4分）如圖，點P在∠AOB內(nèi)部，E，F(xiàn)分別是點P關(guān)于直線OA，則∠EOF的度數(shù)為76°．【解答】解：連接OP，如圖所示：∵E，F(xiàn)分別是點P關(guān)于直線OA，∴OE＝OP＝OF，∴∠OPE＝∠E，∠OPF＝∠F，∵∠EPF＝∠OPE+∠OPF＝142°，∴∠E+∠F＝142°，∵∠E+∠EOP+∠OPE+∠POF+∠OPF+∠F＝360°，∴∠EOP+∠FOP＝360°﹣2×142°＝76°＝∠EOF；故答案為：76°．15．（4分）若x2+x﹣1＝0，則x3+2x2﹣2024＝﹣2023．【解答】解：由x2+x﹣1＝8，可得x2+x＝1，∴x8+2x2﹣2024＝x（x3+x）+x2﹣2024＝x+x2﹣2024＝2﹣2024＝﹣2023，故答案為：﹣2023．16．（4分）如圖，點D、E、F是△ABC三邊上的點，連接DE、DF，BD＝CF，BE＝CD．若∠EDF＝58°64°．【解答】解：∵∠DEB＝∠FDC＝90°，∴△DEB和△FDC是直角三角形，在Rt△DEB和Rt△FDC中，，∴Rt△DEB≌Rt△FDC（HL），∴∠B＝∠C，∵∠EDB+∠EDF+∠FDC＝180°，∠FDC＝90°，∴∠EDB＝32°，∴∠B＝180°﹣∠DEB﹣∠EDB＝58°＝∠C，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝64°，故答案為：64°．17．（4分）若關(guān)于x的不等式組的解集為x≤﹣3，且關(guān)于m的解滿足2m+n＞11，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之積為360．【解答】解：，解不等式①，得：x≤7﹣a，解不等式②，得：x≤﹣3，∵不等式組的解集為x≤﹣3，∴3﹣a≥﹣7，解得a≤6；，①+②，得：8m+n＝3a+4，∵關(guān)于m，n方程組，∴3a+4＞11，解得a＞，∴＜a≤6，∴所有滿足條件的整數(shù)a的值為3，6，5，6，∴所有滿足條件的整數(shù)a的值之積為5×4×5×2＝360，故答案為：360．18．（4分）我們規(guī)定：若一個正整數(shù)P＝x2+y，其中x與y都是各數(shù)位均不為0兩位數(shù)，且x與y的十位數(shù)字相同，則稱正整數(shù)P為“方和數(shù)”，并把P分解成x2+y的過程，稱為“方和分解”．例如：因為466＝212+25，21與25的十位數(shù)字相同，個位數(shù)字1與5的和為6，466分解成466＝212+25的過程就是“方和分解”．按照這個規(guī)定，最小的“方和數(shù)”是136.把一個“方和數(shù)”P進行“方和分解”，即P＝x2+y，將x放在y的左邊組成一個新的四位數(shù)偶數(shù)Q，若Q除以7為整數(shù)598．【解答】解：由題意，得：當x＝11，“方和數(shù)”最小2+15＝136；設x的十位數(shù)字為a，個位數(shù)字為b，個位數(shù)字為6﹣b，∴Q為：1000a+100b+10a+（2﹣b）＝1010a+99b+6＝1008a+2a+98b+b+2＝7（144a+14b）+2a+b+4；∵Q為偶數(shù)，且Q除以7為整數(shù)，∴1010a+99b+6為偶數(shù)，且3a+b+6能被7整除，∴b為偶數(shù)，又∵正整數(shù)P最小，∴當a＝5，b＝4時；∴x＝24，y＝222+22＝598，故答案為：136，598．三、解答題：（本大題1個小題，每小題8分，共8分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形，請將解答過程書寫在答題卡中對應的位置上。19．（8分）計算：（1）；（2）（4y+1）（5﹣y）．【解答】解：（1）＝8x3﹣x2+x5＝2x3；（2）（7y+1）（5﹣y）＝20y+7﹣4y2﹣y＝﹣3y2+19y+5．四、解答題：（本大題7個小題，每小題10分，共70分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形，請將解答過程書寫在答題卡中對應的位置上。20．（10分）學習了等腰三角形后，愛探究的小巴同學發(fā)現(xiàn)：等腰三角形頂角角平分線上任意一點到底邊兩端點的距離相等．于是他想出了如下證明方法，請根據(jù)他的思路完成以下作圖與填空．如圖，AB＝AC．（1）用直尺和圓規(guī)，作∠BAC的角平分線AD交BC于點D，在線段AD上任取一點E（不與點A、D重合）（不寫作法，不下結(jié)論，只保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下，求證：EB＝EC．證明：∵AB＝AC，AD是∠BAC的角平分線∴AD是邊BC的高，AD是邊BC的①中線（等腰三角形②三線合一）∴AD垂直平分BC∵AD垂直平分BC，點E為AD上一點∴EB＝③EC．小巴進一步研究發(fā)現(xiàn)，等腰三角形頂角平分線所在直線上的點均有此特征．請你依照題意完成下面命題：等腰三角形頂角平分線所在直線上任意一點④到底邊兩個端點的距離相等．【解答】（1）解：圖形如圖所示；（2）證明：：∵AB＝AC，AD是∠BAC的角平分線∴AD是邊BC的高，AD是邊BC的①中線（等腰三角形②三線合一）∴AD垂直平分BC∵AD垂直平分BC，點E為AD上一點∴EB＝③EC．結(jié)論：等腰三角形頂角平分線所在直線上任意一點④到底邊兩個端點的距離相等．故答案為：中線，三線合一，到底邊兩個端點的距離相等．21．（10分）先化簡，再求值：[y2+（x﹣y）（y+2x）]÷（﹣2x），其中實數(shù)x（y﹣5）2＝0．【解答】解：原式＝（y2+xy+2x7﹣y2﹣2xy）÷（﹣7x）＝（2x2﹣xy）÷（﹣3x）＝﹣x+y，∵|x+7|+（y﹣5）2＝6，∴x+3＝0，y﹣6＝0，∴x＝﹣3，y＝4，∴原式＝﹣（﹣3）+×5＝．22．（10分）在△ABC中，AE是邊BC上的高．（1）如圖1，若AD是邊BC上的中線，，AE＝3cm，求CE的長．（2）如圖2，若AD是△ABC的角平分線，∠C＝66°，求∠DAE的度數(shù)．【解答】解：（1）設CE＝xcm，∵AD是邊BC上的中線，DE＝0.8cm，∴CD＝DE+CE＝（5.8+x）cm，∵，AE＝3cm，∴S△ABC＝BC?AE＝，∴x＝1.7，∴CE的長是4.7cm．（2）∵∠C＝66°，∠B＝38°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣38°﹣66°＝76°，∵AD是△ABC的角平分線，∴∠BAD＝∠BAC＝，∴∠ADE＝∠BAD+∠B＝38°+38°＝76°，∵AE是邊BC上的高，∴∠AED＝90°，∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝90°﹣76°＝14°．23．（10分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，D為BC下方一點，連接DE，過點D作DF⊥DE交BE于點F，且FB＝CE．（1）求證：∠ACB＝∠DFE；（2）連接AD交BC于點G，若AG＝5，求AD的長．【解答】（1）證明：∵DF⊥DE，∴∠FDE＝90°，又∵FB＝CE，∴BC＝EF，在Rt△ABC和Rt△DEF中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．∴∠ACB＝∠DFE；（2）解：由（1）可知∠B＝∠E，又∵∠AGB＝∠DGE，∴△ABG∽△DEG．∴，∴AG＝DG＝5，∴AD＝AG+DG＝6+5＝10．24．（10分）在兩個不全等的三角形中，有兩組邊對應相等，其中一組是公共邊，就稱這兩個三角形為共邊等角三角形．如圖1，AC是公共邊，∠1＝∠2，則△ABC與△ADC是共邊等角三角形．（1）如圖2，在△ABC中，點D為邊AC上一點，當∠ADB與∠C滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時，能使△ABD與△ABC是共邊等角三角形；（2）如圖3，在△ABC和△ADC中，∠BAC＝∠DCA，求證：△ABC與△ADC是共邊等角三角形．【解答】解：（1）∠ADB+∠C＝180°，理由如下，∵△ABD與△ABC是共邊等角三角形，且AB＝AB，∴BD＝BC，∴∠C＝∠BDC，∵∠ADB+∠BDC＝180°，∴∠ADB+∠C＝180°；（2）設AB、CD交于點O，使∠T＝∠B，∵∠ACD＝∠BAC，AC＝AC，∴△ACT≌△CAB（AAS），∴AT＝BC，∵∠ADC＝180°﹣∠B，∴∠B＝180°﹣∠ADC，∵∠ADT＝180°﹣∠ADC，∴∠ADT＝∠B，∴∠T＝∠ADT，∴AT＝AD＝BC，∵∠ACD＝∠CAB，∴△ABC與△ADC是共邊等角三角形．25．（10分）上午8時．一條漁船從港口A出發(fā)，以每小時15海里的速度向正北方向AN航行，上午10時到達海島B處．從A，測得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°（如圖所示）．（1）求海島B到海