專題06 幾何圖形的翻折變換問題（解析版）-2023屆中考數(shù)學(xué)壓軸大題專項突破

專題06幾何圖形的翻折變換問題幾何圖形中的翻折變換在中考壓軸題中考查比例較高，翻折變換本質(zhì)上是考查軸對稱的相關(guān)知識知識，在解決有關(guān)翻折問題的壓軸題時，需要注意三點：（1）掌握軸對稱的有關(guān)性質(zhì)：①關(guān)于直線對稱的兩個圖形是全等圖形.

②如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱，對稱軸是對應(yīng)點連線的垂直平分線.

③兩個圖形關(guān)于某直線對稱，如果它們對應(yīng)線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上.

④如果兩個圖形的對應(yīng)點連線被同一直線垂直平分，那么這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱.

（2）掌握折疊圖形的性質(zhì)，例如折疊圖形是矩形，那么在解決折疊問題時，就需要結(jié)合矩形的性質(zhì)和軸對稱的性質(zhì)。（3）折疊問題中求解線段的長度，一般要借助勾股定理，列出方程進行求解。 （2022·貴州貴陽·統(tǒng)考中考真題）小紅根據(jù)學(xué)習(xí)軸對稱的經(jīng)驗，對線段之間、角之間的關(guān)系進行了拓展探究．如圖，在中，為邊上的高，，點在邊上，且，點是線段上任意一點，連接，將沿翻折得．(1)問題解決：如圖①，當，將沿翻折后，使點與點重合，則______；(2)問題探究：如圖②，當，將沿翻折后，使，求的度數(shù)，并求出此時的最小值；(3)拓展延伸：當，將沿翻折后，若，且，根據(jù)題意在備用圖中畫出圖形，并求出的值．（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)可得，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可求解；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)即可求得，由三角形內(nèi)角和定理可得，根據(jù)點在邊上，當時，取得最小值，最小值為；（3）連接，設(shè)，則，，在中，，延長交于點，在中，，進而根據(jù)，即可求解．【答案】(1)；(2)；(3)作圖見解析，【詳解】（1），是等邊三角形，四邊形是平行四邊形，，，為邊上的高，，（2），，是等腰直角三角形，，，，，，，，，是等腰直角三角形，為底邊上的高，則點在邊上，當時，取得最小值，最小值為；（3）如圖，連接，，則，設(shè)，則，，折疊，，，，，，，，，，，在中，，，延長交于點，如圖，，，，，，在中，，，．本題考查了軸對稱的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，解直角三角形，勾股定理，三角形內(nèi)角和定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，綜合運用以上知識是解題的關(guān)鍵．（2022·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）我們可以通過面積運算的方法，得到等腰三角形底邊上的任意一點到兩腰的距離之和與一腰上的高之間的數(shù)量關(guān)系，并利用這個關(guān)系解決相關(guān)問題．(1)如圖一，在等腰中，，邊上有一點D，過點D作于E，于F，過點C作于G.利用面積證明：．(2)如圖二，將矩形沿著折疊，使點A與點C重合，點B落在處，點G為折痕上一點，過點G作于M，于N.若，，求的長．(3)如圖三，在四邊形中，E為線段上的一點，，，連接，且，，，，求的長．（1）根據(jù)題意，利用等面積法，根據(jù)等腰中，，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)題中條件，利用折疊性質(zhì)得到，結(jié)合矩形中得到，從而有，從而確定是等腰三角形，從而利用（1）中的結(jié)論得到，結(jié)合勾股定理及矩形性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）延長交于，連接，過點作于，根據(jù)，，，得到是等腰三角形，從而由（1）知，在中，，在中，，，聯(lián)立方程求解得，從而得到結(jié)論．【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)【詳解】（1）證明：連接，如圖所示：在等腰中，，邊上有一點D，過點D作于E，于F，過點C作于G，由得，；（2）解：連接，過點作于，如圖所示：根據(jù)折疊可知，在矩形中，，則，，即是等腰三角形，在等腰中，，邊上有一點G，過點G作于M，于N，過點作于，由（1）可得，在中，，，則，在四邊形中，，則四邊形為矩形，，即；（3）解：延長交于，連接，過點作于，在四邊形中，E為線段上的一點，，，則，又，，，即是等腰三角形，由（1）可得，設(shè)，，，，在中，，在中，，，，解得，經(jīng)檢驗，x=1是方程的解用符合題意，，即．本題考查幾何綜合，涉及到等腰三角形的判定與性質(zhì)、等面積求線段關(guān)系、折疊的性質(zhì)、勾股定理求線段長、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點，讀懂題意，掌握（1）中的證明過程與結(jié)論并運用到其他情境中是解決問題的關(guān)鍵．1．（2022·湖北武漢·?？既＃?）如圖，在正方形中，是上一動點，將正方形沿著折疊，點落在點處，連接，并延長交于點求證：；（2）在（1）的條件下，如圖，延長交邊于點若，求的值；（3）如圖，四邊形為矩形，同樣沿著折疊，連接，延長分別交于兩點，若，則的值為___________（直接寫出結(jié)果）【答案】（1）見解析；（2）；（3）【分析】根據(jù)證明三角形全等即可；如圖中，連接根據(jù)，求出即可解決問題；如圖中，連接由，可以設(shè)，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)可得，則，利用勾股定理構(gòu)建方程求解即可．【詳解】證明：如圖中，是由折疊得到，，，四邊形是正方形，，，，在和中，，；解：如圖中，連接．，，由折疊可知，，四邊形是正方形，，，，，，，設(shè)，則，，設(shè)，，由折疊可知，，，，或舍棄，，；解：如圖中，連接．由，設(shè)，由知，，由折疊可知，，，，，，，，，，，，，或舍棄，，．2．（2022·福建寧德·統(tǒng)考二模）在中，點E是BC的中點，點F在AD上．將四邊形ABEF沿EF折疊，得到四邊形．(1)利用圖1，求證：；(2)如圖2，連接BD，若，，，當點落在BD上時，求EF的長；(3)如圖3，當點恰好落在線段CD上時，求證：直線與直線CD重合．【答案】(1)見解析；(2)；(3)見解析【分析】(1)利用折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，平行線判定定理，也可以運用折疊的性質(zhì)，構(gòu)造三角形中位線定理證明．（2）設(shè)EF與BD相交于點O．運用勾股定理，三角函數(shù)，中位線定理求解即可．(3)運用經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，證明即可．【詳解】(1)解：（1）證法一：由折疊的性質(zhì)可知：，．∴．∵E是BC的中點，∴．∴．∴．∴．證法二：設(shè)EF與相交于點G．由折疊的性質(zhì)可知：G是的中點．又∵E是BC的中點，∴GE是的中位線．∴．即．(2)設(shè)EF與BD相交于點O．由折疊的性質(zhì)可知：O是的中點，．由（1）得．∴．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴若，∠BDC＝∠ABD＝45°．∴，．∴．在中，由勾股定理得．∵E是BC的中點，O是的中點，∴，．∴．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴．∴，即．．(3)證法一：連接交直線EF于點M．由折疊知：．連接BM并延長交直線CD于點H．∵四邊形ABCD是平行四邊形，點在CD上，∴．∴，．∴．∴BM＝HM．又∵E是BC的中點，∴EM是△BCH的中位線．∴，即．由（1）得．∵過點C有且只有一條直線與EF平行，∴點在直線CD上．∴直線與直線CD重合．證法二：連接并延長交直線AB于點K，連接AE．∵四邊形ABCD是平行四邊形，點在CD上，∴．∴，．∵BE＝CE，∴．∴．由折疊知：，．∴．∴∵過點有且只有一條直線與AB平行，∴直線與直線重合．即直線與直線CD重合．3．（2022·山東淄博·統(tǒng)考二模）在Rt△ABC中，，，CD是斜邊AB上的中線，點E為射線BC上一點，將△BDE沿DE折疊，點B的對應(yīng)點為F．(1)如圖1，若，請直接寫出CD的長（用含a的代數(shù)式表示）；(2)如圖2，若，垂足為點G，點F與點D在直線CE的異側(cè)，連接CF．判斷四邊形ADFC的形狀，并說明理由；(3)若，直接寫出的度數(shù)．【答案】(1)(2)菱形，理由見解析(3)45°或135°【分析】（1）根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”得CD=；（2）由題意可得，由“直角三角形中含30°角所對的直角邊等于斜邊的一半”，得據(jù)此判斷四邊形ADFC是平行四邊形，再由折疊得DF=BD=AD，據(jù)此解答；（3）分兩種情況討論，點F與點D在直線CE的同側(cè)或異側(cè)，正確畫出圖形即可解答．【詳解】（1）解：由圖1，在Rt△ABC中，，CD是斜邊AB上的中線，CD=；（2）四邊形ADFC是菱形．理由如下：∵CD是斜邊AB上的中線，∴，由折疊的性質(zhì)可得，，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴四邊形ADFC是平行四邊形，又，∴□ADFC是菱形．（3）如圖3，點F與點D在直線CE的異側(cè)，由折疊得，；如圖4，點F與點D在直線CE的同側(cè)，由折疊得，綜上所述，或．4．（2022·四川樂山·統(tǒng)考一模）模型探究：如圖1，D、E、F分別為三邊BC、AB、AC上的點，且．（1）與相似嗎？請說明理由；模型應(yīng)用：為等邊三角形，其邊長為8，E為AB邊上一點，F(xiàn)為射線AC上一點，將沿EF翻折，使A點落在射線CB上的點D處，且．（2）如圖2，當點D在線段BC上時，求的值；（3）如圖3，當點D落在線段CB的延長線上時，求與的周長之比．【答案】（1），證明見解析；（2）；（3）與的周長之比為【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到，即可證明；（2）①設(shè)，，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)與折疊可知，，，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得，即可證明，故，再根據(jù)比例關(guān)系求出的值；②同理可證，得，得，再得到，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解.【詳解】解（1），理由：，在中，，，，，，，；（2）①設(shè)，，是等邊三角形，，，由折疊知，，，，在中，，，，，，，，，，，，，，，，；②設(shè)，，是等邊三角形，，，由折疊知，，，，在中，，，，，，，，，，，，，，，，與的周長之比為.5．（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考二模）正方形的邊長為4．(1)將正方形對折，折痕為，如圖①把這個正方形展平，再將點折到折痕上的點的位置，折痕為，求的長；(2)如圖②當時，在點由點移動到中點的過程中，求面積的取值范圍．【答案】(1)；(2)【分析】（1）連接．根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定定理和性質(zhì)求出∠CBM，根據(jù)正方形的性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系即可求出PF．（2）連接AC交EF于點O，連接OB，OD，OG，再以O(shè)為圓心，以O(shè)A為半徑畫圓，取AD的中點為K，連接KO并延長交于J．根據(jù)正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定定理和性質(zhì)確定G，A，B，C，D共圓，然后確定點G在上運動，進而確定當點G與點C或點B重合時，△ADG面積取得最小值，當點G與點J重合時，△ADG面積取得最大值，最后根據(jù)正方形的性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線定理，三角形面積公式求解即可．【詳解】（1）解：如下圖所示，連接．∵正方形ABCD對折后，折痕為EF，正方形ABCD的邊長為4，∴EF垂直平分BC，BC=4．∴NB=NC，BF=2．∵正方形折疊后點C到點N的位置，∴NB=BC，．∴NB=NC=BC．∴△NBC是等邊三角形．∴∠NBC=60°．∴∠CBM=30°．∴．（2）解：如下圖所示，連接AC交EF于點O，連接OB，OD，OG，再以O(shè)為圓心，以O(shè)A為半徑畫圓，取AD的中點為K，連接KO并延長交于J．∵四邊形ABCD是正方形，∴．∴∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC．∵AE=CF，∴．∴OA=OC．∴O是AC中點．∴OA=OB=OC=OD．∵正方形ABCD折疊后，點C的對應(yīng)點是點G，∴OG=OC．∴B，C，D，G都在上．∴OA=OB=OC=OD=OG．

∴在點E由點A移動到AD中點K的過程中，點G在上移動．∴當點G與點C或點B重合時，△ADG的面積取得最小值．∵正方形ABCD的邊長為4，∴AD=CD=4，∠ADC=90°．∴，．∴△ADG面積的最小值是8，．∴．∵K是AD中點，O是AC中點，∴KO是△ACD中位線．∴，．∴∠AKO=∠ADC=90°，KO是固定值．

∴OK⊥AD，即OJ⊥AD．∴當OG⊥AD時，即點G與點J重合時，△ADG面積取得最大值．∴．∴．∴△ADG面積的最大值是．∴△ADG面積的取值范圍是．6．（2022·山西大同·統(tǒng)考二模）綜合與實踐：如圖1，已知正方形紙片ABCD．實踐操作第一步：如圖1，將正方形紙片ABCD沿AC，BD分別折疊．然后展平，得到折痕AC，BD．折痕AC，BD相交于點O．第二步：如圖2，將正方形ABCD折疊，使點B的對應(yīng)點E恰好落在AC上，得到折痕AF，AF與BD相交于點G，然后展平，連接GE，EF．問題解決（1）的度數(shù)是______；（2）如圖2，請判斷四邊形BGEF的形狀，并說明理由；探索發(fā)現(xiàn)（3）如圖3，若，將正方形ABCD折疊，使點A和點F重合，折痕分別與AB，DC相交于點M，N．求的值．【答案】（1）；（2）四邊形BGEF是菱形，理由見解析；（3）．【分析】（1）由正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)在中利用三角形內(nèi)角和即可求出答案；（2）由正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)得出BG=EF，且BG∥EF，一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，得出四邊形BGEF是平行四邊形，又，一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，就可判斷得出答案；（3）做輔助線由正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)得出條件證明，全等三角形對應(yīng)邊相等，故，由等角對等邊得出BF的長，最后根據(jù)勾股定理求出