2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章解三角形1.2應(yīng)用舉例第1課時(shí)解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例練習(xí)新人教A版必修5

PAGEPAGE1第1課時(shí)解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例1.學(xué)校體育館的人字屋架為等腰三角形，如圖，測(cè)得AC的長度為4m，∠A＝30°，則其跨度AB的長為A.12m B.8m C.3eq\r(3)m D.4e解析由題意知，∠A＝∠B＝30°，所以∠C＝180°－30°－30°＝120°，由正弦定理得，eq\f(sinC,AB)＝eq\f(sinB,AC)，即AB＝eq\f(AC·sinC,sinB)＝eq\f(4·sin120°,sin30°)＝4eq\r(3).答案D2.如圖，D，C，B三點(diǎn)在地面同始終線上，DC＝100米，從C，D兩點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)仰角分別是60°，30°，則A點(diǎn)離地面的高度AB等于A.50eq\r(3)米 B.100eq\r(3)米C.50米解析因?yàn)椤螪AC＝∠ACB－∠D＝60°－30°＝30°，所以△ADC為等腰三角形.所以AC＝DC＝100米，在Rt△ABC中，AB＝ACsin60°＝50eq\r(3)米.答案A3.在高出海平面200m的小島頂上A處，測(cè)得位于正西和正東方向的兩船的俯角分別是45°與30°，此時(shí)兩船間的距離為________解析過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，由圖易知∠BAH＝45°，∠CAH＝60°，AH＝200m則BH＝AH＝200m，CH＝AH·tan60°＝200eq\r(3)m.故兩船距離BC＝BH＋CH＝200(eq\r(3)＋1)m.答案200(eq\r(3)＋1)4.如圖，從氣球A上測(cè)得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為67°，30°，此時(shí)氣球的高是46m，則河流的寬度BC約等于________m.(用四舍五入法將結(jié)果精確到個(gè)位.參考數(shù)據(jù)：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，eq\r(3)≈1.73)解析依據(jù)已知的圖形可得AB＝eq\f(46,sin67°).在△ABC中，∠BCA＝30°，∠BAC＝37°，由正弦定理，得eq\f(AB,sin30°)＝eq\f(BC,sin37°)，所以BC≈2×eq\f(46,0.92)×0.60＝60(m).答案60[限時(shí)45分鐘；滿分80分]一、選擇題(每小題5分，共30分)1.已知兩座燈塔A和B與海洋視察站C的距離相等，燈塔A在視察站C的北偏東40°，燈塔B在視察站C的南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的A.北偏東10° B.北偏西10°C.南偏東10° D.南偏西10°解析如圖，由題意，知AC＝BC，∠ACB＝80°，所以∠CBA＝50°，α＋∠CBA＝60°.所以α＝10°，即A在B的北偏西10°.故選B.答案B2.如圖所示，為測(cè)一樹的高度，在地面上選取A，B兩點(diǎn)，從A，B兩點(diǎn)分別測(cè)得樹尖的仰角為30°，45°，且A，B兩點(diǎn)之間的距離為60m，則樹的高度為A.(30＋30eq\r(3))m B.(30＋15eq\r(3))mC.(15＋30eq\r(3))m D.(15＋15eq\r(3))m解析由正弦定理可得eq\f(60,sin（45°－30°）)＝eq\f(PB,sin30°)，PB＝eq\f(60×\f(1,2),sin15°)＝eq\f(30,sin15°).h＝PB·sin45°＝eq\f(30,sin15°)·sin45°＝(30＋30eq\r(3))(m).故選A.答案A3.如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋視察站C的距離都等于akm，燈塔A在視察站C的北偏東20°，燈塔B在視察站C的南偏東40°，則燈塔A與燈塔B的距離為A.akm B.eq\r(3)akmC.eq\r(2)akm D.2akm解析由題意得∠ACB＝120°，AB2＝a2＋a2－2a2cos120°＝3a所以AB＝eq\r(3)a.故選B.答案B4.設(shè)在南沙群島相距10nmile的A，B兩小島上的兩個(gè)觀測(cè)站，同時(shí)發(fā)覺一外國船只C非法進(jìn)入我領(lǐng)海.若在A望C和B成60°的視角，在B望C和A成75°的視角，則船只C距離最近觀測(cè)站A.5nmile B.5eq\r(3)nmileC.5eq\r(6)nmile D.5eq\r(2)nmile解析結(jié)合題意作圖如圖，由B＞A得BC＜AC，故船只C距離觀測(cè)站B近.因?yàn)樵凇鰽BC中，因?yàn)閑q\f(BC,sin60°)＝eq\f(AB,sin45°)，所以BC＝eq\f(AB·sin60°,sin45°)＝eq\f(10×\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝5eq\r(6)(nmile).故選C.答案C5.如圖所示為起重機(jī)裝置示意圖.支桿BC＝10m，吊桿AC＝15m，吊索AB＝5eq\r(19)m，起吊的貨物與岸的距離AD為A.30m B.eq\f(15,2)eq\r(3)mC.15eq\r(3)m D.45m解析在△ABC中，AC＝15m，AB＝5eq\r(19)m，BC＝10m，由余弦定理得cos∠ACB＝eq\f(AC2＋BC2－AB2,2×AC×BC)＝eq\f(152＋102－（5\r(19)）2,2×15×10)＝－eq\f(1,2)，∴sin∠ACB＝eq\f(\r(3),2).又∠ACB＋∠ACD＝180°，∴sin∠ACD＝sin∠ACB＝eq\f(\r(3),2).在Rt△ADC中，AD＝AC·sin∠ACD＝15×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(15\r(3),2)(m).答案B6.(實(shí)力提升)臺(tái)風(fēng)中心從A地以每小時(shí)20千米的速度向東北方向移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心30千米內(nèi)的地區(qū)為危急區(qū)，城市B在A的正東40千米處，B城市處于危急區(qū)內(nèi)的時(shí)間為A.0.5小時(shí) B.1小時(shí)C.1.5小時(shí) D.2小時(shí)解析設(shè)A地東北方向上存在點(diǎn)P到B的距離為30千米，AP＝x，在△ABP中，PB2＝AP2＋AB2－2AP·AB·cosA，即302＝x2＋402－2x·40cos45°，化簡得x2－40eq\r(2)x＋700＝0，|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝400，|x1－x2|＝20，即圖中的CD＝20(千米)，故t＝eq\f(CD,v)＝eq\f(20,20)＝1(小時(shí)).答案B二、填空題(每小題5分，共15分)7.一艘海輪從A處動(dòng)身，以每小時(shí)20海里的速度沿南偏東40°方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處.在C處有一座燈塔，海輪在A處視察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處視察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B、C兩點(diǎn)間的距離是________海里.解析如圖所示，A＝30°，B＝105°，C＝45°，AB＝10，由正弦定理可得BC＝eq\f(10sin30°,sin45°)＝5eq\r(2).答案5eq\r(2)8.在山底測(cè)得山頂?shù)难鼋恰螩AB＝45°，沿傾斜角為30°的斜坡走1000m至S點(diǎn)，又測(cè)得山頂?shù)难鼋恰螪SB＝75°，則山高BC解析如圖，∠SAB＝45°－30°＝15°，∠SBA＝45°－15°＝30°，所以∠ASB＝180°－15°－30°＝135°.在△ABS中，由正弦定理得AB＝eq\f(AS·sin135°,sin30°)＝1000×eq\f(\f(\r(2),2),\f(1,2))＝1000eq\r(2)，所以BC＝ABsin45°＝1000eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝1000(m).答案1000m9.(實(shí)力提升)海上一觀測(cè)站測(cè)得方位角240°的方向上有一艘停止航行待修的商船，在商船的正東方有一艘海盜船正以每小時(shí)90海里的速度向它靠近，此時(shí)海盜船距觀測(cè)站10eq\r(7)海里，20分鐘后測(cè)得海盜船距觀測(cè)站20海里，再過______分鐘，海盜船到達(dá)商船.解析如圖，設(shè)觀測(cè)站、商船分別位于A、B處，起先時(shí)，海盜船位于C處，20分鐘后，海盜船到達(dá)D處.在△ADC中，AC＝10eq\r(7)，AD＝20，CD＝30，由余弦定理，得cos∠ADC＝eq\f(AD2＋CD2－AC2,2AD·CD)＝eq\f(400＋900－700,2×20×30)＝eq\f(1,2).則∠ADC＝60°.在△ABD中，由已知，得∠ABD＝30°，∠BAD＝60°－30°＝30°，所以BD＝AD＝20，eq\f(20,90)×60＝eq\f(40,3)(分鐘).答案eq\f(40,3)三、解答題(本大題共3小題，共35分)10.(11分)海上某貨輪在A處看燈塔B，在貨輪北偏東75°，距離為12eq\r(6)海里處；在A處看燈塔C在貨輪的北偏西30°，距離為8eq\r(3)海里處；貨輪向正北由A處航行到D處時(shí)看燈塔B的方位角為120°.求：(1)A處與D處的距離；(2)燈塔C與D處之間的距離.解析由題意，畫出示意圖，如右圖所示.(1)在△ABD中，由已知∠ADB＝60°，則B＝45°.由正弦定理，得AD＝eq\f(ABsin45°,sin60°)＝24(海里).(2)在△ADC中，由余弦定理，得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos30°＝242＋(8eq\r(3))2－2×24×8eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝(8eq\r(3))2，得CD＝8eq\r(3)(海里).答：A處與D處的距離為24海里，燈塔C與D處的距離為8eq\r(3)海里.11.(12分)如圖，在山腳A測(cè)得山頂P的仰角為α，沿傾斜角為β的斜坡向上走a米到B，在B處測(cè)得山頂P的仰角為γ，求證：山高h(yuǎn)＝eq\f(asinαsin（γ－β）,sin（γ－α）).證明在△ABP中，∠ABP＝180°－γ＋β，∠BPA＝180°－(α－β)－∠ABP＝180°－(α－β)－(180°－γ＋β)＝γ－α.在△ABP中，依據(jù)正弦定理，eq\f(AP,sin∠ABP)＝eq\f(AB,sin∠APB)，即eq\f(AP,sin（180°－γ＋β）)＝eq\f(a,sin（γ－α）)，AP＝eq\f(a×sin（γ－β）,sin（γ－α）)，所以山高h(yuǎn)＝APsinα＝eq\f(asinαsin（γ－β）,sin（γ－α）).12.(12分)(實(shí)力提升)在某次地震時(shí)，震中A(產(chǎn)生振動(dòng)的中心位置)的南面有三座東西方向的城市B、C、D.已知B，C兩市相距20km，C，D相距34km，C市在B，D兩市之間，如圖所示.某時(shí)刻C市感到地表振動(dòng)，8s后B市感到地表振動(dòng)，20s后D市感到地表振動(dòng)，已知震波在地表傳播的速度為每秒1.5km.求震中A到B、C、解析在△ABC中，由題意AB－AC＝1.5×8＝12(km).在△ACD中，由題意AD－AC＝1.5×20＝30(km).設(shè)AC＝xkm，則AB＝(12＋x)km，AD＝(30＋x)km.在△ABC中，cos∠ACB＝eq\f(x2＋400－（12＋x）2,2×20×x)＝eq\f(256－24x,40x)＝eq\f(32－3x,5x).在△ACD中，cos∠ACD＝eq\f(x2＋1156