2024-2025學(xué)年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)復(fù)習(xí)：全等三角形高頻考點(diǎn)-倍長(zhǎng)中線（解析版）

特訓(xùn)07全等三角形高頻考點(diǎn)一一倍長(zhǎng)中線

【基本模型】

（1）條件：如圖，在ANBC中，為AN5c的中線，

作法：延長(zhǎng)2。至點(diǎn)￡,使得￡>￡=Z。，連接

結(jié)論：①AADC'EDB；②AC=EB；?AC//EB.

E

（2）條件：如圖，在AZBC中，Z尸為△幺5c的中線，

作法：過點(diǎn)C作CEL4F于點(diǎn)E,過點(diǎn)8作5D_L4F交4F的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,

結(jié)論：①ACEF咨&BDF；②BD=CE；③BD〃CE.

（3）條件：如圖，在A4BC中，。為8c的中點(diǎn)，M為48邊上任意一點(diǎn),

作法：延長(zhǎng)至點(diǎn)N,使得MD=DN,連接CN,

結(jié)論：①ABMD沿ACND；②BM=CN；③BM〃CN.

N

【特訓(xùn)過關(guān)】

1.如圖，已知是△NBC中8c邊上的中線，AB=5,AC=3,則的取值范圍是（）

B.1<AD<4C.2<AD<5D.4<AD<8

【答案】B.

【解析】解：如圖，延長(zhǎng)到E,使?！?幺。，連接CE,

???是5c邊上的中線,

/.BD=CD,

在△48。和AECD中,

BD=CD

ZADB=ZEDC,

AD=ED

：.AABD'ECD(SAS),

...CE=AB=5,

在AZEC中，由三角形的三邊關(guān)系得：CE—4C<4E<CE+4C,

：.5-3<AE<5+3,

即2V2ZDV8,

1<AD<4,

E

2.如圖，在AABC中，AB=6,AC=8,Z。是邊8c上的中線，則Z。長(zhǎng)的取值范圍是（）

B.6<AD<8C.1<AD<1D.\<AD<1

【答案】C.

【解析】解：延長(zhǎng)Z。到點(diǎn)￡,使￡>￡=Z￡>,連接EC,

E

???AD是邊8c上的中線,

/.CD=BD,

?：NADB=ZCDE,

/.AADBWEDC(SAS),

/.AB=EC=6,

在ANCE中，AC-CE<AE<AC+CE,

：.2<AD<14,

/.1<AD<1,

故選：C.

3.如圖，AN5c中，2。是中線，ZBAD=70°,ND4c=40。，Z。長(zhǎng)為2,則線段ZC長(zhǎng)為

【答案】4.

【解析】解：延長(zhǎng)至E,使4D=DE,連接BE,

A

'：Z。是中線，

/.BD=CD,

'：ZADC=ZBDE,

AADC%EDB（SAS）,

:.AC=BE,ADAC=ZDEB=40°,

???ZBAD=70°,

ZABE=180°—ZBAD-ZDEB=180°-70°-40°=70°,

：.ZABE=ZBAE,

BE=AE=2AD=4,

Z.AC=4,

故答案為:4.

4.如圖，在Aage中，ZABC=45°,ZM,8c于點(diǎn)/，點(diǎn)。在NM上，且。河=CW,尸是8c的

中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，在即的延長(zhǎng)線上有一點(diǎn)E,連接CE,且CE=C4,NAD尸=36°,則

【解析】解：：ZABM=45°,AMLBM,

：.NBMD=ZAMC,BM=AM,

在△AW和中,

DM=CM

<ZBMD=ZAMC,

BM=AM

：.ABMD^AAMC(SAS),

延長(zhǎng)所到點(diǎn)G,使得FG=EF,連接8G.如圖所示:

：.BD=AC,

又；CE=4C,

：.BD=CE,

在AAFG和ACFE中，

BF=FC

<ZBFG=ZEFC,

FG=FE

：.ABFG^ACFE(SAS),

BG=CE,ZG=ZCEF,

：.BD=CE=BG,

：.ZBDF=NG=ZCEF.

：.ZBDF=ZCEF,

ZE=36°.

故答案為：36°.

5.如圖所示，40為△48C中線，。為5c中點(diǎn)，AE=AB,AF=AC,連接EF,EF=2AD.若

△AEF

的面積為3,則△ZQC的面積為.

【解析】解：延長(zhǎng)到點(diǎn)G,使。G=Z。，連接8G,

?I

6

?.,。為5c中點(diǎn)，

AADC的面積=AADB的面積，BD=DC,

'：ZADC=NGDB,

AADC^AGDB(SAS),

.?.△4DC的面積=ABDG的面積，BG=AC,

?：AC=AF,

：.BG=AF,

?：EF=2AD,AG=2AD,

：.EF=AG,

AE=AB,

:.AAEFWBAG(SSS),

/.i^AEF的面積=AABG的面積=3,

△4DC的面積=AADG的面積=A4BZ)的面積=的面積=1.5,

2

故答案為：1.5.

6.如圖，五邊形Z8CDE中，AB=BC=1,AE=ED=8,ZABC+ZAED=180°,M為邊CD的

中點(diǎn)，BM=9,EM=10,則五邊形Z5CDE的面積為=.

【答案】90.

【解析】解：如圖，延長(zhǎng)AW到尸，使FM=BM,連接。/、EF、BE,

在△8MC和AEMD中，

BM=FM

<NBMC=ZFMD,

CM=DM

：.ABMC/FMD〈SAS）,

：.BM=FM,BC=FD=AB,NC=NFDM,

'：ZA+ZABC+ZC+ZCDE+ZAED=（5-2）x180°=540°,

'：ZABC+ZAED=,

：.ZA+ZC+ZCDE=360°,

ZCDE+ZCDF+NEDF=360°,

N4=NEDF,

在AABE和&DFE中，

AB=DF

<ZA=NEDF,

AE=DE

：.AABE%DFE（SAS）,

BE=EF,

?：BM=FM,EM=EM,

：.ZEBM=ZEFM,

：.AEBM^EFM(SAS),

???EMIBF,

S四邊形BM0E=SBEF=gx9x2xl0=90.

,?S五邊形34CDE=S“BE+S&BCM+

故答案為：90.

A

'年

7.如圖，C是ZE的中點(diǎn)，BC=DC,求證：AABC'EDC.

A

E

【答案】見解析.

【解析】證明：：C是4E的中點(diǎn)，

：.AC=EC.

在ANBC與AEQC中，

AC=EC

<ZACB=ZECD,

BC=DC

：.AABC'EDC(SAS).

8.如圖，是AZBC的中線，F(xiàn)為4D上一點(diǎn)、,￡為40延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DF=DE.

求證：BE//CF.

A

F/

°/DC

E

【答案】見解析.

【解析】證明：???幺。是A48C的中線，

BD=CD,

在ABDE和AC。9中，

BD=CD

<NBDE=ZCDF,

DE=DF

：.ABDE沼&CDF(SAS),

/.ABED=NCFD,

J.BE//CF.

9.(1)在AZBC中，若Z8=10,AC=6,求5c邊上的中線ZD的取值范圍.

(2)在AZBC中，。是5c的中點(diǎn)，DELDF于點(diǎn)、D,DE交AB于點(diǎn)、E,DF交AC于點(diǎn)、F,連接

EF,求證：EB+CF>EF.

【答案】(1)2<AD<8；(2)見解析.

【解析】(1)解：如圖1,延長(zhǎng)2。至使。河=Z。，連接CM,

A

,M

圖1

/.AM=2AD,

???是8c邊上的中線，

BD=CD,

在ACDM和△BEU中，

CD=BD

<NCDM=ZBDA,

DM=DA

：.ACDM沿ABDA(SAS),

/.CW=Z5=10,

在△ZCN中，由三角形的三邊關(guān)系得：CM-AC<AM<CM+AC,

：AQ-6<AM<lQ+6,

即4<2AD<16,

：.2<AD<8；

即5c邊上的中線ZD的取值范圍是2<2。<8；

(2)證明：如圖2,延長(zhǎng)FD至N,使DN=DF,連接5N、EN,

圖2

同(1)得：ACDFABDN(SAS),

CF=BN,

在ABEN中,由三角形的三邊關(guān)系得：EB+BN>EN,

：.EB+CF>EN,

'：DELDF,DN=DF,

：.AEDF沿AEDN(SAS),

EF=EN,

：.EB+CF>EF.

10.課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：

如圖①，△NBC中，若48=12,AC=6,求邊上的中線的取值范圍.

小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)至點(diǎn)E,使DE=4D,連接由此可證

△ADC/EDB,從而得到8￡=ZC=6,再根據(jù)AZBE三邊關(guān)系得出取值范圍.

E

圖①圖②

(1)小明解題過程中證出△ZQCmAEDB的依據(jù)是；

A.SASB.SSSC.AASD.HL

請(qǐng)參考小明的解題思路回答以下問題：

(2)如圖②，4D是AABC的中線，BE交4c于E,交4D于F,且4E=EF.若所=4,EC=3,

求線段AF的長(zhǎng).

【答案】(1)A；(2)線段AF的長(zhǎng)為7.

【解析】解：(1)是5c邊的中線，

BD=CD,

在△4DC和中，

BD=CD

<ZADC=ZEDB,

AD=DE

：.AADC^AEDB(SAS),

.?.小明解題過程中證出AADC'EDB的依據(jù)是“S,

故答案為：A；

(2)延長(zhǎng)4D到點(diǎn)G,使Z)G=4D,連接8G,

A

、，

G

'：AE=EF=4,

：.ACAD=AAFE,

,/40是3C邊的中線，

BD=CD,

在△ADC和AGDB中，

CD=BD

<ZADC=ZGDB,

AD=DG

：.AADC^GDB(SAS),

：.AC=BG,ZG=ZCAD,

：.NG=AAFE,

:AAFE=4BFG,

?.NG=NBFG,

BF=BG,

BF=AC=AE+EC=4+3=7,

線段職的長(zhǎng)為7.

11.如圖，ABLAD,AB=AD,ACLAE,AC=AE.

(1)如圖1,ABAC.ZADE、NZE。之間的數(shù)量關(guān)系為:

(2)如圖2,點(diǎn)尸為￡)￡的中點(diǎn)，連接4F.

①求證：BC=2AF.

②判斷5c與4F的位置關(guān)系，并說明理由.

圖1圖2

【答案】（1）ZBAC=ZADE+ZAED；（2）①證明見解析；（2）BC±AF,理由見解析.

【解析】（1）解：；ABJLAD,ACLAE,

NDAB=ZCAE=90°,

：.ZBAC+ZDAE=180°,

,/NDAE+ZADE+ZAED=180°,

ABAC=ZADE+ZAED,

故答案為：ZBAC=ZADE+ZAED；

（2）①證明：延長(zhǎng)4F至河，使FM=4F,連接"F,

M

?.了為。E的中點(diǎn),

Z.DF=EF,

?：AAFD=AMFE,

：.AAFDAMFE(SAS),

：.AD=ME,NADF=NMEF,

：.AD//EM,

r.ZDAE+ZAEM=1SO°,

■：ZDAE+ABAC=180°,

：.ZAEM=ABAC,

AD=AB,AD=ME,

AB=ME,

又???AE=AC,

：."EMACAB(SAS),

AM=BC,

：.BC=2AF；

②解：BCLAF,

延長(zhǎng)E4交8C于點(diǎn)N,

；AAEM咨ACAB,

.../MAE=NACB,

,/NEAC=90°,

：.ZMAE+ZNAC=90°,

：.ZACB+ZNAC=90°,

：.ZANC=90°,

BCVAF.

12.如圖1,△NBC和AADE都是等腰直角三角形，ABAC=ADAE=90°,連接。C,BE.

(1)若NZE5=90。，求NZOC的度數(shù).

(2)如圖2,連接5。、CE,若點(diǎn)尸是5。的中點(diǎn)，連接Z尸，求證：CE=2AF.

【答案】（1）NZQC=90°；（2）證明見解析.

【解析】（1）解：???△N5C和ANQE都是等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=90°,

；.AB=AC,ZBAE=ZCAD,AE=AD,

:ABE2"CD（SAS）,

：.ZAEB=ZADC=90°,

?/ZAEB=90°,

ZADC=90°；

,:BF=DF,ZAFD=ZBFG,

：.ABFGMADFA（SAS）,

：.BG=AD=AE,NFBG=NADF,

：.AD//BG,

ZBAD+ZABG=\S00,

,/ABAC=AEAD=90°,

，ZBAD+ZEAC=180°,

：.ZABG=ZEAC,

VAB=AC,BG=AD=AE,

：.AABG^ACAE(SAS),

/.AG=CE,

：.CE=2AF.

13.(1)方法學(xué)習(xí)：數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)時(shí)，張老師提出了如下問題：如圖1,在A45C中，48=8,

AC=6,

求8C邊上的中線的取值范圍.

小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法(如圖2),

①延長(zhǎng)40到使得。河=40；

②連接員位，通過三角形全等把48、AC,240轉(zhuǎn)化在中；

③利用三角形的三邊關(guān)系可得的取值范圍為Z8-+W,從而得到的取值范圍

是；

方法總結(jié)：上述方法我們稱為“倍長(zhǎng)中線法”.“倍長(zhǎng)中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系.

(2)請(qǐng)你寫出圖2中ZC與5/的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明.

(3)深入思考：如圖3,40是△48C的中線，AB=AE,AC=AF,ABAE=ZCAF=90°,請(qǐng)直

接利用(2)的結(jié)論，試判斷線段2。與EE的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

圖1圖2圖3

【答案】(1)1<AD<1；(2)AC//BM,且NC=W,理由見解析；(3)EF=2AD,證明見解析.

【解析】解:(1)如圖2,延長(zhǎng)/。到使得。河=2。，連接AW,

V是△48C的中線，

:.BD=CD,

在AMDB和440。中,

BD=CD

<NBDM=NCDA,

DM=AD

：.AMDB咨AADC(SAS),

BM=AC=6,

在&ABM中，AB—BM<AM<AB+BM,

：.8-6<AM<8+6,2<AM<14,

：.\<AD<1,

故答案為：1<AD<7；

(2)AC//BM,且=

理由是：由(1)知，AMDB/ADC,

:./M=NCAD,AC=BM,

AC//BM；

(3)EF=2AD,

理由：如圖2,延長(zhǎng)40到M,使得。M=連接員攸,

由(1)知，ABDMACDA(SAS),

：.AC=BM,

?：AC=AF,

BM=AF,

由（2）知：AC//BM,

：.ABAC+ZABM=ISQ°,

?：NBAE=NFAC=90°,

：.ZBAC+ZEAF=180°,

：.NABM=NEAF,

在AABM和AE4F中，

AB=EA

<AABM=NEAF,

BM=AF

：.AABM^AEAF(SAS),

AM=EF,

AD=DM,

/.AM=2AD,

?/AM=EF,

EF=2AD,

即：EF=2AD.

14.【教材呈現(xiàn)】如圖是華師版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第69頁(yè)的部分內(nèi)容:

例4嶙13213,在△ABC中，D是邊BC的中

點(diǎn)，過點(diǎn)C畫直線CE,使CE/AB,交AD的延長(zhǎng)線

于點(diǎn)E,求證：AD=ED

證明HCE//AB（已知）

/.Z.ABD=ZECD.ZB.W=ZCED（兩直線平

行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.

在AABD與AECD中，

Z.ABD=ZECD,ZBAD=ZCED（已證），

BD=CD（已知），圖13213

.,.A.ABD^AECD（A.A.S）,

...AD=ED（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）.

y

（1）【方法應(yīng)用】如圖①，在A48C中，AB=6,AC=4,則8c邊上的中線長(zhǎng)度的取值范圍

是.

（2）【猜想證明】如圖②，在四邊形Z5CD中，48〃CD,點(diǎn)￡是5C的中點(diǎn)，若ZE是/氏4。的平分

線，試猜想線段48、AD、。。之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

（3）【拓展延伸】如圖③，已知4B〃C戶，點(diǎn)￡是8C的中點(diǎn)，點(diǎn)。在線段ZE上，NEDF=NBAE,

若48=5,CF=2,直接寫出線段。尸的長(zhǎng).

A

cA

【答案】（1）\<AD<5；（2）AD=AB+DC,證明見解析；（3）DF=3.

【解析】解：（1）延長(zhǎng)/。到E,使連接8￡,

圖①

???是5c邊上的中線,

BD=CD,

在&ADC和AEDB中,

AD=DE

<ZADC=NEDB,

DC=DB

：.AADC、EDB（SAS）,

AC=BE=4,

在AABE中，AB-BE<AE<AB+BE,

/.6—4<2AD<6+4,

\<AD<5,

故答案為：1<ZQ<5.

（2）結(jié)論：AD=AB+DC.

理由：如圖②中，延長(zhǎng)ZE,DC交于點(diǎn)F,

?/AB//CD,

：.ZBAF=NF,

在AABE和△尸EC中，

ZAEB=NFEC

<ZBAE=NF,

BE=CE

：.AABE、FEC(AAS),

CF=AB,

???ZE是/氏4。的平分線，

/.ZBAF=ZFAD,

：.ZFAD=NF,

AD=DF,

,/DC+CF=DF,

：.DC+AB=AD.

(3)如圖③，延長(zhǎng)ZE交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,

圖③

是8c的中點(diǎn),

/.CE=BE,

'：AB//CF,

：.NBAE=NG,

在AZEB和AGEC中,

NBAE=NG

<ZAEB=ZGEC,

BE=CE

：.AAEB^AGEC(AAS),

AB=GC,

,/ZEDF=NBAE,

/.ZFDG=ZG,

FD=FG,

：.AB=DF+CF,

?;AB=5,CF=2,

：.DF=AB-CF=3.

15.為了進(jìn)一步探究三角形中線的作用，數(shù)學(xué)興趣小組合作交流時(shí)，小麗在組內(nèi)做了如下嘗試：如圖1,在

【探究發(fā)現(xiàn)】：（1）圖1中NC與W的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；

【初步應(yīng)用】：（2）如圖2,在中，若48=12,AC=8,求邊上的中線的取值范圍.（提

示：不等式的兩邊都乘或除以同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變.例如：若3x<6,則xV2.）

【探究提升】：（3）如圖3,是的中線，過點(diǎn)/分別向外作48、AFLAC,使得

AE=AB,AF=AC,延長(zhǎng)D4交EE于點(diǎn)P,判斷線段￡尸與/。的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請(qǐng)說明理由.

【答案】（1）AC=BM,AC//BM；（2）2<AD<\Q■,（3）EF=2AD,EFLAD,理由見解析.

【解析】解：（1）是A4BC的中線，

BD=CD,

在△4DC和中,

CD=BD

<ZCDA=NBDM,

AD=MD

:.AADC%MDB(SAS),

：.AC=BM,ACAD=AM,

：.AC//BM,

故答案為：AC=BM,AC//BM；

(2)如圖2,延長(zhǎng)40到M,使。河=40,連接

V

M

圖2

由(1)可知，AMDB'ADC(SAS),

：.BM=AC=8,

在AABM中，AB-BM<AM<AB+BM,

12-8<^M<12+8,

即4<24D<20,

2<AD<10,

即8c邊上的中線Z。的取值范圍為2<ZZ)<10；

(3)EF=2AD,EFLAD,理由如下：

如圖3,延長(zhǎng)40到M,使得。=連接切位,

E

P

Bv/D―c

、/

、/

、/

、/

、/

'/

M

圖3

由⑴可知，ABDMWACDAISAS),

：.BM=AC,

'：AC=AF,

BM=AF,

由(2)可知，AC//BM,

：.ABAC+ZABM=\S00,

?：AELAB,AFIAC,

：.NBAE=NFAC=90°,

：.ZBAC+ZEAF=180°,

：.ZABM=ZEAF,

在"BM和AEIF中，

AB=EA

<AABM=ZEAF,

BM=AF

:."BMAEAF(SAS),

：.AM=EF,NBAM=NE,

AD=DM,

AM=2AD,

/.EF=2AD,

■/NEAM=ZBAM+ZBAE=ZE+NAPE,

：.ZAPE=ZBAE=90°,

EFLAD.

16.綜合與實(shí)踐

小明遇到這樣一個(gè)問題，如圖1,AZBC中，48=7,AC=5,點(diǎn)。為8c的中點(diǎn)，求的取值范

圍.小明的做法是：如圖2,延長(zhǎng)40到￡,使DE=4D,連接構(gòu)造注ACID,經(jīng)過推理和

計(jì)算使問題得到解決.

A

圖1圖2圖3

請(qǐng)回答：（1）小明證明△BE。等A。。用到的判定定理是：

A.SASB.SSSC.AASD.ASA

（2）40的取值范圍是.

小明總結(jié)：倍長(zhǎng)中線法最重要的一點(diǎn)就是延長(zhǎng)中線一倍，完成全等三角形模型的構(gòu)造.

參考小明思考問題的方法，解決問題：

（3）如圖3,在正方形48CQ（各角都為直角）中，E為48邊的中點(diǎn)，G、尸分別為8c邊上的點(diǎn)，若

AG=2,BF=3,NGEF=90°,求GF的長(zhǎng).

【答案】（1）A；（2）1<AD<6；（3）GF=5.

【解析】（1）證明：如圖2,延長(zhǎng)到E,使DE=4D,連接BE,

?..。是中點(diǎn)，

?.BD=CD,

在&BDE和ACDA中，

AD=DE

<NADC=ZBDE,

DC=BD

：.ACDA^ABDE(SAS).

故選：A；

(2)解：,:ABDEACDA,

:.BE=AC=5,

AB-BE<AE<AB+BE，

：.7—5V24D<7+5,

/.\<AD<6,

故答案為：

(3)解：如圖3,延長(zhǎng)C8,GE交于M,

?.?四邊形48C。是正方形，

ZA=ZABC=90°,

ZEBM=180°-ZABC=90°,

NZ=NEBM,

?:E是AB中點(diǎn)，

/.AE=BE,

???ZAEG=ZBEM,

:.AAGEABME(ASA),

GE=ME,BM=AG=2,

'：NGEF=90°,

.../￡垂直平分MG,

FG=FM,

FM=FB+BM=3+2=5,

：.GF=FM=5.

A

17.閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進(jìn)行證明.

己知：如圖，點(diǎn)￡是5c的中點(diǎn)，點(diǎn)/在上，且NBAE=NCDE.

求證：AB=CD.

分析：證明兩條線段相等，常用的方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì)，觀察本題中要證明

的兩條線段，它們不在同一個(gè)三角形中，且它們分別所在的兩個(gè)三角形也不全等，因此，要證48=CD,

必須添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造全等三角形或等腰三角形.

（1）現(xiàn)給出如下兩種添加輔助線的方法，請(qǐng)任意選出其中一種，對(duì)原題進(jìn)行證明.

①如圖1,延長(zhǎng)到點(diǎn)尸，使EF=DE,連接AF；

②如圖2,分別過點(diǎn)5、C作BF工DE,CGLDE,垂足分別為點(diǎn)F,G.

（2）請(qǐng)你在圖3中添加不同于上述的輔助線，并對(duì)原題進(jìn)行證明.

/圖1圖2圖3

/

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】證明：（1）①如圖1,延長(zhǎng)QE到點(diǎn)R使￡尸=?！?連接AF,

.點(diǎn)E是8c的中點(diǎn)，

BE=CE,

在ABEE和ACED中，

BE=CE

<NBEF=NCED,

EF=ED

：.ABEF'CEDISAS),

:.BF=CD,NF=NCDE,

,/ZBAE=ZCDE,

?.ZBAE=NF,

AB=BF,

AB=CD；

②如圖2,分別過點(diǎn)夙C作BF工DE,CGIDE,垂足分別為點(diǎn)RG,

：.NF=ZCGE=ZCGD=90°,

:點(diǎn)E是8c的中點(diǎn)，

BE=CE,

在AAE尸和ACEG中，

Z=ZCGE

<ZBEF=NCEG,

BE=CE

：.ABEF'CEG(AAS),

BF=CG,

在和ACDG中，

NBAE=ZCDE

<NF=ZCGD,

BF=CG

：.ABAF、CDG(AAS),

：.AB=CD-,

(2)如圖3,

過C點(diǎn)作CM//AB,交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,

則NBAE=/EMC,

是8c中點(diǎn)，

BE=CE,

在和ACME中，

'/BAE=ACME

<ZBEA=ZCEM,

BE=CE

：.ABAE、CME(AAS),

?.CM=AB,NBAE=NM,

,/NBAE=/EDC,

AM=ZEDC,

CM=CD,

18.《2022新課標(biāo)》指明推理能力是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題或結(jié)論的能力.目前

我們已經(jīng)具備通過一次全等或者二次全等證明其他結(jié)論的能力.

【模型證明】閱讀下列材料，完成相應(yīng)證明.

命題：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

如圖1,△NBC中，ZABC=90°,8。是斜邊NC上的中線.求證：BD=-AC.

2

分析：如圖2,要證明5。等于ZC的一半，可以用“中線倍長(zhǎng)法”延長(zhǎng)RD到E,使得DE=BD,連接

AE,可證AADE咨ACDB,再證明△48E等△氏4C,最后得到：BD=-AC.

2

請(qǐng)你按材料中的分析寫出完整的證明過程；

【模型應(yīng)用】如圖3,在AABC中，ZACB=90°,延長(zhǎng)5c到瓦使得CE=』4B,。是48邊的中點(diǎn),

2

連接即，求證：NB=2NE；

【模型構(gòu)造】如圖4,在ANBC中，AB=30°,ZBAC=-ZB,延長(zhǎng)5c到。，使得CD=8C,連接

2

AD,求/。的度數(shù).

【解析】解：【模型證明】如圖所示：

延長(zhǎng)AD到E,使得DE=BD,連接ZE.

在△ADE和ACDB中,

AD=CD

<ZADE=NBDC,

DE=BD

：.AADE%CDB(SAS),

/.AE=BC,ZAED=ZCBD,

：.AE//BC,

ZABC+ZBAE=180°.

,/NABC=90°,

NBAE=90°,

在A48E和△氏4c中，

AE=BC

<NBAE=NABC,

AB=AB

：.AABE'BAC(SAS),

：.AC=EB.

BD=-BE=-AC,

22

【模型應(yīng)用】證明：連接CD.

?/ZACB=90°,且。為4B的中點(diǎn),

CD=BD=-AB,

2

NB=ZDCB,

CE=-AB,

2

/.CE=CD,

NE=NCDE,

/.ZDCB=2NE,

Z.ZB=2ZE；

【模型構(gòu)造】解：如圖所示，過。作。8,48于〃，連接“.

,/ZDHB=90°,且C￡>=8C,

HC=BC=CD.

：.ZCHB=ZB.

ZB=30°.

ZCHB=30°,

ZCHD=60°,

AHCD為等邊三角形.

：.CH=DH,ZHCD=60°,

ZBAC=-ZB=15°,

2

ZACD=ZB+ZBAC=45°.

ZACH=ZHCD—ZACD=15°,

ZACH=ZCAH.

：.AH=CH=DH.

.?.△NHD為等腰直角三角形.

NHDA=45°,

ZADB=ZADH+ZBDH=105°.

19.(1)【問題情境】課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：如圖1,在△48C中，若48=13,

AC=9,

求5c邊上的中線的取值范圍.

小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法，延長(zhǎng)至點(diǎn)E,使?！?幺。，連接容易證得

△ADC/EDB,再由“三角形的三邊關(guān)系”可求得的取值范圍是

解后反思：題目中出現(xiàn)“中點(diǎn)”、“中線”等條件，可考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和

所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形之中.

(2)【初步運(yùn)用】如圖2,4D是△NBC的中線，BE交AC于E,交4D于凡且NFAE=NAFE.若

AE=4,EC=3,求線段砥的長(zhǎng).

(3)【拓展提升】如圖3,在△NBC中，。為8c的中點(diǎn)，DELDF分別交4B,4c于點(diǎn)、E,F.求證:

BE+CF>EF.

圖1圖2

【答案】(1)2<AD<11；(2)BF=7；(3)證明見解析.

【解析】(1)解：延長(zhǎng)幺。至點(diǎn)￡,使DE=4D,連接BE,

在AADC和&EDB中,

DC=BD

ZADC=NBDE,

AD=DE

：.AADC、EDB(SAS),

：.BE=AC=9,

,/AB-BE<AE<AB+BE,

4<2AD<22,

2<AD<11,

故答案為：2<zo<n.

(2)延長(zhǎng)40到M,使40=011,連接W,如圖2,

M

*/是AZBC中線，

/.BD=DC,

在AaOC和中，

DC=BD

<ZADC=ZBDM,

AD=DM

：.AADC