2024-2025學(xué)年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)復(fù)習(xí)：垂直平分線的性質(zhì)與判定（解析版）

特訓(xùn)11垂直平分線的性質(zhì)與判定

【特訓(xùn)過關(guān)】

I.線段48的垂直平分線上一點(diǎn)P到點(diǎn)/的距離為5,則點(diǎn)尸到點(diǎn)8的距離（）

A.等于5B.大于5C.小于5D.無法確定

【答案】A.

【解析】解：???點(diǎn)尸在線段A8的垂直平分線上，

PB=PA,

PA=5,

：.PB=5,

故選：A.

2.如圖，在△48C中，是8c的垂直平分線.若4B=5,AC=8,則△46。的周長是（

【答案】A.

【解析】解：是8c的垂直平分線，

/.BD=CD,

：.AABD的周長是Z8+8￡）+AD=A8+C￡）+AD=Z8+ZC=13.

故選：A.

3.如圖，三座商場分別坐落在/、B.C所在位置，現(xiàn)要規(guī)劃一個(gè)地鐵站，使得該地鐵站到三座商場的距離

相等，該地鐵站應(yīng)建在（）

A.三角形三條中線的交點(diǎn)B.三角形三條高所在直線的交點(diǎn)

C.三角形三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)D.三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)

【答案】D.

【解析】解：：該地鐵站到三座商場的距離相等,

該地鐵站應(yīng)建在三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)處.

故選：D.

4.如圖，在中，AC=5,BC=3,48的垂直平分線分別交48、AC于點(diǎn)、D、E,則ABCE的

周長等于（）

B.6C.7D.8

【答案】D.

【解析】解：是線段48的垂直平分線,

:.AE=BE,

VAC=5,BC=3,

：.ABCE的周長=8￡+CE+8C=ZC+8C=5+3=8.

故選：D.

5.如圖，尸為A45C內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)尸的線段"N分別交46、8c于點(diǎn)M、N,且M、N分別在尸Z、

PC

的中垂線上.若N48C=80°,則N4PC的度數(shù)為（）

C.130°D.135°

【答案】C.

【解析】解：：NA8C=80°,

/.ZBMN+ZBNM=180°-80°=100°,

:M、N分別在尸幺、尸C的中垂線上,

：.MA=MP,NC=NP,

ZMPA=ZMAP,NNPC=NNCP,

：.AMPA+NNPC=3（/BMN+NBNM[=50°,

/.Z^PC=180°-50°=130°,

故選：C.

6.在△45C中，N8=50°,ZC=35°,分別以點(diǎn)/和點(diǎn)C為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧

2

相交于點(diǎn)M,N,作直線交5c于點(diǎn)。，連接Z。，則/氏4。的度數(shù)為（）

A.60°B.70°C.75°D.85°

【答案】A.

【解析】解：ABAC=130°-ZB-ZC=95°,

由作圖可知，跖V是線段/C的垂直平分線,

?.DA=DC,

：.ZDAC=ZC=35°,

/BAD=ABAC—ADAC=95°-35°=60°，

故選：A.

7.如圖，AZBC中，ZBAC=105°,AB、ZC的垂直平分線分別交8c于點(diǎn)E、F,則NE4尸的度數(shù)

D.45°

【答案】C.

【解析】解：???NA4C=105°,

o

/.ZJ5+ZC=180-105°=75°,

???AB、AC的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)E、F,

:.EA=EB,FA=FC,

：.ZEAB=ZB,ZFAC=ZC,

ZEAB+ZFAC=ZB+ZC=75°,

NE4P=105°—75°=30°,

故選：C.

8.如圖在AZBC中，邊AB,ZC的垂直平分線交于點(diǎn)P,連結(jié)AP,CP,若NN=50°,則N5PC=

C.90°D.50°

【答案】A.

【解析】解：連接4P,延長AP交ZC于。，

:.ZBPC=ZPDC+ZACP=ZBAC+ZABP+ZACP,

.點(diǎn)尸是4B,ZC的垂直平分線的交點(diǎn)，

/.PA=PB=PC,

ZABP=NBAP,ZACP=ZCAP,

ZBPC=ABAC+NBAP+ZCAP=ZBAC+ABAC=2ABAC=2x50。=100°,

故選：A.

9.點(diǎn)M是AZBC三邊垂直平分線的交點(diǎn)，連接MZ、MB、MC,若NMBC+ZACM=75°,則

NBAM

的值是（）

A

B^且------------

A.45°B.30°C.25°D.15°

【答案】D.

【解析】解：?點(diǎn)M為A4BC三邊垂直平分線的交點(diǎn)，

：.MA=MB=MC,

?.ZMCA=ZMAC,ZMBC=ZMCB,ZMAB=ZMBA,

'：ZMBC+ZACM=75°,

：.ZMAC+ZMCA+ZMCB+ZMBC=150°,

ZMAB=ZMBA=^x[18Q0-15Q°）=15°,

故選：D.

10.如圖，已知Z。是A4BC的角平分線，Z。的中垂線交48于點(diǎn)R交8c的延長線于點(diǎn)￡.以下四個(gè)

結(jié)論：?ZEAD=ZEDA；②DF〃AC；（3）ZFDE=90°；④N5=NCZE.恒成立的結(jié)論有（）

BDCE

A.①②B.②③④C.①②④D.①②③④

【答案】C.

【解析】①???￡廠是的垂直平分線，

EA=ED,可證NEAD=NEDA.

②?/EF是AD的垂直平分線，

:.FA=FD,可證ZFQZ=/"￡),

,/AD平分NBAC,

：.ZFAD=ACAD,

NFDA=ACAD,

/.DF//AC.

③???FD與BE不一定互相垂直，

.?.③不一定成立.

④由①②得ZEAD=ZEDA,ZFAD=ZCAD,

又,/ZEDA=ZB+ZFAD,ZEAD=ZCAD+ZCAE,

：.NB=ZCAE.

故選：C.

11.如圖，在△48C中，以點(diǎn)N為圓心，NC的長為半徑作圓弧交8c于點(diǎn)。，再分別以點(diǎn)8和點(diǎn)。為圓

心，大于工8。的長為半徑作圓弧，兩弧分別交于點(diǎn)M和點(diǎn)N,連接&W交48于點(diǎn)￡.若48=9,

2

AC=7,

則AADE的周長為.

【答案】16.

【解析】解：由作圖可得/￡>=ZC=7,上W垂直平分AD,

EB=ED,

的周長為/￡+?！?2。=幺￡+5￡+幺。=幺8+幺。=16,

故答案為：16.

12.如圖，在AZBC中，AB,ZC的垂直平分線分別交5c于點(diǎn)。，E,垂足分別為M,N,已知

△ADE

的周長為22,則5c的長為.

【解析】解：因?yàn)锳B,NC的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)D,E,

所以AD=8￡),AE=EC,

所以8c=8。++CE=40++ZE,即為AADE的周長，

又因?yàn)锳ZQE的周長為22,

所以8c=22.

故答案為：22.

13.如圖，0E、。尸分別是ZC、8。的垂直平分線，垂足分別為E、F,且Z8=CD,

ZABD=116°,

ZCDB=28°,則N08￡>=0.

【答案】44.

【解析】解：如圖，連接。4、0C,

,：0E、分別是NC、AD的垂直平分線,

0A=0C,OB=0D,

：.ZOBD=ZODB,

在AAOB和ACOD中,

OA=OC

AB=CD,

OB=OD

：.AAOBaCOD(SSS),

ZABO=ZCDO,

VZABD=116°,ZCDB=28°,

ZABO+ZOBD=116°,ZCDO-ZODB=28°,

：.ZABO=72°,ZOBD=44°,

故答案為：44.

14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)2(4,0),8(0,8),點(diǎn)C在48的垂直平分線上，且NZC8=90°,

則點(diǎn)C的坐標(biāo)為.

【答案】(6,6)和(—2,2).

【解析】解：分兩種情況：

(1)如圖1所示，過點(diǎn)C作于。，?！?，。4于￡

,/ZACB=ZDCE=90°,

ZBCD=NACE=90°-ZACD,

?..點(diǎn)C在48的垂直平分線上，

BC=AC,

在△BCD與AZCE中,

ZBDC=ZAEC

</BCD=NACE,

BC=AC

：.ABCD^AACE(AAS),

：.AE=BD,CE=CD=OE,

4+AE=8—AE,

/.AE=2,

/.OE=OD=6,

則點(diǎn)C坐標(biāo)為(6,6)；

(2)如圖2所示，過點(diǎn)C作于。，CEL04于E.

?/ZACB=ZDCE=90°,

?.ZBCD=NACE=90°-ZACD,

?..點(diǎn)C在4B的垂直平分線上，

BC=AC,

在△BCD與AZCE中，

ZBDC=ZAEC

<ZBCD=ZACE,

BC=AC

：.ABCD均ACE(AAS),

：.AE=BD,CE=CD=OE,

/.4+OE=8—OE,

OE=2,

則點(diǎn)C坐標(biāo)為(—2,2).

綜上可知點(diǎn)C坐標(biāo)為：(6,6)和(—2,2).

故答案為：(6,6)和(-2,2).

15.如圖，ZE是NCZM的角平分線，點(diǎn)8在射線ZW上，QE是線段5c的中垂線交NE于￡,

EF1AM.若NZC8=26°,ZCBE=25°,則NZEQ=.

【解析】解：連接CE,過￡作￡R_LZC于R,交CD于0,AE文BC于0,

是線段BC的中垂線，

/.ZEDC=90°,CE=BE,

：.ZECB=ZCBE,

???ZCBE=25°,

：.NECB=25°,

NDEB=NCED=90°-25°=65°,

,：ERLAC,EDLBC,

ZQRC=ZQDE=90°,

/.N4CB+ZCQR=90°,ZEQD+ZQED=90°,

?/ZCQR=ZEQD,

/.ZACB=ZQED,

,/ZACB=26°,

ZQED=26°,

平分NG4M,ERLAC,EF1AM,

ER=EF,

在Rt^ERC和Rt^EFB中，

CE=BE

<ER=EF'

RtAERC名RMEFB(HL),

NEBF=ZACE=ZACB+ZECD=26°+25°=51°,

,/ZEFB=90°,

/.ZBEF=90°-NEBF=90°—51°=39°,

AREF=ZRED+ZBED+ZBEF=26°+65°+39°=130°,

,/ZARE=ZAFE=90°,

ZCAM=360°-90°-90°-130°=50°,

,/ZE平分NC4M,

ZCAE=-ZCAM=25°,

2

?.ZDOE=ZCAE+NZC8=250+26°=51°,

,/EDLBC,

NEDB=90°,

ZAED=90°-ZDOE=90°—51°=39°,

故答案為：39°.

16.如圖，AZBC中，斯垂直平分ZC,交ZC于點(diǎn)足交BC于點(diǎn)E,AD1BC,垂足為。，且

BD=DE,

連接ZE.

(1)求證：AB=EC；

(2)若△4SC的周長為20c冽，AC=7cm,則的長為多少？

【答案】（1）證明見解析；（2）DC=—cm.

2

【解析】（1）證明：/垂直平分NC,

/.AE=EC,

,/AD1BC,BD=DE,

AB=AE,

：.AB=EC-,

（2）解：A48c的周長為20c?j,

AB+BC+AC=20cm,

AC=7cm,

AB+BC=13cm,

,/AB=EC,BD=DE,

：.AB+BD=DE+EC=DC,

?：AB+BC=AB+BD+DC=2DC=13cm,

?nr13

2

17.電信部門要修建一座電視信號(hào)發(fā)射塔尸，按照設(shè)計(jì)要求，發(fā)射塔尸到兩城鎮(zhèn)/、2的距離必須相等，到

兩條高速公路加和〃的距離也必須相等.請(qǐng)?jiān)趫D中作出發(fā)射塔尸的位置.（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖

【解析】解：設(shè)兩條公路相交于。點(diǎn).P為線段48的垂直平分線與NMCW的平分線交點(diǎn)或是與N0ON

的平分線交點(diǎn)即為發(fā)射塔的位置.如圖，滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè)，即尸、P'.

\E

18.如圖，在AZBC中，Z8的垂直平分線交N5于點(diǎn)￡,交NC于點(diǎn)。，且ZC=15c機(jī),△BCD的

周長等于25cm.

(1)求8c的長；

(2)若NZ=36°,并且48=ZC,求證：BC=BD.

【答案】(1)BC=lQcm,(2)證明見解析.

【解析】(1)解：,??肱V是48的垂直平分線，

AD=BD,

AC=15cm,△BCD的周長等于25c機(jī)，

BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=25cm,

BC=10cm.

(2)證明：：N/=36°,AB=AC,

?—1^=72°'

AD=BD,

：.ZABD=ZA=36°,

ZDBC=ZABC-NABD=36°,

ZBDC=180°-ZDBC-ZC=72°,

ZC=ZBDC,

BC=BD.

19.如圖，在A4BC中，DE,。尸分別為8C,48邊的垂直平分線，連接/￡),CD.若N8=50°,

求NNCD的度數(shù).

【答案】ZACD=40°.

【解析】解：如圖，連接

ZB=50°,

/.ABAC+NBCA=180°-50°=130°,

DE,DF分別為BC,48邊的垂直平分線，

/.DB=DC,DB=DA,

:.NDCB=NDBC,NDAB=/DBA,DC=DA,

：.NDCB+ZDAB=ZDBC+/DBA=50°,

/.ADAC+ZDCA=130°-50°=80°,

DC=DA,

ZACD=ZCAD=40°.

20.如圖所示，Z。是/氏4c的平分線，DELAB,DFLAC,垂足分別為E,F,連接EE,EF與

AD

交于點(diǎn)G,求證：4D垂直平分EE.

A

【答案】證明見解析.

【解析】證明：是NR4c的平分線,

DELAB,DFLAC,

：.DE=DF,ZAED=ZAFD=90°,

在Rt^AED和Rt^AFD中

DE=DF

AD=AD'

/.Rt^AED^Rt^AFD(/tt),

AE=AF,

?；NO是/氏4c的平分線，

NO垂直平分E尸.

21.已知：如圖，NA4c的角平分線與5C的垂直平分線QG交于點(diǎn)。，DELAB,DFLAC,垂足

分別為E,F.

（1）求證：BE=CF；

（2）若4r=6,BC=1,求△48C的周長.

【答案】（1）證明見解析；（2）△48C的周長為19.

【解析】（1）證明：連接C。，

?.?。在的中垂線上

?.BD=CD,

'：DELAB,DFA,AC,4D平分NBAC,

DE=DF,

/BED=ZDCF=90°,

在Rt^BDE和Rt^CDF中，

DE=DF

BD=CD'

RtABDE沿RtKDF〈HL),

/.BE=CF；

(2)解：易證，Rt^ADE=Rt^ADF,

AE=AF=6,

AASC的周長=Z5+8C+NC=(ZE+8￡)+5C+(AF—CF)=6+7+6=19.

22.如圖，OE,。尸分別是△48C中4B,ZC邊的中垂線(即垂直平分線)，NOBC、N0C5的平分

線相交于點(diǎn)/,試判定。/與8c的位置關(guān)系，并給出證明.

【答案】01工BC,理由見解析.

【解析】解：OILBC.

理由：連接CM,過點(diǎn)/作血J.05于點(diǎn)/，過點(diǎn)/作WJ.OC于點(diǎn)N,過點(diǎn)/作/G,5c于點(diǎn)G,

OE,。/分別是48,ZC邊的中垂線，

OA=OB,OA=OC,

OB=OC,

?：NOBC,N0C5的平分線相交于點(diǎn)/,IMLOB,INIOC,IGLBC,

：.IM=IG,IN=IG,

：.IM=IN,

'：IM1OB,INIOC,

...點(diǎn)/在N50C的角平分線上,

???OB=0C,

23.如圖所示，在RMZ5C中，ZACB=90°,AC=BC,。為5c邊上的中點(diǎn)，?！辏?。于點(diǎn)￡,

BF//AC

交CE的延長線于點(diǎn)凡求證：45垂直平分。尸.

【答案】證明見解析.

【解析】證明：連接。尸，

'：ZBCE+ZACE=90°,ZACE+ZCAE=90°,

：.ZBCE=ZCAE.

?：ACLBC,BF//AC.

：.BF1BC.

ZACD=ZCBF=90°,

AC=CB,

：.AACDaCBF,

CD=BF.

■：CD=BD=-BC,

2

BF=BD.

，△皮力為等腰直角三角形.

VZACB=90°,CA=CB,

：.ZABC=45°.

ZFBD=90°,

ZABF=45°.

NABC=ZABF,即R4是NFBD的平分線.

...A4是即邊上的高線，氏4又是邊EO的中線,

即AB垂直平分

24.如圖，在A/BC中，DM,EN分別垂直平分NC和8C,交4B于M,N兩點(diǎn)，。河與EN相交于

點(diǎn)尸.

(1)若NZC5=110。，則NAfCN的度數(shù)為