2024-2025學年人教版高二數(shù)學選擇性必修第一冊 第二章 直線和圓的方程 章末測試（提升）（解析版）

第二章直線和圓的方程章末測試(提升)

一、單選題(每題5分，每題只有一個選項為正確答案，8題共40分)

1.(2023山東)過點4(1,2),且與兩坐標軸同時相切的圓的方程是()

A.(x-1)2+(y-l)2=1或(x-5)2+(,-5)2=25

B.(x-l)2+(y-3)2=2

C.(x-5)2+(y-5)2=25

D.(x-l)2+(y-l)2=l

【答案】A

【解析】由題意可得，圓心到兩坐標軸的距離相等，且為半徑，

所以圓心一定在直線y=x或y=-x上；

當圓心在y=x上時，不妨設(shè)圓心坐標為(凡。)，半徑為r(r>0),則同=r,

且圓心到4(1,2)的距離為而-]『+([=~即/-6a+5=0

解得a=1或a=5,

所以圓心為(U)時，半徑—1,圓的方程為(X-l)2+(y-1)2=1；

圓心為(5,5)時，半徑為r=5,圓的方程為(x-5y+(y-5)2=25；

當圓心在》=-％上時，不妨設(shè)圓心坐標為(a,-a),半徑為r=|a|(r>0),

且+(_q_2y=r,即a2+2a+5=O,此時方程無解；

所以圓的方程為(x-l)2+(y-l)2=l或(》-5)2+(尸5)2=25.如下圖所示：

2.(2023?安徽亳州?蒙城第一中學校聯(lián)考模擬預測)若兩條直線-y=x+m,l2：y=與圓

%2+/一2%一2丁+，=0的四個交點能構(gòu)成矩形，貝()

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【解析】由題意直線4,4平行，且與圓的四個交點構(gòu)成矩形,

則可知圓心到兩直線的距離相等,

由圓入2+,2一2%一27+/=0的圓心為：(1,1),

圓心到4：y=%+相的距離為:

_|i-i+/w|__H

「二^一正‘

圓心到4:y=x+w的距離為:

|1-1+?||?|

所以g另n同=凡

由題意相

所以機=—〃=>m+〃=0,

故選：A.

3.(2022?高二課時練習)已知從點(-5,3)發(fā)出的一束光線，經(jīng)x軸反射后，反射光線恰好平分圓:

(x-l)2+(y-：l)2=5的圓周，則反射光線所在的直線方程為()

A.2x-3y+l=0B.2x-3y-l=0

C.3x-2y+l=0D.3x-2y-l=0

【答案】A

【解析】設(shè)點A的坐標為(—5,3),圓0-1)2+"-1)2=5的圓心坐標為8(1,1),

設(shè)C(x,0)是x軸上一點，因為反射光線恰好平分圓(XT)?+(y-I?=5的圓周,

所以反射光線經(jīng)過點BCM),

3-01-01

由反射的性質(zhì)可知：k+k=0^——+--=0^x=--,

ACBC-3-x1-x2

,_1—02

于是比一13，所以反射光線所在的直線方程為:

21

y=§(%+5)n2%-3y+1=0,

故選：A.

4.（2023.福建泉州?泉州五中?？寄M預測）已知復數(shù)Z滿足|z+i|=l,則|z+l|的最大值為（）

A.72B.2C.V2+1D.3

【答案】C

【解析】設(shè)2=々+歷,

因為|z+i|=|a+9+1川=1,

所以"+9+1)2=],

因為|z+l|=|〃+l+Oi|=++62,

所以|z+l|相當于圓片+僅+1）2=1上的點到點（TO）距離,

所以|Z+1|的最大值為圓心（0,-1）到點（T,。）距離與圓的半徑1的和，即0+1.

5.（2023春?河南潦河?高二統(tǒng)考期末）設(shè)點尸為直線/：2x+y-4=0上任意一點，過點尸作圓O:V+；/=1的

切線，切點分別為48,則直線48必過定點（）

A.rlB.C.D.P1

【答案】B

【解析】如圖，連接。4,0B,

根據(jù)題意，設(shè)尸⑺,"）為直線/：2x+y-4=0上的一點，則2"z+〃—4=0,

由于尸AP8為圓。的切線，則有OALR4,OBLPB,

則點A、2在以O(shè)P為直徑的圓上，

以O(shè)P為直徑的圓的圓心為（：,1）,半徑r=匕OP|=遍",

2222

則其方程為（%-y）2+（y-今2=2不，變形可得x2+/-mx-^=0,

［爐+2=i

聯(lián)立｛22可得直線A3：mx+ny-1=G,

［尤+y—mx-ny=0

又由2m+〃一4=0,貝!J有A3：如+（4—2m）y—1=0,變形可得m（x—2y）+4y—l=0,

則有：［：；：，解可得x=1,y=J，故直線AB恒過定點.

［4y—1—U2447

故選：B.

6.（2023?湖南益陽?安化縣第二中學?？既＃┲本€V=x+b與曲線尤=9手恰有兩個不同的公共點，則

實數(shù)b的取值范圍是（）

A.-l<b<y/2B.-V2</?<-1

C.-l<bMl或b=-y/^D.—^/2<b<\

【答案】B

【解析】y=x+〃是斜率為1的直線，

曲線》=黃二了■是以原點為圓心1為半徑的圓的右半圓，

畫出它們的圖象如圖，

當直線與圓相切時，-yj=1=>=—5/2,b=V2（舍去），

當直線過（1,0）時，6=-1,

由圖可以看出：

當-應(yīng)〈彌-1時，直線與半圓有兩個公共點,

故選：B.

7.（2023春.安徽安慶?高二安徽省宿松中學?？奸_學考試）若V、N為圓C:（尤-2y+y2=l上任意兩點，P

為直線x-也y+2=0上一個動點，則的最大值是（）

A.45°B.60°C.90°D.120°

【答案】B

【解析】因為圓。:（％-2）2+〉2=1的圓心為。（2,0）,半徑為廠=1,

|2-0+2|

所以圓心C（2,0）到直線尤-也y+2=0的距離為d=2>r,

V1+3

所以直線x-6y+2=0與圓C相離,

設(shè)B4、尸2是過點尸圓的兩切線，且A、B為切點,如圖，

顯然/必火44/>3,當PM,PN為兩切線時取等號；

因為B4、PB是過點P圓的兩切線，所以上4=尸3,AC1PA,

由圓的對稱性易得NAPB=2/APC,顯然/APC是銳角，

Ar1

在RtZX/5AC*中，sinZ.APC=-----------,

PCPC

又（尸CL=d=2,所以（sinZAPCt^；，

所以=30°，...（NMPN）a=60°.

故選：B.

8.(2023?全國?高三專題練習)已知4(2,0),點尸為直線x-y+5=0上的一點，點。為圓/+,2=1上的一

點，則戶。|+；H。|的最小值為()

A5&+2R5>/2-2-HA/2n11V2

2224

【答案】D

【解析】設(shè)(4％),令=

則|“二-；；；x：4

2—+y=-xj+y=x+"38"t+y=

。x；+y；=1nx=g,則呢,0卜同|+*0|=閘+閘.

如圖，當P,Q,"三點共線時，且尸河垂直于直線無-y+5=0時，|尸Q|+|M&有最小值，為歸河即直線

-+5廠

x-y+5=0至IJ點M距離，為2_=11垃.

A/2-4

二、多選題(每題至少有兩個選項為正確答案，少選且正確得2分，每題5分。4題共20分)

9.(2022?高二課時練習)設(shè)有一組圓C小(x-k)2+(y-k)2=4(keR),下列命題正確的是()

A.不論上如何變化，圓心C始終在一條直線上

B.所有圓CJ勻不經(jīng)過點(3,0)

C.經(jīng)過點(2,2)的圓C.有且只有一個

D.所有圓的面積均為4兀

【答案】ABD

【解析】A選項，圓心為?、?，一定在直線y=x上，A正確；

B選項，將(3,0)代入得：2產(chǎn)一6左+5=0,其中A=T<0,方程無解，即所有圓CJ勻不經(jīng)過點(3,0),B

正確；

C選項，將(2,2)代入得：公一必+2=0,其中A=16-8=8>0,

故經(jīng)過點(2,2)的圓C?有兩個，故C錯誤；

D選項，所有圓的半徑為2,面積為4兀，故D正確.

故選：ABD.

10.(2023春?河南周口?高二校聯(lián)考階段練習)已知直線/:a(2x+3y+2)+%(x-2y-6)=0(必中0),則下列

結(jié)論正確的是()

A.若直線/經(jīng)過原點，則。=-36

B.若直線/在兩坐標軸上的截距之和為0,且則b=5a

C.若直線/與圓(x-3Y+y2=5相切，貝。a=

D.若直線/是圓E:/+y2=16與圓廠:(x+5『+(y-3)2=c的公共弦所在直線，貝ijc=32

【答案】BC

【解析】直線/:(2〃+6)x+(3a—2Z?)y+2q—66=。("工。),

對于A,直線/經(jīng)過原點，則2°-68=0,即。=36,故A錯誤；

對于B,設(shè)直線/在工，>軸上的截距分別為私〃，即直線過(私0),(0,〃)，旦機+〃=0,

貝(2a+b)〃z+2a-66=0且(3a-20)〃+2a-66=0,又aw3b,

貝(2a+b)/n=(3a-如"0且m+n=0,

貝lj2a+Z?=—(3a—2Z>),則%=5a,故B正確；

圓(x-3)2+y=5的圓心(3,0),半徑為廠=有，

若直線/與圓（尤-3）2+/=5相切,

|3（2G+ZJ）+2G-6Z>|

則圓心到直線的距離d

|8o-3Z?|

即?/??=4^,則（4+4Z?）2=0,貝IjQ=T5故C正確;

J13Q2-Sab+5b2

圓E:d+y2=i6與圓尸：（尤+5y+（y-3）2=c的公共弦所在直線為（x+5y+（y-3）2-c-（爐+/-16）=0,

BP10x—6y+50—c=0,

直線/:（2a+Z?）x+（3Q-2Z?）y+2a-6Z?=O（MwO）,

由題意，兩線重合，則即惚=當三絲，得3a=b,

10-6

又然^=誓生，即3=與產(chǎn)，解得c=82,故D錯誤.

1050-c250-c

故選：BC.

11.（2023春?廣西河池?高二統(tǒng)考期末）已知圓C：a-l）2+y2=l,A（3,：l）,點p為圓C上一動點，。為坐標原

點，則下列說法中正確的是（）

A.|4尸|的最大值為若+1

B.|OP|+|PA|的最小值為2后

■41

C.直線AP的斜率范圍為0,-

D.以線段AC為直徑的圓與圓C的公共弦方程為y=-2x+1

【答案】AC

【解析】圓C:（x-l）2+y2=^/4C（l,0）,半徑廠=1,

又4（3,1）,所以附=43-if+F=正”即點C在圓外，

所以l"Lx=|AC|+l=^+l，故A正確；

|C?P|+|PA|>|OA|=7io,當且僅當P在線段與圓C的交點時取等號，故B錯誤；

1一2%4

設(shè)直線AP：y=Mx-3）+l,根據(jù)題意可得C點到直線AP的距離〃=匕T?l,解得0V左V：,故c正確;

Jl+k23

設(shè)AC的中點為O,則?2,￡|,又卜必=J（2-=,，

所以以AC為直徑圓的方程（x-2）2+[y-g：=,,顯然圓。與圓C相交,

所以公共弦方程為y=-2x+3,故D錯誤.

12.（2023春?甘肅慶陽?高二校考期末）點尸在圓弓：/+丁=1上，點。在圓C2：Y+y2-6x+8y+24=0上,

則（）

A.|尸。|的最小值為2

B.盧。|的最大值為7

4

C.兩個圓心所在的直線斜率為一§

D.兩個圓相交弦所在直線的方程為6x-8y-25=。

【答案】BC

【解析】由已知G（0,0）,半徑為r=l,圓G的標準方程為（無-3）2+（尹4）2=1,

故C?（3,-4）,半徑R=l,圓心距|C|C2|="（T_0）2+（3_O）2=5,

又,?,2在圓G上，。在圓C?上，

則|尸。的最小值為|p4ta=|GG|-R-廠=3,最大值為|尸。1Mx=|CG|+R+r=7,

故A錯誤、B正確；

-4-04

兩圓圓心所在的直線斜率為=—7，C正確；

圓心距|C￡|="（Y-0）2+（3-Op=5>1+1=2大于兩圓半徑和,兩圓外離，無相交弦，D錯誤.

故選：BC.

三、填空題(每題5分，4題共20分)

13.(2023福建)已知圓C：x2+y2-Sx-6y+16=0,過點P(4,l)的直線與圓C交于點M,N,線段MN的

中點為Q,則點。的軌跡方程為.

【答案】(iy+(y-2)2=l

【解析】由圓C：/+/一8了-6>+16=0方程變形為標準式(x-4)2+(y-3)2=9,

進而得出(4一4>+(1-3>=4<9,所以點尸(4』)在圓C內(nèi)部，

又因為。為線段的中點，連接CQ,由垂徑定理得CQLMN,

設(shè)點Q的坐標(蒼>),得詼=(x-4,y-3),P2=(x-4,j-l),

所以西.苑=0,得(x-4)2+(y-3)(y-l)=0,整理得(x-4>+(y-2>=1,

所以點Q的軌跡方程為(Ip+(y-2>=程

故答案為：(x-4)2+(y_2>=l

14.(2023春?重慶沙坪壩)已知點P在直線y=x-2上運動，點E是圓/+丁=1上的動點，點尸是圓

(x-6y+(y+2)2=9上的動點，則|尸耳-忸目的最大值為-

【答案】8

【解析】如圖所示,

圓(x-6)2+(y+2)2=9的圓心為A(6,-2),半徑為3,

圓公重才=1的圓心為0(0,0),半徑為1,

可知|網(wǎng)—34儼尸|V+3,|PO|-14忸同4|PQ|+1,

所以|P同一戶國4(|PAj+3)-(|P0|-1)=|PA|-1P0|+4,

若求上目-忸目的最大值，轉(zhuǎn)化為求|總|-忸01的最大值，

設(shè)0(0,0)關(guān)于直線y=x-2的對稱點為B,設(shè)B坐標為(m,n),

八一1

則相，解得［'”=；，故3(2,-2),

nm.\n=-2

—=------2、

122

因為歸。=|尸理，可得|網(wǎng)—|尸。|=|網(wǎng)—|依區(qū)旗1=4,

當P,B,A三點共線，即尸點為勺(0,-2)時，等號成立，

所以|P司-忸目的最大值為4+4=8.

故答案為：8.

15.(2023春?廣東陽江?高二統(tǒng)考期末)己知圓/+產(chǎn)-6工=0,過點(2,1)的直線被該圓所截的弦長的最小值

為.

【答案】2幣

【解析】將圓的一般方程化為(尤-3)2+9=9

設(shè)圓心為C,直線過點。(2,1),與圓交于A,8兩點，則C(3,0),半徑r=3,

設(shè)圓心到直線的距離為d,則弦長|A明=2尸工1,

當直線與C。所在的直線垂直時d最大，此時最小,

這時d=\CD\=7(3-2)2+(0-1)2=V2，

所以最小的弦長|4日=242-(0)2=2夕,

故答案為：2s.

16.(2023春?上海嘉定?高二上海市育才中學?？茧A段練習)經(jīng)過點(3,2)的直線/與圓(尤-2)2+丁=9交與P,

Q兩點，如果|尸。|=40,則直線/的方程為.

【答案】無=3或3x-4y-l=0

【解析】圓"一2)2+、2=9的圓心以2,0),半徑廠=3,

因為圓C截直線I所得弦長為|尸。=40,則圓C到直線/的距離d=Jr2-(1|P2I)2=1，

因為直線/過點A(3,2),則當直線/斜率不存在時，直線x=3,

顯然圓心C到直線x=3距離為1,因此直線/：x=3符合題意；

當直線/斜率存在時，設(shè)其方程為y-2=3),即日-、-3左+2=0,

于是/左2+(-1)2=1'解得左=：，方程為3尤一4＞一1=0,

所以直線/的方程為x=3或3x-4y-l=0.

故答案為：x=3或版-4廣1=0

四、解答題（17題10分，其余每題12分，6題共70分）

17.（2023春?湖北?高二校聯(lián)考階段練習）已知圓C:/+y2=i6,直線/:（2+左）x+（l+左）y+左=0.

（1）證明：直線/和圓C恒有兩個交點；

⑵若直線/和圓C交于A3兩點，求|他的最小值及此時直線,的方程.

【答案】（1）證明見解析

⑵|最小值為2而，此時直線Z方程為2〉-5=0

【解析】（1）直線（2+左）x+（l+左）y+左=0,即Mx+y+l）+（2x+y）=0,

,fx+y+l=0fx=l、

聯(lián)立/x+y=0解得［=_2所以不論左取何值，直線/必過定點「z（I）.

HC:x2+y2=16,圓心坐標為C（0,0）,半徑廠=4,

因為|PC|=J（1-0）2+（-2-0）2=有＜4,所以點尸在圓C內(nèi)部，

則直線/與圓C恒有兩個交點.

（2）直線/經(jīng)過圓C內(nèi)定點P。,-2）,圓心C（0,0）,

記圓心到直線/的距離為d

因為|AB|=2,2T2,所以當』最大時，取得最小值，

所以當直線/LCP時，被圓C截得的弦最短，

此時14用=2,42-|尸?！?2d中-（小丫=2而，

因為峪==?=-2,所以直線/的斜率為:，又直線/過點”1,-2）,

所以當|明取得最小值時，直線/的方程為y+2=g（x-l）,即x-2y-5=0,

綜上：最小值為2而，此時直線/方程為彳-2曠-5=0.

18.（2023春?江蘇揚州?高二江蘇省江都中學?？奸_學考試）在平面直角坐標系xQy中，圓C的方程為

（%一相）~+[,一（2根一3）丁=1,meR.

⑴當機=-1時，過原點O作直線/與圓C相切，求直線/的方程；

⑵對于P（-2,2）,若圓C上存在點使=求實數(shù)機的取值范圍.

【答案]⑴x=0或127y=0

【解析】（1）當根=-1時,圓C的方程為（x+iy+（y+5）2=l,

圓心C（T-5）,半徑廠=1,

①當直線/的斜率不存在時，直線/的方程為x=0,滿足條件;

②當直線/的斜率存在時，設(shè)直線/的方程為了=H，

由直線/與圓c相切，則匚”=1,解得左=],

收+15

所以/的方程為＞=（無，即12x-5y=0,

綜上得，直線/的方程為x=0或12無一5、=。；

（2）圓心C（私23）,k0P=-1,

則線段。尸的中垂線的方程為＞T=x+l,即y=x+2,

要使得|阿|=|同。|，則M在線段。尸的中垂線上，

所以存在點M既要在V=x+2上，又要在圓C上,

所以直線y=x+2與圓C有公共點，

|m-2m+3+2|

所以一壺―-1,解得5-夜《加45+四,

19.(2023春?新疆塔城?高二統(tǒng)考開學考試)已知圓P過兩點m(0,2),N(區(qū)且圓心尸在直線'上.

⑴求圓P的方程；

⑵過點0(T,2)的直線交圓尸于AB兩點，當|AB|=2步時，求直線48的方程.

【答案】⑴Y+y2=4

⑵產(chǎn)-1或3%+4丁-5=0

【解析】(1)依題意圓心尸在直線y=無上，可設(shè)圓P的方程為(X-〃)2+(、-。)2=/。＞。),

因為圓P過兩點m(0,2),N電,1),

(0-a)2+(2-a)2=r2a=0

，解得

(73-fl)2+(l-a)2=r2戶=4

所以圓尸的方程為/+/=4.

(2)由(1)可知，圓心尸(0,0),半徑r=2,

當直線A3的斜率不存在時，其方程為x=T,圓心尸(。,0)到直線AB的距離為1,

此時|AB|=2Vr2—1=2\/3滿足題意；

當直線A3的斜率存在時，

設(shè)直線的方程為＞—2=左。+1),即丘-y+左+2=0,

當|=26時，圓心尸(0,0)到直線AB的距離d="_訴2=i,

一,I左+2|口,3

即有d=[―.....-1，解得k=一:,

業(yè)+14

3

此時直線的方程為i=-上+1),即為31+4＞-5=。.

綜上，直線的方程為x=-l或3x+4y-5=0.

20.(2022秋.福建寧德.高二福建省寧德第一中學?？茧A段練習)已知直線4的方程為x+2y-3=0,若4在

x軸上的截距為且《，丸

(1)求直線4和4的交點坐標；

(2)已知直線4經(jīng)過4與4的交點，且在V軸上截距是在x軸上的截距的2倍，求。的方程.

【答案】⑴。,1)

(2)丁=龍或2x+y-3=。

【解析】(1)由直線4的方程為I+2y—3=0,5，

可得直線4的斜率為2,

又在X軸上的截距為31，即過點

2

所以直線4方程：丁=2

即2x-y-l=0,

聯(lián)立4方程，得:

2x—y—l=0(x=l

故交點為(1,1);

x+2y—3=0[y=1

(2)依據(jù)題意直線4在y軸上截距是在X軸上的截距的2倍，

且直線4經(jīng)過4與4的交點(1,1)

當直線4過原點時，4方程為：y=x，

當直線4不過原點時，設(shè)4方程為二+9=1，則3=1，解得a=I，

故，3方程為：2x+y=3,

即2x+y-3=0

綜上所述：4的方程為＞=無或2x+y-3=o.

21.(2023春?江西宜春?高二上高二中校考階段練習)已知圓C:(x-l)2+(y-2)2=4.

(1)若圓C的切線在x軸、y軸上的截距相等，求切線方程;

(2)從圓C外一點P(X,y)向該圓引一條切線，切點為且有1PMl=|PO|(。為坐標原點)，點尸的軌跡方

程.

【答案】⑴，=或x+y=3+20或x+y=3-2魚；

⑵2x+4y-l=0

【解析】(1)圓C:(x-lp+O2)\4的圓心為(L2),半徑為2,

①設(shè)圓C的切線在無軸、y軸上的截距均為0,則切線過原點，

設(shè)所求切線方程為y=履，左/0,即

…\k-2\4

則圓心到切線的距離為"=+^