2024-2025學(xué)年青海省西寧市高二年級(jí)上冊(cè)期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年青海省西寧市高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷

一、單選題（每小題5分，共40分）

1.己知直線/：后-3?+1=°,則直線/的傾斜角為（）

兀兀7L27r

A.6B.3C.2D.3

2.己知"（231）,5=0,-2,-2）,則￡在否上的投影向量為（）

2-2-

一一-b——b

A.2bB.-2bC?3D.3

3.己知直線4："+3了-6=0,直線￡2x+（a-l）y-4=0,貝『，°=_2”是“4〃4”的（

）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.已知空間向量”若與B垂直，則同等于（）

巫巫叵叵

A.2B.2C.2D.2

5.已知圓/+丁=4與圓一+/_8》+4,+16=0關(guān)于直線/對(duì)稱，則直線/的方程為（）

A2x+y-3=0Bx-2y-S=0Q2x-y-5=0px+2y=0

6.已知點(diǎn)叩布,一2）。"°，哈。為坐標(biāo)原點(diǎn)，且旗而=。，則固=（）

A.36B.瓜C.6D.2療

7.已知直線/：》+>一2=0與圓M:x2+/_4x_4y+a=0交于48兩點(diǎn)，且|“同=4血，則

a=（）

A.4B.-4C.2D.-2

8.如圖，在三棱錐尸-N3C中，N4PB=90°,NCPA=NCPB=60。,PA=PB=PC=2,點(diǎn)

D,E,尸滿足而=麗，PE=2EA,AF=FC,則直線C￡與。尸所成的角為/

「二

A.30°B,45°C.60。D.90。,,石

E

二、多選題（每小題6分，共18分.全選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分）

9,向量=-2乃9）,若,〃在，則（）

13?1_1r

x=—y=——a=—bra=—b

A.5B.2C.3D.2

10.己知圓G：X2+J?+2必-10y+療=0,圓。2：/+/+例-5=0,則下列說法正確的是

（）

A.若點(diǎn)0』）在圓q的內(nèi)部，則-2＜加＜4

B.若加=2,則圓弓，。2的公共弦所在的直線方程是4龍-14y+9=°

C.若圓外切，則加=±VE

D.過點(diǎn)G?）作圓C?的切線/,則/的方程是》=3或7x-24y+27=°

11.設(shè)。，區(qū)分別是直線/,加的方向向量，4,“分別是平面a,4的一個(gè)法向量，則

（）

A.若a'Q,則〃i，〃2

---一（ab\=--

B.若",％,"%，且''/3,則a與/的夾角為3

/-----、兀兀

（a,〃］）=一—

C.若'/3,則直線/與平面。所成的角為6

D.若'/'3,且則〃/加

三、填空題（每小題5分，共15分）

12.已知"=（-2,1,3），"=（-1,2,1）,則萬與B夾角的余弦值為.

13.己知圓C：/+r=1,過圓C外一點(diǎn)尸作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,若

ZAPB=120°,則.同=.

14.己知平面。的一個(gè)法向量為"=（235）,點(diǎn)"（124）是平面夕上的一點(diǎn)，則點(diǎn)

P（T，L5）到平面1的距離為.

四、解答題（共5小題共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

15.（13分）

⑴已知空間向量&=(2廠1,-2)石=(1,1,-4),求忸-3同

(2)已知3=(-2,1,3)石=(-1,2,1),豪_L@一町,求實(shí)數(shù)2的值.

16.(15分)

已知以點(diǎn)4(T，2)為圓心的圓與直線4：》+2尸7=0相切，過點(diǎn)以-2,0)的動(dòng)直線/與圓力相

交于M,N

⑴求圓A的方程.⑵當(dāng)=2M時(shí)，求直線/的方程.

17.（15分）

如圖，在四棱錐中,PZ）_L平面A8CD,AD1DCtAB。DC,

AB=AD=—CD=2

2,PD=2,M為棱PC的中點(diǎn)

⑴證明：瓦0//平面PAD⑵求平面PDM和平面DMB夾角的余弦值.

18.(17分)

已知-組動(dòng)直線方程為(后+―+(后-A-5"3=0

(1)求證：直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)尸的坐標(biāo).

(2)若直線與無軸正半軸，V軸正半分別交于點(diǎn)42兩點(diǎn)，求的08面積的最小值.

19.（17分）

在四棱錐尸一工8。中，是等邊三角形，四邊形N3CD是矩形，4B=2,AD=243,

PB±AD,

￡是棱PD的中點(diǎn).

⑴求證.4，族⑵求二面角P-/E-B的正切

高二數(shù)學(xué)期中答案

一、單選題

1.己知直線/：后一3y+1=°,則直線/的傾斜角為()

兀兀兀27r

A.6B.3C.2D.3

【正確答案】A

【分析】根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系即可求解.

，百，n7i

k.=—=tancc\cc=—_

【詳解】???直線/的斜率3，由于“叩，町，所以6,的傾斜角為6.故選:

A.

2.己知”=(231),‘=0，-2,-2),則［在)上的投影向量為()

2-?-

---b--b

A.2bB.-2bc.3D.3

【正確答案】D

【分析】利用投影向量公式進(jìn)行求解

a-b(2,3,1)-(1,-2,-2)工2-6-222

-z-?bz=-------------------W?b=-----------b=-----br

閭212(-2)-+(-2)293

【詳解】II+''I',故。在6上的投影向量

--b

為3.故選：D.

3.己知直線上"+3歹-6=0,直線￡2x+(a-l)y-4=0,貝!是，4〃’2”的

()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】C

【分析】利用兩直線平行求解。的值，結(jié)合充要關(guān)系的定義判斷即可.

【詳解】由4〃，2可得6="("1),解得。=3或"-2.當(dāng)0=3時(shí)，4：3x+3y-6=0,4：

2x+2y-4=0)顯然4,4重合，舍去,故4〃4時(shí)，。=-2,因此“a=-2”是“4〃，2”的充要

條件.故選：C

4.已知空間向量"=(L〃Z,"=(-2,1,2),若2人不與B垂直，則同等于()

5G3A/5V37V21

A.2B.2c.2D.2

【正確答案】B

【分析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)運(yùn)算及向量垂直的坐標(biāo)表示列方程，解方程可得向量

Z與同.

【詳解］因?yàn)?=8%2),心(-2,1,2),所以2,一5=(4,2〃-1,2),因?yàn)榕cB垂直，所

1，|>2

,,(2a-b}b=-8+2n-l+4=0=

以<，解得2,所以,所以

同=

，故選：B.

5.已知圓一+丁=4與圓產(chǎn)+/_8》+4,+16=0關(guān)于直線/對(duì)稱，貝|j直線/的方程為()

A+y_3=0Bx_2)_8—0Q2X_y_5=0口x+2y=0

【正確答案】C

【分析】根據(jù)對(duì)稱可知/是圓￡和圓c?圓心連線的垂直平分線，利用垂直關(guān)系求解斜率，由

點(diǎn)斜式方程即可.

2

【詳解】圓G：/+/=4,圓心。(0,0),半徑12,C2：X+/-8X+4)；+16=0I圓心

Cz(4,-2),半徑4=2,

由題意知，/是圓G和圓G圓心連線的垂直平分線，.??G((),0),C?(4,-2),GCZ的中點(diǎn)(2,-1),

k=_1

圓心GG連線的斜率為CC-5,則直線/的斜率為2,故/的方程：V+l=2(x-2),即

>=2x-5,故c正確.故選：c.

6.已知點(diǎn)/而一2)。(4,。,叫。為坐標(biāo)原點(diǎn)，且旗而一°,則因=()

A.36B.aC.6D.2近

【正確答案】C

【分析】根據(jù)。p。°=°,求出機(jī)的值，再利用模長(zhǎng)公式求解即可.

【詳解】因?yàn)槭丁産,一2）。（4，°，吐所以歷=《，而，-2）而=（4,。,加）,又

OPOQ=4-2m=0解得加=2,

所以0（4,。,2）,則網(wǎng)疝，4）,所以國(guó)=5^=6.故選。

7.已知直線/：》+>一2=0與圓/：工2+/_敘_47+4=0交于48兩點(diǎn)，且恒同=40,則

a=（）

A.4B.-4C.2D.-2

【正確答案】D

【分析】運(yùn)用垂徑定理結(jié)合勾股定理構(gòu)造方程計(jì)算即可.

【詳解】由題意可得圓”的圓心為M（2,2）,半徑r=j4+4-a=VT下,則圓心M到直線

/的距離Vl2+12,因?yàn)镮2J,所以（血？+（2&）2=8-a，即8—4=10,

解得。=-2.故選：D.

8.如圖，在三棱錐尸-NBC中，N4PB=90。,NCP4=NCPB=60°,PA=PB=PC=2,點(diǎn)、

D,E,尸滿足麗=麗，PE=2EA,AF=FC,則直線CE與。尸所成的角為（）

A.30。B.45。C,60。D.90。

【正確答案】D

【分析】設(shè)方=心麗=B，PC=c,利用空間向量運(yùn)算得°“一1”一',

DF=-(a-b+c}

2、7,利用數(shù)量積的運(yùn)算律求解數(shù)量積，即可解答.

-1

—?―?一——?一一一3-c=Z)-c=2x2x—=2

【詳解】設(shè)尸/=汗，PB=b,PC=c,貝qa?=0,2

CE=PE-PC=-PA-PC=-a-c

33,

DF=PF-PD=^(PA+PCy-^PB=^(a-b+c^

CE.DF=La2-La-b-^a-c+-b-c--c1=0

所以33622,

故直線CE與。尸所成的角為90°.

故選：D

二、多選題

9,向量』=（2x/，3）石=0,-2%9）,若）〃相則（）

13-1t-11

x=—y=—a=—ba=-b

A.5B.'2C.3D,2

【正確答案】BC

【分析】利用空間向量平行列出關(guān)于X/的方程組，解之即可求得的值和無分的關(guān)系.

2x=4

,1=-2"1_13

【詳解】因?yàn)樗?=助，由題意可得〔3=9"，所以36-2,則

a=-b

3.故選：BC

10.已知圓。1：尤2+y+2g-10夕+/=0,圓G：/+/+4了-5=0,則下列說法正確的是

（）

A.若點(diǎn)°」）在圓G的內(nèi)部，則-2〈楊〈4

B.若機(jī)=2,則圓G，C2的公共弦所在的直線方程是4x-14y+9=°

C.若圓4外切，貝|］加=±岳

D.過點(diǎn)（"）作圓G的切線/,則/的方程是x=3或7x-24y+27=°

【正確答案】BCD

【分析】根據(jù)點(diǎn)在圓的內(nèi)部解不等式1+1+2%-10+/＜0即可判斷A錯(cuò)誤；將兩圓方程相

減可得公共弦所在的直線方程可知B正確；利用圓與圓外切，由圓心距和兩半徑之和相等即

可知C正確；對(duì)直線/的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，由點(diǎn)到直線距離公式即可得D正確.

【詳解】對(duì)于A,由點(diǎn)（n）在圓G的內(nèi)部，得1+1+2%-10+?。?,解得-4＜加＜2,故

A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若相=2,則圓G：/+y2+4xTOy+4=o,

將兩圓方程相減可得公共弦所在的直線方程是4xT4y+9=0,故B正確;

對(duì)于C,圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程為機(jī)r+3-5)2=25,圓心為0(一加,5),半徑l二5,

圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程為*+"+2)2=＞圓心為02(0，-2),半徑々=3,

若圓GC外切，則|。?=4+-2,即J/+49=5+3,解得加=±岳，故c正確;

對(duì)于D,當(dāng)/的斜率不存在時(shí)，/的方程是》=3,圓心G至"的距離"=3=々，滿足要求,

當(dāng)/的斜率存在時(shí)，設(shè)/的方程為》=無@-3)+2,

4-3月

ri3k=—

圓心G至〃的距離，解得24,

所以/的方程是7尤一24了+27=0,故D正確.

故選：BCD.

11.設(shè)5分別是直線"加的方向向量，%,“分別是平面a,〃的一個(gè)法向量，則

()

A.若a，夕，則4±n2

----(ab\=--

B.若且''/3,則&與分的夾角為3

/----A兀兀

C.若'/3,則直線/與平面1所成的角為6

D.若(可毋止;且則/〃機(jī)

【正確答案】AC

【分析】利用直線方向向量與平面法向量的位置關(guān)系，逐一分析各選項(xiàng)即可得解.

【詳解】。，區(qū)分別是直線右5的方向向量，%,%分別是平面a,夕的一個(gè)法向量，

對(duì)于A,易知若a，尸，則為1'%,故A正確；

對(duì)于B,由“,4,可知，直線///a,ml1/3,

ja,b=一

顯然當(dāng)a與一n平行時(shí)，直線/，冽可以滿足3,故B錯(cuò)誤；

q——H——71-7-C----7-1——71

對(duì)于C,當(dāng)‘?3時(shí)，直線/與平面。所成的角為236,故C正確；

—一7*~?兀

a,ny=0,71.=—

對(duì)于D,若3,

7171

則直線/與平面夕所成的角為6,直線加與平面）所成的角為6,

717171

----1----——

又"http://￡,則直線/，加所成角可以為66-3,即直線/與機(jī)不平行，故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

三、填空題

12.已知彳=（一21,3），B=（-1,2,1）,則汗與B夾角的余弦值為

51721

【正確答案】6/6

【分析】由空間向量的數(shù)量積公式求解即可.

【詳解】：'=(—2,1,3),5=(-1,2,1),

,c°s<71%=4^=叵后

|則/乂瓜6

13.己知圓C：/+r=1,過圓C外一點(diǎn)尸作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,若

N4PB=120°,則?吐

【正確答案】1

【分析】結(jié)合切線長(zhǎng)定理可得V/8C為等邊三角形，即可得|AB|.

廠=1,由尸/、尸8為圓C切線，故

ZOAP=ZOBP=90°

XZAPB=120°ZAOB=360°-90°-90°-120°=60°,又40=B0=r=l,故AABO為等邊

三角形，故M4=L

故1.

14.已知平面。的一個(gè)法向量為"=(235),點(diǎn)/(I24)是平面。上的一點(diǎn)，則點(diǎn)

’(T，L5)到平面c的距離為.

屈

【正確答案】R

"=吧

【分析】利用空間向量法可得出點(diǎn)尸到平面。的距離為H，即為所求.

,同,2V38

【詳解】由已知可得在=(一2T1),所以點(diǎn)P到平面a的距離為M’3819.故

V38

答案為.19

四、解答題

15.⑴已知空間向量'=QT「2),B=(1,1,-4),求怩-34

⑵已知)=(-2,1,3),1(一1,2,1),若〃@-叼,求實(shí)數(shù)力的值

【正確答案】(1)3函(2)2.

【分析】(1)求出向量的坐標(biāo)，由坐標(biāo)計(jì)算模長(zhǎng).

(2)分別用坐標(biāo)表示出兩個(gè)向量，由向量垂直則數(shù)量積為0建立等量關(guān)系，從而求出參數(shù)

的值.

【詳解】⑴2”3役=(1,-5,8),所以恒-3可3+(-5)2+8?=3-

(2),3=(-2,1,3),石=(-1,2,1),.”-痛=(-2+41-243-/1),..人...

5-^-26)=0

即-2(-2+^)+(1-22)+3(3-X)=0,解得2=2.

16.已知以點(diǎn)4(T，2)為圓心的圓與直線4：》+2>7=0相切，過點(diǎn)8(-2,0)的動(dòng)直線/與圓

/相交于

(1)求圓A的方程；

⑵當(dāng)MM=2M時(shí)，求直線/的方程.

【正確答案】(i)a+i)'d)=2。

（2）3x-4〉+6=0或x=-2

【分析】（1）由題意知點(diǎn)到直線距離公式可確定圓4半徑〃，帶入到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可求得圓的

方程；

（2）過《做/O'"',由垂徑定理可知圓心到直線/,設(shè)出直線/,可分為斜率存在和斜率

不存在兩種情況，解之可得直線方程

【詳解】⑴易知2（T，2）到直線》+2尸7=0的距離為圓/半徑入

”昆：+2'2+71=2后

所以Vl2+22,

則圓/方程為（X+以+&-2）2=20

（2）過/做"Q,MN,由垂徑定理可知/MQ/=90。，且|吸|=炳，

在RUAMQ中由勾股定理易知國(guó)=即而=6呵=1

當(dāng)動(dòng)直線/斜率不存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為無=-2,

經(jīng)檢驗(yàn)圓心到直線/的距離為1,且根據(jù)勾股定理可知\MN\=2M,

顯然x=-2合題意，

當(dāng)動(dòng)直線/斜率存在時(shí)，/過點(diǎn)'（一2,°）,設(shè)/方程為：V=Mx+2）,

\-k+2k-2\,3

/>=]k=—

由Z（T，2）到/距離為1知J+k得4,

代入解之可得版-4了+6=0,

所以3x-4y+6=0或x=-2為所求/方程.

17.如圖，在四棱錐尸一4sCD中，W平面NBC。，AD1DC,ABIIDC,

AB=AD=-CD=2

2,PD=2,"為棱尸C的中點(diǎn)

/：

L,------

AB

⑴證明：3M//平面尸4D；

（2）求平面PDM和平面DMB夾角的余弦值；

【正確答案】（1）證明見解析

V6

⑵6

【分析】（1）取中點(diǎn)N,證明根據(jù)線面平行的判定定理，即可證明結(jié)論;

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面夾角的向量求法，即可求得答案.

【詳解】（1）取中點(diǎn)N,連接"N,MN.

JX\/_*******^

*F、必

AB

cMN=-DC

在△尸CD中，M,N分別為PC,尸口的中點(diǎn)，則MV〃OC,2,

AB^-DC

因?yàn)镹5//DC,2,則AB=MN,

可知四邊形"BAIN為平行四邊形，則8M〃/N,

且8M任平面尸/。，ZNu平面尸/￡）,所以現(xiàn)///平面P/O.

（2）因?yàn)槭?。_L平面/BCD,AD,DCu平面48CZ）,

則尸D_L/D,PD1.DC,且/DI.DC,

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,0P所在直線分別為x,V,z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系O-孫z,如圖所示，

取°的中點(diǎn)E,連接BE,

因?yàn)镹2〃DC,2,則AB=DE.

又因?yàn)锳。,0C,所以四邊形為矩形，

且4B=4D=2,可知四邊形即是以邊長(zhǎng)為2的正方形，

則。（0,0,0）,42,0,0）,以2,2,0）,C（0,4,0）,尸（0,0,2）,M（0,2,1）

可得a=（2,0,0）,麗=（。，2,1）,麗=（2,2,0）,

h?DM=2y+z=0

設(shè)平面8ZW的法向量為7=(“/,z),所以〔萬Q3=2x+2昨0,

令>=T,貝口=1,z=2.所以平面由W的一個(gè)法向量為k=(1，T，2),

易知方3為平面產(chǎn)。加的一個(gè)法向量，

n-DA_2V6

cosn,DA=

同明V6x26

所以平面尸DM和平面夾角的余弦值為6.

18.已知-組動(dòng)直線方程為G+e+(1)y-5"3=0.

(1)求證：直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(2)若直線與無軸正半軸，V軸正半分別交于點(diǎn)42兩點(diǎn)，求膽。3面積的最小值.

【正確答案】定點(diǎn)為(4,1),最小值為8.

【分析】(1)直線方程按k分解變形，方程恒成立，得到方程組，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可證：

直線恒過定點(diǎn).

(2)根據(jù)點(diǎn)斜式寫出直線方程，求出雙面積的表達(dá)式，根據(jù)均值定理得出面積的最小

值.

【詳解】(1)直線方程(后+1b+/-1)了一5左一3=0,整理可得：

k(x-y_5)+(x-y-3)=0恒成立，由此x_y_5=0,x-y-3=0,解得x=4,y=l,由此直

線恒過定點(diǎn)(4,1).

(2)直線分別交x軸的正半軸，夕軸正半分別交于點(diǎn)42兩點(diǎn)，設(shè)直線方程為

=4--=OA

y-l=k(i-4其中k<0,令x=0,y=l-4k=05；令