2024-2025學年江西省南昌某中學高二（上）期中數(shù)學試卷（含答案）

2024-2025學年江西省南昌十九中高二(上)期中數(shù)學試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知點N與點M(l,—2,3)關于x軸對稱，則點N的坐標為()

A.(1,2,—3)B.(-1,-2,3)C.(-1,—2,-3)D.(1,-2,—3)

2.已知空間直角坐標系。一孫z中有一點2(-1,一1,2),點B是xOy平面內(nèi)的直線工+y=1上的動點，則4,B

兩點的最短距離是

()

A.V6B.孚C.3D.孝

Z,4

3.若圓C：。-1)2+(>-3)2=8上存在兩個點到直線/：x+y+6=0的距離為或，則實數(shù)機的取值范圍

是()

A.—6<m<—2B,—10<m<-2

C.—2<m<2或一10<m<-6D,m<—6或租>—2

4.設a,b為實數(shù)，若直線a%+by=2與圓％2+y2=i相切，則點p(a,b)與圓的位置關系()

A.在圓上B.在圓外C.在圓內(nèi)D.不能確定

5.已知橢圓條+噲=l(a>b>0)的左、右焦點分別為％,F2,直線I：y=依(卜40)與橢圓交于4B兩

點，直線4Fi與橢圓交于另一點D,若直線4。與BD的斜率之積為-玄則橢圓的離心率為()

A.1B.乎C.|D.理

6.已知點4B分別為雙曲線E：*，=l(a>0力>0)的兩個頂點，點M在E上，AABM為等腰三角形，

且頂角為120。，則雙曲線E的離心率為()

A.A/5B.2C.^3D."

7.已知拋物線C：y2=2px(p>0)上的點(m,2)到原點的距離為2避，焦點為F,準線2與久軸的交點為M,

2TT

過C上一點P作PQ1I于Q,若乙FPQ=零則|PF|=()

A-3B,-2CJ—3D,-3

8.函數(shù)/㈤=x+3被稱為“對勾函數(shù)”，它可以由雙曲線C：:一，=l(a>0fb>0)旋轉得到，已知直

線％=0和直線y=%是函數(shù)/(%)的漸近線，則雙曲線C的漸近線方程為()

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A.y=±爭cB.y=±(*-l)xC.y=±(2-4)XD.y=±x

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.已知直線/：(2a-3)x+(1—a)y+1=0,貝！|()

A.若a=1,則直線1的傾斜角為三

B,直線I過定點(1,2)

C.若a=g,則直線Z在x軸和y軸上的截距相等

D,若直線(不經(jīng)過第二象限，則a<1

10.數(shù)學中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線.例如：四葉草曲線C:(久2+y2)3=IV

%2產(chǎn)就是其中一種(如圖).則下列結論正確的是()

A.曲線C關于坐標原點對稱\丫/_

B.曲線C上的點到原點的最大距離為^

C.四葉草曲線c所圍的區(qū)域面積大于?

D.四葉草曲線C恰好經(jīng)過5個整點(橫、縱坐標均為整數(shù)的點)

11.在平面直角坐標系xOy中，動點P(x,y)的軌跡為曲線C,且動點P(x,y)到兩個定點%1,0),92(1,。)的

距離之積等于3,則下列結論正確的是()

A.曲線C關于y軸對稱

B.曲線C的方程為N+*+1=.2+9

C.面積的最大值楙

D.|OP|的取值范圍為[*,2]

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.若曲線y=與直線x-y+m=。有兩個公共點，則實數(shù)機的取值范圍是.

13.已知橢圓C：喘+仁=1，則過點(3,0)且斜率為釉直線被橢圓C所截線段的長度為.

14.設拋物線久2=4y的焦點為F,若G)M：久2+(y-4)2=產(chǎn)&>0)與拋物線有四個不同的交點，記y軸同

側的兩個交點為4B,則|F4|?|尸8|的取值范圍是.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

2

如圖所示，由半橢圓Ci：?+與=l(yW0,6>0)和兩個半圓。2:(久+I/+y2=i(y之。)、c3:(x-1)

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+y2=i(y20)組成曲線C：F(x,y)=0,其中點4、&依次為G的左、右頂點，點B為Q的下頂點，點

F1、/2依次為C1的左、右焦點.點%、/2分別為曲線。2、C3的圓心.

(1)求C1的方程;

(2)若點P、Q分別在。2、。3上運動，點T(0,-l)，求|TP|+ITQI的最大值，并求出此時點p、Q的坐標.

16.(本小題15分)

如圖，在平面直角坐標系xOy中，點4(0,3),直線I：y=x-l,設圓C的半徑為1,圓心在LL.

(1)若圓心。也在直線y=3刀+1上，過點4作圓C的切線，求切線的方程;

(2)若圓C上存在點M,使|MA|=2\MO\,求圓心C的橫坐標a的取值范圍.

17.(本小題15分)

設%,尸2為橢圓C：:+f1=l(a>b>0)的左、右焦點，點4(避,勺在橢圓C上，點4關于原點的對稱點

為B,四邊形4F1BF2的面積為群.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若過尸2的直線?交橢圓C于M,N兩點，求證：黃西+痣所為定值.

18.(本小題17分)

已知雙曲線E>°力>°)的左、右焦點分別為Fi，尸2，離心率為2,P是E的右支上一點，且

PFilPF2,△PF1F2的面積為3.

(I)求石的方程；

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(U)若E的左、右頂點分別為4B,過點&的直線1與E的右支交于M,N兩點，直線AM和BN的斜率分別即

為k4M和求四M+|版2的最小值.

19.(本小題17分)

已知拋物線E：產(chǎn)=4尤的焦點為F,若A4BC的三個頂點都在拋物線E上，且滿足同+而+而=0,則稱

該三角形為“核心三角形”.

⑴設“核心三角形A8C”的一邊4B所在直線的斜率為2,求直線48的方程；

(2)已知△ABC是“核心三角形"，證明：AABC三個頂點的橫坐標都小于2.

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參考答案

1.A

2.B

3.C

4.B

5.B

6.D

7.0

8.B

9.ABC

IQ.AB

11.ABD

12.[2,2避)

13處

j5

14.(5,9)

15.解:(1)依題意，%(—1,0)、尸2(1，0)，

所以按=4—1=3,

所以Ci的方程為1+4=l(y<0)；

4D

(2)|TP|+\TQ\<(|^|+|%P|)+(|TF2|+\F2Q\)

=(#+l)+("+l)

=2避+2,

當T、%、P三點共線，同時r、&、Q三點共線，有(|TP|+|也|)帆取=2"+2,

由r(0,—1),F1(—1,0)、F(l,0),則此時NOF1P==乎，

2^OF2Q

所以％尸=-1+1xcos督=—1—孝，yP=1xsin與=孝，

則0(—1—岑￥),同理可得Q(I+孝,孝).

16.解：(1)根據(jù)題意，圓心C在直線/：y=%—l_b,也在直線y=3%+1上，

解得％=-1,y=-2,所以C(—l,-2),所以圓C：(%+1尸+(y+2尸=1,

當切線斜率存在時，過點人的切線方程可設為y=憶％+3,即--y+3=0,

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則號9=1父二卷

所以切線方程y=等+3,

當斜率不存在時，直線x=0也與圓相切,

綜上：所求切線直線方程為y=(x+3或K=0；

(2)設點C(a,a-1),M(xo,yo),因為|M4|=2\MO\,則W+(、0-3)2=4(就+y電，

即點M的軌跡方程為/+(y+1)2=4,

又點M在圓C上，所以Oo-a)2+(yo-a+1)2=1,

2

若存在這樣的點M,則就+(y0+1產(chǎn)=4與(x()-a)2+(y0-cz+I)=1有交點，

即兩圓的圓心距d滿足1Wd＜3,

即14戲溟＜3,

解得弓＜a＜芋或一乎＜a＜

故a的取值范圍是［孝，嶗U［-挈，-乎］.

17.解：(1)設橢圓C的焦距為2c(c＞0),四邊形力F1BF2為平行四邊形，其面積設為S,

則S=2c3=0，所以c=收，

所以口2一按=C2=3,

解得層=4,b2=1,

所以橢圓C的方程為a+y2=i.

(2)證明：F2(鄧,0),當直線I與X軸重合時，I的方程為y=0,

此時不妨令|F2Ml=a+c=2+y^,\F2N\=a-c=2-木,則號兩+]7%=4；

當直線2與無軸不重合時，1的方程可設為刀=ay+避，

由[x=W+群

出｛x2+4y2=4，

得(加+4)y2+2避my—1=0,4=(28m)2+4(m2+4)=16(m2+1)>0,

設N(%2,y2)，

則yi+y2=-31^,%為=一方%<o，

22

\F2M\=A/(XI-A/3)+yi=d(myi+木一病2+yf=yjl+m\yi\,

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3322

\F2N\=J(%2-J3)2+%=^](my2+V-V)+y\=^/1+m|y2|,

1

1,]_z1,1、_1.lyifl_]J(yi+>2)2-4丫/2_d

尸2Ml十\F2N\—Jl+TH211yli十\y2\)—Jf不Q'\yiy2\~?+*加汨—

綜上所述，島Ti+l7/為定值4，

18.解：(I)不妨設雙曲線E的半焦距為c(c>0),

因為△尸%尸2的面積為3,

1

所以旌「七展=打尸小四2|=3,

解得|P%|?|PF2l=6,

易知|P%|一|P&|=2a,

對等式兩邊同時平方得|PFF+|PF2『-2|PFi||PF2l=4a2,

又|PFi『+尸2『=4c2,

即4c2—12=4a2,

因為=c21a2,

解得爐=3,

因為雙曲線E的離心率為2,

所此=2,

解得。2=1,

2

則雙曲線E的方程為久2_白=1；

(11)由(1)知產(chǎn)2(2,。)，4(—1,0),5(1,0),

因為直線MN的斜率不為0,

不妨設直線MN的方程為％=ty+2(—*<t<爭，M(x1)yi),yV(x2,y2),

'%=ty+2

聯(lián)立/_乃=1,消去X并整理得(3t2-l)y2+12ty+9=0,

由韋達定理得當+丫2=一[告，yiy2=豆

9

因為^AM~久1+1，kpN=X2—1

斫以旗M_yi(汽2-1)_月(b2+1)_1yly2+%_322T_丫2__i

萬以跖N一丫2(尤1+1)—y2(tyi+3)一tyy+3y2—3y2一—

±23tz-l

即々BN