2024-2025學(xué)年江西省高二年級(jí)上冊(cè)10月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年江西省高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.下列直線中，傾斜角最小的是（）

A.4x+3y-5=0B.4x-3y-5=0

C.3x+4y-5=0D.3x-4y-5=0

2.已知圓(x—l)2+(,_])2=/經(jīng)過點(diǎn)尸（2,2）,則圓在點(diǎn)尸處的切線方程為（）

A.x+y-4=0B.x+y=0

C.x-y=0D.x-y-4=0

22

3.若方程上一+」—=1表示橢圓，則冽的取值范圍為（）

1+m2-m

A.(-U)B.（-2,1）

°HiMiqD—加

4.若點(diǎn)尸(—1,2)在圓C：;P+/+x+y+加=0的外部，則機(jī)的取值可能為（）

A.5B.1C.-4D.-7

5.己知，(—4,2),5(3,1),過點(diǎn)P（0,-1）的直線/與線段48（含端點(diǎn)）有交點(diǎn)，則直線/

的斜率的取值范圍為(

A.1一8,一gD

B.l-oo,--Uj,+co1

.■32-一23'

°D.一一

34

6.點(diǎn)(—2,3)關(guān)于直線2x+2y-3=0對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(

377_3

2522，-2

533_5

2?22，-2

7.已知圓G：(x+3)~+/=81和：(x-3)-+j2=1,若動(dòng)圓尸與這兩圓一個(gè)內(nèi)切一個(gè)

外切，記該動(dòng)圓圓心的軌跡為則M的方程為()

8.已知P是圓C：/+/-6y=0上一動(dòng)點(diǎn)，若直線/：3x—4y—12=0上存在兩點(diǎn)4,B,

7T

使得NAPB=—能成立，則線段A8的長(zhǎng)度的最小值是()

2

18224398

A.—B.—C.—D.—

5555

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.己知4(2,2),5(1,0),C(3,-2),且四邊形Z3CD是平行四邊形，貝!)()

A.直線/。的方程為x+y—4=0B.1=(1,2)是直線CD的一個(gè)方向向量

C.|SC|=4D.四邊形Z8CD的面積為3

10.若直線y=依―2與曲線y=J_》2+6丫_5恰有一個(gè)交點(diǎn),則左的值可能為()

212

A.0B.一C.2D.

5y

11.已知/(TO),8(3,0),尸是圓0：x2+/=49上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是

()

A.過點(diǎn)3且被圓。截得最短弦長(zhǎng)的直線方程為x=3

B.直線x-皎+4加-3=0與圓?？傆袃蓚€(gè)交點(diǎn)

C.過點(diǎn)/作兩條互相垂直的直線，交圓。于點(diǎn)E,G和尸，H,則四邊形所G/f的面積的最

小值為97

7

D.sin/4PB的最大值為一

13

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.

22

12.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，E(l,0)是橢圓M：=+q=1(a>6>0)的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)尸且

ab

與M的長(zhǎng)軸垂直的直線交”于C,。兩點(diǎn).若AOCD為直角三角形，則M的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為

13.已知/(一1,3),直線/：(加+2)x—(加+1)>+2加-1=0,過點(diǎn)/作/的垂線，垂足為3,

則點(diǎn)B到x軸的距離的最小值為.

14.在某城市中，尸地位于￡地的正南方向，相距2km；。地位于￡地的正東方向，相距1km.

現(xiàn)有一條沿湖小徑RS(曲線)，其上任意一點(diǎn)到E和尸的距離之和為4km.現(xiàn)計(jì)劃在該小徑上

選擇一個(gè)合適的點(diǎn)尸建造一個(gè)觀景臺(tái)，經(jīng)測(cè)算從尸到凡。兩地修建觀景步道的費(fèi)用都是5

萬元/km,則修建兩條觀景步道的總費(fèi)用最低是萬元.

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知直線/.(a—1)x—(2a+1)>+1=0

(1)若/在兩坐標(biāo)軸上的截距相反，求a的值;

(2)若直線〃z：4x-2j+l=0,且/〃加，求/與機(jī)間的距離.

22

16.已知片，鳥分別是橢圓C：二+'=1(?！?〉0)的左、右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn).

ab

⑴若怩聞=2,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(O,—3),求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若PFJPF2,△片尸鳥的面積為4,求6的值.

17.已知圓M與〉軸相切，其圓心在x軸的負(fù)半軸上，且圓M被直線x-y=0截得的弦長(zhǎng)為

2vL

(1)求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若過點(diǎn)尸(0,3)的直線/與圓M相切，求直線/的方程.

22

18.已知/,8分別是橢圓C：=+4=1(?！?〉0)的上、下頂點(diǎn)，M是橢圓。上一動(dòng)

a2b2

點(diǎn).

3

(1)若直線M4,的斜率之積為-一，且橢圓C的短軸長(zhǎng)為2血，求橢圓C的方程；

4

⑵若P是圓必+丁―2如=0上一動(dòng)點(diǎn)，且阿P|W3b,求橢圓C的離心率的取值范圍，

19.定義：〃是圓C上一動(dòng)點(diǎn)，N是圓。外一點(diǎn)，記W〃V|的最大值為機(jī)，|M7V|的最小值為小

若m=2n,則稱N為圓C的“黃金點(diǎn)”;若G同時(shí)是圓E和圓歹的“黃金點(diǎn)”,則稱G為圓“E-R”

的“鉆石點(diǎn)已知圓/：(x+l)2+(j^+l)2=-,P為圓/的“黃金點(diǎn)”

(1)求點(diǎn)尸所在曲線的方程.

(2)已知圓2：(x-2)2+(y-2)2=l,P,0均為圓“Z-8”的“鉆石點(diǎn)”.

(i)求直線的方程.

(ii)若圓”是以線段尸。為直徑的圓，直線/：了=履+；與圓〃交于/,J兩點(diǎn)，對(duì)于任意

的實(shí)數(shù)左，在夕軸上是否存在一點(diǎn)少，使得y軸平分N/W?若存在，求出點(diǎn)少的坐標(biāo)；若

不存在，請(qǐng)說明理由.

2024-2025學(xué)年江西省高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.下列直線中，傾斜角最小的是()

A.4x+3j-5=0B.4x-3j-5=0

C.3x+4j-5=0D.3x-4j-5=0

【正確答案】D

【分析】根據(jù)直線斜率與直線傾斜角之間的關(guān)系求解.

【詳解】由傾斜角的范圍，可知斜率為正時(shí)傾斜角小于斜率為負(fù)時(shí)的傾斜角，故排除AC,B

4334

中直線斜率為一，D中直線斜率為一，由正切函數(shù)的單調(diào)性及一〈一知，3x-4y-5=0的

3443

傾斜角最小.故選：D

2.己知圓(》-1)2+仔-1)2=/經(jīng)過點(diǎn)尸(2,2),則圓在點(diǎn)P處的切線方程為()

A.x+y-4=0B.x+y=0

C.x-y=0D.x-v-4=0

【正確答案】A

【分析】首先求r的值，然后求圓心坐標(biāo)，接著求圓心C與點(diǎn)P連線的斜率左0,最后求圓在

點(diǎn)尸處的切線方程.

【詳解】因?yàn)閳A(X-iy+(y-1)2=/經(jīng)過點(diǎn)尸(2,2),將點(diǎn)尸(2,2)代入圓的方程可

得.(2—爐+(2—1)2=/即1+1=/,所以，2=2,則圓的方程為(X—1)2+0—1)2=2.

對(duì)于圓(x-q)2+3-6)2=/,其圓心坐標(biāo)為(a,6),所以此圓的圓心。(1,1).

根據(jù)斜率公式左=奧二叢,這里C(U),尸(2,2),則上=2zl=i.

c

X2-%12-1

因?yàn)閳A的切線與圓心和切點(diǎn)連線垂直，若兩條垂直直線的斜率分別為左和左2,則左色=-L

已知無0=1,所以切線的斜率左=—1.

又因?yàn)榍芯€過點(diǎn)尸(2,2),根據(jù)點(diǎn)斜式方程y—九=左?！?)(這里%=2,%=2,左=—1),

可得切線方程為y—2=—（x—2）.整理得x+y—4=0.故選：A.

3,若方程上匚+上二=1表示橢圓，則小的取值范圍為（）

1+m2-m

A.(-U)B.(-2,1)

【正確答案】D

【分析】根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式求解即可.

1+m>0

22

【詳解】因?yàn)榉匠躺隙?」一=1表示橢圓，所以《2-加〉0,解得

1+m2-m八

1+加w2—加

4.若點(diǎn)尸（一1,2）在圓C：X?+「+x+y+加=0的外部，則根的取值可能為（）

A.5B.1C.-4D.-7

【正確答案】C

【分析】根據(jù)點(diǎn)在圓外及方程表示圓求出加的范圍得解.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)P（—L2）在圓c：x2+/+x+y+加=。的外部，所以

（-l）2+22-l+2+/n>0,解得加>—6,又方程表示圓，則1+1-4加>0,即加<g,所以

-6<m<-,結(jié)合選項(xiàng)可知，加的取值可以為-4.故選：C

2

5.已知4（—4,2）,5（3,1）,過點(diǎn)P（0,—1）的直線/與線段48（含端點(diǎn)）有交點(diǎn)，則直線/

的斜率的取值范圍為（）

Ug+oo

B.

3223

45333454

【正確答案】B

【分析】求出直線PZ，網(wǎng)的斜率后，結(jié)合圖象得到斜率的取值范圍.

【詳解】%=2―（T）」,左匕且）=2,由圖象可知:

PA-4-04FB3-03

直線/的斜率的取值范圍為1--4。y,+a?J.

故選：B.

6.點(diǎn)（一2,3）關(guān)于直線2x+2y-3=o對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

A-B.m

【正確答案】A

【分析】根據(jù)兩對(duì)稱點(diǎn)的中點(diǎn)在直線上，對(duì)稱點(diǎn)連線與直線垂直列出方程組得解.

【詳解】設(shè)點(diǎn)（—2,3）關(guān)于直線2x+2y-3=0對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（加,〃），

2x士"+2x*3

-3=0m二——

222

則《,解得<,故選：A

y.(—1)=—17

n=—

lm+22

2

7.已知圓G：（x+3『+/=81和。2：（x-3）+/二1,若動(dòng)圓P與這兩圓一個(gè)內(nèi)切一個(gè)

外切，記該動(dòng)圓圓心的軌跡為則M的方程為（

22.2,2

A1X

A.——%+—y=iB,土+匕=1

167259

2222

C.土+匕=1D.土+乙=1

2516169

【正確答案】C

【分析】根據(jù)圓的位置關(guān)系及橢圓的定義可判斷尸點(diǎn)軌跡為橢圓，即可得出軌跡方程.

【詳解】圓G：（》+3『+/=81和。2：（%—3）2+/=1的圓心、半徑分別為

G(―3,0)q=9,G(3,0)/2=1，由|GG|=6<9—1=8可知圓C?內(nèi)含于圓G內(nèi)，

設(shè)動(dòng)圓半徑為R,由題意，|c2P|=々+氏，|60|=今—氏,

兩式相加可得|PG|+|PC?|="+弓=io〉|qc2|=6,

故尸點(diǎn)的軌跡為以G,。2為焦點(diǎn)的橢圓，其中2。=1o,2c=6,

所以a=25/=a—c=16,

22

所以橢圓方程為土+匕=1.

2516

故選：C

8.已知產(chǎn)是圓C：/+必-6y=o上一動(dòng)點(diǎn)，若直線/：3x—4y—12=0上存在兩點(diǎn)4,B,

TT

使得=2能成立，則線段AB的長(zhǎng)度的最小值是（）

2

18224398

A.—B.—C.—D.—

5555

【正確答案】A

【分析】根據(jù)幾何的思路得到當(dāng)以48為直徑的圓與圓C外切，且圓心連線與/垂直時(shí)，線段

48長(zhǎng)度最小，然后求45即可.

【詳解】由圓/+/一6了=0得圓心C（0,3）,半徑廠=3.因?yàn)橹本€3x-4y-12=0上存

7T

在兩點(diǎn)43,使得/2必=—恒成立，則以AB為直徑的圓與圓。有交點(diǎn)，當(dāng)A8長(zhǎng)

2

度最小時(shí)，兩圓外切，且兩圓圓心所在直線與/垂直，如圖，因?yàn)閳A心。（0,3）到直線

3x0-4x3-12

3x—4y—12=0的距禺d=,-彳，所以以目

V32+42

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.己知/（2,2）,5（1,0）,C（3,-2）,且四邊形N8CD是平行四邊形，貝!J（）

A.直線的方程為x+y—4=0

B.1=（1,2）是直線CD的一個(gè)方向向量

C.|SC|=4

D.四邊形Z8CD的面積為3

【正確答案】ABD

【分析】由四邊形4BCD是平行四邊形，得到方=灰，結(jié)合向量的坐標(biāo)公式可得到。的

坐標(biāo)，從而計(jì)算直線2。的斜率，寫出直線/。的點(diǎn)斜式方程，從而判斷A；由方向向量和斜

率的關(guān)系可判斷B；由兩點(diǎn)間的距離公式可判斷C；利用點(diǎn)到直線的距離公式得到邊上的

高，由平行四邊形的面積公式可判斷D.

【詳解】設(shè)。(X/),由四邊形48CD是平行四邊形，可得方=皮，

即(1—2,0—2)=(3—X,—2—田，解得：x=4,y=Q,所以￡>(4,0),

3丁二=一1，直線/￡>的方程為y=-i(x—4)=—X+4,

2-4

-2-02/、

即x+y—4=0,故A正確；kCD=^-^-=2=~,所以曰=(1,2)是直線CD的一個(gè)方向

向量，故B正確；忸C|=J(3-+(—2—=20，故C錯(cuò)誤；3到直線4D的距離

A_|1X1+0.1-4|_3_3^

Vl2+12V22'

11O

所以四邊形/BCD的面積為一=-2&?一a=3,故D正確.故選：ABD.

222

10.若直線y=Ax—2與曲線y=+6x_5恰有一個(gè)交點(diǎn)，則左的值可能為()

212

A.0B.—C.2D.—

55

【正確答案】BD

【分析】根據(jù)直線過定點(diǎn)及曲線為半圓，作出圖象，求出切線、割線對(duì)應(yīng)斜率，數(shù)形結(jié)合即

可得解.

【詳解】直線V=依-2恒過定點(diǎn)P(0,-2),由y=7-X2+6X-5可得

。，|3^-2|12

(x-3)-+y"=4(j>0),如圖，由/[=2解得>=或比=0(舍去),

W+k-5

122

即"，由。(1，0)，N(5,0),可得kPQ=2,kpx-

55，

由圖可知，后=￡或24左<2時(shí)，直線與半圓恰有1個(gè)交點(diǎn).故選：BD

55

11.已知/(—1,0),8(3,0),P是圓O：/+/=49上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是

A.過點(diǎn)3且被圓。截得最短弦長(zhǎng)的直線方程為x=3

B.直線x-皎+4加-3=0與圓。總有兩個(gè)交點(diǎn)

C.過點(diǎn)/作兩條互相垂直的直線，交圓。于點(diǎn)E,G和RH,則四邊形EEG笈的面積的最

小值為97

7

D.sinN4PB的最大值為一

13

【正確答案】ABD

【分析】根據(jù)圓的幾何性質(zhì)判斷A,根據(jù)直線系過定點(diǎn)且在圓內(nèi)判斷B,根據(jù)圓的幾何性質(zhì)求

弦長(zhǎng)，再由均值不等式及四邊形面積判斷C,根據(jù)正弦定理轉(zhuǎn)化為求三角形△尸48外接圓半

徑的最小值，再由圓的性質(zhì)知內(nèi)切時(shí)外接圓半徑最小即可得解.

【詳解】如圖，因?yàn)?(3,0),圓。：x2+j2=49,所以8在圓。內(nèi)，當(dāng)弦與08垂直時(shí)，

所截得的弦長(zhǎng)最短，此時(shí)最短弦所在的直線方程為X=3,A正確；

由直線x-叼+4加-3=0可得加(一y+4)+工一3=0,故直線恒過點(diǎn)C(3,4),由

32+42=25<49知點(diǎn)。(3,4)在圓。內(nèi)，所以直線x-叼+4加-3=0與圓?？傆袃蓚€(gè)交點(diǎn)，

B正確；

記點(diǎn)。到直線EG,FH的距離分別為&&，則d；+近=|O*2=1,又?EG|=2,9-葉,

|FH|=2^49-dl，所以|EG「+|切|2=38822|EGHM|,即

|EGHW區(qū)194,則四邊形EEG8的面積5=^一1——[<97

ENG/f的面積的最大值97,C錯(cuò)誤；

當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí)，sin/4P8=0,當(dāng)點(diǎn)尸不在x軸上時(shí)，設(shè)外接

圓的圓心為半徑為R,由正弦定理得14^=2R,

sinZAPB

則上型=sinN4PB,當(dāng)外接圓的半徑最小，即外接圓M與

2R

圓。內(nèi)切時(shí)，sin/4PB最大，由題意M在48的中垂線上，可設(shè)其坐標(biāo)

為則R=|M4|=J4+，,|MO|=J1+—,因?yàn)閳AM與圓。內(nèi)切，所以

圓心距等于半徑之差，則&+/=7一"+Y，化簡(jiǎn)后可得，4+f=當(dāng)，即衣的

26\AB\_4_7

最小值為一，此時(shí)sin/4PB最大，最大值為2R5213，D正確.故選：ABD

7T

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵在于靈活運(yùn)用圓的相關(guān)性質(zhì)，特別是弦心距、半弦長(zhǎng)、半徑之

間的關(guān)系，sin/4PB問題注意轉(zhuǎn)化為外接圓半徑最值問題，再由兩圓的位置關(guān)系即可求出最

小值，本題屬于難題.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.

12.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，E（1,O）是橢圓W+《=i"〉b〉0）的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)尸且

ab

與M的長(zhǎng)軸垂直的直線交/于C,。兩點(diǎn).若△OC。為直角三角形，則〃的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為

【正確答案】1+V5##V5+1

【分析】由通徑的求法得出|CE|,再由A。。為直角三角形得出|"|=|0川=1,建立方程

求出。即可得解.

2?2,2人4

【詳解】因?yàn)楫?dāng)尤=。時(shí)，代入橢圓方程可得v勺=1—二=勺，所以y2=\,不妨設(shè)。在

〃a2a2a2

第一象限，則因?yàn)锳OCD為直角三角形，由橢圓的對(duì)稱性知，ZCOF=45°,

a

所以|CF|=|8|=c=l,故我=￡=1，即a=/，可得a=〃=/—F，解得

a2

或。=匕好＜0（舍去），所以橢圓M的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a=1+若.故1+若

2

13.已知/（一1,3）,直線/：（加+2卜一（加+1）歹+2加-1=0,過點(diǎn)/作/的垂線，垂足為8,

則點(diǎn)B到x軸的距離的最小值為.

【正確答案】4-6##-6+4

【分析】由直線系方程求出定點(diǎn)，再由題意得出8點(diǎn)軌跡為圓，利用圓的幾何性質(zhì)可得圓上

點(diǎn)到x軸距離的最小值.

【詳解】由（加+2）x—（冽+1）歹+2加-1=0可得加（x-y+2）+2x-y-l=0,

x-y+2=0[x=3

由仁?八解得＜即直線/過定點(diǎn)M(3,5),連接/M，則⑷/中點(diǎn)G(l,4),

2x-y-l=0[y=5

因?yàn)楸豞L/,所以3在以G為圓心，半徑為|/G|=石的圓上，如圖，

圓的方程為（x—+（y—4）2=5,則圓心到x軸的距離d=4,

所以點(diǎn)8到x軸的距離的最小值為4-6.故4-6

14.在某城市中，尸地位于￡地的正南方向，相距2km；。地位于￡地的正東方向，

相距1km.現(xiàn)有一條沿湖小徑RS（曲線），其上任意一點(diǎn)到E和尸的距離之和為4km.

現(xiàn)計(jì)劃在該小徑上選擇一個(gè)合適的點(diǎn)尸建造一個(gè)觀景臺(tái)，經(jīng)測(cè)算從尸到尸，。兩地修建觀景

步道的費(fèi)用都是5萬元/km,則修建兩條觀景步道的總費(fèi)用最低是萬元.

【正確答案】15

【分析】由題意求出尸點(diǎn)的軌跡方程，再根據(jù)橢圓的定義化簡(jiǎn)費(fèi)用關(guān)系式，數(shù)形結(jié)合可知在片

處有最小值.

【詳解】以EE所在直線為了軸，防的垂直平分線為x軸，建立如圖所示的直角

坐標(biāo)系.設(shè)尸為沿湖小徑RS上的任意一點(diǎn)，貝!11PE|+1尸71=4,

根據(jù)橢圓的定義可知，點(diǎn)P的軌跡為橢圓.所以2a=4,a=2,2c=2,c=1,

22

則點(diǎn)p的軌跡方程為乙+土=1,由題意，修建兩條觀景步道的總費(fèi)用為

43

5|PF|+5\PQ\=5（|P2|+2a-|PE|）,由圖形可知，當(dāng)E,0,0三點(diǎn)共線且0在E,P之間時(shí),

即尸運(yùn)動(dòng)到勺處時(shí)，總費(fèi)用最低，最低為5（4-忸2）=15.故15

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于建立平面直角坐標(biāo)系，利用橢圓定義得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，再由

數(shù)形結(jié)合，得出三點(diǎn)共線時(shí)，動(dòng)點(diǎn)尸的位置，屬于較難題目.

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知直線/.（°—1）x—（2a+l）y+1=0

（1）若/在兩坐標(biāo)軸上的截距相反，求a的值；（2）若直線〃?：4x-2j+l=0,且/〃加，

求/與間的距離.

【正確答案】（1）—2（2）上

10

【分析】（1）求出截距，利用截距和為0得解；（2）根據(jù)平行得出直線方程，再由平行線間

距離公式求解.

【小問1詳解】令x=0,則y=」一，令y=0,則》=———,所以」-------=0,

2a+la-12（2+1a-1

解得Q=—2

【小問2詳解】因?yàn)椤?小，所以紇1=一（24+1）彳］,解得。=—1,貝?。?的方程為

4-2

11-（-2）I375

-2x+y+1=0,即4x-2y—2=0,則/與加間的距―/7二~777?

V42+（-2）210

22

16.已知片，凡分別是橢圓C：.+%=1（。＞辦＞0）的左、右焦點(diǎn)，尸為C上一點(diǎn).

⑴若閨81=2,點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0,-3）,求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若PF^PF］,△片尸耳的面積為4,求b的值.

22

【正確答案】（1）—+^-=1（2）6=2

109

【分析】（1）已知|公8|=2可求出c,點(diǎn)尸坐標(biāo)可代入橢圓方程求出6,進(jìn)而求出。；

（2）得到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程根據(jù)尸片，尸耳，利用三角形面積公式5=。義|「片區(qū)］/"|和橢圓

2

定義|S|+1P鳥\=2a以及勾股定理|「公『+?尸耳|2=|F［F?|=（2c）2來求解b的值.

【小問1詳解】已知|片片|=2,因?yàn)閨片片|=2c,所以。=1.點(diǎn)尸（0,-3）在橢圓上，將其代

丫22n2/_o\29

入橢圓方程「+4=1，可得=+早L=l,即==1，解得6=3.又因?yàn)?2=/-62,。=1,

/b2a2b2b2

22

6=3,所以/=〃+°2=9+1=10.所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為±+2=1.

109

【小問2詳解】因?yàn)槭?，Pg,所以△公尸鳥的面積S=gx|P￡|x|P與|=4,則

|P^|x|P^|=8.根據(jù)橢圓定義，|7Y；|+|Pg|=2a.由勾股定理可得

|期|2+|尸刃2=|丹丁『=(2C)2.

又(|「耳+|尸鳥|)2=|^|2+|P^|2+2|P^|x|P^|,即(2a>=(2c)2+16.

在橢圓中有02=1-〃，將Rap=（2c>+16變形為/=02+4,即〃=4,解得b=2.

17.已知圓M與y軸相切，其圓心在x軸的負(fù)半軸上，且圓M被直線x-y=0截得的弦長(zhǎng)為

272.

（1）求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過點(diǎn)尸（0,3）的直線/與圓M相切，求直線/的方程.

【正確答案】⑴（x+2『+.v2=4（2）5x—12y+36=0或x=0

【分析】（1）根據(jù)弦長(zhǎng)及圓的幾何性質(zhì)求出圓心半徑得解；

（2）分類討論直線的斜率是否存在，根據(jù)點(diǎn)到直線距離等于半徑得解.

【小問1詳解】因?yàn)閳A心在x軸的負(fù)半軸上，所以設(shè)圓M：（x-?）2+/=r2（?<0）

=/，解得。=—2,則廠=2.故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（》+2）一+/=4.

【小問2詳解】由（1）知，圓心為"（一2,0）/=2,

因?yàn)??+32〉4,所以點(diǎn)P在圓M外，過圓/外一點(diǎn)作圓M的切線，其切線有2條.

①當(dāng)/的斜率左存在時(shí)，設(shè)/的方程為y=Ax+3,即6—y+3=0,

\-2k+3\解得左=工，

則圓心M到/的距離d==2,

此時(shí)/的方程為5x-12v+36=0.

②當(dāng)/的斜率左不存在時(shí)，直線/的方程為x=0,

圓心M（—2,0）到直線x=0的距離為2,

所以直線x=0與圓M相切.

綜上，/的方程為5x—12y+36=0或x=0.

18.已知aB分別是橢圓c：=1(tz>Z?>0)的上、下頂點(diǎn)，M是橢圓C上一動(dòng)

/b2

點(diǎn).

3

(1)若直線M4,的斜率之積為-a，且橢圓C的短軸長(zhǎng)為2指，求橢圓C的方程；

(2)若尸是圓必+/-2勿=0上一動(dòng)點(diǎn)，且求橢圓C的離心率的取值范圍,

22fB

【正確答案】(1)土+匕=1(2)0,—

862

【分析】(1)求出直線M4,"3的斜率之積-R,利用短軸長(zhǎng)，求出。即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)

a

方程；(2)求出|K4『，利用區(qū)3b可得|設(shè)4歸26,分類討論求|阪4'，建立不等式

求解即可.

222r2

【小問1詳解】易知/(0,6),3(0,一勸，設(shè)點(diǎn)M(%,%),則烏+q=I,即5—四=一呼,

aba

,X涉

直線跖1,MS的斜率之積—%—b%+b_y；_F_/_廿_3,

^MA,^AB——2—2-T—一~A

x0X0X0xQa4

又橢圓C的短軸長(zhǎng)為26，即2b=2函/=遍，所以/=8，故橢圓。的方程為

X2J2

--------1--------=1.

86

【小問2詳解】

圓/+/—2勿=0可化為/+口_h2=〃，則圓心為2(0/),半徑為6,

由尸是圓爐+/一2如=0上一動(dòng)點(diǎn)，S.\MP\<3b,可得|人倒<26,如圖,

22

設(shè)則與+咚=1,所以

ab

2(}4

Cb\b22

廬〔H——+a+Z?,—bVJVQVb，

MA2b

當(dāng)—與<—b，即尸“2時(shí)，412kx=狼，^\\^='符合題意，由622c2,

6ly1人4

可得/22°2,即0<eW注；當(dāng)—二〉—b即/<。2時(shí)，(\MA^\=>+/+〃，即

2

2C【"maxc

L42

—+2V4/,化簡(jiǎn)得卜2—VO,所以c2=〃，這與/<c2矛盾，不符合題意.

綜上，橢圓C的離心率的范圍為［o,￡.

\2」

19.定義：M是圓。上一動(dòng)點(diǎn)，N是圓C外一點(diǎn)，記W〃V|的最大值為7,W〃V|的最小值為",

若加=