2024-2025學(xué)年人教版初中九年級數(shù)學(xué)上冊專項復(fù)習(xí)：概率的計算（原卷版）

第02講概率的計算

學(xué)習(xí)目標

課程標準學(xué)習(xí)目標

1,掌握列舉法求概率的兩種方式,列表法與樹狀法求概

①列舉法求概率率，并能在題目中熟練應(yīng)用。

②用頻率估算概率2.能夠通過計算判斷游戲的公平性。

3.掌握頻率的意義，能夠用頻率估算概率。

思維導(dǎo)圖

列表法求?件的概率

知識點01直接列舉法求事件概率

1.直接列舉法求事件概率：

在一次實驗中，如果可能出現(xiàn)的結(jié)果只有個，且各種結(jié)果出現(xiàn)的可能性大小,則

可通過列舉實驗結(jié)果的方法分析隨機事件發(fā)生的概率。

題型考點：①用直接列舉法求事件概率。

【即學(xué)即練1】

1.擲兩枚普通正六面體骰子，所得點數(shù)之和為10的概率為.

【即學(xué)即練2】

2.隨機擲一枚均勻的硬幣兩次，落地后至少有一次正面朝上的概率是（）

A.AB.3C.2D.工

4432

知識點02列表法求事件概率

1.列表法求事件的概率：

當(dāng)一次實驗要涉及的因素有兩個（或是需要兩部操作來完成實驗）且可能出現(xiàn)的結(jié)果較多時，常通過

用的方法列舉所有可能的結(jié)果，找出事件A可能發(fā)生的所有的結(jié)果，再利用求概

率。

例題說明：

三張圖片除畫面不同外無其他差別，將它們從中間剪斷得到三張上部圖片和三張下部圖片，把三張上

部圖片放入一個布袋，把三張下部圖片放入另一個布袋，再分別從兩個布袋中各隨機摸取一張，則這兩張

小圖片恰好合成一張完整圖片的概率是多少？

分析：將上部三張圖片分別記作A、B、C,下部三張圖片記作a、b、c,列表得出所有等可能結(jié)果，用

列表法表示如下：

abc

A(A,a)(A,b)(A,c)

B(B,a)(B,b)(B,c)

C(C,a)(C,b)(C,c)

可知，一共出現(xiàn)9中情況，記能合成完成的圖片為事件A,有三種情況，所以概率為:

題型考點：①用列表法求事件的概率。

【即學(xué)即練1】

3.從甲、乙、丙、丁4名學(xué)生中選2名學(xué)生參加一次乒乓球單打比賽.

（1）若甲一定被選中參加比賽，再從其余3名學(xué)生中任意選取1名，恰好選中乙的概率是

（2）任意選取2名學(xué)生參加比賽，求一定有丁的概率.（用樹狀圖或列表的方法求解）

【即學(xué)即練2】

4.4張相同的卡片分別寫有數(shù)字1,2,3,4,將卡片的背面朝上，洗勻后從中任意抽取1張，將卡片上的

數(shù)字作為被減數(shù)；一只不透明的袋子中裝有標號為1,2,3的3個小球，這些球除標號外都相同，攪勻

后從中任意摸出一個球，將摸到的球的標號作為減數(shù).

(1)求這兩個數(shù)的差為0的概率；(用列表法或樹狀圖說明)

(2)如果游戲規(guī)則規(guī)定：當(dāng)抽到的這兩個數(shù)的差為非負數(shù)時，則甲獲勝；否則，乙獲勝.你認為這樣的

規(guī)則公平嗎？如果不公平，請設(shè)計一個你認為公平的規(guī)則，并說明理由.

知識點03樹狀法求事件概率

1.樹狀法求事件的概率:

當(dāng)事件要通過多個步驟(三個或以上)完成時，常通過用畫樹狀圖的方法列舉所有可能的結(jié)

果，在找出事件A可能發(fā)生的結(jié)果，再利用概率公式求概率。

例題說明:

三張圖片除畫面不同外無其他差別，將它們從中間剪斷得到三張上部圖片和三張下部圖片，把三張上

部圖片放入一個布袋，把三張下部圖片放入另一個布袋，再分別從兩個布袋中各隨機摸取一張，則這兩張

小圖片恰好合成一張完整圖片的概率是多少？

分析：將上部三張圖片分別記作A、B、C,下部三張圖片記作a、b、c,列表得出所有等可能結(jié)果，用

樹狀圖表示如下:

/N

abcabc

可知，一共出現(xiàn)9中情況，記能合成完成的圖片為事件A,有三種情況，所以概率為:

,、31

P(A)=-=-

93

題型考點：①用列表法求事件的概率。

【即學(xué)即練1】

5.甲、乙，丙、丁4人聚會，每人帶了一件禮物，4件禮物從外盒包裝看完全相同，將4件禮物放在一起.

（1）甲從中隨機抽取一件，則甲抽到的是自己帶來的禮物的概率是;

（2）甲先從中隨機抽取一件，不放回，乙再從中隨機抽取一件，用列表法或樹狀圖法求甲、乙2人抽到

的都不是自己帶來的禮物的概率.

【即學(xué)即練2】

6.甲、乙兩名同學(xué)玩一個游戲：在一個不透明的口袋中裝有標號分別為1,2,3,4的四個小球（除標號

外無其它差異）.從口袋中隨機摸出一個小球，記下標號后放回口袋中，充分搖勻后，再從口袋中隨機摸

出一個小球，記下該小球的標號，兩次記下的標號分別用x、y表示.若尤+y為奇數(shù)，則甲獲勝；若x+y

為偶數(shù)，則乙獲勝.

（1）用列表法或樹狀圖法（樹狀圖也稱樹形圖）中的一種方法，求（x,y）所有可能出現(xiàn)的結(jié)果總數(shù)；

（2）你認為這個游戲?qū)﹄p方公平嗎？請說明理由.

知識點04用頻率估算概率

1.用頻率估算概率：

大量重復(fù)實驗時，事件發(fā)生的在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)

這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計,這個固定的就是這個事件的

概率。

實驗次數(shù)越多，用頻率估算概率越準確。

題型考點：①用列表法求事件的概率。

【即學(xué)即練。

7.當(dāng)重復(fù)試驗次數(shù)足夠多時，可用頻率來估計概率.歷史上數(shù)學(xué)家皮爾進(Pearson)曾在實驗中擲均勻的

硬幣24000次，正面朝上的次數(shù)是12012次，頻率為0.5005,則擲一枚均勻的硬幣，正面朝上的概率

是.

【即學(xué)即練2】

8.在一個不透明的袋子里裝有紅球、黃球共20個，這些球除顏色外都相同.小明通過多次試驗發(fā)現(xiàn)，摸

出紅球的頻率穩(wěn)定在0.25左右，則袋子中紅球的個數(shù)可能是個.

題型精講

題型01用列表法與樹狀圖求事件概率

【典例1】

隨著“新冠肺炎”疫情防控形勢日漸好轉(zhuǎn)，各地開始復(fù)工復(fù)學(xué)，某校復(fù)學(xué)后成立“防疫志愿者服務(wù)隊”，設(shè)

立四個“服務(wù)監(jiān)督崗”：①洗手監(jiān)督崗，②戴口罩監(jiān)督崗，③就餐監(jiān)督崗，④操場活動監(jiān)督崗.李老師和

王老師報名參加了志愿者服務(wù)工作，學(xué)校將報名的志愿者隨機分配到四個監(jiān)督崗.

(1)李老師被分配到“洗手監(jiān)督崗”的概率為;

(2)用列表法或畫樹狀圖法，求李老師和王老師被分配到同一個監(jiān)督崗的概率.

【典例2】

從一副普通的撲克牌中取出四張牌，它們的牌面數(shù)字分別為2,5,5,6.

(1)將這四張撲克牌背面朝上，洗勻，從中隨機抽取一張，則抽取的這張牌的牌面數(shù)字是6的概率

為;

(2)將這四張撲克牌背面朝上，洗勻.從中隨機抽取一張，不放回，再從剩余的三張牌中隨機抽取一張.請

利用畫樹狀圖或列表的方法，求抽取的這兩張牌的牌面數(shù)字恰好相同的概率.

【典例3】

“一方有難，八方支援”是中華民族的傳統(tǒng)美德.在抗擊新冠病毒戰(zhàn)役中，我省支援湖北醫(yī)療隊共1460人

奔赴武漢.其中小麗、小王和三個同事共五人直接派往一線某醫(yī)院，根據(jù)該醫(yī)院人事安排需要先抽出一

人去急診科，再派兩人到發(fā)熱門診，請你利用所學(xué)知識完成下列問題.

(1)小麗被派往急診科的概率是;

(2)若正好抽出她們一位同事去往急診科，請你利用畫樹狀圖或列表的方法，求出小麗和小王同時被派

往發(fā)熱門診的概率.

【典例4】

有兩個可以自由轉(zhuǎn)動的質(zhì)地均勻轉(zhuǎn)盤都被分成了3個全等的扇形，在每一扇形內(nèi)均標有不同的自然數(shù)，如

圖所示，轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，兩個轉(zhuǎn)盤停止后觀察并記錄兩個指針所指扇形內(nèi)的數(shù)字(若指針停在扇形的邊線上，

當(dāng)作指向上邊的扇形).

(1)用列表法或畫樹形圖法求出同時轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤一次的所有可能結(jié)果；

(2)同時轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤一次，求“記錄的兩個數(shù)字之和為7”的概率.

I02\/35\

47

【典例5】

現(xiàn)有A、8兩個不透明的袋子，各裝有三個小球，A袋中的三個小球上分別標記數(shù)字2,3,4；8袋中的三

個小球上分別標記數(shù)字3,4,5.這六個小球除標記的數(shù)字外，其余完全相同.

(1)將A袋中的小球搖勻，從中隨機摸出一個小球，則摸出的這個小球上標記的數(shù)字是偶數(shù)的概率

為;

(2)分別將A、B兩個袋子中的小球搖勻，然后從A、B袋中各隨機摸出一個小球，請利用畫樹狀圖或

列表的方法，求摸出的這兩個小球標記的數(shù)字之和為7的概率.

題型02放回與不放回概率計算

【典例1】

一只不透明的袋子中有3個小球，分別標有編號1,2,3,這些小球除均外都相同.

(1)投勻后從中任意摸出1個球，這個球的編號是2的概率為；

(2)廈勻后從中任意摸出1個球，記錄球的帽號后放回、攪勻，再從中任意摸出1個球，求兩次摸到的

小球編號相同的屬率是多少？(用函樹狀圖或列表的方法說明)

【典例2】

人工智能是數(shù)字經(jīng)濟高質(zhì)量發(fā)展的引擎，也是新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)變革的重要驅(qū)動.人工智能市場分為

決策類人工智能，人工智能機器人，語音類人工智能，視覺類人工智能四大類型，將四個類型的圖標依

次制成A,B,C,。四張卡片（卡片背面完全相同），將四張卡片背面朝上洗勻放置在桌面上.

A.決策類人工智能B.人工智能機器人C.語音類人工智能D.視覺類人工智能

（1）隨機抽取一張，抽到?jīng)Q策類人工智能的卡片的概率為；

（2）從中隨機抽取一張，記錄卡片的內(nèi)容后放回洗勻，再隨機抽取一張，請用列表或樹狀圖的方法求抽

取到的兩張卡片內(nèi)容一致的概率.

【典例3】

5張背面相同的卡片，正面分別寫有不同1,2,3,4,7中的一個正整數(shù).現(xiàn)將卡片背面朝上.

（1）求從中任意抽出一張，正面的數(shù)是偶數(shù)的概率.

（2）連續(xù)摸出4張卡片（不放回），已知前2張正面的數(shù)分別為1,7.求摸出的4張卡片的數(shù)的總和為

奇數(shù)的概率（要求畫樹狀圖或列表）.

【典例4】

一個不透明的布袋里裝有2個白球，1個黑球和若干個紅球，它們除顏色外其余都相同.從中任意摸出1個

球，取出白球的概率為工.

2

(1)布袋里紅球有多少個？

(2)先從布袋中摸出1個球后不再放回，再摸出1個球，求兩次摸到的球都是白球的概率.

題型03利用概率判斷游戲公平性

【典例1】

在聯(lián)歡會上，有A、8、C三名選手站在一個三角形的三個頂點位置上，他們在玩“搶凳子”游戲，要求在

他們中間放一個木凳，誰先搶到凳子誰獲勝，為使游戲公平，則凳子應(yīng)放的最適當(dāng)?shù)奈恢檬窃凇鰽BC的

()

A.三邊垂直平分線的交點

B.三條中線的交點

C.三條角平分線的交點

D.三條高所在直線的交點

【典例2】

“天宮課堂”第三課開講，航天員陳冬、劉洋、蔡旭哲相互配合進行授課，激發(fā)了同學(xué)們學(xué)習(xí)航天知識的

熱情.在學(xué)校組織的航天知識競賽中，小明和小雪均獲得了一等獎，學(xué)校決定通過兩人做游戲的方式，

從中選取一名游戲獲勝的同學(xué)作為代表分享獲獎心得.游戲規(guī)則如下：甲口袋(不透明)裝有編號為1,

2,3的三個小球，乙口袋(不透明)裝有編號為1,2,3,4的四個小球，每個口袋中的小球除編號外

其他都相同.小明先從甲口袋中隨機摸出一個球，小雪再從乙口袋中隨機摸出一個球，若兩球編號之和

為偶數(shù)，則小明獲勝；若兩球編號之和為奇數(shù)，則小雪獲勝.

(1)小明摸到小球的編號為2的概率為；

(2)請用列表或畫樹狀圖的方法，說明這個游戲?qū)﹄p方是否公平.

【典例3】

把大小和形狀完全相同的6個球分成兩組，每組3個球.其中一組標上數(shù)字1,2,3后放入不透明的甲盒

子，另一組標上數(shù)字2,3,4后放入不透明的乙盒子，攪勻后，從甲、乙兩個盒子中各隨機抽取一個球.

(1)請用畫樹狀圖或列表的方法求取出的兩個球上的數(shù)字都為奇數(shù)的概率；

(2)若取出的兩球上的數(shù)字和為奇數(shù)，則甲勝，若取出的兩球上的數(shù)字和為偶數(shù)，則乙勝，試分析這個

游戲是否公平？請說明理由.

【典例4】

甲、乙兩人玩轉(zhuǎn)盤游戲，規(guī)則如下：如圖是兩個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤A,B,A轉(zhuǎn)，盤中數(shù)字1所對扇形區(qū)

域的圓心角為90。，8轉(zhuǎn)盤被分成面積相等的三個扇形，依次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤A,B,當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后，若指針指

向的兩個區(qū)域的數(shù)字之和大于5,則甲獲勝；否則乙獲勝；如果落在分割線上，則需要重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤.

(1)轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤A,指向的數(shù)字為1的概率是；

(2)試用列表或畫樹狀圖的方法說明游戲是否公平.若公平，請說明理由；若不公平，誰獲勝的可能性

更大？

轉(zhuǎn)盤A轉(zhuǎn)盤B

題型04用頻率估算概率

【典例1】

實驗小組做“任意拋擲一枚圖釘”的重復(fù)試驗，多次實驗后獲得如表數(shù)據(jù):

重復(fù)實驗次數(shù)10050010005000???

釘尖朝上次數(shù)501503802000.??

由此可以估計任意拋擲一次圖釘釘尖朝上的概率約為()

A.0.50B.0.40C.0.38D.0.37

【典例2】

在一個不透明的箱子里裝有機個球，其中紅球4個，這些球除顏色外都相同，每次將球攪拌均勻后，任意

摸出一個球記下顏色后再放回，大量重復(fù)試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率在0.2,那么可以估算出機的值

為（）

A.8B.12C.16D.20

【典例3】

某射箭選手在同一條件下進行射箭訓(xùn)練，結(jié)果如下:

射箭次數(shù)n102050100200350500

射中靶心的次數(shù)相7174492178315455

射中靶心的頻率如0.700.850.880.920.890.900.91

n

下列說法正確的是（）

A.該選手射箭一次，估計射中靶心的概率為0.90

B.該選手射箭80次，射中靶心的頻率不超過0.90

C.該選手射箭400次，射中靶心的次數(shù)不超過360次

D.該選手射箭1000次，射中靶心的次數(shù)一定為910次

【典例4】

在一個不透明的袋子里裝有紅球、黃球共20個，這些球除顏色外都相同.小明通過多次試驗發(fā)現(xiàn)，摸出紅

球的頻率穩(wěn)定在0.6左右，則袋子中紅球的個數(shù)最有可能是（）

A.5B.8C.12D.15

強化訓(xùn)練

1.某校即將舉行田徑運動會，“體育達人”小明從“跳高”“跳遠”“100米”“400米”四個項目中，隨機

選擇兩項，則他選擇“100米”與“400米”兩個項目的概率是（）

A.AB.1C.AD.

24612

2.在一個不透明的口袋中裝有3個完全一樣的小球，小球上分別標有數(shù)字1,2,3.先摸出一個小球、上

面的數(shù)字記為。，放回袋子中搖勻后再摸出一個小球、上面的數(shù)字記為c,則使得一元二次方程辦

=0有實數(shù)解的概率為（）

A.1B.1C.工D.2

6323

3.在如圖所示的電路中，隨機閉合開關(guān)51、8、S3中的兩個，能讓燈泡心發(fā)光的概率是（）

1

3

4.現(xiàn)有5張卡片，其中3張卡片正面上的圖案是“9口”，2張卡片正面上的圖8案是它們除此

之外完全相同.把這5張卡片背面朝上洗勻，從中隨機抽取兩張，則這兩張卡片正面圖案相同的概率是

13

25

30.甲乙兩人玩一個游戲，判定這個游戲公平不公平的標準是（）

A.游戲的規(guī)則由甲方確定

B.游戲的規(guī)則由乙方確定

C.游戲的規(guī)則由甲乙雙方確定

D.游戲雙方獲勝的概率相等

5.甲、乙兩人一起玩如圖的轉(zhuǎn)盤游戲，將兩個轉(zhuǎn)盤各轉(zhuǎn)一次，指針指向的數(shù)的和為正數(shù)，甲勝，否則乙勝,

這個游戲（）

A.公平B.對甲有利

C.對乙有利D.公平性不可預(yù)測

6.一個不透明的盒子中裝有紅、黃兩種顏色的小球共10個，它們除顏色外其他都相同.小明多次摸球后

記錄并放回小球重復(fù)試驗，發(fā)現(xiàn)摸到紅色小球的頻率穩(wěn)定在0.4左右，由此可知盒子中黃色小球的個數(shù)

可能是（）

A.3B.4C.5D.6

7.如圖①所示，平整的地面上有一個不規(guī)則圖案（圖中陰影部分），小明想了解該圖案的面積是多少，他

采取了以下辦法：用一個面積為20c病的長方形，將不規(guī)則圖案圍起來，然后在適當(dāng)位置隨機地朝長方

形區(qū)域扔小球，并記錄小球落在不規(guī)則圖案上的次數(shù)（球扔在界線上或長方形區(qū)域外不計試驗結(jié)果），他

將若干次有效試驗的結(jié)果繪制成了如圖②所示的折線統(tǒng)計圖，由此他估計不規(guī)則圖案的面積大約為（

小球落在不規(guī)則圖案內(nèi)的概率

圖①圖②

222

A.6cmB.7C/772C.8cmD.9cm

8.為落實教育部辦公廳和中共中央宣傳部辦公廳關(guān)于《第41批向全國中小學(xué)生推薦優(yōu)秀影片片目》的通

知精神.我市某校八、九年級分別從《我和我的父輩》《童年周恩來》《我心飛揚》《向著明亮那方》四部

影片中，隨機選取一部影片組織本年級學(xué)生觀看，則這兩個年級選擇的影片相同的概率是.

9.甲、乙兩人做游戲，他們準備了一個質(zhì)量分布均勻的正六面體骰子，骰子的六個面分別標有1,2,3,4,

5,6.若擲出的骰子的點數(shù)是偶數(shù)，則甲贏；若擲出的骰子的點數(shù)是3的倍數(shù)，則乙贏.這個游戲?qū)住?/p>

乙來說是的.（填“公平”或“不公平”）

10.在一個不透明的盒子里，裝有5個紅球和若干個綠球，這些球除顏色外都相同，將其搖勻后從中隨機

摸出一個球，記下顏色后再把它放回盒子中，不斷重復(fù)，共摸球80次，其中20次摸到紅球，請估計盒

子中所有球的個數(shù)是.

11.如圖是小明的健康綠碼示意圖，用黑白打印機打印于邊長為2cm的正方形

區(qū)域內(nèi)，為了估計圖中黑色部分的總面積，在正方形區(qū)域內(nèi)隨機擲點，經(jīng)過

大量重復(fù)試驗，發(fā)現(xiàn)點落入黑色部分的頻率穩(wěn)定在0.6左右，據(jù)此可以估計黑

色部分的總面積約為cm2.

12.某學(xué)校開展會員核酸檢測，設(shè)立了A,B,C三個檢測小組.

（1）學(xué)生甲隨機選擇一個小組進行核酸檢測，則他選擇A組的概率為.

（2）學(xué)生乙、丙分別選擇一