2024-2025學(xué)年南寧市某中學(xué)高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷（附答案解析）

2024-2025學(xué)年南寧市三中高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的.

設(shè)集合”=卜

1.5={x|-2<x<2}則=

A.(-2,1)B.(—2,1]C.(7,2)D.(1,2]

2.復(fù)數(shù)z==2,則z的虛部為（）

1+i

3.333.

A.—1B.—C.一一D.一一1

2222

3.已知空間向量值=（—3,2,5）,B=1）,且1與在垂直，則x等于（）

A.4B.1C.3D.2

4.“加=1”是"直線Zj:x+（m+1）j+1=0與直線Z2:（m+l）x-w-1=0垂直”的（）

A,充分不必要條件B,必要不充分條件C.充要條件D,既不充分也不必要條件

2222

5.若實(shí)數(shù)〃7滿足0<加<5,則曲線二——J=1與曲線———匕=1的（）

155-m15-m5

A.離心率相等B.焦距相等C.實(shí)軸長(zhǎng)相等D.虛軸長(zhǎng)相等

6.已知橢圓。：亍+?=1，斗耳為兩個(gè)焦點(diǎn)，尸為橢圓。上一點(diǎn)，若忸行|-|尸耳|=2,則，/笆的面

積為（）

A.2B.3C.4D.6

7.已知雙曲線=2的左，右焦點(diǎn)分別為片,用，點(diǎn)尸在雙曲線的右半支上，點(diǎn)。（0,2）,則

歸。|+|期|的最小值為（）

A2V2B.4C.6D.472

22

8.已知橢圓。宏+==1（￡1>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為片，心，點(diǎn)「（久1，乃）是。上的一點(diǎn)，的內(nèi)

切圓圓心為（?（久2，、2），當(dāng)國(guó)=2時(shí)，X2=V3,則C的離心率為（）

A.在B.V3-1C.BD.2-V3

23

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列說法中正確的是（）

A.若直線的傾斜角越大，則直線的斜率就越大

B.若2（1,-3）,8（1,3）,則直線48的傾斜角為90。

C.若直線過點(diǎn)（1,2）,且它的傾斜角為45。，則這條直線必過點(diǎn)（3,4）

D.直線y=依-2的縱截距為一2

10.已知點(diǎn)/（1,2）在拋物線/=2R（夕〉0）上，尸為拋物線的焦點(diǎn)，0（—1,0）,則下列說法正確的是

（）

A.0=2B.點(diǎn)/的坐標(biāo)為（2,0）C.直線與拋物線相切D.AF1AQ

11.已知正方體Z8CD-Z/CQi棱長(zhǎng)為4,點(diǎn)N是底面正方形/BCD內(nèi)及邊界上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M是棱。2

上的動(dòng)點(diǎn)（包括點(diǎn)。，。1）,已知MM=4,P為MN中前,則下列結(jié)論正確的是（）

A.無論N在何位置，NP,CC］為異面直線B.若M是棱。3中點(diǎn)，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為立兀

2

C.M,N存在唯一的位置，使其尸〃平面D./尸與平面所成角的正弦最大值為:

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.兩條平行直線4:6x+8y—10=0與：6x+8y—5=0之間的距離是.

13.若圓G：（x—2『+了2=1與圓。2：/+_^+4》+6y+加=0相內(nèi)切，則加=.

22

14.已知雙曲線=一烏=1伍〉0］〉0）的焦點(diǎn)分別為片、耳,M為雙曲線上一點(diǎn)，若

ab

^EMF,=—,OM=—b，則雙曲線的漸近線方程為

1233

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.

15.分別求出適合下列條件的方程：

2

(1)已知拋物線=2"(0>0)的焦點(diǎn)為且拋物線上一點(diǎn)/(3,加)到焦點(diǎn)的距離為5,求拋物線

的方程；

(2)已知圓C的圓心在〉軸上，并且過原點(diǎn)和卜石,3),求圓C的方程.

16.記V48c的內(nèi)角45,C的對(duì)邊分別為瓦c,且加in2N=asin5.

(1)求角A；

(2)若。=的面積為逆，求V4BC的周長(zhǎng).

2

17.如圖，在四棱錐N8C。中，底面4BCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，△上4。是等邊三角形，CDL平

面PAD,E,￡G,。分別是PC,PD,BC,的中點(diǎn).

(1)求證：尸0,平面48CD；

(2)求平面ENG與平面45CD夾角的余弦值.

22

18.已知橢圓￡：1+3=1,〉6〉0)的左、右焦點(diǎn)分別為片(-1,0)、?(LO),M為橢圓￡的上頂點(diǎn)時(shí)，

△孫匕的面積為VL

(1)求橢圓E的方程；

(2)直線/：y=Ax+機(jī)與橢圓E相交于P,0兩點(diǎn)，且4左2+3=4加2,求證：XOPQ(。為坐標(biāo)原點(diǎn))

的面積為定值.

2

19.已知雙曲線「：/—方=1,S〉0),左右頂點(diǎn)分別為4,4，過點(diǎn)M(―2,0)的直線/交雙曲線「于P,。

兩點(diǎn).

(1)若離心率e=2時(shí)，求b的值.

(2)若6=歧,4〃4?為等腰三角形時(shí)，且點(diǎn)尸在第一象限，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

32

(3)連接O0并延長(zhǎng)，交雙曲線「于點(diǎn)R,若乖?%>=：!,求6的取值范圍.

3

2024-2025學(xué)年南寧市三中高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的.

設(shè)集合”=卜

1.5={x|-2<x<2}則=

A.(—2,1)B.(—2,1]C.(—oo,2)D.(1,2]

【答案】B

【解析】

【分析】首先求再求交集.

【詳解】={x|x《l},B={x\-2<x<2},

所以Q&Z)={x卜2<x<1}=(-2,1].

故選：B

2.復(fù)數(shù)z=±2,則z的虛部為()

1+i

3.333.

A-1B.-C.——D.——i

,2222

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z,進(jìn)而可求虛部.

i-2(i-2)(l-i)_-l+3i13.

【詳解】2=幣-+-i,

(l+i)(I)=—22

3

故z的虛部為一,

2

故選：B

3.已知空間向量5=(—3,2,5),^=(l,x,-l),且[與B垂直，則x等于()

A.4B.1C.3D.2

【答案】A

【解析】

【分析】由題意可得￡4=0,利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得實(shí)數(shù)x的值.

4

【詳解】因?yàn)榭臻g向量a=（—3,2,5），6=（l,x,-l）,且￡與B垂直，

則=-3+2x-5=2x-8=0,解得x=4.

故選：A.

4.“機(jī)=1”是“直線ll:x+（m+l）y+l=0與直線l2:（m+l）x-my-l=0垂直”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】先求出兩直線垂直的充要條件，進(jìn)而根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.

【詳解】若直線丸：x+（〃z+l）y+l=0與直線：（加+l）x—沖一1=0垂直，

則1義（加+1）+（加+1）義（一加）=0,解得加=±1,

所以“m=l”是"直線4:x+（〃?+l）y+l=0與直線L：（加+l）x-加y-l=0垂直”的充分不必要條件.

故選：A.

2222

5.若實(shí)數(shù)加滿足0＜加＜5,則曲線二——匚=1與曲線———上=1的（）

155-m15-m5

A.離心率相等B.焦距相等C.實(shí)軸長(zhǎng)相等D.虛軸長(zhǎng)相等

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)逐一分析判斷即可.

【詳解】因?yàn)?＜加＜5,所以5-加〉0,15-加〉0,

2222

所以曲線^——J=1與曲線———上=1都是焦點(diǎn)在X軸上的雙曲線，

155-m15-m5

15+5—加=20—加=15—加+5,

所以兩曲線的焦點(diǎn)和焦距都相同，故B正確；

因?yàn)?、一~-,所以離心率不相等，故A錯(cuò)誤；

1515-m

因?yàn)?5/15-加，所以實(shí)軸長(zhǎng)不相等，故C錯(cuò)誤;

因?yàn)?-加工5,所以虛軸長(zhǎng)不相等，故D錯(cuò)誤.

故選：B.

5

22

6.已知橢圓C：1_+Y=1,片，乙為兩個(gè)焦點(diǎn)，尸為橢圓C上一點(diǎn)，若忸行|—居|=2,則心的面

積為（）

A.2B.3C.4D.6

【答案】C

【解析】

【分析】首先得見4c,進(jìn)一步得焦距，由橢圓定義結(jié)合|3|-|?工|=2得|「公|,|盟|,由此即可進(jìn)一步

求解.

【詳解】由題意a=3,b=2,c=JL所以閨片|=2°=2君,|尸司+留初=2。=6,

因?yàn)闅w國(guó)-忸閭=2,所以忸片|=4,忸叫=2,

而|0周2+|尸閭2=16+4=20=閨閭2,所以此上PF”

所以的面積為

ASg\PFIF2=||PF1|-|PF2|=1X4X2=4.

故選：C.

7.已知雙曲線/-/=2的左，右焦點(diǎn)分別為￡,用，點(diǎn)尸在雙曲線的右半支上，點(diǎn)。（0,2）,則

歸。|+歸耳|的最小值為（）

A.25/2B.4C.6D.4vl

【答案】D

【解析】

【分析】首先利用雙曲線的定義轉(zhuǎn)化|PQ|+|3|=|PQ|+（|PF2|+2、/5）,再結(jié)合圖象，求歸。|+怛閭的

最小值，再聯(lián)立方程求交點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】由題意并結(jié)合雙曲線的定義可得

\PQ\+|尸用=|P0|+（|產(chǎn)用+2&）=\PQ\+P&+2五22刃+2后=2拒+26=46,

當(dāng)且僅當(dāng)Q,P,鳥三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立.

y——X+231

而直線鑿的方程為V=—X+2,由2C可得X=7,所以丁=7，

x一歹二222

所以點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（ID

6

所以當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為?I）時(shí)，歸@+怛用的最小值為4五?

8.已知橢圓。5+，=19＞6＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為片，鳥，點(diǎn)PQi，yi）是。上的一點(diǎn)，△尸片鳥的內(nèi)

切圓圓心為＜?（＞2/2），當(dāng)網(wǎng)=2時(shí)，/=G，則C的離心率為（）

A.2B.V3-1C.當(dāng)D.2-6

23

【答案】A

【解析】

22

【分析】由點(diǎn)POi，%）在C:=+二=1上，結(jié)合兩點(diǎn)之間的距離公式和橢圓的定義求出怛用=%+a,

ab

\PFA=a-exif

即|尸團(tuán)尸閶=2的,再利用內(nèi)切圓的性質(zhì)得到忸-忸閶=2%,即可求出C的離心率.

所以|尸片|=+。）+＞：=/（再+。）+b21—涓+2cxi+a2H生+.；

又一所以|尸片|二色+a=°再+a,|尸鳥|二2。一|尸耳|=Q-eX],則|尸片|一|尸鳥]=2?項(xiàng)；

如圖1,由焦點(diǎn)△打43的內(nèi)切圓可得：|尸E|=|尸耳，怛片|=閨引，忸耳|=|白冏,

7

所以歸團(tuán)T尸閭=忸4I-|即I=I耳MT鳥M=2%；

Bn/G

又內(nèi)引一風(fēng)冏=(c+x)-(c-x)=2eX]=2X,所以％=ex1BPe=-=——

222%12

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:

本題的關(guān)鍵點(diǎn)是推理出二級(jí)結(jié)論：點(diǎn)P(%,yD在橢圓上，貝U|S|=eXi+a,怛6|=。-ex「再結(jié)合內(nèi)切圓

的性質(zhì)歸團(tuán)-歸閭=|耳引-怩回，建立關(guān)于西,々4的等量關(guān)系.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列說法中正確的是()

A.若直線的傾斜角越大，則直線的斜率就越大

B.若2(1,-3),8(1,3),則直線48的傾斜角為90。

C.若直線過點(diǎn)(1,2),且它的傾斜角為45。，則這條直線必過點(diǎn)(3,4)

D.直線^=依-2的縱截距為一2

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)每一個(gè)選項(xiàng)具體直線，以及直線的性質(zhì)判斷每一個(gè)選項(xiàng)即可.

【詳解】?jī)A斜角為銳角，斜率為正；傾斜角為鈍角時(shí)，斜率為負(fù)，故A錯(cuò)；

由于2(1,-3),8(1,3)的橫坐標(biāo)相等，即直線48與〉軸垂直，故傾斜角為90°，故B對(duì)；

由題設(shè)，直線方程為y—2=x—Inx—y+l=0,顯然(3,4)在直線上，故c對(duì)；

直線y=依-2在了軸上的截距為一2,故D對(duì).

故選：BCD

10.已知點(diǎn)/(1,2)在拋物線「=2/(夕〉0)上，尸為拋物線的焦點(diǎn)，。(―1,0),則下列說法正確的是

()

A.p=2B.點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(2,0)C.直線與拋物線相切D.AF1AQ

【答案】AC

8

【解析】

【分析】將/(1,2)代入拋物線可得p=2,即可判斷ABD,根據(jù)直線與拋物線聯(lián)立后判別式為0,即可求解.

【詳解】將/(1,2)代入「=2/中可得4=2?，故夕=2,F(l,0),A正確，B錯(cuò)誤,

,V=x+l0

左技=1,則N。方程為y=x+l,貝"2—2x+l=0,A=0,故直線/。與拋物線相切，C正

[y=4x一

確，

由于ZPLx軸，所以“尸，N0不成立，故D錯(cuò)誤,

故選：AC

11.已知正方體/BCD-481G3棱長(zhǎng)為4,點(diǎn)N是底面正方形N3CD內(nèi)及邊界上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M是棱。2

上的動(dòng)點(diǎn)(包括點(diǎn)。，。1),已知MN=4,尸為MN中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()

A.無論M,N在何位置，NRCG為異面直線B.若M是棱中點(diǎn)，則點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)度為立兀

2

C.M,N存在唯一的位置，使40〃平面/qcD./尸與平面42cB所成角的正弦最大值為:

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)/尸相交，而/4//CC1即可判斷A,建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運(yùn)算可判斷P的軌

跡長(zhǎng)度為半徑為6的圓的;，即可判斷B,根據(jù)法向量與方向向量垂直即可判斷C,根據(jù)線面角的向量法，

結(jié)合基本不等式即可求解.

【詳解】由于/尸,44]相交，而44"/CG，因此/尸,CCI為異面直線，A正確，

當(dāng)M是棱。3中點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)

9

P（x,y,z）,^（0,0,2）,^（4,0,0）,C（0,4,0）,C1（0,4,4）,S）（4,4,4）,

N（2x,2y,2z-2）,042x44,042yW4且2z-2=0,

由于7W=4,故（2xy+（2yy+（2z—2—2『=16,化簡(jiǎn)得/+「=3,

由于0V2xV4,0V2〉V4,所以點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為半徑為百的圓的;，故長(zhǎng)度為兀，B正確，

設(shè)M（0,0,a）,4（4,0,4）,則N（2x,2y,2z-a）,0<2x<4,0<2y<4Jl2z-a=0,

A^=（x-4,y,z-4）,A^=（O,4,4）,AC=（-4,4,0）,

設(shè)平面N8C的法向量為慶=（加,〃,左），則

<__._，令冽=1,則成=（1,1,一1）,

AC-m=-4m+4〃=0

AxP-m=（x-4）+y-（2-4）=0,故x+y_z=0,

由于7W=4,故（2x『+（2y/+（22—=16,化簡(jiǎn)得f+y2+z2=4,

x+y-z=0,,廣l

聯(lián)立《2"22X2+v2+xy=2,故解不唯一，比如取x=0,y=C\則或取y=0,x=后,

x+y+z=4?

故C錯(cuò)誤，

由于&A1平面ABBd,ABXu平面ABB4,故/Q±網(wǎng),

又四邊形48四4為正方形，所以，逐，481,

AXBcAXDX,AXB,AXDXu平面AXBCDX,

所以，平面4BCR,

故平面/RCR的法向量為福=（0,4,4）

AP=（x-4,y,z）,

?一,一..AP-ABX_______y+z

設(shè)AP與平面&BCD]所成角為。,則sin0二cosAP,ABA=一||_

114P48]V2^（x-4）2+y2+z2

10

則sir?e」/+，+2尸w￡_2(：+z)_,當(dāng)且僅當(dāng)y=z時(shí)取等號(hào),

22222

2(X-4)+J+Z2(X-4)+/+Z

.2ZJ/y2+z24-x24-x2

sm0<-----；-----------=-------；---------=--------

2222

(X_4)+/+Z(X-4)+4-X20-8X'

20-f

xe[o,2]時(shí)，令20-8x=f>0,則工=-----,

也+,+4。

故4*

20—8x64

144144144

由于寧寧廣24,當(dāng)且僅當(dāng)千二，，即，二12時(shí)等號(hào)成立，止匕時(shí)x=l,

由x2+V+z2=4且V=Z可得",等

-%+4。

因此,-24+40

sin20<<----------

64644

兀1

由于，e0,-,sin^>0,故sin。的最大值為一，故D正確，、

22

故選：ABD

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：立體幾何中與動(dòng)點(diǎn)軌跡有關(guān)的題目歸根到底還是對(duì)點(diǎn)線面關(guān)系的認(rèn)知，其中更多涉及

了平行和垂直的一些證明方法，在此類問題中要么很容易的看出動(dòng)點(diǎn)符合什么樣的軌跡（定義），要么通過計(jì)

算（建系）求出具體的軌跡表達(dá)式，和解析幾何中的軌跡問題并沒有太大區(qū)別，所求的軌跡一般有四種，即線

段型，平面型，二次曲線型，球型.

三.填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.兩條平行直線/1：6x+8y—10=0與L：6x+8y—5=0之間的距離是.

【答案】|##0.5

【解析】

11

【分析】借助兩平行線間的距離公式計(jì)算即可得.

1-10+511

【詳解】平行直線4與/2之間的距離為d=\1.

一V62+822

故答案為：一.

2

13.若圓G：(x—2『+了2=1與圓。2:x2+y2+4x+6y+加=0相內(nèi)切，則加=.

【答案】-23

【解析】

【分析】求出兩圓的圓心，確定在圓q外部，所以圓。內(nèi)切于圓。2，由圓心距得到方程，計(jì)算即可.

【詳解】由。2：x?+./+4x+6y+/〃=0=>(x+2)~+(y+3y=13—/〃，

顯然13〉加,G(2,0)C(—2,—3),

圓弓,。2相內(nèi)切，

將Q點(diǎn)坐標(biāo)代入圓&方程知(-2-2)2+(-3)2>1,即在圓G外部，

所以圓G內(nèi)切于圓。2，

則有\(zhòng)C,C2\=，(-2-2『+(-3-0)2=5=J”-掰-1,

解之得加=—23.

故答案為：-23

22

14.已知雙曲線j—白=1伍〉0/〉0)的焦點(diǎn)分別為￡、為雙曲線上一點(diǎn)，若

ab

居=",(W=Y可/?，則雙曲線的漸近線方程為

1233

【答案】y=土立~x

2

【解析】

——?1——■——-

【分析】設(shè)I町|=加』"4|=〃，先利用余弦定理得4〃=3加〃，然后根據(jù)〃0=5(4華+"3)，兩邊

同時(shí)平方得4/+加〃="a，進(jìn)而計(jì)算可得答案.

3

12

【詳解】由雙曲線的對(duì)稱性，不妨設(shè)M在第一象限，

2兀

設(shè)|上莊|=加」北?|=〃，又N片上?=3-，

22222

所以|片皂|=|Aff；\+\MF2\-2Aff；|.||cosZF；MF2=m+n-2mn(-1)

=(m-n)2+3mn-Aa1+3mn=4c2,所以4b2=3mn，

因?yàn)?。為片用的中點(diǎn)，所以彷=g(礪+擊)，即2詬=西+說，

22

所以兩邊平方得4］而2=MF^+2MFX>MF\+MF\=m+2mncosy+w

，、2,22勖2

=(m-n)+mn=4a+mn=一--,

二匚［、［(2472286日nd7c72日口力

所以4Q+一6二-----，BP4a=8b，即一二——，

33a2

所以雙曲線的漸近線方程為y=±*x.

故答案為：V=±X-

2

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.

15.分別求出適合下列條件的方程：

(1)已知拋物線=2"(0>0)的焦點(diǎn)為尸，且拋物線上一點(diǎn)4(3,加)到焦點(diǎn)的距離為5,求拋物線

的方程；

(2)已知圓C的圓心在〉軸上，并且過原點(diǎn)和卜百,3),求圓。的方程.

【答案】⑴y2=8x

(2)f+Q-2)2=4

【解析】

【分析】(1)根據(jù)點(diǎn)4(3,加)在拋物線上，根據(jù)拋物線定義，確定)值，即可求解.

(2)由已知，設(shè)出圓。方程/+(>一6)2=「2">0),代入原點(diǎn)和卜6,3),可得氏廠的值，即可求得圓

C的方程.

【小問1詳解】

13

因?yàn)閽佄锞€上一點(diǎn)4(3,加)到焦點(diǎn)的距離為5,準(zhǔn)線為x=,

故3—,d=5,則夕=4,

故拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為

【小問2詳解】

因?yàn)閳AC的圓心在〉軸上,

則設(shè)圓C方程為久2+(y-b)2=r2(r>0),

由已知，圓C過原點(diǎn)和卜百,3卜

b2=r2b=2

由已知＜解得〈c

(-?+(3-bp"r=2

所以圓C方程為x2+(v-2)2=4.

16.記V48c的內(nèi)角4民C的對(duì)邊分別為瓦。，且bsin2Z=asinS.

(1)求角A；

(2)若a=J7,△ABC的面積為迪，求V4BC的周長(zhǎng).

2

7T

【答案】(1)A=-

3

⑵5+77.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)二倍角公式，結(jié)合正弦定理邊角互化，即可求解，

(2)根據(jù)面積公式可得be的值，結(jié)合余弦定理即可求解.

【小問1詳解】

因?yàn)閆?sin2Z=asinB,所以2bsiiL4cos4=asinB.

根據(jù)正弦定理，得2sin5siivlcosZ=siivlsiihB,

因?yàn)閟iiiBw0,sirvlw0,所以COSL4=L

2

又Ze(O,7i),所以Z=g.

【小問2詳解】

14

在VABC中，由已知SABC=—bcsvaA=—be'——=bc=6>

“BC2222

因?yàn)镹=m，a=J7

由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA，即7=(b+c)2-2bc—2bc-,

即7=S+c)2—36c,又6>0,。>0,所以6+0=5.

所以V48C的周長(zhǎng)周長(zhǎng)為5+J7.

17.如圖，在四棱錐P-N8C。中，底面4BCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，△上4。是等邊三角形，CD_L平

面PAD,E,￡G,。分別是PC,PD,BC,的中點(diǎn).

(1)求證：尸0,平面45CD；

(2)求平面EEG與平面48CD夾角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析(2)-

2

【解析】

【分析】(1)由線面垂直得到CDLPO,再由線面垂直的判定定理得到結(jié)果即可；

(2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面EFG和平面48CD的法向量，代入空間二面角公式求解

即可；

【小問1詳解】

QV上4。是等邊三角形，。是/。的中點(diǎn)，

又CD_L平面PAD,PO<=平面PAD,CDIPO,

又40nCD=0,40U平面ABCD,CDu平面ABCD,P0±平面ABCD.

【小問2詳解】

由(1)得PO_L平面/BCD,連接0G,建立以。為原點(diǎn)，

15

以尸所在直線分別為x軸，＞軸，z軸的空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

如圖所示，底面48CD是邊長(zhǎng)為4的正方形,

則0(0,0,0),/(2,0,0),5(2,4,0),c(—2,4,0),

Z)(-2,0,0),G(0,4,0),P(0,0,26),E(-1,2,6),2(-1,0,⑸，

則方=(0,2,0),蔗=(1,2,—6),設(shè)平面EFG的法向量為五=(x,y,z),

取x=G，則＞=0/=1,.,.平面EFG的法向量為拓=（百,0/卜

又平面4BCD的法向量為無=（0,0,2行），

平面EFG與平面ABCD的夾角的余弦值為

22

18.已知橢圓E：餐+3=1（?！?〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為片（-1,0）、用（l,0）,M為橢圓￡的上頂點(diǎn)時(shí),

AMF[F2的面積為6.

（1）求橢圓E的方程;

（2）直線/：y=Ax+機(jī)與橢圓￡相交于P,0兩點(diǎn)，且45+3=4加2,求證：△OP。（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）

的面積為定值.

22

【答案】⑴土+匕=1（2）證明見解析

43

【解析】

【分析】（1）由題意可得。，結(jié)合三角形面積公式計(jì)算可得b,即可得。；

16

（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，可得與交點(diǎn)橫坐標(biāo)有關(guān)韋達(dá)定理，結(jié)合面積公式與所給等式計(jì)算即可得解.

【小問1詳解】

根據(jù)題意，C=1f

初在橢圓E上頂點(diǎn)，此時(shí)打=^\F}F2\\MO\=b=43.

22

所以/=〃+°2=4,則求橢圓E的方程上+匕=1；

43

【小問2詳解】

如圖所示，設(shè)？（可,必

y-kx+m.

聯(lián)立直線/與橢圓E的方程《*y2得（3+4左+8左加x+4加之—12=0,

------1-------1,

143

22

A=64k2m2—4（3+4/乂4掰2_12）=192k-48m+144=48（4--+3）＞0.

8km4m2-12

X1+X?2=-----------------7,XX?=---------------—

3+4左2'123+4左2

8km）4m2-12

-4x

3+4口3+442

148（4左2一療+3）

=J1+左2

3+4F

\m\

因?yàn)辄c(diǎn)。到直線PQ的距離d=,且45+3=4加2,

11,-----」48（4/_加2+3）

6m26m2_3

所以。。=-x\PQ\xd=-xJ1+左2A_V---------------Lx

S,11

223+4左23+4公4mr~2

3

綜上，△。尸。的面積為定值萬.

17

2

19.已知雙曲線「：/—%=i,s〉o）,左右頂點(diǎn)分別為4,4,過點(diǎn)/（-2,0）的直線/交雙曲線「于P,。

兩點(diǎn).

（1）若離心率e=2時(shí)，求b的值.

（2）若6=2四,△"從「為等腰三角形時(shí)，且點(diǎn)尸在第一象限，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

（3）連接。。并延長(zhǎng)，交雙曲線「于點(diǎn)R,若乖-4巨=1,求b的取值范圍.

【答案】⑴bf

（2）尸（2,2后）

/

⑶（0,V3）UV3,

【解析】

【分析】（1）根據(jù)離心率公式計(jì)算即可；

（2）分三角形三邊分別為底討論即可；

（3）設(shè)直線/:x=/ny-2,聯(lián)立雙曲線方程得到韋達(dá)定理式，再代入計(jì)算向量數(shù)量積的等式計(jì)算即可.

【小問1詳解】

由題意得e=—=—=2,則c=2,b=A/22-1=^3-

a1

【小問2詳解】

當(dāng)占=地時(shí)，雙曲線「