2024-2025學年南寧市某中學高二數(shù)學上學期期中試卷（附答案解析）

2024-2025學年南寧市三中高二數(shù)學上學期期中試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求

的.

設集合”=卜

1.5={x|-2<x<2}則=

A.(-2,1)B.(—2,1]C.(7,2)D.(1,2]

2.復數(shù)z==2,則z的虛部為（）

1+i

3.333.

A.—1B.—C.一一D.一一1

2222

3.已知空間向量值=（—3,2,5）,B=1）,且1與在垂直，則x等于（）

A.4B.1C.3D.2

4.“加=1”是"直線Zj:x+（m+1）j+1=0與直線Z2:（m+l）x-w-1=0垂直”的（）

A,充分不必要條件B,必要不充分條件C.充要條件D,既不充分也不必要條件

2222

5.若實數(shù)〃7滿足0<加<5,則曲線二——J=1與曲線———匕=1的（）

155-m15-m5

A.離心率相等B.焦距相等C.實軸長相等D.虛軸長相等

6.已知橢圓。：亍+?=1，斗耳為兩個焦點，尸為橢圓。上一點，若忸行|-|尸耳|=2,則，/笆的面

積為（）

A.2B.3C.4D.6

7.已知雙曲線=2的左，右焦點分別為片,用，點尸在雙曲線的右半支上，點。（0,2）,則

歸。|+|期|的最小值為（）

A2V2B.4C.6D.472

22

8.已知橢圓。宏+==1（￡1>6>0）的左、右焦點分別為片，心，點「（久1，乃）是。上的一點，的內(nèi)

切圓圓心為（?（久2，、2），當國=2時，X2=V3,則C的離心率為（）

A.在B.V3-1C.BD.2-V3

23

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.下列說法中正確的是（）

A.若直線的傾斜角越大，則直線的斜率就越大

B.若2（1,-3）,8（1,3）,則直線48的傾斜角為90。

C.若直線過點（1,2）,且它的傾斜角為45。，則這條直線必過點（3,4）

D.直線y=依-2的縱截距為一2

10.已知點/（1,2）在拋物線/=2R（夕〉0）上，尸為拋物線的焦點，0（—1,0）,則下列說法正確的是

（）

A.0=2B.點/的坐標為（2,0）C.直線與拋物線相切D.AF1AQ

11.已知正方體Z8CD-Z/CQi棱長為4,點N是底面正方形/BCD內(nèi)及邊界上的動點，點M是棱。2

上的動點（包括點。，。1）,已知MM=4,P為MN中前,則下列結(jié)論正確的是（）

A.無論N在何位置，NP,CC］為異面直線B.若M是棱。3中點，則點P的軌跡長度為立兀

2

C.M,N存在唯一的位置，使其尸〃平面D./尸與平面所成角的正弦最大值為:

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.兩條平行直線4:6x+8y—10=0與：6x+8y—5=0之間的距離是.

13.若圓G：（x—2『+了2=1與圓。2：/+_^+4》+6y+加=0相內(nèi)切，則加=.

22

14.已知雙曲線=一烏=1伍〉0］〉0）的焦點分別為片、耳,M為雙曲線上一點，若

ab

^EMF,=—,OM=—b，則雙曲線的漸近線方程為

1233

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.

15.分別求出適合下列條件的方程：

2

(1)已知拋物線=2"(0>0)的焦點為且拋物線上一點/(3,加)到焦點的距離為5,求拋物線

的方程；

(2)已知圓C的圓心在〉軸上，并且過原點和卜石,3),求圓C的方程.

16.記V48c的內(nèi)角45,C的對邊分別為瓦c,且加in2N=asin5.

(1)求角A；

(2)若。=的面積為逆，求V4BC的周長.

2

17.如圖，在四棱錐N8C。中，底面4BCD是邊長為4的正方形，△上4。是等邊三角形，CDL平

面PAD,E,￡G,。分別是PC,PD,BC,的中點.

(1)求證：尸0,平面48CD；

(2)求平面ENG與平面45CD夾角的余弦值.

22

18.已知橢圓￡：1+3=1,〉6〉0)的左、右焦點分別為片(-1,0)、?(LO),M為橢圓￡的上頂點時，

△孫匕的面積為VL

(1)求橢圓E的方程；

(2)直線/：y=Ax+機與橢圓E相交于P,0兩點，且4左2+3=4加2,求證：XOPQ(。為坐標原點)

的面積為定值.

2

19.已知雙曲線「：/—方=1,S〉0),左右頂點分別為4,4，過點M(―2,0)的直線/交雙曲線「于P,。

兩點.

(1)若離心率e=2時，求b的值.

(2)若6=歧,4〃4?為等腰三角形時，且點尸在第一象限，求點P的坐標.

32

(3)連接O0并延長，交雙曲線「于點R,若乖?%>=：!,求6的取值范圍.

3

2024-2025學年南寧市三中高二數(shù)學上學期期中試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求

的.

設集合”=卜

1.5={x|-2<x<2}則=

A.(—2,1)B.(—2,1]C.(—oo,2)D.(1,2]

【答案】B

【解析】

【分析】首先求再求交集.

【詳解】={x|x《l},B={x\-2<x<2},

所以Q&Z)={x卜2<x<1}=(-2,1].

故選：B

2.復數(shù)z=±2,則z的虛部為()

1+i

3.333.

A-1B.-C.——D.——i

,2222

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算，化簡復數(shù)z,進而可求虛部.

i-2(i-2)(l-i)_-l+3i13.

【詳解】2=幣-+-i,

(l+i)(I)=—22

3

故z的虛部為一,

2

故選：B

3.已知空間向量5=(—3,2,5),^=(l,x,-l),且[與B垂直，則x等于()

A.4B.1C.3D.2

【答案】A

【解析】

【分析】由題意可得￡4=0,利用空間向量數(shù)量積的坐標運算可求得實數(shù)x的值.

4

【詳解】因為空間向量a=（—3,2,5），6=（l,x,-l）,且￡與B垂直，

則=-3+2x-5=2x-8=0,解得x=4.

故選：A.

4.“機=1”是“直線ll:x+（m+l）y+l=0與直線l2:（m+l）x-my-l=0垂直”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】先求出兩直線垂直的充要條件，進而根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.

【詳解】若直線丸：x+（〃z+l）y+l=0與直線：（加+l）x—沖一1=0垂直，

則1義（加+1）+（加+1）義（一加）=0,解得加=±1,

所以“m=l”是"直線4:x+（〃?+l）y+l=0與直線L：（加+l）x-加y-l=0垂直”的充分不必要條件.

故選：A.

2222

5.若實數(shù)加滿足0＜加＜5,則曲線二——匚=1與曲線———上=1的（）

155-m15-m5

A.離心率相等B.焦距相等C.實軸長相等D.虛軸長相等

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)逐一分析判斷即可.

【詳解】因為0＜加＜5,所以5-加〉0,15-加〉0,

2222

所以曲線^——J=1與曲線———上=1都是焦點在X軸上的雙曲線，

155-m15-m5

15+5—加=20—加=15—加+5,

所以兩曲線的焦點和焦距都相同，故B正確；

因為、一~-,所以離心率不相等，故A錯誤；

1515-m

因為15/15-加，所以實軸長不相等，故C錯誤;

因為5-加工5,所以虛軸長不相等，故D錯誤.

故選：B.

5

22

6.已知橢圓C：1_+Y=1,片，乙為兩個焦點，尸為橢圓C上一點，若忸行|—居|=2,則心的面

積為（）

A.2B.3C.4D.6

【答案】C

【解析】

【分析】首先得見4c,進一步得焦距，由橢圓定義結(jié)合|3|-|?工|=2得|「公|,|盟|,由此即可進一步

求解.

【詳解】由題意a=3,b=2,c=JL所以閨片|=2°=2君,|尸司+留初=2。=6,

因為歸國-忸閭=2,所以忸片|=4,忸叫=2,

而|0周2+|尸閭2=16+4=20=閨閭2,所以此上PF”

所以的面積為

ASg\PFIF2=||PF1|-|PF2|=1X4X2=4.

故選：C.

7.已知雙曲線/-/=2的左，右焦點分別為￡,用，點尸在雙曲線的右半支上，點。（0,2）,則

歸。|+歸耳|的最小值為（）

A.25/2B.4C.6D.4vl

【答案】D

【解析】

【分析】首先利用雙曲線的定義轉(zhuǎn)化|PQ|+|3|=|PQ|+（|PF2|+2、/5）,再結(jié)合圖象，求歸。|+怛閭的

最小值，再聯(lián)立方程求交點坐標.

【詳解】由題意并結(jié)合雙曲線的定義可得

\PQ\+|尸用=|P0|+（|產(chǎn)用+2&）=\PQ\+P&+2五22刃+2后=2拒+26=46,

當且僅當Q,P,鳥三點共線時等號成立.

y——X+231

而直線鑿的方程為V=—X+2,由2C可得X=7,所以丁=7，

x一歹二222

所以點尸的坐標為（ID

6

所以當且僅當點尸的坐標為?I）時，歸@+怛用的最小值為4五?

8.已知橢圓。5+，=19＞6＞0）的左、右焦點分別為片，鳥，點PQi，yi）是。上的一點，△尸片鳥的內(nèi)

切圓圓心為＜?（＞2/2），當網(wǎng)=2時，/=G，則C的離心率為（）

A.2B.V3-1C.當D.2-6

23

【答案】A

【解析】

22

【分析】由點POi，%）在C:=+二=1上，結(jié)合兩點之間的距離公式和橢圓的定義求出怛用=%+a,

ab

\PFA=a-exif

即|尸團尸閶=2的,再利用內(nèi)切圓的性質(zhì)得到忸-忸閶=2%,即可求出C的離心率.

所以|尸片|=+。）+＞：=/（再+。）+b21—涓+2cxi+a2H生+.；

又一所以|尸片|二色+a=°再+a,|尸鳥|二2。一|尸耳|=Q-eX],則|尸片|一|尸鳥]=2?項；

如圖1,由焦點△打43的內(nèi)切圓可得：|尸E|=|尸耳，怛片|=閨引，忸耳|=|白冏,

7

所以歸團T尸閭=忸4I-|即I=I耳MT鳥M=2%；

Bn/G

又內(nèi)引一風冏=(c+x)-(c-x)=2eX]=2X,所以％=ex1BPe=-=——

222%12

故選：A.

【點睛】關鍵點點睛:

本題的關鍵點是推理出二級結(jié)論：點P(%,yD在橢圓上，貝U|S|=eXi+a,怛6|=。-ex「再結(jié)合內(nèi)切圓

的性質(zhì)歸團-歸閭=|耳引-怩回，建立關于西,々4的等量關系.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.下列說法中正確的是()

A.若直線的傾斜角越大，則直線的斜率就越大

B.若2(1,-3),8(1,3),則直線48的傾斜角為90。

C.若直線過點(1,2),且它的傾斜角為45。，則這條直線必過點(3,4)

D.直線^=依-2的縱截距為一2

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)每一個選項具體直線，以及直線的性質(zhì)判斷每一個選項即可.

【詳解】傾斜角為銳角，斜率為正；傾斜角為鈍角時，斜率為負，故A錯；

由于2(1,-3),8(1,3)的橫坐標相等，即直線48與〉軸垂直，故傾斜角為90°，故B對；

由題設，直線方程為y—2=x—Inx—y+l=0,顯然(3,4)在直線上，故c對；

直線y=依-2在了軸上的截距為一2,故D對.

故選：BCD

10.已知點/(1,2)在拋物線「=2/(夕〉0)上，尸為拋物線的焦點，。(―1,0),則下列說法正確的是

()

A.p=2B.點尸的坐標為(2,0)C.直線與拋物線相切D.AF1AQ

【答案】AC

8

【解析】

【分析】將/(1,2)代入拋物線可得p=2,即可判斷ABD,根據(jù)直線與拋物線聯(lián)立后判別式為0,即可求解.

【詳解】將/(1,2)代入「=2/中可得4=2?，故夕=2,F(l,0),A正確，B錯誤,

,V=x+l0

左技=1,則N。方程為y=x+l,貝"2—2x+l=0,A=0,故直線/。與拋物線相切，C正

[y=4x一

確，

由于ZPLx軸，所以“尸，N0不成立，故D錯誤,

故選：AC

11.已知正方體/BCD-481G3棱長為4,點N是底面正方形N3CD內(nèi)及邊界上的動點，點M是棱。2

上的動點(包括點。，。1),已知MN=4,尸為MN中點，則下列結(jié)論正確的是()

A.無論M,N在何位置，NRCG為異面直線B.若M是棱中點，則點尸的軌跡長度為立兀

2

C.M,N存在唯一的位置，使40〃平面/qcD./尸與平面42cB所成角的正弦最大值為:

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)/尸相交，而/4//CC1即可判斷A,建立空間直角坐標系，利用坐標運算可判斷P的軌

跡長度為半徑為6的圓的;，即可判斷B,根據(jù)法向量與方向向量垂直即可判斷C,根據(jù)線面角的向量法，

結(jié)合基本不等式即可求解.

【詳解】由于/尸,44]相交，而44"/CG，因此/尸,CCI為異面直線，A正確，

當M是棱。3中點，建立如圖所示的空間直角坐標系，設

9

P（x,y,z）,^（0,0,2）,^（4,0,0）,C（0,4,0）,C1（0,4,4）,S）（4,4,4）,

N（2x,2y,2z-2）,042x44,042yW4且2z-2=0,

由于7W=4,故（2xy+（2yy+（2z—2—2『=16,化簡得/+「=3,

由于0V2xV4,0V2〉V4,所以點P的軌跡長度為半徑為百的圓的;，故長度為兀，B正確，

設M（0,0,a）,4（4,0,4）,則N（2x,2y,2z-a）,0<2x<4,0<2y<4Jl2z-a=0,

A^=（x-4,y,z-4）,A^=（O,4,4）,AC=（-4,4,0）,

設平面N8C的法向量為慶=（加,〃,左），則

<__._，令冽=1,則成=（1,1,一1）,

AC-m=-4m+4〃=0

AxP-m=（x-4）+y-（2-4）=0,故x+y_z=0,

由于7W=4,故（2x『+（2y/+（22—=16,化簡得f+y2+z2=4,

x+y-z=0,,廣l

聯(lián)立《2"22X2+v2+xy=2,故解不唯一，比如取x=0,y=C\則或取y=0,x=后,

x+y+z=4?

故C錯誤，

由于&A1平面ABBd,ABXu平面ABB4,故/Q±網(wǎng),

又四邊形48四4為正方形，所以，逐，481,

AXBcAXDX,AXB,AXDXu平面AXBCDX,

所以，平面4BCR,

故平面/RCR的法向量為福=（0,4,4）

AP=（x-4,y,z）,

?一,一..AP-ABX_______y+z

設AP與平面&BCD]所成角為。,則sin0二cosAP,ABA=一||_

114P48]V2^（x-4）2+y2+z2

10

則sir?e」/+，+2尸w￡_2(：+z)_,當且僅當y=z時取等號,

22222

2(X-4)+J+Z2(X-4)+/+Z

.2ZJ/y2+z24-x24-x2

sm0<-----；-----------=-------；---------=--------

2222

(X_4)+/+Z(X-4)+4-X20-8X'

20-f

xe[o,2]時，令20-8x=f>0,則工=-----,

也+,+4。

故4*

20—8x64

144144144

由于寧寧廣24,當且僅當千二，，即，二12時等號成立，止匕時x=l,

由x2+V+z2=4且V=Z可得",等

-%+4。

因此,-24+40

sin20<<----------

64644

兀1

由于，e0,-,sin^>0,故sin。的最大值為一，故D正確，、

22

故選：ABD

【點睛】方法點睛：立體幾何中與動點軌跡有關的題目歸根到底還是對點線面關系的認知，其中更多涉及

了平行和垂直的一些證明方法，在此類問題中要么很容易的看出動點符合什么樣的軌跡（定義），要么通過計

算（建系）求出具體的軌跡表達式，和解析幾何中的軌跡問題并沒有太大區(qū)別，所求的軌跡一般有四種，即線

段型，平面型，二次曲線型，球型.

三.填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.兩條平行直線/1：6x+8y—10=0與L：6x+8y—5=0之間的距離是.

【答案】|##0.5

【解析】

11

【分析】借助兩平行線間的距離公式計算即可得.

1-10+511

【詳解】平行直線4與/2之間的距離為d=\1.

一V62+822

故答案為：一.

2

13.若圓G：(x—2『+了2=1與圓。2:x2+y2+4x+6y+加=0相內(nèi)切，則加=.

【答案】-23

【解析】

【分析】求出兩圓的圓心，確定在圓q外部，所以圓。內(nèi)切于圓。2，由圓心距得到方程，計算即可.

【詳解】由。2：x?+./+4x+6y+/〃=0=>(x+2)~+(y+3y=13—/〃，

顯然13〉加,G(2,0)C(—2,—3),

圓弓,。2相內(nèi)切，

將Q點坐標代入圓&方程知(-2-2)2+(-3)2>1,即在圓G外部，

所以圓G內(nèi)切于圓。2，

則有\(zhòng)C,C2\=，(-2-2『+(-3-0)2=5=J”-掰-1,

解之得加=—23.

故答案為：-23

22

14.已知雙曲線j—白=1伍〉0/〉0)的焦點分別為￡、為雙曲線上一點，若

ab

居=",(W=Y可/?，則雙曲線的漸近線方程為

1233

【答案】y=土立~x

2

【解析】

——?1——■——-

【分析】設I町|=加』"4|=〃，先利用余弦定理得4〃=3加〃，然后根據(jù)〃0=5(4華+"3)，兩邊

同時平方得4/+加〃="a，進而計算可得答案.

3

12

【詳解】由雙曲線的對稱性，不妨設M在第一象限，

2兀

設|上莊|=加」北?|=〃，又N片上?=3-，

22222

所以|片皂|=|Aff；\+\MF2\-2Aff；|.||cosZF；MF2=m+n-2mn(-1)

=(m-n)2+3mn-Aa1+3mn=4c2,所以4b2=3mn，

因為。為片用的中點，所以彷=g(礪+擊)，即2詬=西+說，

22

所以兩邊平方得4］而2=MF^+2MFX>MF\+MF\=m+2mncosy+w

，、2,22勖2

=(m-n)+mn=4a+mn=一--,

二匚［、［(2472286日nd7c72日口力

所以4Q+一6二-----，BP4a=8b，即一二——，

33a2

所以雙曲線的漸近線方程為y=±*x.

故答案為：V=±X-

2

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.

15.分別求出適合下列條件的方程：

(1)已知拋物線=2"(0>0)的焦點為尸，且拋物線上一點4(3,加)到焦點的距離為5,求拋物線

的方程；

(2)已知圓C的圓心在〉軸上，并且過原點和卜百,3),求圓。的方程.

【答案】⑴y2=8x

(2)f+Q-2)2=4

【解析】

【分析】(1)根據(jù)點4(3,加)在拋物線上，根據(jù)拋物線定義，確定)值，即可求解.

(2)由已知，設出圓。方程/+(>一6)2=「2">0),代入原點和卜6,3),可得氏廠的值，即可求得圓

C的方程.

【小問1詳解】

13

因為拋物線上一點4(3,加)到焦點的距離為5,準線為x=,

故3—,d=5,則夕=4,

故拋物線標準方程為

【小問2詳解】

因為圓C的圓心在〉軸上,

則設圓C方程為久2+(y-b)2=r2(r>0),

由已知，圓C過原點和卜百,3卜

b2=r2b=2

由已知＜解得〈c

(-?+(3-bp"r=2

所以圓C方程為x2+(v-2)2=4.

16.記V48c的內(nèi)角4民C的對邊分別為瓦。，且bsin2Z=asinS.

(1)求角A；

(2)若a=J7,△ABC的面積為迪，求V4BC的周長.

2

7T

【答案】(1)A=-

3

⑵5+77.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)二倍角公式，結(jié)合正弦定理邊角互化，即可求解，

(2)根據(jù)面積公式可得be的值，結(jié)合余弦定理即可求解.

【小問1詳解】

因為Z?sin2Z=asinB,所以2bsiiL4cos4=asinB.

根據(jù)正弦定理，得2sin5siivlcosZ=siivlsiihB,

因為siiiBw0,sirvlw0,所以COSL4=L

2

又Ze(O,7i),所以Z=g.

【小問2詳解】

14

在VABC中，由已知SABC=—bcsvaA=—be'——=bc=6>

“BC2222

因為N=m，a=J7

由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA，即7=(b+c)2-2bc—2bc-,

即7=S+c)2—36c,又6>0,。>0,所以6+0=5.

所以V48C的周長周長為5+J7.

17.如圖，在四棱錐P-N8C。中，底面4BCD是邊長為4的正方形，△上4。是等邊三角形，CD_L平

面PAD,E,￡G,。分別是PC,PD,BC,的中點.

(1)求證：尸0,平面45CD；

(2)求平面EEG與平面48CD夾角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析(2)-

2

【解析】

【分析】(1)由線面垂直得到CDLPO,再由線面垂直的判定定理得到結(jié)果即可；

(2)建立如圖所示的空間直角坐標系，求出平面EFG和平面48CD的法向量，代入空間二面角公式求解

即可；

【小問1詳解】

QV上4。是等邊三角形，。是/。的中點，

又CD_L平面PAD,PO<=平面PAD,CDIPO,

又40nCD=0,40U平面ABCD,CDu平面ABCD,P0±平面ABCD.

【小問2詳解】

由(1)得PO_L平面/BCD,連接0G,建立以。為原點，

15

以尸所在直線分別為x軸，＞軸，z軸的空間直角坐標系。-孫z,

如圖所示，底面48CD是邊長為4的正方形,

則0(0,0,0),/(2,0,0),5(2,4,0),c(—2,4,0),

Z)(-2,0,0),G(0,4,0),P(0,0,26),E(-1,2,6),2(-1,0,⑸，

則方=(0,2,0),蔗=(1,2,—6),設平面EFG的法向量為五=(x,y,z),

取x=G，則＞=0/=1,.,.平面EFG的法向量為拓=（百,0/卜

又平面4BCD的法向量為無=（0,0,2行），

平面EFG與平面ABCD的夾角的余弦值為

22

18.已知橢圓E：餐+3=1（。〉6〉0）的左、右焦點分別為片（-1,0）、用（l,0）,M為橢圓￡的上頂點時,

AMF[F2的面積為6.

（1）求橢圓E的方程;

（2）直線/：y=Ax+機與橢圓￡相交于P,0兩點，且45+3=4加2,求證：△OP。（。為坐標原點）

的面積為定值.

22

【答案】⑴土+匕=1（2）證明見解析

43

【解析】

【分析】（1）由題意可得。，結(jié)合三角形面積公式計算可得b,即可得。；

16

（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，可得與交點橫坐標有關韋達定理，結(jié)合面積公式與所給等式計算即可得解.

【小問1詳解】

根據(jù)題意，C=1f

初在橢圓E上頂點，此時打=^\F}F2\\MO\=b=43.

22

所以/=〃+°2=4,則求橢圓E的方程上+匕=1；

43

【小問2詳解】

如圖所示，設？（可,必

y-kx+m.

聯(lián)立直線/與橢圓E的方程《*y2得（3+4左+8左加x+4加之—12=0,

------1-------1,

143

22

A=64k2m2—4（3+4/乂4掰2_12）=192k-48m+144=48（4--+3）＞0.

8km4m2-12

X1+X?2=-----------------7,XX?=---------------—

3+4左2'123+4左2

8km）4m2-12

-4x

3+4口3+442

148（4左2一療+3）

=J1+左2

3+4F

\m\

因為點。到直線PQ的距離d=,且45+3=4加2,

11,-----」48（4/_加2+3）

6m26m2_3

所以。。=-x\PQ\xd=-xJ1+左2A_V---------------Lx

S,11

223+4左23+4公4mr~2

3

綜上，△。尸。的面積為定值萬.

17

2

19.已知雙曲線「：/—%=i,s〉o）,左右頂點分別為4,4,過點/（-2,0）的直線/交雙曲線「于P,。

兩點.

（1）若離心率e=2時，求b的值.

（2）若6=2四,△"從「為等腰三角形時，且點尸在第一象限，求點P的坐標.

（3）連接。。并延長，交雙曲線「于點R,若乖-4巨=1,求b的取值范圍.

【答案】⑴bf

（2）尸（2,2后）

/

⑶（0,V3）UV3,

【解析】

【分析】（1）根據(jù)離心率公式計算即可；

（2）分三角形三邊分別為底討論即可；

（3）設直線/:x=/ny-2,聯(lián)立雙曲線方程得到韋達定理式，再代入計算向量數(shù)量積的等式計算即可.

【小問1詳解】

由題意得e=—=—=2,則c=2,b=A/22-1=^3-

a1

【小問2詳解】

當占=地時，雙曲線「