2024-2025學(xué)年北師大版七年級數(shù)學(xué)上冊期中壓軸題：有理數(shù)與整式運(yùn)算壓軸題（7類熱點(diǎn)題型）含答案

第02講期中壓軸專題：有理數(shù)與整式中壓軸題

（7類熱點(diǎn)題型講練）

考點(diǎn)導(dǎo)航

目錄

【考點(diǎn)一有理數(shù)運(yùn)算中的新定義型問題】

【考點(diǎn)二有理數(shù)、整式中化簡絕對值】

【考點(diǎn)三數(shù)軸上的壓軸問題】

【考點(diǎn)四整式運(yùn)算中的新定義型問題】

【考點(diǎn)五整式運(yùn)算中的整體代入求值問題】

【考點(diǎn)六整式運(yùn)算中的實(shí)際應(yīng)用問題】

【考點(diǎn)七整式運(yùn)算中的規(guī)律探究問題】

典型例題

【考點(diǎn)一有理數(shù)運(yùn)算中的新定義型問題】

（24-25七年級上?全國?期中）

1172

1.觀察下列兩個(gè)等式：2--=2x-+l,5--=5xj+l,給出定義如下：我們稱使等式

=+1的成立的一對有理數(shù)a,6為“共生有理數(shù)對"，記為6）,如：數(shù)對J,；）,

（5,|）,都是“共生有理數(shù)對”.

（1）判斷數(shù)對是不是“共生有理數(shù)對”，并說明理由.

（2）若（。,3）是“共生有理數(shù)對“，求。的值.

（3）請?jiān)賹懗鰞蓪Ψ蠗l件的“共生有理數(shù)對”為：（4,_）和2）.

（4）若（加,〃）是“共生有理數(shù)對"，則“共生有理數(shù)對"（填“是”或“不是”）.

（24-25七年級上?寧夏中衛(wèi)?期中）

2.閱讀材料：類比有理數(shù)的乘方，我們要求若干個(gè)相同的有理數(shù)（均不等于0）的除法運(yùn)

試卷第1頁，共14頁

算叫做除方，記作a@,讀作“。的圈〃次方”。

如:2:2+2,記作2③，讀作“2的圈3次方”；

(一3)+(-3)+(-3)+(-3),記作(-3)④，讀作“一3的圈4次方”.

(1)直接寫出計(jì)算結(jié)果：2③=;

(2)除方也可以轉(zhuǎn)化為乘方的形式，

如：2④=2+2+2+2=2xLLL仕］

2220

④(［、⑩

試將下列運(yùn)算結(jié)構(gòu)直接寫成乘方的形式：(-3)=；出=;

(3)計(jì)算：22xl|j4-(-2)?-(-3)?.

(22-23七年級上?湖南益陽?期中)

3.定義新運(yùn)算：。*6」二，a?b=^~(右邊的運(yùn)算為平常的加、減、乘、除).

abab

例如：3*7=?_?=士，3區(qū)7=工=士.

37213x721

若=則稱有理數(shù)。，b為“隔一數(shù)對”.

例如：2⑤3=工=9，2*3=:-：=9，283=2*3,所以2,3就是一對“隔一數(shù)對”.

2x36236

(1)下列各組數(shù)是“隔一數(shù)對”的是_(請?zhí)钚蛱?

41

①。=1,6=2；@a,b=-③。=-1,6=1.

(2)計(jì)算:(-3)*4-(-3)04+(-2023)*(-2023).

(3)已知兩個(gè)連續(xù)的非零整數(shù)都是“隔一數(shù)對”.

計(jì)算：102+203+304+405+---+202002021.

【考點(diǎn)二有理數(shù)、整式中化簡絕對值】

(24-25七年級上?全國?期中)

4.有理數(shù)以b、c在數(shù)軸上的位置如圖,

a0bc

(1)判斷正負(fù)，用“〉”或“<”填空：c-bj),a+b_0,a-c_o.

(2)化簡：|c—+61—2|a—c|.

(24-25七年級上?全國?期中)

試卷第2頁，共14頁

5.有理數(shù)a>0,b<0,c>0,且|〃|<他|<|。|,

(1)如下圖，在數(shù)軸上將Q,b,。三個(gè)數(shù)填在相應(yīng)的括號中；

=r^=?_n

⑵用“>”或“=”或“〈”填空:c-。0,b-c0,2b-a0；；

(3)化簡：|2b—a]+|b—c|—|c—a].

(22-23七年級上?浙江金華?期中)

6.在學(xué)習(xí)一個(gè)數(shù)的絕對值過程中，化簡忖時(shí)，可以這樣分類：當(dāng)。>0時(shí)，14=。；當(dāng)。=0

時(shí)，14=0;當(dāng)a<0時(shí)，同=-。，請用這種方法解決下列問題.

(1)當(dāng)。=3,〃=一2時(shí)，分別求回的值；

a

(2)已知。力是有理數(shù)，當(dāng)。6>0時(shí)，試求忖+例的值；

ab

(3)已知仇c是有理數(shù)，當(dāng)以■<()時(shí)，試求忖+網(wǎng)+且+四的值.

abcabc

(23-24七年級上?浙江杭州?期中)

7.在學(xué)習(xí)一個(gè)數(shù)的絕對值過程中，化簡H時(shí)，可以這樣分類：當(dāng)a>0時(shí)，同="；當(dāng)。=0

時(shí)，同=0；當(dāng)。<0時(shí)，]。|=-。.請用這種方法解決下列問題.

(1)當(dāng)a=3時(shí)，則不=

當(dāng)。=一2時(shí)，貝1=

ab

⑵己知a,6是有理數(shù)，當(dāng)ab>0時(shí)，試求同+同的值.

abcbca+ca+b

(3)已知。，b,。是非零有理數(shù)，滿足.+b+c=0且同+可+甲1,求百+百+百

的值.

【考點(diǎn)三數(shù)軸上的壓軸問題】

(23-24七年級上?山東濟(jì)寧?期中)

8.已知在紙面上有一數(shù)軸(如圖)，折疊紙面.例如：若數(shù)軸上數(shù)2表示的點(diǎn)與數(shù)-2表示

的點(diǎn)重合，則數(shù)軸上數(shù)-4表示的點(diǎn)與數(shù)4表示的點(diǎn)重合.

若數(shù)軸上數(shù)-7表示的點(diǎn)與數(shù)1表示的點(diǎn)重合，請解決下列問題:

-6-5-4-3-2-1012345

(1)數(shù)軸上數(shù)3表示的點(diǎn)與數(shù)表示的點(diǎn)重合;

試卷第3頁，共14頁

(2)若點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離是5個(gè)單位長度，并且A,B兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，求點(diǎn)8表示的數(shù)；

(3)已知數(shù)軸上N兩點(diǎn)之間的距離為2024；若M,N兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，且點(diǎn)加表示

的數(shù)比點(diǎn)N表示的數(shù)大，求初和N表示的數(shù).

(23-24七年級上?湖北武漢?期中)

9.對于直線上三個(gè)點(diǎn)R,S,T,我們規(guī)定：如果R,S之間的距離等于R,7之間的距離的

加倍(力為正整數(shù))，則R叫做S到7的加點(diǎn).如圖(1),數(shù)軸上/,B,C,。四點(diǎn)表示的

數(shù)分別為-3,3,-1,4,則C是8到N的2點(diǎn)，。是/到8的7點(diǎn).

ACBD

IIIl.ljlII[>

-7-6-5-4-3-2-101234567

圖⑴

(1)/是2到C的點(diǎn)，3是/到。的點(diǎn)；

(2)若/到8的〃點(diǎn)與8到/的"點(diǎn)是同一點(diǎn)￡,則〃=,E表示的數(shù)是；

(3)如圖(2),若尸是/到2的8點(diǎn)，求點(diǎn)尸表示的數(shù)；

AB

iiii.iiiii：1111A

-7-6-5-4-3-2-101234567

圖⑵

(4)若尸是N到8的左點(diǎn)，。是8到N的左點(diǎn).直接寫出點(diǎn)P,。之間的距離.(用含左的式

子表示)

(24-25七年級上?福建廈門?期中)

10.如下圖，在數(shù)軸上有四個(gè)點(diǎn)/、B、C、。分別表示-5、-2、3、0.5,請回答：

承,“.■，用r.屈雷.

一^零_軍——N腥型_R呼叩5

得嚼用噌/,鬻臉工

(1)①/、8兩點(diǎn)間的距離是一，C、。兩點(diǎn)之間的距離是

②4C兩點(diǎn)之間的距離是一B、。兩點(diǎn)之間的距離是

③在數(shù)軸上，若點(diǎn)M表示的數(shù)是加，點(diǎn)N表示的數(shù)是〃，則M、N兩點(diǎn)之間的距離是一(用

含m、n的式子表示)

(2)找出所有符合條件的整數(shù)X,使得|x+5|+k-2|=7這樣的整數(shù)是

(3)由以上探索猜想：對于任何有理數(shù)x,卜-3|+|尤-6|是否有最小值？如果有，寫出最小值;

如果沒有，請說明理由.

(23-24七年級上?河南鄭州?期中)

11.閱讀下面的材料：

如圖1,在數(shù)軸上/點(diǎn)所示的數(shù)為訪2點(diǎn)表示的數(shù)為6,則點(diǎn)/到點(diǎn)2的距離記為N8,

試卷第4頁，共14頁

線段的長可以用右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)表示，即N8=6-a.

???b、B?

-2-I0123

圖1

-6-5-4-3-2-1012345

圖2

請用上面的知識(shí)解答下面的問題：

如圖2,一個(gè)點(diǎn)從數(shù)軸上的原點(diǎn)開始，先向左移動(dòng)2cm到達(dá)N點(diǎn)，再向左移動(dòng)3cm到達(dá)8

點(diǎn)，然后向右移動(dòng)9cm到達(dá)C點(diǎn)，用1個(gè)單位長度表示1cm.

⑴請你在數(shù)軸上表示出，，B,C三點(diǎn)的位置：

⑵點(diǎn)C到點(diǎn)/的距離C4=cm；若數(shù)軸上有一點(diǎn)。，且/。=5,則點(diǎn)。表示的數(shù)為

(3)若將點(diǎn)/向右移動(dòng)xcm,則移動(dòng)后的點(diǎn)表示的數(shù)為；(用代數(shù)式表示)

(4)若點(diǎn)8以每秒2cm的速度向左移動(dòng)，同時(shí)N.C點(diǎn)分別以每秒1cm、4cm的速度向右移

動(dòng)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為/秒，試探索：4C-43的值是否會(huì)隨著/的變化而改變？請說明理由.

⑵-24七年級上?四川眉山?期中)

12.如圖已知數(shù)軸上點(diǎn)/、3分別表示a、b,且他+6|與("k互為相反數(shù)，。為原點(diǎn).

(1)4=,b=；

(2)將數(shù)軸沿某個(gè)點(diǎn)折疊，使得點(diǎn)/與表示-10的點(diǎn)重合，則此時(shí)與點(diǎn)3重合的點(diǎn)所表示的

數(shù)為:

(3)加、〃兩數(shù)在數(shù)軸上所對的兩點(diǎn)之間的距離可以表示為|加-〃如5與-2兩數(shù)在數(shù)軸上

所對的兩點(diǎn)之間的距離可以表示為I5-(-2)從而很容易就得出在數(shù)軸上表示5與-2兩點(diǎn)

之間的距離是7.

①若x表示一個(gè)有理數(shù),貝力x-311x-61的最小值=.

②若x表示一個(gè)有理數(shù)，且|x-4|+|x+3|=7,則滿足條件的所有整數(shù)x的和是.

③當(dāng)尤=時(shí),2|x-2|+2|x-3|+5|x-4|取最小值.

④當(dāng)x取何值時(shí)，2|2x-l|+|3x-2|+|x-■||+|2x-7|+|3x-9|取最小值？最小值為多少？直接

試卷第5頁，共14頁

寫出結(jié)果.

【考點(diǎn)四整式運(yùn)算中的新定義型問題】

(23-24七年級上?江蘇揚(yáng)州?期中)

13.定義：若。+6=6,則稱。與6是關(guān)于6的實(shí)驗(yàn)數(shù).

(1)4與是關(guān)于6的實(shí)驗(yàn)數(shù)；代數(shù)式與5-2x是關(guān)于6的實(shí)驗(yàn)數(shù).

(2)若a=f-4x+2,b=x2-2(x2-2x-2),判斷。與6是否是關(guān)于6的實(shí)驗(yàn)數(shù)，說明理

由.

(3)若c與d是關(guān)于6的實(shí)驗(yàn)數(shù)，MC--2(3X2-4X-1),求d的值.

(23-24七年級上?江蘇南京?期中)

14.定義：若兩個(gè)式子的和等于一個(gè)常數(shù)，則稱這兩個(gè)式子是關(guān)于該常數(shù)的組合式.

(1)1-x和是關(guān)于0的組合式；

(2)已知a=2x~—3(/+尤)+5,6=2x--(4x+)+2],°與6是關(guān)于3的組合式嗎？說

明理由；

(3)已知c=|x+3|,d=|x-2|,且c與d是關(guān)于常數(shù)用的組合式，請?zhí)剿鳌?的取值范圍與對應(yīng)

的x取值的個(gè)數(shù).

(23-24七年級上?江蘇泰州?期中)

15.定義：若。+b=2〃，則稱。與6是關(guān)于數(shù)〃的平均數(shù).比如3與-4是關(guān)于-;的平均數(shù)，

7與13是關(guān)于10的平均數(shù).

⑴填空：2023與一是關(guān)于-1的平均數(shù)，一與-2x+5是關(guān)于2的平均數(shù).

(2)若。與2b是關(guān)于3的平均數(shù)，26與c是關(guān)于-g的平均數(shù)，c與d是關(guān)于9的平均數(shù)，

求(a-c)+；(6b+3d)-(2b-c)

(3)現(xiàn)有a=3--10fcv+13與6=-3/+5x-6左(k為常數(shù))，且。與b始終是關(guān)于數(shù)n的平均數(shù),

與x的取值無關(guān)，求〃的值.

(23-24七年級下?陜西咸陽?期中)

16.定義：對于依次排列的多項(xiàng)式x+a、x+b,x+c、x+d(a、b、c、d是常數(shù))，當(dāng)它

們滿足(x+a)(x+d)-(x+6)(x+c)=M,且M是常數(shù)時(shí)，則稱a、b、c、d是一組平衡數(shù)，M

是該組平衡數(shù)的平衡因子.例如，對于多項(xiàng)式x+2、x+1、x+6、x+5來說，因?yàn)?/p>

試卷第6頁，共14頁

(x+2)(x+5)-(x+l)(x+6)=(x2+7x+10)-(x2+7x+6)=4,所以2、1、6、5是一組平衡數(shù),

4是這組平衡數(shù)的平衡因子.

(1)己知2、4、7、9是一組平衡數(shù)，則該組平衡數(shù)的平衡因子

M={x+2)(x+9)-(x+4)(x+7)=；

⑵若-4、2、加、3是一組平衡數(shù)，求心的值及該組平衡數(shù)的平衡因子；

(3)當(dāng)a、b、c、d之間滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)，它們是一組平衡數(shù)，請說明理由.

(23-24六年級下?黑龍江哈爾濱?期中)

17.閱讀理解

【方法】

有一種整式處理器，能將二次多項(xiàng)式處理成一次多項(xiàng)式，處理方法是：將二次多項(xiàng)式的二次

項(xiàng)系數(shù)與一次項(xiàng)系數(shù)的和(和為非零數(shù))作為一次多項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)，將二次多項(xiàng)式的常

數(shù)項(xiàng)作為一次多項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng).

例如：N=3/+2x-8,A經(jīng)過處理器得到3=(3+2)x-8=5x-8.

【應(yīng)用】

若關(guān)于x的二次多項(xiàng)式A經(jīng)過處理器得到3,根據(jù)以上方法，解決下列問題：

(1)填空：若N=-2/+4x-5,B=.

(2)若/=2/-5(X-1),則關(guān)于x的方程8=辦一6,求0%的值

【延伸】

(3)已知河=2》-2(加-2*+加2,加是關(guān)于x的二次多項(xiàng)式，若N是初經(jīng)過處理器得到

的一次多項(xiàng)式，關(guān)于*的方程N(yùn)=fcv+4,求發(fā)的值.

【考點(diǎn)五整式運(yùn)算中的整體代入求值問題】

(24-25七年級上?全國?期中)

18.整體思想是從問題的整體性質(zhì)出發(fā)，突出對問題的整體結(jié)構(gòu)的分析和改造，把某些式子

或圖形看成一個(gè)整體，進(jìn)行整體處理.它作為一種思想方法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有廣泛的應(yīng)用，因

為一些問題按常規(guī)不容易求某一個(gè)(或多個(gè))未知量時(shí)，根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特征，把某一組數(shù)

或某一個(gè)代數(shù)式看作一個(gè)整體，找出整體與局部的聯(lián)系，從而找到解決問題的新途徑.例如

x2+x=l,求無2+X+2024的值，我們將f+x作為一個(gè)整體代入，則原式

=1+2024=2025.

試卷第7頁，共14頁

【嘗試應(yīng)用】

仿照上面的解題方法，完成下面的問題：

⑴如果。+6=3,求2（。+6）-3。-36+20的值；

⑵當(dāng)x=2時(shí)，代數(shù)式?+加+cx-l的值為"?，當(dāng)x=-2時(shí)，求代數(shù)式ax，+加+c尤+4的值;

（用含心的代數(shù)式表示）

（3）【拓展應(yīng)用】

在完成上面的問題有基礎(chǔ)上，解答下面的問題：

已知f+3x-12=0,求代數(shù)式X3-21X+2060的值.

（23-24七年級上?江西南昌?期中）

19.我們知道：4x+2x-x=（4+2-l）x=5x,類似地，若我們把+9看成一個(gè)整體，則

有4（“+b）+2（a+b）-（a+b）=（4+2-l）（a+6）=5（a+6）.這種解決問題的方法滲透了數(shù)學(xué)

中的“整體思想”，“整體思想”是中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的一種重要的思想方法，其應(yīng)用極為廣

泛.請運(yùn)用“整體思想”解答下面的問題：

⑴把（"6）看成一個(gè)整體，合并3（a-6）2-7（a-M+2（—6）2；

（2）已知：x2+2y=5,求代數(shù)式-3/-6y+21的值；

（3）已知a-26=3,26-c=-5,c—d=10,求（a-c）+（26-d）_（26_c）的值.

（22-23七年級上?湖南長沙?期中）

20.理解與思考：整體代換是數(shù)學(xué)的一種思想方法.例如：

若一+工=0,貝“+x+1186=;

我們將X2+x作為一個(gè)整體代入，則原式=0+1186=1186.

仿照上面的解題方法，完成下面的問題：

（1）如果。+6=3,求2（。+6）-4。-46+21的值；

（2）若/+=20,/+=8,求/+2〃+6ab的值.

（3）當(dāng)x=2022時(shí)，代數(shù)式”/+法3+5-5的值為機(jī)，求當(dāng)x=-2022時(shí)，代數(shù)式o?+bx3+cx-5

的值.

（23-24七年級上?江西贛州?期中）

21.閱讀材料：

試卷第8頁，共14頁

“整體思想”是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要思想方法，在解題中會(huì)經(jīng)常用到.

【例】合并同類項(xiàng)：4x-2x+x=（4-2+l）x=3x,類似地，我們把（。+6）看成一個(gè)整體,

則4（Q+6）-2（Q+Z?）+（Q+力）=（4-2+1）（a+6）=3（Q+6）.

嘗試應(yīng)用：

（1）把一6）2看成一個(gè)整體，合并3（a-6/-6（a-b『+2（°-人『的結(jié)果是；

（2）已知無2-2y=4,求3/-6y-21的值.

拓展探索：

（3）已知a-26=3,2b—c=-5,c—d=1,0,求（a-c）+（26-d）-（26-c）的值.

【考點(diǎn)六整式運(yùn)算中的實(shí)際應(yīng)用問題】

（24-25七年級上?吉林松原?期中）

22.某超市在春節(jié)期間對顧客實(shí)行優(yōu)惠，規(guī)定如下：

一次性購物優(yōu)惠辦法

低于200元不予優(yōu)惠

低于500元但不低于200

九折優(yōu)惠

元

其中不超過500元部分給予九折優(yōu)惠，超過500元部分給予八折

500元或超過500元

優(yōu)惠

（1）若王老師一次性購物400元，則他實(shí)際付款元；若一次性購物600元，則他實(shí)際付

款兀.

⑵若顧客在該超市一次性購物x元，當(dāng)x小于500元但不小于200時(shí)，他實(shí)際付款元；

當(dāng)x大于或等于500時(shí)，他實(shí)際付款（用含x的式子表示）

（3）如果王老師兩次購物的貨款合計(jì)820元，第一次購物的貨款為。元（200<“<300）,用

含a的代數(shù)式表示王老師兩次購物實(shí)際付款的錢數(shù).

（23-24七年級上?貴州遵義?期中）

23.為了加強(qiáng)公民的節(jié)水意識(shí)，合理利用水資源，某市采用價(jià)格調(diào)控手段達(dá)到節(jié)水的目的,

該市自來水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)（按月結(jié)算）如表所示：

試卷第9頁，共14頁

每月用水量單價(jià)

不超出6m3的部分2元/n?

超出6m3不超出10m3的部分4元/n?

超出10m3的部分8元/n?

例如：若某戶居民1月份用水8m3,則應(yīng)收水費(fèi)：2x6+4x（8-6）=20（元）.

（1）若該戶居民2月份用水12.5m3,則應(yīng)收水費(fèi)一元.

⑵若該戶居民3月份用水皿？（其中6mSvavlOmD,則應(yīng)收水費(fèi)多少元？（用含。的整式

表示，并化簡）

⑶若該戶居民4月份用水加？，4、5兩個(gè)月共用水15m3,且5月份用水超過4月份，請用含x

的整式表示4、5兩個(gè)月共交的水費(fèi)多少元？

（22-23六年級下?黑龍江哈爾濱?期中）

24.某種窗戶的形狀如圖所示（圖中長度單位：米），其上部是半圓形，下部是邊長相同的

四個(gè)小正方形，己知下部小正方形的邊長為。米.（兀名3）

（1）計(jì)算窗戶的面積和窗框的總長.

（2）當(dāng)a=g時(shí)，若在窗戶上安裝玻璃，玻璃每平方米6元，窗框每米c元，窗框的厚度不計(jì),

求制作一個(gè)這種窗戶需要的材料費(fèi)是多少元.

（3）在（2）的條件下，某公司計(jì)劃在甲工廠或乙工廠采購100個(gè)這種窗戶，下表是甲、乙兩

個(gè)工廠制作這種窗戶的收費(fèi)價(jià)目表.通過計(jì)算說明去哪家工廠采購更省錢.（安裝費(fèi)=材料

費(fèi)+運(yùn)輸費(fèi)+人工費(fèi)）

材料費(fèi)

xr運(yùn)輸費(fèi)人工費(fèi)

玻璃窗框

試卷第10頁，共14頁

2620

10元/個(gè)窗120元/

甲元/元/

戶m2

m2m

3018

12元/個(gè)窗130元/

乙元/元/

戶m2

m2m

（23-24七年級上?安徽蚌埠?期中）

25.【知識(shí)學(xué)習(xí)】

學(xué)習(xí)代數(shù)式求值時(shí)，遇到這樣一類題：“代數(shù)式G-了+6+3尤-5丁-1的值與》的取值無關(guān)，

求。的值”.通常的解題方法是：把x,N看作字母，?？醋飨禂?shù)合并同類項(xiàng)，因?yàn)榇鷶?shù)式的

值與x的取值無關(guān)，所以含x項(xiàng)的系數(shù)為0,即原式=（a+3）x-6y+5,所以小二。，貝。

a=-3.

⑴【理解應(yīng)用】若關(guān)于X的多項(xiàng)式（2X-3）機(jī)+2川-3x的值與x的取值無關(guān)，求加值；

（2）已知/=2x?,B=—x2+nx-\,且3/+6B的值與x的取值無關(guān)，求”的

值.

⑶【能力提升】有7張如圖1的小長方形，長為“，寬為6,按照如圖2的方式不重疊地放

在大長方形內(nèi)，大長方形中未被覆蓋的兩個(gè)部分（圖中陰影部分），設(shè)右上角的面積

為岳，左下角的面積為$2,設(shè)/3=x,當(dāng)N3的長變化時(shí)，H-S?的值始終保持不變，求。

與6的數(shù)量關(guān)系.

（23-24七年級上?江蘇泰州?期中）

26.【實(shí)際問題】

某商場在雙十一期間為了鼓勵(lì)消費(fèi)，設(shè)計(jì)了抽獎(jiǎng)活動(dòng)，方案如下：根據(jù)不同的消費(fèi)金額，每

試卷第11頁，共14頁

次抽獎(jiǎng)時(shí)可以從100張面值分別為1元、2元、3元100元的獎(jiǎng)券中（面值為整數(shù)）,

一次任意抽取2張、3張、4張、…等若干張獎(jiǎng)券，獎(jiǎng)券的面值金額之和即為優(yōu)惠金額.某

顧客獲得了一次抽取5張獎(jiǎng)券的機(jī)會(huì)，小明想知道該顧客共有多少種不同的優(yōu)惠金額？

【問題建?！?/p>

從1,2,3,n（〃為整數(shù)，且〃>5）這〃個(gè)整數(shù)中任取5個(gè)整數(shù)，這5個(gè)整數(shù)之和共

有多少種不同的結(jié)果？

【模型探究】

我們采取一般問題特殊化的策略，先從最簡單的情形入手，從中找出解決問題的方法.從

1,2,3這3個(gè)整數(shù)中任取2個(gè)整數(shù)，這2個(gè)整數(shù)之和共有多少種不同的結(jié)果？

所取的2個(gè)整數(shù)1,21,32,3

2個(gè)整數(shù)之和345

如表所示：所取的2個(gè)整數(shù)之和可以為3,4,5,也就是從3到5的連續(xù)整數(shù)，其中最小是

3,最大是5,所以共有3種不同的結(jié)果.

（1）從1,2,3,4,5這5個(gè)整數(shù)中任取2個(gè)整數(shù)，這2個(gè)整數(shù)之和共有一種不同的結(jié)

果.

（2）從1,2,3,n（〃為整數(shù)，且〃>5）這"個(gè)整數(shù)中任取3個(gè)整數(shù)，這3個(gè)整數(shù)之

和共有一種不同的結(jié)果.

（3）歸納結(jié)論：從1,2,3,n（〃為整數(shù)，且〃>5）這"個(gè)整數(shù)中任取5個(gè)整數(shù)，

這5個(gè)整數(shù)之和共有一種不同的結(jié)果.

【問題解決】

從1。0張面值分別為1元、2元、3元、…、100元的獎(jiǎng)券中（面值為整數(shù)），一次任意抽取

5張獎(jiǎng)券，共有一種不同的優(yōu)惠金額.

【問題拓展】

從3,4,5,n（〃為整數(shù)，且〃>5）這〃個(gè)整數(shù)中任取5個(gè)整數(shù)，使得取出的這些整

數(shù)之和共有121種不同的結(jié)果，求〃的值.（寫出解答過程）

【考點(diǎn)七整式運(yùn)算中的規(guī)律探究問題】

（23-24七年級上?北京海淀?期中）

27.給定一列數(shù)，我們把這列數(shù)中的第一個(gè)數(shù)記為即，第二個(gè)數(shù)記為即，第三個(gè)數(shù)記為的，

依此類推，第〃個(gè)數(shù)記為a"（〃為正整數(shù)），如下面這列數(shù)2,4,6,8,10中，⑷=2,a2=

試卷第12頁，共14頁

4,的=6,。4=8,6Z5—10,規(guī)定運(yùn)算方％=。1+。2+〃3+….即從這列數(shù)的第一個(gè)數(shù)開

z=l

3

始依次加到第"個(gè)數(shù)，如在上面的一列數(shù)中，24+電+/=2+4+6=12.

1=1

5

(1)已知一列數(shù)1,-2,3,-4,5,-6,7,-8,9,-10,那么%=.￡%=;

1=1

(2)已知這歹數(shù)1,-2,3,-4,5,-6,7,-8,9,-10,…，按照規(guī)律可以無限與下去,那么。2023=

⑶在(2)的條件下，若存在正整數(shù)〃使等式2023成立，直接寫出〃的值.

1=1

(23-24七年級上?四川自貢?期中)

28.綜合與實(shí)踐，問題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王老師出示了一個(gè)問題:

111_111_11111

"2'~2^3~2~3,3^4-3-4'二一

獨(dú)立思考：

(1)解答王老師提出的問題：第5個(gè)式子為,第〃個(gè)式子為\

實(shí)踐探究：

(2)在(1)中找出規(guī)律，并利用規(guī)律計(jì)算:-----+------+------+------+…+

1x22x33x44x5--------2021x2022

問題拓展:

(3)數(shù)學(xué)活動(dòng)小組同學(xué)對上述問題進(jìn)行一般化研究之后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)分母中的兩個(gè)因數(shù)的差為2,

請你解答：求±+*+為+…+1

該小組提出下面的問題,

2021x2023

問題解決:

，、411111士

(4)求---+------+--------+----------+…+--------------的值.

')1+21+2+31+2+3+41+2+3+4+51+2+3+…+2022

(23-24七年級上?河南平頂山?期中)

29.餐廳擺放桌椅，照這樣的方式繼續(xù)排列餐桌，擺〃張餐桌可坐人數(shù)為K〃.

C=]QJJ

*TTofinriLTo"

⑴K“=(用n表示)；K9=

⑵我們用“☆”定義一種新運(yùn)算：對于任意有理數(shù)GC和正整數(shù)比規(guī)定:

a☆”:="K"+|“+K,-3-(+卜3+d_-3-6+|-3+6|_

，如：(—3)☆2=-----------------------=--------------------=-3.

222

試卷第13頁，共14頁

①計(jì)算：（-16）^9的值;

②3☆“與（-3）☆”互為相反數(shù)嗎？請說明理由.

（24-25七年級上?遼寧大連?階段練習(xí)）

30.【閱讀中思考】

設(shè)。是不為0和1的有理數(shù)，我們把1與。的倒數(shù)的差，即1-工稱為。的倒數(shù)差，如：2的

a

,1c

倒數(shù)差是V4_］的侄微差是］=2.

【探索中理解】

若。=3,q是。的倒數(shù)差，出是%的倒數(shù)差，的是的的倒數(shù)差，…，以此類推.

（1）先寫出計(jì)算卬，的，%的算式，在求出它們的值.

（2）求為+/+&的值為.（直接寫出答案）

【應(yīng)用拓展】

設(shè)。，6,。都是不為0和1的有理數(shù)，將一個(gè)數(shù)組（。也C）中的數(shù)分別按照材料中“倒數(shù)差”

的定義作變換，第1次變換后得到數(shù)組（％力后），第2次變換后得數(shù)組他也,Q），…，第”

次變換后得到數(shù)組（4也,，）.

（3）若數(shù)組（。也c）確定為-3）.

則4+4+G+42+H+。2\-a9+b9+c9的值為.（直接寫出答案）

試卷第14頁，共14頁

1.是“共生有理數(shù)對”，理由見解析

(2)a=-2

3

⑶不一3

(4)是

【分析】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算、“共生有理數(shù)對”的定義，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈

活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題.

(1)根據(jù)題目所給“共生有理數(shù)對”的定義進(jìn)行判斷即可；

(1)根據(jù)題目所給“共生有理數(shù)對”的定義，列出方程求解即可；

(3)設(shè)(4,x)是“共生有理數(shù)對“，(k2)是“共生有理數(shù)對，，，根據(jù)題目所給“共生有理數(shù)對”

的定義，列出方程求解即可；

(4)分別求出-"-(-加)和fx(-〃2)+l,再根據(jù)(加,〃)是“共生有理數(shù)對”,得出7〃-〃=nin+1,

即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：3xl+l=1,

(2)解:「(a,3)是“共生有理數(shù)對”,

a—3—3a+1,

解得：a=-2.

(3)解：設(shè)(4,%)是“共生有理數(shù)對”，(八2)是“共生有理數(shù)對”,

則4一x=4x+1,y-2=2y+l,

3

解得：%=-3,

3

故答案為：|,-3.

(4)解：一〃一(一機(jī))=—〃+加，

—nx(一加)+1=mn+1,

???(加,〃)是“共生有理數(shù)對”，

答案第1頁，共31頁

：.m—n=mn+1,

.?.（-〃,一刃）是“共生有理數(shù)對“，

故答案為：是.

2?⑴3⑵㈢”;⑶一73

【分析】本題考查了新定義，有理數(shù)的乘方，解題的關(guān)鍵是正確理解題目所給圈〃次方的定

義.

（1）根據(jù)題目所給圈”次方的定義，進(jìn)行計(jì)算即可；

（2）根據(jù)題目所給圈〃次方的定義，將除法改寫為乘法，即可解答；

（3）根據(jù)題目所給圈〃次方的定義，將除法改寫為乘法，將算式化簡，再進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：（1）由題意得，2③=2+2+2=g,

故答案為：—;

2

⑵（-3）=（一3）+（一3）+（一3）+（一3）=（-3）*（_/（_；卜1_￡|=］一￡|；

/「1」..1.1

⑶2、2,22,

9個(gè)工

2

=—x2x.....x2x2

2'94^2'

=28,

(3)解：22*|一￡|一(—2)③一(一3)②

=2?x+g+g+g+[(-2)+(-2)+(-2)]-(-3)+(-3)

=4x3x3+f-1

=36+1)1

=-72-1

=-73.

答案第2頁，共31頁

3.⑴①②

1

⑵-萬

2020

「2021

【分析】本題考查有理數(shù)的定義新運(yùn)算，仔細(xì)審題，理解題干中的新定義，熟練掌握有理數(shù)

的混合運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

(1)按照題干定義進(jìn)行計(jì)算，判斷是否滿足條件即可;

(2)直接根據(jù)題目定義分別計(jì)算各項(xiàng)，然后再合并求解即可;

(3)根據(jù)定義進(jìn)行變形和拆項(xiàng)，然后根據(jù)規(guī)律求解即可.

【詳解】⑴解：①。=1,b=2；

1

a?b=—

1221x22

.'-a?b=a*b,貝九①是“隔—數(shù)對“；

c471

②〃=_］，b=-

3

9

19a?b=

14，4,

33

：.a?b=a^b,貝②是“隔一數(shù)對”；

③a=—1,b=1；

a*b=~---=-2,a?b=---=-1,

-11-1x1

:.a?b手a*b,則③不是“隔一數(shù)對”；

故答案為：①②;

(2)解：(-3)*4-(-3)04+(-2023)*(-2023)

±

-1111

4"(-3)X4-2023一-2023

-±3

-1一—L_+o

-34(-3)x4

71

----1----

1212

j_

2；

(3)解：1合2+2③3+304+4九5+…+202002021

=1*2+2*3+3*4+4*5+…+2020*2021

答案第3頁，共31頁

1111111111

++++…+

1223344520202021

1———

2021

2020

2021

4.(1)>；<；<.

(2)Q—2b—c

【分析】本題考查了整式的加減、數(shù)軸、絕對值的性質(zhì)，準(zhǔn)確識(shí)圖，確定〃、6、。的正負(fù)

情況和絕對值的大小是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)數(shù)軸確定〃、6、。的正負(fù)情況解答即可;

(2)根據(jù)數(shù)軸確定絕對值的大小，然后化簡合并即可.

【詳解】(1)解：由圖可知，。<0<6<。且,

???。一6〉0,Q+bvO,a-c<Q,

故答案為：>；<；<.

(2)解：a<O<b<c9

c—b>0,

,:a-c<0,a+b<0,

/.|C—6|+|Q+6]-2|6Z—C|

=c—6+[—(a+6)]2(cQ)

—c—b—a—b—2。+2。

=a-2b-c,

5.(l)b;a;c(從左往右)

(2)>,<,<

(3)2a-36

【分析】本題考查了數(shù)軸：一般來說，當(dāng)數(shù)軸方向朝右時(shí)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大.也考

查了絕對值.

(1)先比較。與6的大小，再得到。、b、c的大小關(guān)系，從而把。、b、c填到數(shù)軸上；

(2)利用。、6、c的大小關(guān)系和絕對值的意義即可得出答案；

(3)根據(jù)(2)得出的結(jié)論直接去絕對值，然后相加即可得出答案.

【詳解】(1)解：根據(jù)已知條件填圖如下：

答案第4頁，共31頁

-

d1MOl

(2)解：；a>0,c>0,|a|<|c|,

：.c-a—|c|-|<7|>0,

b<0,c>0,

：.b-c<0,

,/a>0,b<0,

：.b-a<0,

:.2b-a<0.

故答案為：>,<,<;

(3)解：vc-tz>0,b-c<0,2b-a<0.

|2b—a|+|b—c|一|c—ci\

=—2b+a+c—b—c+a

=2a-3b.

6.(1)1,-1

⑵±2

⑶?；?4

【分析】G)直接代入求解即可；

(2)分°、6同為正和同為負(fù)，化簡絕對值求解即可；

(3)分a、b、c中有一個(gè)小于0,其它兩個(gè)大于0和三個(gè)都小于0,化簡絕對值即可求

解.

【詳解】(1)解：當(dāng)。=3時(shí)，忖=3=1,

a3

當(dāng)“=一2時(shí)，M=2_=_I，

ci—2

(2)解：由必>0知,分兩種情況:

當(dāng)時(shí)，H+H=￡+^=1+1=2.

abab

或。<0/<0時(shí)，M+H=Z￡+Z^=_1-1=_2,

abab

故當(dāng)湖>0時(shí)，回+例的值為±2；

ab

(3)解：由a6c<0知，分兩種情況：

答案第5頁，共31頁

當(dāng)a、b、c中有一個(gè)小于0,其它兩個(gè)大于。時(shí),

flbabc

ll,\\,H?\\=1+1-1-1=0

abcabc

當(dāng)a、b、c三個(gè)都小于0時(shí)，

abcabc

\\+\\,\\,\\_

abcabc

綜上，當(dāng)成<0時(shí)，回+回+忖+碼的值為o或一4.

abcabc

【點(diǎn)睛】本題考查了絕對值、有理數(shù)的四則混合運(yùn)算，分類討論并正確求解是解答的關(guān)

鍵.

7.(1)1；-1

(2)2或一2

⑶-1

【分析】此題主要考查了絕對值的意義和有理數(shù)的混合運(yùn)算，

(1)直接將a=3,。=-2代入求出答案；

(2)分別利用a>0,b>0或a<0,b<0分析得出答案；

(3)根據(jù)題意得出。，b,。中有兩個(gè)為正數(shù)，一個(gè)為負(fù)數(shù)，設(shè)a>0,b>0,c<0代入即

可求解.

aa

【詳解】(1)解：當(dāng)。=3時(shí),則同=1；當(dāng)。=-2時(shí)，則冏=-1

故答案為：1;-1

(2)解：當(dāng)時(shí)，則b同號

…abc

①當(dāng)a>0,b>0時(shí)，時(shí)+歐2

ab.

②當(dāng)a<0,b<0時(shí)，時(shí)+抑=-2

(3)解：由a+b+c=0,得a+6=-c,a+c=-b,b+c=-a

二.a,b,。中有兩個(gè)為正數(shù)，一個(gè)為負(fù)數(shù)

不妨設(shè)a>0,b>0,c<0

答案第6頁，共31頁

則原式十+#t=T

8.d)-9

⑵-n或-1

⑶M點(diǎn)表示的數(shù)是1009,N點(diǎn)表示的數(shù)是-1015

【分析】(1)根據(jù)題意即可找到對應(yīng)點(diǎn)的數(shù)；

(2)點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離是5個(gè)單位長度，則點(diǎn)A所表示的數(shù)為5或-5,分兩種情況計(jì)算即

可；

(3)依據(jù)M、N之間的距離為2024,并且V、N兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，M點(diǎn)表示的數(shù)比N點(diǎn)

表示的數(shù)大，列式求出M、N所表示的數(shù)即可.

【詳解】(1)解：???數(shù)軸上數(shù)-7表示的點(diǎn)與數(shù)1表示的點(diǎn)的中點(diǎn)為：

(-7+1)+2=-3,

???數(shù)軸上數(shù)-7表示的點(diǎn)與數(shù)1表示的點(diǎn)的對稱點(diǎn)為-3,

3—(-3)=3+3=6,-3-6=-9,

???數(shù)軸上數(shù)3表示的點(diǎn)與數(shù)-9表示的點(diǎn)重合；

(2)解：?.?點(diǎn)/到原點(diǎn)的距離是5個(gè)單位長度，則點(diǎn)/所表示的數(shù)為5或-5,

■■-A,8兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，

二當(dāng)點(diǎn)/表示-5時(shí)，-3-(-5)=2,—3+2=-1,

當(dāng)點(diǎn)/表示5時(shí)，5-(-3)=8,-3-8=-11,

-''B點(diǎn)表示的數(shù)是-11或-1；

(3)解：?.?”、N之間的距離為2024,并且M、N兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，

.-,-3+-x2024=1009,-3--x2024=-1015,

22

-：M點(diǎn)表示的數(shù)比N點(diǎn)表示的數(shù)大，

點(diǎn)表示的數(shù)是1009,N點(diǎn)表示的數(shù)是T015.

【點(diǎn)睛】本題主要查了數(shù)軸的應(yīng)用，數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，有理數(shù)混合運(yùn)算的應(yīng)用，準(zhǔn)確

計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

9.(1)3；6

(2)1；0

答案第7頁，共31頁

⑶點(diǎn)廠表示的數(shù)是7]或半27

/八j八、,、一.上心nL-、r6左一6_6k+636k6

(4)點(diǎn)P,。之間的距禺為丁丁或丁丁或丁二+二

上+1K-14+1K-]

【分析】(1)根據(jù)題干提供信息進(jìn)行解答即可;

FR

(2)根據(jù)題意得出：礪=西=〃,求出E表示的數(shù)即可;

(3)分①若尸在/、2之間，②若尸在2的右側(cè)兩種情況進(jìn)行討論得出結(jié)果即可;

(4)分四種情況進(jìn)行討論，①當(dāng)點(diǎn)尸和點(diǎn)。在之間時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)P在42之間，點(diǎn)。

在/點(diǎn)左側(cè)時(shí)，③當(dāng)點(diǎn)。在A8之間，點(diǎn)P在點(diǎn)8右側(cè)時(shí)，④當(dāng)點(diǎn)。在/左側(cè)時(shí)，點(diǎn)P

在點(diǎn)8右側(cè)時(shí)，分別畫出圖形，求出結(jié)果即可.

【詳解】⑴解：?r8=卜3—3|=6,/引一3_(T)|=2,6+2=3,

???/是5到C的3點(diǎn),

???2/=卜3-3|=6,SZ>=|4-3|=1,6+1=6,

??.8是/到。的6點(diǎn);

故答案為：3；6.

(2)解：根據(jù)題意得:

EAEB

EBEA

EB=EA,

???點(diǎn)E表示的數(shù)為弓2=0,〃=1;

故答案為：1；0.

(3)解：???尸是/到2的8點(diǎn)

:.FA=8FB,

①若尸在/、3之間:

則由3—士

8+13

②若/在8的右側(cè)：

貝U尸：3-3-^~3^=—；

8-17

二點(diǎn)尸表示的數(shù)是7;或2號7.

(4)解：非為正整數(shù),

答案第8頁，共31頁

???點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離大于等于點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離,

即點(diǎn)P在數(shù)軸上一定在點(diǎn)/的右側(cè),

同理可知，點(diǎn)。在數(shù)軸上一定在點(diǎn)8的左側(cè);

①當(dāng)點(diǎn)尸和點(diǎn)0在之間時(shí)，如圖所示:

AQPB

-I?6|表|1i.i.1i1?

-5-4-3-2-101234567

■：AB=6,—

PB

：.PA=",PB」,

左+1左+1

同理，QB=/,

k+1左+1

則尸。=尸/一。/=旦一￡6k-6

左+1左+1左+1

②當(dāng)點(diǎn)尸在之間，點(diǎn)。在/點(diǎn)左側(cè)時(shí)，如圖所示:

1Q丁1A4iii1P,1B4iii1A

-5-4-3_2_101234567

由①可知，PA=獸,PB=&

k+1k+1

■.-QB^kQA,QB-QA=6,

??0=工，QB6k

則*Q/+-六+M

③當(dāng)點(diǎn)。在N3之間，點(diǎn)P在點(diǎn)8右側(cè)時(shí)，如圖所示:

AQBP

11,iii,iji1

-5-4-3-2-101234567

由①可知，@=a，