福建省泉州市四校聯(lián)考高一上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

泉州一中?泉港一中?德化一中?廈外石獅分校四校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年上學(xué)期期中考聯(lián)考高一年段數(shù)學(xué)學(xué)科試卷滿分：150分考試時(shí)間：120分鐘命題人：黃立審核人：張國(guó)川?王明嵐?陳亞良?陳修舟?蔡曉華注意事項(xiàng)：1.答題前，考生先將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2.考生作答時(shí)，將答案答在答題卡上.請(qǐng)按照題號(hào)在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效.在草稿紙?試題卷上答題無(wú)效.3.選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)；非選擇題答案使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書寫，字體工整?筆跡清楚.4.保持答題卡卡面清潔，不折疊?不破損.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.命題無(wú)論取何實(shí)數(shù)，必有，則為（）A.，都有 B.，都有C.，使得 D.，使得【答案】D【解析】【分析】根據(jù)全稱命題的否定可得出命題.【詳解】由題意可知，命題，，該命題為全稱量詞命題，故，使得，故選：D.2.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先解指數(shù)不等式求出集合，解一元高次不等式求出集合，最后根據(jù)補(bǔ)集的定義計(jì)算可得.【詳解】由，即，所以，即，由，即，等價(jià)于，解得或，所以，所以.故選：A3.已知函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式代值計(jì)算可得的值.【詳解】因?yàn)?，則，所以，，故選：C.4.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的單調(diào)減區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性“同增異減”求出函數(shù)在定義域內(nèi)的遞減區(qū)間即可．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，設(shè)，由，解得或，所以在上單調(diào)遞減，所以的單調(diào)減區(qū)間為.故選：B.5.已知是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，且，又，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)求出的值，再結(jié)合可求出的值，可得出在時(shí)的解析式，代值計(jì)算可得出的值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，且，則，即，所以，，所以，當(dāng)時(shí)，，故，故選：C.6.若，，則不能滿足的條件為（）A.奇數(shù)，為偶數(shù) B.為偶數(shù)，為奇數(shù)C.均為奇數(shù) D.均為偶數(shù)【答案】A【解析】【分析】根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義判斷即可.【詳解】對(duì)于A：因?yàn)?，?dāng)為奇數(shù)，為偶數(shù)時(shí)，，此時(shí)無(wú)意義，不合題意，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)?，?dāng)為偶數(shù)，為奇數(shù)時(shí)，，此時(shí)，符合題意，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)椋?dāng)為奇數(shù)，為奇數(shù)時(shí)，，此時(shí)，符合題意，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?，?dāng)為偶數(shù)，為偶數(shù)時(shí)，，此時(shí)，符合題意，故D正確；故選：A7.已知，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.【詳解】因?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞減且過(guò)點(diǎn)0,1，定義域?yàn)椋诙x域上單調(diào)遞增且過(guò)點(diǎn)，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出與的圖象如下：所以與有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)屬于0,1，又，所以，又，所以，因?yàn)?，所以，綜上可得故選：D8.已知偶函數(shù)y=fx的定義域?yàn)?，且?dāng)時(shí)，（x為不超過(guò)的最大整數(shù)）.則關(guān)于的不等式的整數(shù)解的個(gè)數(shù)為（）A.2023 B.2024 C.2026 D.2027【答案】C【解析】【分析】由已知，結(jié)合圖象，分析當(dāng)和時(shí)，不等式的整數(shù)解的個(gè)數(shù)，可得答案.【詳解】因?yàn)閥=fx是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，關(guān)于的不等式，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，不等式不成立，當(dāng)時(shí)，則，不等式成立，當(dāng)時(shí)，則，不等式成立，當(dāng)時(shí)，則，不等式成立，當(dāng)時(shí)，由和，的圖象可知，不等式不成立，所以不等式的整數(shù)解有3個(gè)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，不等式成立，又，則在時(shí)，不等式的整數(shù)解有個(gè)，所以關(guān)于的不等式的整數(shù)解的個(gè)數(shù)為個(gè).故選：C.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列各組函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)是（）A.與B.與C.與D.與【答案】BC【解析】【分析】分別分析每個(gè)選項(xiàng)中函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系式是否相同即可.【詳解】對(duì)于A，兩個(gè)函數(shù)的定義域均為，因?yàn)?，則兩者對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，兩個(gè)函數(shù)的定義域均為，兩者對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，故B正確；對(duì)于C，兩個(gè)函數(shù)的定義域均為，又，兩者對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，故C正確；對(duì)于D，兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，兩者對(duì)應(yīng)關(guān)系不相同，故D錯(cuò)誤；故選：BC.10.已知，都有.下列各式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】利用特殊值判斷A，利用重要不等式判斷B、C、D即可.【詳解】因?yàn)?，都有，?duì)于A，令，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，則，因?yàn)?，所以，故B正確；對(duì)于C，，則，因?yàn)椋瑒t，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，則，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，又，所以，則，故D正確.故選：BCD.11.已知函數(shù)，.下列說(shuō)法正確的是（）A.為奇函數(shù)B.C.，使得D.，都有【答案】AD【解析】【分析】首先判斷、的奇偶性，即可判斷A，根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算判斷B，利用作差法得到，即可判斷C，再判斷的單調(diào)性，結(jié)合C即可判斷D.【詳解】函數(shù)，的定義域均為，且，，所以為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則,所以為奇函數(shù)，故A正確；因?yàn)?，，所以，故B錯(cuò)誤；因?yàn)閒x?gx所以不存在，使得，故C錯(cuò)誤；因?yàn)榕c在定義域上單調(diào)遞增，所以在定義域上單調(diào)遞增，又，所以，都有g(shù)fx>ggx故選：AD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則計(jì)算可得.【詳解】.故答案為：13.集合，，則的一個(gè)充分不必要條件為__________.（用表示）【答案】（的范圍為集合的真子集即可）【解析】【分析】（只要能推出即可）.【詳解】因?yàn)榧?，，且，則，故使得的一個(gè)充分不必要條件為“”.故答案為：（的范圍為集合的真子集即可）.14.對(duì)于，滿足恒成立，則的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】分和兩種情況，滿足恒成立，則的圖象恒在的圖象下方，聯(lián)立方程，令，求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，所以，所以恒成立；當(dāng)時(shí)，的圖象恒在的圖象下方，又，則由，得，則，即，解得或，則由，得，則，即，解得或，因?yàn)椋?，綜上，的取值范圍為.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知集合.（1）當(dāng)，求；（2）當(dāng)且，求的范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，解出，，由集合的運(yùn)算求出；（2）由，或，由，求得，即可得到的范圍.【小問(wèn)1詳解】由已知，，當(dāng)時(shí)，，所以.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，即，?dāng)時(shí)，，，則，所以，則，解得，則，得，因?yàn)?，所以，解得，綜上，的范圍為.16.已知直角三角形中，.設(shè)兩直角邊長(zhǎng)分別為.斜邊上的定點(diǎn)到兩直角邊的距離分別為1，2.（1）求三角形的面積最小值；（2）用表示三角形的周長(zhǎng)，并求其最小值.【答案】（1）（2）三角形的周長(zhǎng)為；三角形的周長(zhǎng)的最小值為【解析】【分析】（1）設(shè)，由已知，可得，則，代入三角形的面積公式，利用基本不等式即可求出三角形的面積最小值；（2）三角形的周長(zhǎng)為，利用三角變換可化為，令，則利用基本不等式，即可求得三角形的周長(zhǎng)的最小值.【小問(wèn)1詳解】由已知，過(guò)點(diǎn)作到兩直角邊的垂線，垂足分別為，則，，所以，則，設(shè)，則，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以三角形的面積最小值為；【小問(wèn)2詳解】在直角三角形中，，則，由（1），，，所以三角形的周長(zhǎng)為，因?yàn)椋?，令，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以三角形的周長(zhǎng)的最小值為.17.已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)在的單調(diào)性，并用定義證明；（2）求函數(shù)在的值域.【答案】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞減，證明見解析（2）【解析】【分析】（1）判斷出函數(shù)在上單調(diào)遞減，任取、且，作差，變形并判斷的符號(hào)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義可證得結(jié)論成立；（2）分析函數(shù)在上單調(diào)性，即可求出該函數(shù)在區(qū)間上的值域.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞減，證明如下：任取、且，則，因?yàn)椋瑒t，，，因?yàn)?，，則，可得，所以fx1?f所以函數(shù)在上是減函數(shù).【小問(wèn)2詳解】任取、，且，即，則，，可得，且，，，所以，即，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又因?yàn)?，，所以，，因此函?shù)在的值域?yàn)?18.已知函數(shù)具有性質(zhì)（為常數(shù)且），則稱該函數(shù)為“倒裝函數(shù)”.（1）請(qǐng)?jiān)谝韵氯齻€(gè)函數(shù)中找出“倒裝函數(shù)”，求出對(duì)應(yīng)的的值并說(shuō)明理由；①；②；③.（2）已知函數(shù).（i）證明：；（ii）討論方程的實(shí)根的個(gè)數(shù).【答案】（1）①③不是，②是，且（2）（i）證明見解析；（ii）答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)“倒裝函數(shù)”的定義得出，計(jì)算并判斷出等式能否恒成立，若能恒成立，求出的值即可；（2）（i）分析可知，函數(shù)為奇函數(shù)，故只需證即可，然后化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為，令，利用復(fù)合函數(shù)法分析函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)在0,+∞上的最大值，即可證得結(jié)論成立；（ii）分析函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，數(shù)形結(jié)合可得出方程的實(shí)根的個(gè)數(shù).【小問(wèn)1詳解】對(duì)于①，若函數(shù)為“倒裝函數(shù)”，則，且，整理可得，該等式不恒成立，所以，函數(shù)不是“倒裝函數(shù)”；對(duì)于②，若函數(shù)為“倒裝函數(shù)”，則，且，整理可得恒成立，所以，，所以，函數(shù)為“倒裝函數(shù)”；對(duì)于③，若函數(shù)為“倒裝函數(shù)”，則，即，整理可得，該等式不恒成立，所以，函數(shù)不是“倒裝函數(shù)”.【小問(wèn)2詳解】（i）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，，則函數(shù)為奇函數(shù)，且，要證，只需證當(dāng)時(shí)，即可.當(dāng)時(shí)，，令，因?yàn)?，則，則，由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞減，所以，函數(shù)在單調(diào)遞減，所以，，即當(dāng)時(shí)，，因此，對(duì)任意的x∈R，；（ii）由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)在單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖可知，當(dāng)或時(shí)，直線與函數(shù)的圖象無(wú)交點(diǎn)，此時(shí)，方程無(wú)實(shí)根；當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)，方程只有一個(gè)根；當(dāng)或時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)根.故當(dāng)或時(shí)，方程的根的個(gè)數(shù)為；當(dāng)時(shí)，方程的根的個(gè)數(shù)為；當(dāng)或時(shí)，方程的根的個(gè)數(shù)為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：判定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的常用方法：（1）直接法：直接求解函數(shù)對(duì)應(yīng)方程的根，得到方程的根，即可得出結(jié)果；（2）數(shù)形結(jié)合法：先令，將函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)方程的根，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，結(jié)合圖象，即可得出結(jié)果.19.有限集中元素均為正整數(shù)，設(shè)中的元素.當(dāng)，都存在，使得，則稱中的元素是“完全可拆”；當(dāng)，則稱中的元素是“完全不可拆”.（1）判斷集合且中元素是“完全可拆”或“完全不可拆”，并說(shuō)明理由；（2）若，且中的元素“完全可拆”，求的最小值；（3）若為奇數(shù)，且中的元素“完全不可拆”，求的最大值（用表示）.【答案】（1）中的元素是“完全可拆”；中的元素是“完全不可拆”（2）9（3）【解析】【分析】（1）利用“完全可拆”定義將中除外的元素進(jìn)行“分拆”可得；由“完全不可拆”定義證明集合中任意的兩個(gè)不同元素之和都不是的元素即可得；（2）根據(jù)“完全可拆”定義得中元素，需滿足條件，找到滿足條件的含有個(gè)元素的集合，再證明時(shí)不滿足條件；（3）先證明預(yù)備結(jié)論“對(duì)任意，若，則”，由此推得中元素最多個(gè)，再找到滿足題意的含有個(gè)元素的集合即可.【小問(wèn)1詳解】集合，因?yàn)?，滿足定義，所以中的元素是“完全可拆”；集合且，設(shè)任意，則，其中，且，，則，故中的元素是“完全不可拆”.【小問(wèn)2詳解】由題意，，則，，又中的元素是“完全可拆”，可知，都存在，使得，則，（）且，由中元素均為正整數(shù)，.所以，，.①當(dāng)時(shí)，，由，.所以中的元素是“完全可拆”，此時(shí)，；②下面證明，不符合題意.若，即集合滿足，且中的元素是“完全可拆”，.由上已知，，.故由，可知，故；依此類推，可知.因?yàn)椋?，則，故不可能.若，則，則，所以；若，若，則，故不可能.若，則，，所以，同理，由，；又因?yàn)闉槠鏀?shù)，故也不成立，即不存在滿足題意的.故不存在這樣的集合滿足，故.同理依次可得，若，均不存在這樣集合，滿足.綜上所述，的最小值為.【小問(wèn)3詳解】由題意，中的元素，則，.中元素均為正整數(shù)，則，又為奇數(shù)，即.①先證明：若集合中的的元素“完全不可拆”，為奇數(shù)，則.預(yù)備結(jié)論：集合中的的元素“完全不可拆”，對(duì)任意，若，則.下面用反證法證明該結(jié)論成立.證明：假設(shè)，因?yàn)闉槠鏀?shù)，所以，即.由中