浙江省浙北G2聯(lián)盟（嘉興一中、湖州中學(xué)）2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

高中數(shù)學(xué)精編資源2/2浙北G2期中聯(lián)考2021學(xué)年第二學(xué)期高一數(shù)學(xué)試題試卷選擇題部分(共60分)一、單項選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分.每個小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的,不選、多選、錯選均不得分.1.設(shè)平面向量,,若,則()A. B. C. D.6【答案】B【解析】【分析】利用向量共線的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】解:因為,,,所以,解得,故選:B.2.在△ABC中,已知,,,則角為()A.60° B.30°或150 C.60°或120° D.120°【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正弦定理可得,得或120°,然后由邊角關(guān)系,作出判斷即可.【詳解】解:由正弦定理或,,或均符合.故選:C.3.已知中,,則以邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】確定旋轉(zhuǎn)體是由哪些基本幾何體組成的,再由體積公式計算.【詳解】取中點,連接,則,則題中旋轉(zhuǎn)體是以和繞直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)所成兩個圓錐的組合體,由已知,,體積.故選:B.【點睛】關(guān)鍵點點睛:求旋轉(zhuǎn)體的體積,解題關(guān)鍵是確定旋轉(zhuǎn)體是由哪些基本幾何體組合而成,掌握圓柱、圓錐、圓臺的定義是解題關(guān)鍵.4.△中,點為上的點,且,若,則的值是()A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量對應(yīng)線段的數(shù)量關(guān)系可得,再由向量加法的幾何應(yīng)用求的線性關(guān)系,結(jié)合已知求出即可.【詳解】,即,∴,又,則,,故.故選:C.5.在三棱錐中,PA、AB、AC兩兩垂直,,,則三棱錐外接球的表面積為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由PA,AB,AC兩兩垂直,可判定該三棱錐為長方體的一部分,則三棱錐的外接球即為長方體的外接球,可知外接球半徑為長方體體對角線的一半,進而求解.【詳解】由于PA,AB,AC兩兩垂直,故可得該三棱錐為長方體的一部分,因為外接球半徑為長方體體對角線的一半,所以,故,故選:C6.下列結(jié)論不正確的是()A.在△ABC中,若,則B.若△ABC為銳角三角形,則C.若,則△ABC為鈍角三角形D.在△ABC中,若,,三角形面積,則三角形的外接圓半徑為【答案】D【解析】【分析】對A,由大角對大邊可知,結(jié)合正弦定理即可判斷;對B,由銳角三角形可知,則,即可判斷;對C,由正弦定理可得,結(jié)合即可判斷;對D,由三角形面積公式可得,根據(jù)余弦定理求得,結(jié)合正弦定理即可判斷.【詳解】對于選項A,在△ABC中,若,故選項A正確;對于選項B,因為△ABC為銳角三角形,所以,故選項B正確;對于選項C,,因為,所以,故為鈍角,故C正確;對于選項D,因為,,則三角形面積,故,再由余弦定理得,從而三角形的外接圓半徑為,故選項D錯誤.故選:D7.如圖,在長方體中,,,M為棱上的一點.當(dāng)取得最小值時,的長為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題首先可通過將側(cè)面繞逆時針轉(zhuǎn)展開得出當(dāng)、、共線時取得最小值,此時為的中點,然后根據(jù)平面得出,最后根據(jù)即可得出結(jié)果.【詳解】如圖,將側(cè)面繞逆時針轉(zhuǎn)展開,與側(cè)面共面,連接,易知當(dāng)、、共線時,取得最小值,因為,,所以為的中點,,因為平面,平面,所以,則,故選:A.【點睛】關(guān)鍵點點睛:本題考查根據(jù)線面垂直判斷線線垂直,能否根據(jù)題意得出當(dāng)為的中點時取得最小值是解決本題的關(guān)鍵,考查計算能力,考查數(shù)形結(jié)合思想,是中檔題.8.已知△ABC中,,,,,,則的最小值為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由平面向量的加法法則可得就是點A到BC的距離,結(jié)合已知得△ABC為等腰直角三角形,由于,,P、B、C三點共線且P在BC兩個四等分點之間運動,由圖易得最小值.【詳解】由平面向量的加法法則可得就是點A到BC的距離,依題意得△ABC為等腰直角三角形,斜邊,D,E為斜邊BC的兩個四等分點,因為,,且,得點P在線段DE上運動,由下圖易得,當(dāng)點P在點D處時,取得最小值,根據(jù)余弦定理解得,所以.故選:C.【點睛】(1)首尾相接的幾個向量的和,等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量;(2)平面向量,若,則A、B、C三點共線,反之亦成立.二、多項選擇題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.9.已知一個正方形的直觀圖是一個平行四邊形,其中有一邊長為4,則此正方形的面積可能為()A.16 B.64 C.32 D.無法確定【答案】AB【解析】【分析】正方形的直觀圖是一個平行四邊形,有一邊長為4,分兩種情況討論,根據(jù)斜二測畫法的原則,即可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意,正方形的直觀圖如圖所示:①若直觀圖中平行四邊形的邊,則原正方形的邊長為,所以該正方形的面積為;②若直觀圖中平行四邊形的邊,則原正方形的邊長為,所以該正方形的面積為,故選:AB.10.下列關(guān)于簡單幾何體的說法正確的是()A.所有棱長都相等的正三棱錐是正四面體 B.正四面體的內(nèi)切球與外接球半徑之比為C.側(cè)棱與底面垂直的四棱柱是直平行六面體 D.同底等高的圓柱和圓錐的表面積之比是【答案】AB【解析】【分析】A、C選項主要考察空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,屬概念題;B、D選項主要考察空間幾何體的內(nèi)切球、外接球的半徑以及表面積問題,屬計算問題【詳解】對于選項A,正四面體是由四個全等正三角形圍成空間封閉圖形,所有棱長都相等,而所有棱長都相等的正三棱錐滿足要求,故選項正確;對于選項B,如圖設(shè)正四面體的棱長為,球心為,因為正四面體外接球與內(nèi)切球的球心重合,故為外接圓的半徑,為內(nèi)切圓的半徑;顯然,點是底面的中心,且平面,取的中點,連結(jié)、,則,且,所以在中,解得,則故,選項正確;對于選項C,底面為平行四邊形且側(cè)棱垂直于底面的四棱柱,稱為直平行六面體,而側(cè)棱垂直于底面的四棱柱對上下底面沒有要求,可以是任意四邊形,不一定是直平行六面體,故選項錯誤;對于選項D,設(shè)圓錐和圓柱的表面積分別為、,其底面半徑為,高為,則、所以,選項錯誤故選:AB11.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,,BC邊上的中線,則下列說法正確的有()A.與均為定值 B.C. D.的最大值為【答案】BCD【解析】【分析】對A,利用中點可得,,即可確定為定值,利用數(shù)量積的公式可判斷是否為定值;對B,根據(jù),結(jié)合余弦定理即可判斷;對C,根據(jù)余弦定理結(jié)合基本不等式可知,再由A中為定值可知,代入不等關(guān)系中,即可判斷;對D,利用余弦定理結(jié)合基本不等式可知,進而判斷.【詳解】由題,對于A選項,,為定值;,不是定值,故A錯誤;對于B選項,因為,所以,故B正確;對于選項C,,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,由A選項可知,,所以,解得,故C正確;對于D選項,,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,因為,所以,所以為銳角,又,所以,故D正確,故選:BCD12.在△ABC中,,,O為△ABC內(nèi)的一點,設(shè),則下列說法正確的是()A.若O為△ABC的重心,則B.若O為△ABC的內(nèi)心,則C.若O為△ABC的外心,則D.若O為△ABC的垂心,則【答案】ACD【解析】【分析】對A,由重心可知,根據(jù),,整理可得,即可判斷;對B,由內(nèi)心可知,結(jié)合,即可求解判斷;對C,由等腰三角形的性質(zhì)可得,由外心可知,結(jié)合余弦定理可得,進而判斷;對D,由垂線可知,則,整理可得,而,代入求解,即可判斷.【詳解】對于A選項,重心為中線交點,則,即,因為,則,所以,,所以,故A正確;對于B選項,內(nèi)心為角平分線交點,則,即,所以,由A選項,則,,所以,故B錯誤;對于C選項,外心為垂直平分線交點,即的外接圓圓心,因為,設(shè)為邊的中點,所以,,所以,因為,所以,在中,,則,,所以,易知,所以,所以,故C正確;對于D選項,垂心為高線交點,設(shè),垂足為邊上點,則,,共線,由C選項,因為,,所以,因為,則,即,因為,所以,即,因為,所以,所以,所以,解得,所以,故D正確;故選:ACD【點睛】知識點點睛:的“四心”,可知:(1)重心為中線交點,則;(2)內(nèi)心為角平分線交點,內(nèi)切圓圓心,則;(3)外心為垂直平分線交點,外接圓圓心,則;(4)垂心為高線交點,則.非選擇題部分(共90分)三、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.13.已知三角形三邊長為3,4,,則這個三角形中最大的內(nèi)角為______.【答案】##【解析】【分析】由大邊對大角,所對角為最大角,結(jié)合余弦定理求解即可.【詳解】因為大邊對大角,設(shè)最大內(nèi)角為,則,所以,故答案為:14.若,,與的夾角為60°,若,則m的值為________.【答案】【解析】【分析】由條件可求得,根據(jù)兩向量垂直,則兩向量的數(shù)量積為0,從而會得到關(guān)于m的方程,解方程即可求出m.【詳解】∵,,與的夾角為60°,∴,∵,∴,∴,故答案為:.15.已知復(fù)數(shù)滿足,求的最小值______.【答案】13【解析】【分析】由可得,代入代簡得,則此式表示復(fù)平面上的點到點的距離和,求出關(guān)于實軸的對稱點,從而可求得答案【詳解】因為復(fù)數(shù)滿足,所以,所以,所以,解得,所以,所以,則上式表示復(fù)平面上的點到點的距離和,因為關(guān)于實軸的對稱點為,所以因為,當(dāng)三點共線時取等號,所以的最小值為13,即的最小值為13,故答案:1316.已知△ABC三點在平面直角坐標(biāo)系xoy所在平面內(nèi),點B、C分別在x、y正半軸上滑動,,,,則的最大值為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可知,四點共圓,故可得同弧所對圓周角相等,在在中,由正弦定理,可把表示出來,然后根據(jù)三角函數(shù)的最值問題進行求解.【詳解】建立如圖的坐標(biāo)系,,所以四點共圓.,設(shè),則且,,在中,由正弦定理知:,即,,故,其中,時,,故有最大值.故答案為:四、解答題:本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知:復(fù)數(shù),其中為虛數(shù)單位.(1)求及;(2)若,求實數(shù)的值.【答案】(1),(2),【解析】【小問1詳解】,則.【小問2詳解】由(1)得:,,解得:.18.如圖所示,四邊形ABCD是直角梯形,其中,,若將圖中陰影部分繞AB旋轉(zhuǎn)一周.(注:臺體的體積公式:(表示上底面面積,表示下底面面積,h表示臺體的高)(1)求陰影部分形成的幾何體的表面積;(2)求陰影部分形成的幾何體的體積.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)分析幾何體的結(jié)構(gòu),利用臺體和球的表面積公式求解,(2)利用臺體體積公式和球的體積公式求解.【小問1詳解】由題意知,旋轉(zhuǎn)體的表面由三部分組成,圓臺下底面、側(cè)面和半球面,且球的半徑為2,圓臺的上底半徑為2,下底半徑為5,母線長為,即母線長為5,高為4,設(shè)球的表面積為,,圓臺的側(cè)面積為,圓臺的下底面積為,幾何體的表面積為,則,,,故所求幾何體的表面積為;【小問2詳解】設(shè)球的體積為,,圓臺的體積為,幾何體的體積為,.,∴所求幾何體的體積.19.在中,分別為內(nèi)角所對的邊,若.(1)求A;(2)若,求面積的最大值.【答案】(1);(2)最大值為.【解析】【分析】(1)由正弦定理統(tǒng)一為角,利用三角恒等變化即可求解;(2)由余弦定理及均值不等式求出,即可求出面積的最值.【詳解】(1)∵由題意可得,,可得(2),由余弦定理,可得,,可得,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時等號成立,即面積的最大值為.【點睛】關(guān)鍵點點睛:利用正弦定理可以統(tǒng)一邊為角或角為邊,利用余弦定理可以結(jié)合均值不等式求面積的最值,屬于中檔題.20.已知,,.(1)求;(2)求與的夾角;(3)若在方向上的投影向量為,求的值.【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】(1)根據(jù)向量的模的計算即可;(2)根據(jù)向量的數(shù)量積公式和向量的夾角公式計算即可(3)利用投影向量的定義求出,再由數(shù)量積的運算性質(zhì)求解即可.【詳解】(1),又,,,(2),,,(3).21.杭州市為迎接2022年亞運會,規(guī)劃修建公路自行車比賽賽道,該賽道的平面示意圖為如圖的五邊形ABCDE,運動員的公路自行車比賽中如出現(xiàn)故障,可以從本隊的器材車、公共器材車上或收容車上獲得幫助.比賽期間,修理或更換車輪或賽車等,也可在固定修車點上進行.還需要運送一些補給物品,例如食物、飲料,工具和配件.所以項目設(shè)計需要預(yù)留出BD,BE為賽道內(nèi)的兩條服務(wù)通道(不考慮寬度),ED,DC,CB,BA,AE為賽道,.(1)從以下兩個條件中任選一個條件,求服務(wù)通道BE的長度;①;②(2)在(1)條件下,應(yīng)該如何設(shè)計,才能使折線段賽道BAE最長(即最大),最長值為多少？【答案】(1)答案見解析;(2).【解析】【分析】(1)在中,利用正弦定理,可求得BD=6.選①:先由三角形的內(nèi)角和可得∠BDC=,從而知為直角三角形,然后由勾股定理,得解;選②:在中,由余弦定理可得關(guān)于BE方程,解之即可.(2)在中,結(jié)合余弦定理和基本不等式,即可得解.【詳解】(1)在中,由正弦定理知,,解得,選①:,,,在中,;若選②,在中,由余弦定理知,,化簡得,解得或(舍負),故服務(wù)通道BE的長度;(2)在中,由余弦定理知,,,,即,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,此時,的最