2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題提優(yōu)思路：圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積問(wèn)題（學(xué)生版+解析）

專(zhuān)題03圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積問(wèn)題

（含定值、最值、范圍問(wèn)題）

（典型題型歸類(lèi)訓(xùn)練）

目錄

一、必備秘籍..............................................1

二、典型題型..............................................3

題型一：三角形面積（定值問(wèn)題）........................3

題型二：四邊形面積（定值問(wèn)題）........................6

題型三：三角形面積（最值，范圍問(wèn)題）...................8

題型四：四邊形面積（最值，范圍問(wèn)題）..................11

三、專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練............................................13

一、必備秘籍

1、弦長(zhǎng)公式

|=gi一九2)2+(%—%)2

22

\AB|=7(l+k)(xt-x2)

（最常用公式，使用頻率最高）

2、三角形面積問(wèn)題

直線AB方程：y=kx+mTiTF

3；+

+mAyA|fcv0-0m|

AB-y0\

SMBP=|lH=

2網(wǎng)出?+北2|4|

3、焦點(diǎn)三角形的面積

直線過(guò)焦點(diǎn)序AA5E的面積為

SAA明=；|丹印.|%一刃=?；匾籌

次百+*七)

225/

S^OB=^\AB\d=^A+BICI

a2A2+b~B2VA2+B2

a^7（a2A2+Z?2B2-C2）C2

a2A2+b'B~

注意：4為聯(lián)立消去左后關(guān)于y的一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)

4、平行四邊形的面積

直線A5為〉=履+/，直線CD為>=履+?

=

|A同=Jl+K一%21Jl+k-J（X1+々）一一4占工2=Jl+k-（，-45=4端

7TA/A|町一色|_而加一色|

SABCD=\AB\'d=

可忑聲一FT

注意：A，為直線與橢圓聯(lián)立后消去y后的一元二次方程的系數(shù).

5、范圍問(wèn)題

首選均值不等式，其實(shí)用二次函數(shù)，最后選導(dǎo)數(shù)均值不等式a2+b2>2ab(a,beR)

變式：a+b>2\[ab(a,beR+);ab<(g+^)2(a,Z>ei?+)

2

作用：當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定值時(shí)求出這兩個(gè)正數(shù)的和的最小值；

當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí)求出這兩個(gè)正數(shù)的積的最大值

注意：應(yīng)用均值不等式求解最值時(shí)，應(yīng)注意“一正二定三相等”

圓錐曲線經(jīng)常用到的均值不等式形式列舉：

\。----2-t-=---2--

(1)r+64—64(注意分r=0,t>(V<0三種情況討論)

tH---

I.八僅_1Z/C_1Z_1Z

\AB\=3+-------；—=3+-----------<3+-------

(2)119d+6左2+12,1,久2x3+6

9k+r+6

k2

當(dāng)且僅當(dāng)9左2='時(shí)，等號(hào)成立

(3)|?e|2=34+25-^-+9--^->34+2

就25y

2

當(dāng)且僅當(dāng)25./25V=29.9盆x時(shí)等號(hào)成立.

⑷2+8)6flm2—m2+8

1—x-------------------------=A/2

22

當(dāng)且僅當(dāng)蘇=-病+8時(shí)，等號(hào)成立

⑸

2k2—喈+1+喈

也廿一琳+1|2旬70J（2F一喈+1）訴

5=2近，1+左2<40-------J-----=272

l+2k2J1+-2l+2k21+2嚴(yán)

當(dāng)且僅當(dāng)2公+1=2/時(shí)等號(hào)成立.

二、典型題型

題型一：三角形面積（定值問(wèn)題）

22

1.（24-25高二上?上海?隨堂練習(xí)）已知橢圓C：1r+3=1（°>/>>0）的左、右焦點(diǎn)分別為

2元

月、F2,上頂點(diǎn)為A,/片4工=1，長(zhǎng)軸的長(zhǎng)為4.過(guò)右焦點(diǎn)B的直線/與橢圓交于〃、

N兩點(diǎn)（非長(zhǎng)軸端點(diǎn)）.

y-

M

OFNx

-----

⑴求橢圓的方程；

⑵若直線/過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)A,求△腦西的面積.

22

2.（2024高三下?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓（7:±+工=1,直線/?=尤+機(jī)（其中加＜0）

32

與橢圓C相交于AB兩點(diǎn)，。為AB的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，|O￡）|=卓.求Q4B的面積.

22

3.(23-24高二上?貴州銅仁?階段練習(xí))已知橢圓C:上+匕=1,直線/：y=x+w(其中m<0)

32

與橢圓C相交于兩點(diǎn)，。為A8的中點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，\OD\=^.

(1)求加的值；

(2)求_0AB的面積.

22

4.(24-25高二上?上海?課堂例題)已知雙曲線C：'=1(%>0)的上、下焦點(diǎn)分別為耳、

工，P為雙曲線C上一點(diǎn)，且滿足/招尸乙=120。，求△尸片鳥(niǎo)的面積.

5.(23-24高二下?河南南陽(yáng)?期末)已知雙曲線C：斗-*=1(。>0,6>0)的實(shí)軸比虛軸長(zhǎng)2,

ab

且焦點(diǎn)到漸近線的距離為2.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)若動(dòng)直線/與雙曲線C恰有1個(gè)公共點(diǎn)，且與雙曲線C的兩條漸近線分別交于點(diǎn)P,。兩

點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：△OPQ的面積為定值.

6.（23-24高二下?安徽六安?期末）過(guò)拋物線C:V=2.（2>0）焦點(diǎn)廠的直線/交C于A8兩

點(diǎn)，特別地，當(dāng)直線/的傾斜角為三時(shí)，|AB|=y.

⑴求拋物線C的方程；

（2）已知點(diǎn)P（-l,2）,若2±PB,求工Q4S的面積（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

題型二：四邊形面積（定值問(wèn)題）

22

1.（2024?天津武清?模擬預(yù)測(cè)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C:3-言=1（6>0）的右焦點(diǎn)為

F,以。尸為直徑的圓與C的兩條漸近線分別交于與原點(diǎn)不重合的兩點(diǎn)A,B,若

\OA\+\OB\=^\AB\,則四邊形加B的面積為（）

A.6B.4百C.2班D.4

2

2.（23-24高二上?內(nèi)蒙古包頭,期末）M、N是雙曲線尤2一匕=1上關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，

3

工、B是左、右焦點(diǎn).若卜閨叫，則四邊形叫叫的面積是（）

A.2君B.3C.4D.6

3.（2024?湖北武漢?二模）已知拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為八過(guò)/作直線交拋物

線C于43兩點(diǎn)，過(guò)A8分別作準(zhǔn)線/的垂線，垂足分別為",N,若和8WV的面

積分別為8和4,則AMFN的面積為（）

A.32B.16C.8A/2D.8

4.（23-24高三下?陜西西安?階段練習(xí)）己知拋物線C|：丁=2尤，C2：/=_4尤的焦點(diǎn)分

別為小F2,一條平行于X軸的直線與C1,G分別交于點(diǎn)A,B,若|A4|=怛8|,則四邊

形ABKK的面積為.

5.(2024?河北?模擬預(yù)測(cè))己知"卜班,0),"(6,0),平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)尸滿足直線的斜

2

率之積為一§.

(1)求動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡方程；

⑵過(guò)點(diǎn)歹。,0)的直線交P的軌跡E于A8兩點(diǎn)，以。A為鄰邊作平行四邊形OACB(O為

坐標(biāo)原點(diǎn))，若C恰為軌跡E上一點(diǎn)，求四邊形04cB的面積.

(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知橢圓E:捺+/=l(a>6>0)的離心率為冬

6.

在橢圓E上.

(1)求橢圓E的方程；

⑵己知A,8,C為橢圓上三個(gè)點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若四邊形。4BC為矩形，求四邊形。WC的

面積.

22

7.(23-24高二上?云南昆明?期末)已知離心率為2的雙曲線C:三-2=l(a>0,6>0)經(jīng)過(guò)

ab

點(diǎn)”(1,0).

⑴求C的方程；

⑵如圖，點(diǎn)N為雙曲線上的任意一點(diǎn)，。為原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作雙曲線兩漸近線的平行線，分

別與兩漸近線交于A、8兩點(diǎn)，求證：平行四邊形N4OB的面積為定值.

題型三：三角形面積(最值，范圍問(wèn)題)

22

1.(2024局二,全國(guó),專(zhuān)題練習(xí))已知A,8是橢圓C：工+匕=1的左、右頂點(diǎn)，直線/交

259

橢圓C于M，N兩點(diǎn)，記AM的斜率為自，的斜率為心，且勺：&=1：9.

(1)求證：直線/過(guò)定點(diǎn)；

⑵記的面積為H，BMN的面積為Sz，求5+$2的最大值.

22

2.(23-24高二下?云南曲靖?期末)已知橢圓C:5+「=l(a>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳、鳥(niǎo),

ab

短軸長(zhǎng)為2班，點(diǎn)M(-6,-[)在C上.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵己知點(diǎn)40,3),點(diǎn)G為橢圓C上一點(diǎn)，求AAG4周長(zhǎng)的最大值；

⑶過(guò)C的左焦點(diǎn)月，且斜率不為零的直線/交C于尸、。兩點(diǎn)，求△耳面積的最大值.

22

3.(23-24高二上?遼寧沈陽(yáng),期末)雙曲線C：與-斗=l(a>0,6>0),己知O為坐標(biāo)原點(diǎn),

ab

P為雙曲線C上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作尸M、PN分別垂直于兩條漸近線，垂足為V、N,設(shè)

\PM\=dx,\PN\=d2,

22

⑴求證：44=3a上h

c~

⑵若雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)為4,虛軸長(zhǎng)為2,過(guò)尸分別作出、尸5平行于漸近線且與漸近線交于A、

8兩點(diǎn)，設(shè)ONPM的面積為S1,。①區(qū)的面積為與，求邑的范圍.

4.（23-24高二下,重慶沙坪壩?階段練習(xí)）已知雙曲線E:土-匕=1的離心率為e,點(diǎn)A的

m5

坐標(biāo)是（0,2）,。為坐標(biāo)原點(diǎn).

⑴若雙曲線E的離心率ee佟，五，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

⑵當(dāng)e=0時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線與雙曲線的左支交于尸，。兩個(gè)不同的點(diǎn)，線段尸2的中點(diǎn)

為M點(diǎn)、,求的面積So.的取值范圍.

5.（23-24高二下?福建泉州,期末）已知拋物線氏丁=2內(nèi)5>0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)/1,2）,直線

/:y=Ax+機(jī)與E的交點(diǎn)為4加，且直線R4與PB傾斜角互補(bǔ).

（1）求上的值；

⑵若相<3,求面積的最大值.

6.（23-24高三下?上海?階段練習(xí)）已知拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)為F過(guò)尸的直線/交C

于A,8兩點(diǎn)，過(guò)尸與/垂直的直線交C于DE兩點(diǎn)，其中8,。在x軸上方，M,N分別

為AB,DE的中點(diǎn).

⑴若|四|=6,求點(diǎn)M的橫坐標(biāo);

⑵證明：直線過(guò)定點(diǎn)；

⑶設(shè)G為直線AE與直線BD的交點(diǎn)，求GMN面積的最小值.

題型四：四邊形面積（最值，范圍問(wèn)題）

22

1.（23-24高二下?浙江?階段練習(xí)）已知雙曲線C:I-當(dāng)=1,過(guò)該曲線上的點(diǎn)尸（3,1）作不

a2b1

平行于坐標(biāo)軸的直線乙交雙曲線的右支于另一點(diǎn)Q,作直線〃/乙交雙曲線的漸近線于兩點(diǎn)4

B（A在第一象限），其漸近線方程為x土y=0,且

⑴求雙曲線方程.

（2）證明：直線過(guò)定點(diǎn).

⑶當(dāng)尸。的斜率為負(fù)數(shù)時(shí)，求四邊形A8P。的面積的取值范圍.

2.（23-24高二上?山西大同?期末）已知橢圓石卓+彘=1（4>“°）經(jīng)過(guò)點(diǎn)卜外一個(gè)焦

點(diǎn)在直線y=上.

⑴求橢圓E的方程；

⑵設(shè)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。的兩條互相垂直的直線分別與橢圓E相交于A,3兩點(diǎn)和C,。兩點(diǎn).求

四邊形ACBD的面積的最小值.

2

3.(2024?山東濟(jì)南?二模)已知點(diǎn)網(wǎng)4,@是雙曲線T：\-y2=i上一點(diǎn)，7在點(diǎn)g處的切

線與x軸交于點(diǎn)A.

(1)求雙曲線T的方程及點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)過(guò)A且斜率非負(fù)的直線與T的左、右支分別交于N,M.過(guò)N做NP垂直于x軸交T于尸(當(dāng)

N位于左頂點(diǎn)時(shí)認(rèn)為N與尸重合).C為圓E:(x-iy+(y+2)2=l上任意一點(diǎn)，求四邊形

MBPC的面積S的最小值.

4.(23-24高二上?湖南長(zhǎng)沙?期中)已知雙曲線E的左、右焦點(diǎn)分別為耳(-2,0),8(2,0),

點(diǎn)2,在雙曲線E上.

⑴求E的方程;

(2)過(guò)F?作兩條相互垂直的直線乙和4,與E的右支分別交A,C兩點(diǎn)和8,。兩點(diǎn)，求四邊

形A3CD面積的最小值.

5.（2024?江蘇連云港?模擬預(yù)測(cè)）已知A,2是拋物線E：y=f上不同的兩點(diǎn)，點(diǎn)尸在工

軸下方，PA,PB與拋物線E分別交于C,。兩點(diǎn)，C,。恰好為尸A,尸8的中點(diǎn).設(shè)48,

C。的中點(diǎn)分別為點(diǎn)M,N.

（1）證明：MNLx軸；

2

（2）若點(diǎn)尸為半橢圓5+x2=l（y<0）上的動(dòng)點(diǎn)，求四邊形ABDC面積的最大值.

三、專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練

2

1.（2024?全國(guó)■模擬預(yù)測(cè)）已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線/：y=履+〃7化>0）與雙曲線x2-1=l

相交且只有一個(gè)交點(diǎn)，與橢圓§+2=1交于M,N兩點(diǎn)，則OMN面積的最大值為（）

2516

A.10B.12C.14D.16

22

2.（23-24高三下?河北保定?開(kāi)學(xué)考試）己知A是左、右焦點(diǎn)分別為斗工的橢圓E:土+上=1

43

上異于左、右頂點(diǎn)的一點(diǎn)，C是線段*的中點(diǎn)，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)工作M的平行線交直

線CO于8點(diǎn)，則四邊形的面積的最大值為（）

A?R2r30n3有

442

22

3.（23-24高二下?安徽滁州?期末）雙曲線C:=-匕=l（a>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，鳥(niǎo)，

a5

離心率為好，右支上一點(diǎn)P滿足尸片，尸工，直線/平分/耳尸工，過(guò)點(diǎn)耳,尸2作直線，的垂線，

2一

垂足分別為45.設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，貝!LQ4B的面積為（）

A.2y/5B.4A/5c.10D.10A/2

22

4.（2024?江西宜春?一模）已知雙曲線土-乙=1的左、右焦點(diǎn)分別為片，工，過(guò)右焦點(diǎn)工的

927

直線/與雙曲線的右支交于A,8兩點(diǎn)，若《4片鳥(niǎo)”2片鳥(niǎo)的內(nèi)心分別為/,K,則△巧心與

時(shí)工面積之和的取值范圍是（）

A,[36,24舊）B,136,48』）C.[18兀，30兀）D.[18兀,36兀）

5.（23-24高二下?河南駐馬店?階段練習(xí)）已知拋物線C:V=2外（p>0）的焦點(diǎn)為凡過(guò)點(diǎn)

尸（3,-2）作C的兩條切線，切點(diǎn)為A,B,且。為C上一動(dòng)點(diǎn)，若|。同+歸。|的最小值為5,

則APAB的面積為（）

12575125

A.75B.---C.—D.

224

6.（2024,四川宜賓?模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線C：V=6x,過(guò)動(dòng)點(diǎn)尸作兩條相互垂直的直線，

分別與拋物線C相切于點(diǎn)48,則P4B面積的最小值是（）

A.6B.9C.12D.18

7.（23-24高三下?山西大同?階段練習(xí)）過(guò)拋物線>2=4x的焦點(diǎn)/且傾斜角為45°的直線交

拋物線于A8兩點(diǎn)，以尸為直徑的圓分別與丁軸相切于點(diǎn)則的面積為

（）

A.竺B.272C.1D.忘

8.（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?二模）已知橢圓1+尸=1,經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條直線分別

與橢圓/相交于A、B、C、。四個(gè)點(diǎn)，若該兩條直線的斜率分別為占、網(wǎng)，且片?右=-1，

則一AOC的面積為.

22

9.（2024?湖南?模擬預(yù)測(cè)）過(guò)橢圓C：A+2=l（a>b>0）上的動(dòng)點(diǎn)P向圓。：/+/=從

ab

引兩條切線尸APB.設(shè)切點(diǎn)分別是4B,若直線A3與x軸、y軸分別交于/W,N兩點(diǎn)，則

△MON面積的最小值是.

10.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)42,1）在雙曲線C：f一產(chǎn)=1上，直線/交。于尸,

。兩點(diǎn)，直線4尸,人。的斜率之和為0,若tan/PAQ=25/I,則△FAQ的面積

為.

14.（23-24高二下?河南南陽(yáng)?期末）已知雙曲線C：斗-§=1（。>0/>0）的實(shí)軸比虛軸長(zhǎng)

ab

2,且焦點(diǎn)到漸近線的距離為2.

（1）求雙曲線C的方程；

（2）若動(dòng)直線/與雙曲線C恰有1個(gè)公共點(diǎn)，且與雙曲線C的兩條漸近線分別交于點(diǎn)P,。兩

點(diǎn)，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：△。尸。的面積為定值.

22

15.（2024?陜西西安二模）已知雙曲線C二-4=1（°>0力>0）的一條漸近線方程為無(wú)-今=0,

且虛軸長(zhǎng)為2.

⑴求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若動(dòng)直線/與雙曲線C恰有1個(gè)公共點(diǎn),且與雙曲線C的兩條漸近線分別交于P,Q兩點(diǎn)，

。為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：△OPQ的面積為定值.

16.(23-24高二下,甘肅天水?開(kāi)學(xué)考試)已知雙曲線E的兩條漸近線互相垂直，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)

尸(1,石).

(1)求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若過(guò)點(diǎn)”(-2,0)的直線交雙曲線同一支于兩點(diǎn)A,B,設(shè)A8中點(diǎn)為N,求一OMN面積的

取值范圍.

17.(23-24高二下?廣東?期末)已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)/到點(diǎn)N(0,2)的距離

為石，A,8為拋物線C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且線段A3的中點(diǎn)M在直線/：V=x上.

⑴求拋物線C的方程；

(2)求/WR面積的取值范圍.

18.(23-24高二下?安徽蕪湖?期末)拋物線E的準(zhǔn)線方程為y=-5，拋物線E上的三個(gè)點(diǎn)

4

A,8,C構(gòu)成一個(gè)以3為直角頂點(diǎn)的直角三角形.

(1)求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若點(diǎn)3坐標(biāo)為(1,1),證明：直線AC過(guò)定點(diǎn)；

⑶若|BA|=|3C|,求面積的最小值.

專(zhuān)題03圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積問(wèn)題

（含定值、最值、范圍問(wèn)題）

（典型題型歸類(lèi)訓(xùn)練）

目錄

一、必備秘籍..............................................1

二、典型題型..............................................3

題型一：三角形面積（定值問(wèn)題）........................3

題型二：四邊形面積（定值問(wèn)題）........................6

題型三：三角形面積（最值，范圍問(wèn)題）...................8

題型四：四邊形面積（最值，范圍問(wèn)題）..................11

三、專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練.............................................13

一、必備秘籍

1、弦長(zhǎng)公式

|="（%-城+（必一城

22

\AB|=7（l+k）（xt-x2）

=Ji+k-1X]_XJ

=Jd+k?）[（%]+%）2-例今（最常用公式，使用頻率最高）

必+為)2-4%%

2、三角形面積問(wèn)題

直線AB方程：尸質(zhì)+根”=1尸川’”尚時(shí)

S^ABP=^\AB\'d=

瓜、網(wǎng)7。+制

lA'l^71,22⑷

3、焦點(diǎn)三角形的面積

直線AB過(guò)焦點(diǎn)名,AA3居的面積為

SAA即=g閨6卜群一%|=4%-%|=等

^4//(片片+尸笈一。?)

22ICI

SMOB=^\AB\d=^A+B

a2A2+b'B2VA2+B2

aZ?7(a2A2+Z?2B2-C2)C2

a2A2+b'B2

注意：4為聯(lián)立消去x后關(guān)于y的一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)

4、平行四邊形的面積

直線為>=履+〃71,直線CD為>=麻+7%

\AB\=&+"-x2|=&+笈2向1+9)2一4X|%=Jl+FJ(_*)2_4。=J1+F畜

州一根2

=|AB\'d=A/1+k1

-ABCD

注意：4為直線與橢圓聯(lián)立后消去y后的一元二次方程的系數(shù).

5、范圍問(wèn)題

首選均值不等式，其實(shí)用二次函數(shù)，最后選導(dǎo)數(shù)均值不等式a2+b2>2ab(a,bER)

變式：a+b>2-Jab{a,beR+）;ab<（0+^）2（a,Z>e2?+）

2

作用：當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定值時(shí)求出這兩個(gè)正數(shù)的和的最小值;

當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí)求出這兩個(gè)正數(shù)的積的最大值

注意：應(yīng)用均值不等式求解最值時(shí)，應(yīng)注意“一正二定三相等”

圓錐曲線經(jīng)常用到的均值不等式形式列舉：

，S。=---2-t-=---2--

（1）r+64—64（注意分t=0j>0j<0三種情況討論）

t

I4D|2Q12k2,12-12

/三、\AB\1=31-1—4--------二3-1------------<3H--------

（2）9Z+6F+1,2^1；2x3+6

QykH--+o

lc

當(dāng)且僅當(dāng)9左2時(shí)，等號(hào)成立

⑶同「7+25寺+9.翁32卜舒條3

當(dāng)且僅當(dāng)25.答.9.黑時(shí)等號(hào)成立.

22,Q

（4）S=112一封f|xm—m+X正

2

當(dāng)且僅當(dāng)加2=一加2+8時(shí)，等號(hào)成立

⑸

2k2一琳+1+肝

1所言了.畀*一喈+1）喈

44"

l+2k21+加=2應(yīng)

當(dāng)且僅當(dāng)2k2+1=24時(shí)等號(hào)成立.

二、典型題型

題型一：三角形面積（定值問(wèn)題）

22

1.（24-25高二上?上海,隨堂練習(xí)）已知橢圓C：1r+/=1但>/,>0）的左、右焦點(diǎn)分別為

工、F2,上頂點(diǎn)為A,N片AK=g,長(zhǎng)軸的長(zhǎng)為4.過(guò)右焦點(diǎn)B的直線/與橢圓交于M、

N兩點(diǎn)（非長(zhǎng)軸端點(diǎn)）.

X

（1）求橢圓的方程；

⑵若直線/過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)A,求△加￡的面積.

【答案】⑴二+丁=1

4

（2）地.

7

【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法求出a=2,c=6,6=1，即可得出方程.

（2）將直線方程求出來(lái)，直線曲線聯(lián)立求出|"N|,運(yùn)用點(diǎn)到直線距離公式求出可到直線/

的距離，即可求出面積

【詳解】（1）因?yàn)椤?g=子2兀，長(zhǎng)軸的長(zhǎng)為4,

所以。=2,c=石，b=l,所以橢圓的方程為二+丁=1.

4

（2）因?yàn)锳（O,1）,8（6,0）,若直線/過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)A和右焦點(diǎn)廠2.

—近％+1,則點(diǎn)耳到直線/的距離為d二

所以/：y=

3

尤22,

「=1,

由<得7/—8氐=0,

V3

y=--x+V

所以”手,一，，則MM=j半］+［一；一lj=g

22

2.（2024高三下?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓C:土+匕=1,直線/:>=%+相（其中加〈0）

32

與橢圓C相交于A8兩點(diǎn)，。為A8的中點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，|。以=半.求。AB的面積.

【答案】乎

【分析】聯(lián)立橢圓與直線方程，利用韋達(dá)定理得玉+9=］6巧%2=-，3%+%=-二4，

SOAB=SOAF+S08尸=不義|°b|義昆—必|,由|兇=J（%+%）2-4%%=一~—即可求出面積.

/2）

【詳解】設(shè)AB兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（加X(jué)）,?，%），

---1---=1

聯(lián)立方程,32，消去丁得5爐+6/nx+3m2-6=0.

y=x+m

由△=36--20（3療-6）>0,且機(jī)<0,可得-逐<m<0,

%+%2=《，玉％2=_g，M+%，

364

貝！J=(玉一1)(%2—1)—XlX2~\X1+'2)+1=—g+l=—1，

可得I%%I=+=

由橢圓方程可知：a=A/3,b-y/2,c=y/a2—b1-1?

由直線/：y=%-1與x軸的交點(diǎn)為橢圓c的右焦點(diǎn)/(1,0),

即SOAB=；*|0尸岡必一)1|=：*1X^^=^^,

所以Q4B的面積為友.

5

22

3.（23-24高二上?貴州銅仁?階段練習(xí)）已知橢圓C:±+匕=1,直線/：y=x+，"其中加＜0）

32

與橢圓C相交于兩點(diǎn)，。為A8的中點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，\OD\=^.

（1）求加的值；

（2）求_0AB的面積.

【答案】口）加=-1

⑵子

【分析】（工）聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求點(diǎn)。的坐標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式運(yùn)算求解；

（2）根據(jù)（1）中韋達(dá)定理可得回一%|=孚，且直線/：y=x-l與x軸的交點(diǎn)為橢圓c的

右焦點(diǎn)尸（L0）,進(jìn)而可求面積.

【詳解】（1）設(shè)48兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（人,乂）,（孫％），

匕匚1

聯(lián)立方程｛32,消去y得5尤2+6.+3/-6=0.

y=x+m

由△=36M2—2。（3機(jī)之一6）>0,且機(jī)<0,XTW—y[5<m<0>

（2）由（1）可知：%+%2=《，玉%=%+%=，

364

貝"%%=（玉一1）（%2—1）=石％2_（玉+'2）+1=_,_6+1=一（，

可得IX_%|=+=Ju=#

由橢圓方程可知：a=^3,b=^2,c=yja2-b2=1,

由直線/：）=x-1與光軸的交點(diǎn)為橢圓。的右焦點(diǎn)尸（1,0）,

貝1JS.AB=S叩+S°BF=；X?？疿|%-R=；X1X^=子,

所以。鉆的面積為亞.

5

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：有關(guān)圓錐曲線弦長(zhǎng)、面積問(wèn)題的求解方法

（1）涉及弦長(zhǎng)的問(wèn)題中，應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)的關(guān)系、設(shè)而不求計(jì)算弦長(zhǎng)；涉及垂直關(guān)

系時(shí)也往往利用根與系數(shù)的關(guān)系、設(shè)而不求法簡(jiǎn)化運(yùn)算；涉及過(guò)焦點(diǎn)的弦的問(wèn)題，可考慮用

圓錐曲線的定義求解.

（2）面積問(wèn)題常采用S=gx底x高，其中底往往是弦長(zhǎng)，而高用點(diǎn)到直線距離求解即可，

選擇底很重要，選擇容易坐標(biāo)化的弦長(zhǎng)為底.有時(shí)根據(jù)所研究三角形的位置，靈活選擇其面

積表達(dá)形式，若求多邊形的面積問(wèn)題，常轉(zhuǎn)化為三角形的面積后進(jìn)行求解.

（3）在求解有關(guān)直線與圓錐曲線的問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)與整合、轉(zhuǎn)化與化歸及

函數(shù)與方程思想的應(yīng)用.

22

4.（24-25高二上?上海?課堂例題）已知雙曲線C：、一充=1（%>0）的上、下焦點(diǎn)分別為月、

工，P為雙曲線C上一點(diǎn)，且滿足/招尸乙=120。，求△尸片乙的面積.

【答案】巫

3

【分析】記1尸耳1=心\PF2\=r2,/耳尸為=。，根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合余弦定理可得

2（c-1,再利用三角形面積公式可推得84%=\,即可求得結(jié)論.

1-cos。tan—

2

【詳解】解：記歸耳|="\PF\=r,/月產(chǎn)工=

226,AFYPF2=0.

卜一引=2〃，

??（彳—2）2=4/.

在△耳尸尸中，由余弦定理得彳4—2佐COS6=（2C）2,

配方得：（4_0）2_2AGCOS6=4C2,

2

BP4々2+2%馬（1—cos=4c,

2（c2-a2）2b2

1-cos01-cos6

、.ee

2sin—cos—b1

由三角形的面積公式得s△"&=sin8=/./22

21-cos

02sm—tan—

22

q=_____

內(nèi)"后一Q,

tan—

2

而〃=8,0=120?,

.<_8_8A/3

?.△咫&一商而；一亍

故答案為：?

5.(23-24高二下?河南南陽(yáng)?期末)已知雙曲線C:j=1(。>0,6>0)的實(shí)軸比虛軸長(zhǎng)2,

ab

且焦點(diǎn)到漸近線的距離為2.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)若動(dòng)直線/與雙曲線C恰有1個(gè)公共點(diǎn)，且與雙曲線C的兩條漸近線分別交于點(diǎn)P,。兩

點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：△。尸。的面積為定值.

22

【答案】①上-工=1

94

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)由點(diǎn)到直線的距離公式及實(shí)軸與虛軸定義計(jì)算即可得；

(2)討論直線/的斜率是否存在，且當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，與雙曲線方程

聯(lián)立，根據(jù)A=0,找到參數(shù)之間的關(guān)系，再利用弦長(zhǎng)公式求得|尸。|,利用點(diǎn)到直線的距離

公式求出三角形的高，求得面積，即可證明.

22

【詳解】⑴設(shè)雙曲線c：j-2=1(。>0,6>0)焦點(diǎn)為(土c,o)，一條漸近線方程為桁-歿=。,

ab

\bc\

所以該焦點(diǎn)到漸近線的距離為J?=b=2,

y/a2+b2

又雙曲線實(shí)軸比虛軸長(zhǎng)2,故2a=2/?+2=4+2=6,即々=3,

22

故雙曲線C的方程為土-匕=1；

94

(2)當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，若動(dòng)直線/與雙曲線C恰有1個(gè)公共點(diǎn),

2

則直線/經(jīng)過(guò)雙曲線的頂點(diǎn)，不妨設(shè)/:x=3,又漸近線方程為'=±§冗,

22

將%=3代入y=得y=2,將x=3代入y=—得y=—2,

貝|］歸。|=4,S”o=；x4x3=6；

2

當(dāng)直線/的斜率存在，設(shè)直線/：>=履+，，且

y=kx+t

聯(lián)立丁>2,消去，并整理得（4-9犬卜2-18SX-9/-36=0,

---------=1

194

因?yàn)閯?dòng)直線/與雙曲線C恰有1個(gè)公共點(diǎn)，

4-9a0

所以A=324/戶+4（4-9左2）（9/+36）=0,得"=/+4,

22

設(shè)動(dòng)直線/與y=的交點(diǎn)為p,與y=-的交點(diǎn)為。,

y=kx+t

,日3t同理得兀=一%

聯(lián)立2'得馬=一陽(yáng)F

y=—x3k—2

3

則|叫=研4_引=氏方一己+當(dāng)121M2+1

I9V-4I

因?yàn)樵c(diǎn)0到直線I的距離d=-f==

VF+1

11⑵M?+i

所以s。皿弓加無(wú)啜童可

又因?yàn)?左2=〃+4,所以謂十=*=6,即5。相=6,

故△0P。的面積為定值，且定值為6.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用A=0,找到參數(shù)之間的關(guān)系，再利用弦長(zhǎng)公式求得IP。I,利用

點(diǎn)到直線的距離公式求出三角形的高，進(jìn)而求出面積是解題關(guān)鍵.

6.（23-24高二下?安徽六安?期末）過(guò)拋物線C-.y2=2px（p>0）焦點(diǎn)/的直線/交C于AB兩

點(diǎn)，特別地，當(dāng)直線/的傾斜角為g時(shí)，|AB|=/.

⑴求拋物線C的方程；

（2）己知點(diǎn)P（-l,2）,若Q4_LPB,求」。的面積（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

【答案】⑴V=4x

（2）2近

【分析】（1）由題意設(shè)直線/:尤-K=3y,聯(lián)立拋物線方程，結(jié)合弦長(zhǎng)公式即可列方程求

23

得參數(shù)。，進(jìn)而得解；

（2）由題意設(shè)直線/：x-l=<y,聯(lián)立拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理、數(shù)量積的坐標(biāo)公式列方

程即可求得參數(shù)進(jìn)一步即可求解上。由的面積.

【詳解】（1）拋物線。：y=2夕聯(lián)。>0）焦點(diǎn)/的坐標(biāo)為仁,01,

當(dāng)直線/的傾斜角為三時(shí)，直線聯(lián)立?廢物線方程y2=2px,

化簡(jiǎn)并整理得，丁-子py-p2=。，顯然A>0,

設(shè)4（%，?1），3（孫9），則X+>2=:P,=~p2,

「2百丫//2

仆］-4x（一p

善殍牛爭(zhēng)解得小,

所以拋物線C的方程為產(chǎn)=4尤；

（2）設(shè)4（占,乂）,3（%2，%）,

顯然直線/的斜率不為0,所以設(shè)直線=聯(lián)立拋物線方程尸=以,

化簡(jiǎn)并整理得y2-4ty-4=0,顯然4=16/+1）>0,

所以乂+必=-4，

又尸（-1,2）,所以以=（再+1,%—2）,尸月=（々+1,%-2）,

因?yàn)樯?±PB,

所以中.尸月=(%+l)(x2+1)+(%-2)(%-2)

=玉％+(&+%)+1+%%―2(%+%)+4

(%+%)+2+%%-2(%+%)+5

+tx4r+2—4—2x4f+5=4(r—1)=0,

所以f=l,則%+%=4,%%=-4,

設(shè)，（MB的面積為S,

則S=g|O司|%一%|=；,1〉,(3+%)2―4%%=；“2+42=2夜,

所以Q4B的面積為2VL

題型二：四邊形面積（定值問(wèn)題）