2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題提優(yōu)思路：數(shù)列求通項（隔項等差（等比）數(shù)列）（學(xué)生版+解析）

專題04數(shù)列求通項(隔項等差(等比)數(shù)列)

(典型題型歸類訓(xùn)練)

目錄

一、必備秘籍..............................................1

二、典型題型..............................................2

題型一：隔項等差數(shù)列...................................2

題型二：隔項等比數(shù)列..................................10

三、專題04數(shù)列求通項(隔項等差(等比)數(shù)列)專項訓(xùn)練.......3

一、必備秘籍

1、隔項等差數(shù)列

已知數(shù)列｛。,｝,滿足a.+i+a.=/(")------⑴，

則an+2+an+\=/("+1)-----(2)；+_1)------(3)

(2)-(1):4+2-a”=d(其中。為常數(shù))；或⑴一(3):an+x-an_x=d(n>2)則稱數(shù)列｛%｝

為隔項等差數(shù)列，其中：

①1,4,%，叫…構(gòu)成以%為首項的等差數(shù)列，公差為d;

②為，。4，。6，。8…構(gòu)成以。2為首項的等差數(shù)列，公差為d；

2、隔項等比數(shù)列

已知數(shù)列｛%｝,滿足%+1?%=/(H)------(1)，

a

則4+2,n+\=/(n+1)------(2)；an-an_x=/(n-1)------(3)

出=q(其中q為常數(shù))；或?：&旦=鼠〃22)則稱數(shù)列伍“｝為隔項等比數(shù)列,

(1)an(3)%

其中：

①q,%,%，%…構(gòu)成以%為首項的等比數(shù)列，公比為q;

②外,4，。6，。8…構(gòu)成以為首項的等比數(shù)列，公比為q；

二、典型題型

題型一：隔項等差數(shù)列

1.（23-24高三上?湖南益陽?期末）已知他“｝是等差數(shù)列，滿足:對V九eN*，a“+an+x=In,

則數(shù)列僅“｝的通項公式4=（）

A.nB.n-1C.n--D.n+-

22

2.（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知數(shù)列｛a.｝的前〃項和為S“，a,=1,an+an+l=2n+l,

則%o的值為，S21的值為.

3.（2024?廣西?二模）在等差數(shù)列｛%｝中，出=6,且等差數(shù)歹匹凡+“用｝的公差為4.

（1）求“io;

4.（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知數(shù)列｛aw｝滿足aw+a〃"=2"，a7=l（”WN*）,求數(shù)列｛aw｝

的通項公式.

5.（四川省眉山市2024屆高中第三次診斷性考試數(shù)學(xué)（文史類）試題）將①q=1,

atl+an+l=4n,②用+病+…+底=”（'）,③%＞。，4S.-1=寸+2對之一填入空

格中（只填番號），并完成該題.

已知臬是數(shù)列｛4｝前〃項和，.

（1）求｛q｝的通項公式；

4.（江蘇省蘇州市第十中學(xué)2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)10月階段檢測數(shù)學(xué)試題）在①

aa2，，+1

n,1+i=2>（2）20^~（an+I-an+l=0,③a“+]+/+…+%+2,這三個條件中任

選一個，補(bǔ)充在下面問題中，并解答（注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答給

分）

已知正項數(shù)列｛4｝滿足，6=2,.

（1）求數(shù)列｛q｝的通項公式：

三、專題04數(shù)列求通項（隔項等差（等比）數(shù)列）專項訓(xùn)練

1.（廣東省深圳市2023屆高三二模數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列｛4｝滿足，4=3,1M=9x221,

N*.

（1）求數(shù)列｛q｝的通項公式；

2.（湖南省九校聯(lián)盟2024屆高三下學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列｛q｝的前"項和為

%滿足2s“+a“=3；數(shù)列也｝滿足6“+%=2〃+1,其中4=1.

（1）求數(shù)列｛4｝,｛〃｝的通項公式；

3.（河北省唐山市玉田縣2018-2019學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列｛鞏｝的前"項

和為S",2Sn=anan+l,且％=3,。,產(chǎn)0,（neN*）

（1）求出，并證明：當(dāng)〃22時，氏+1-2.

4.（新疆維吾爾自治區(qū)普通高考2022屆高三第一次適應(yīng)性檢測數(shù)學(xué)（理）試題）已知數(shù)列

｛%｝滿足4=2%=2,an+2=an+9-4"-.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項公式;

專題04數(shù)列求通項(隔項等差(等比)數(shù)列)

(典型題型歸類訓(xùn)練)

目錄

一、必備秘籍..............................................1

二、典型題型..............................................2

題型一：隔項等差數(shù)列...................................2

題型二：隔項等比數(shù)列..................................10

三、專題04數(shù)列求通項(隔項等差(等比)數(shù)列)專項訓(xùn)練.......3

一、必備秘籍

1、隔項等差數(shù)列

已知數(shù)列｛2｝,滿足4+1+4="")------(1),

aa

則n+2+n+i=/~(〃+1)------(2)；+an_x=------(3)

(2)-(1)：4+2-4,=d(其中d為常數(shù))；或⑴一(3):a.-*=d(n>2)則稱數(shù)列｛4｝

為隔項等差數(shù)列，其中：

①1,4,%，叫…構(gòu)成以%為首項的等差數(shù)列，公差為d;

②生,4，。6，4…構(gòu)成以為首項的等差數(shù)列，公差為d；

2、隔項等比數(shù)列

已知數(shù)列｛%｝,滿足%+1?%=/(H)------(1)，

a

則4+2,n+\=/(n+1)------(2)；an-an_x=/(n-1)------(3)

名:嗅=q(其中q為常數(shù))；或?：4包=q(〃22)則稱數(shù)列｛為｝為隔項等比數(shù)列,

(1)an(3)%

其中：

①q,%,%，%…構(gòu)成以%為首項的等比數(shù)列,公比為q；

②外,4，。6，。8…構(gòu)成以為首項的等比數(shù)列，公比為q；

二、典型題型

題型一：隔項等差數(shù)列

1.(23-24高三上?湖南益陽?期末)已知｛an｝是等差數(shù)列，滿足:對V"eN*，4+an+i=In,

則數(shù)列僅“｝的通項公式4=()

B.n-1D.n+—

【答案】C

【分析】由％+?！?1=2〃得氏+1+。.+2=2〃+2,兩式相減得?！?2-%=2,可得d的值，可得

答案.

4+??i=

【詳解】解:由+2n得an+l+an+2=2n+2,

兩式相減得勺+2-。(1=2=2〃=>〃=1,

故。“+?！?d=2〃na“=.

故選C.

【點睛】本題主要考查由遞推公式求等差數(shù)列的通項公式，由已知得出氏+2-4=2是解題

的關(guān)鍵.

2.(2024高三?全國?專題練習(xí))已知數(shù)列｛a.｝的前〃項和為S,，囚=1,an+an+i=2n+l,

則%0的值為，521的值為.

【答案】20231

【分析】由數(shù)列的遞推關(guān)系式可得｛加｝的奇數(shù)項、偶數(shù)項都是以2為公差的等差數(shù)列，由等

差數(shù)列的通項公式和前n項和公式求解即可得到答案.

【詳解】將"=1代入an+an+i—2n+l中得。2=3-1=2.

Btjan+an+i=2n+l(l),an+i+an+2=2n+3(2).

②一①，得an+2—。"=2,所以數(shù)列｛an｝的奇數(shù)項、偶數(shù)項都是以2為公差的等差數(shù)列，

則<721=1+10x2=21,020=2+9x2=20,

.....................(1+21)x11,(2+20)x10

S21—(ai+aj+as+...+021)+(02+04+05+...+020)-----------1-------------231.

故答案為：20；231

【點睛】本題考查數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用，考查等差數(shù)列的通項公式和前"項和公式的應(yīng)用，

屬于基礎(chǔ)題.

3.（2024?廣西?二模）在等差數(shù)列｛%｝中，的=6,且等差數(shù)歹￡%+“向｝的公差為4.

（1）求“io;

【答案】⑴/=22；

【分析】（1）利用等差數(shù)列的求出公差d,再求得首項%后可得通項公式；

【詳解】（1）設(shè)］“｝的公差為d,則（4+i+4+2）一（4+4+1）=4+2-4=2d=4,d=2,

又的=6,所以弓=6-2=4,

所以。力=4+2（“-1）=2〃+2,?1（,=22.

4.（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知數(shù)列｛即｝滿足aw+a〃"=2〃，a7=l（“WN*）,求數(shù)列｛即｝

的通項公式.

…拈、_\n,〃為奇數(shù)

【詳解】

解：由即+〃幾+/=2〃①，得應(yīng)2時，an-i~\-an=2（n—l）②.由①一②得加即_/=2,

所以該數(shù)列奇數(shù)項和偶數(shù)項分別成公差為2的等差數(shù)列，由見+〃2=2,得〃2=1,

._｛n,〃為奇數(shù)

‘為偶數(shù)

5.（四川省眉山市2024屆高中第三次診斷性考試數(shù)學(xué)（文史類）試題）將①弓=1,

4+4+1=4〃，②+S+…+底="丁）,③%>0，他-1=片+2見之一填入空

格中（只填番號），并完成該題.

已知S,,是數(shù)列｛%｝前w項和，.

⑴求｛%｝的通項公式；

［答案］⑴%=2〃-1

【分析】（1）若選①，類比作差證明數(shù)列是隔項等差數(shù)列即可；

若選②，利用類比作差和階差法可以求解；

若選③，利用公式作差后因式分解，找出。“與的關(guān)系，再根據(jù)等差數(shù)列的定義和通項

公式即可求出4,=2"-L

（2）利用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論即可.

【詳解】（1）若選①：

因為4,+“用=4〃

所以見_1+。.=4(〃-1)(〃22),

兩式相減得?！?1-=4,

所以｛%｝是隔項等差數(shù)列，

a｛+a2=4且〃]=1,

n—1

所以q,=q+(^-)d=2w-l("為奇數(shù))，

YI—2

^n=a2+(—^~)d=2n-15為偶數(shù))，

所以?！岸?〃-1.

若選②:屈+厄+…+厄=n(n；D，

所以后+病+…+師=”為，

兩式相減得，￡=〃，

所以S,="2,

所以=S“-Se=2〃-L

若選③：

因為45“-1=。；+2?！阿?，

所以4"1=。"2%(〃22)②，

所以4(5,-3-)=a^+2an--24T，

即4a“=a；+2an--2%,

所以a；-2a“-a3-2a,i=。,

所以(4+%.i)(4-i)-2(a“+%_])=0,

所以(%+%"(%-)-2(%+%_])=0,

所以(4+%一J(4-%.i-2)=0,

因為所以%+?！ㄒ?"°，

所以a“一%T-2=0,

所以%-a,i=2,

=

3^,441—1a；+2q,

所以。；-2弓+1=0,

所以("1一1)=0,

所以4=1，

所以｛%｝是首項為1,公差為2的等差數(shù)列,

所以為=1+（〃-1）*2=2〃-1,

所以｛凡｝的通項公式。"=2”L

6.（2023屆山東省濰坊市三縣高三最后一次模擬考試?yán)頂?shù)）已知數(shù)列｛見｝滿足

%+1+?！?4〃一3（幾eN*）.

（1）若。i=2,求數(shù)列｛4｝的前〃項和，；

2〃？—3〃+5c71

---------------,n=2k-l

【答案】（1）5?=,2，4eZ+；（2）（y，T31，+"）?

2"-3n2k

I2

【分析】（1）由%+l+。“=4〃一3（〃￡N*）得q^+2+a〃+l=4〃+l（〃￡N*）,兩式相減，得

〃〃+2一為二%分奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況，分別利用等差數(shù)列通項公式求解即可;

【詳解】(I)由%+%=4"3(二wN*),an+2+an+1=4n+l(nGN*),

兩式相減，得〃〃+2一心=4.

所以數(shù)列｛的〃7｝是首項為生,公差為4的等差數(shù)列；數(shù)列｛%/是首項為〃2,公差為4的等

差數(shù)列.

=

由。2+%=1，%=2,得出—1.

2n,n=2k-\卜才

所以?！ǘ?/p>

2n—5,n=2k'

①當(dāng)〃為奇數(shù)時，an=2n,

Sn=%+a?+%+...+cin=(q+%)+(/+%)+???+(?！╛2+。九-1)+

〃一1

——x(l+4n-ll)。2公「

2'入2n-3n+5.

=l+9+...+(4n—11)+2〃=--------------------+2n=---------------

22

n

②當(dāng)為偶數(shù)時，5〃=%+%+/+■??+〃〃=(4+%)+(%+。4)+,一+(見一1+?！?

Y八.f2n2-3n

=1+9+...+(4〃—7)=---------

2/—3〃+5

,n=2k-l

2

所以S.二歡wZ+

2n2-3Tl

,n=2k

2

題型二：隔項等比數(shù)列

L（多選）（廣東省廣州市白云區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列｛q｝

中，4=1,an-an+t=r,”eN*,則下列說法正確的是（）

A.?4=9B.｛%/是等比數(shù)列C.a2n-a2n_i=2-rD.生“一+出”=4?3片

【答案】ABD

【分析】先由。""用=3"分析出數(shù)列｛4｝的奇數(shù)項和偶數(shù)項均為等比數(shù)列，再逐項判斷即可.

【詳解】解：數(shù)列｛%｝中，q=1,an-an+l=y,neN,

所以q?%=3,即。2=3

因為凡“1=3"，所以%+「%+2=3向

所以吐=3

所以數(shù)列｛4｝的奇數(shù)項和偶數(shù)項，均為以3為公比的等比數(shù)列

所以%=3X3"T=3"

為"T=1X3"T=3"T

2

對A,a4=3=9,故A正確；

對B,由分析知，｛的,｝是等比數(shù)列，故B正確；

對C,%-*=3"-3日=2.32,故C錯誤；

對D,+%,=3"+3"一’=4?3"一，故D正確.

故選：ABD.

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是通過對已知數(shù)列的遞推公式進(jìn)行變形整理，得到新的遞推

公式，從而得到數(shù)列｛%｝的奇數(shù)項和偶數(shù)項均為等比數(shù)列.

2.（北京市大興區(qū)2023屆高三上學(xué)期期末檢測數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列｛4｝中，q=l,

。?。加=2"，［。*，則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.%=2B.%—%=2

C.｛%｝是等比數(shù)列D.%7+羯=2向

【答案】D

【分析】AB項，分別令〃=1,n=2,〃=3求出。2，。3，〃4的值驗證；CD項，由%?4+i=2"可

得4+4+2=2M，^-=2,繼而得至|｛%“｝及｛%“_1｝均為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項

4”

求解.

【詳解】當(dāng)〃=1時，％=2〃=2=>g=2,故A正確.

n

當(dāng)〃=2時，an-an+i=2na2a3=22n2?%=4n%=2,

當(dāng)〃=3時，an-an+x=2"n/g=2^n2?&=8n%=4,/.a4-a3=2,故B正確.

C項，??.。屋%+1=2”①，

二?4+1?！?2=2〃”②，

所以祟得吐=2,所以&旦=氏也=2,二.｛%,｝是以電為首項，2為公比的等比數(shù)列，

a

①na2na2n

故C正確.

D項，由C項得a2n=a2-2"T=2-2"一'=2",

又?.?必也=2,&"巴=2,.M%-｝是以q=l為首項，2為公比的等比數(shù)列，

a2n-la2n-l

lB+1

：.*=%.2"T=2"T...%“T+a2n=2"T+2"=2"-'+2x2"一=3xT~豐2,故D錯誤.

故選：D

3.（四川省德陽市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)理科試題）已知正項等比數(shù)列｛““｝對

任意的"WN*均滿足%*=2”，

（1）求｛%｝的通項公式；

【答案】⑴4=2,

【分析】⑴根據(jù)%*=?用，得當(dāng)"22時，%T%=22M,兩式相除可求得公比，再求

出首項，再根據(jù)等比數(shù)列得通項即可得解；

【詳解】（1）設(shè)公比為4（4>。），

由的用=2?用,得當(dāng)心2時,4T練=22"T,

兩式相除得色包=4=d,所以q=2,

a?-!

3

又aYa2=2,貝2"；=8,所以q=2（a1=-2舍去），

所以=2x2"—=2"；

4.（江蘇省蘇州市第十中學(xué)2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)10月階段檢測數(shù)學(xué)試題）在①

aa2+1

nn+\=2">②2。；一（q+1-2”“-%]=。，③%+]=%+。2+…+%+2,這三個條件中任

選一個，補(bǔ)充在下面問題中，并解答（注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答給

分）

已知正項數(shù)列｛4｝滿足，4=2,.

⑴求數(shù)列｛凡｝的通項公式：

由=9x2]，％=3得。2=6,

所以，數(shù)列｛生i｝是首項為3,公比4為的等比數(shù)列，%M=3X22〃-2,

數(shù)列｛%,｝是首項為6,公比為4的等比數(shù)列，的“=6x41=3x22^,

綜上，數(shù)列｛4｝的通項公式為%=3x2。

2.(湖南省九校聯(lián)盟2024屆高三下學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題)已知數(shù)列｛%｝的前"項和為

Sn,滿足2s“+?！?3；數(shù)列也｝滿足2+%=2〃+1,其中仇=1.

(1)求數(shù)列｛4｝,｛2｝的通項公式；

【答案】⑴,bn=n[n6N*)

【分析】(1)根據(jù)S“,a,的關(guān)系式可得｛%｝是首項為1,公比為g的等比數(shù)列，再根據(jù)

b?+bn+l=2〃+1可分別對｛〃｝的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別求通項公式可得

【詳解】(1)由說+見=3①，當(dāng)"22時，2s,一+%=3②，

。②得2an+an-an_x=0..-.a?=-??_1(?>2),

當(dāng)”=1時，2%+%=3,/.q=1,

二.｛%｝是首項為1,公比為g的等比數(shù)列，故eN*),

由4+%=2"+1③.由伉=1

得仇=2,又%+%2=2〃+3④.

④-③得以2-2=2,

｛b,,｝的所有奇數(shù)項構(gòu)成首項為1,公差為2的等差數(shù)列：

所有偶數(shù)項構(gòu)成首項為2,公差為2的等差數(shù)列.

得打“_]=1+(〃-1)x2=2〃一I,%。=2+(n—l)x2=2n,;.b,=〃(〃eN*).

綜上可得%=')也="(〃eN*)；

3.(河北省