2024-2025學(xué)年北師大版八年級數(shù)學(xué)上冊專項(xiàng)復(fù)習(xí)：平面直角坐標(biāo)系重難點(diǎn)題型（四大題型）解析版

平面直角坐標(biāo)系重難點(diǎn)題型(四大題型)

國堂奉點(diǎn)墓型歸購

【題型1兩點(diǎn)間距離】

【題型2求平面直角坐標(biāo)系中動點(diǎn)問題的面積】

【題型3平面直角坐標(biāo)系中規(guī)律題探究】

【題型4等腰三角形個(gè)數(shù)討論問題】

_國情至空位___________________________________

【題型1兩點(diǎn)間距離】

1.在平面直角坐標(biāo)系中，A,5兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(5,—1),(5,2),則4,5兩點(diǎn)間的距離為.

【答案】3

【分析】本題考查求平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)間距離，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵.根據(jù)48兩

點(diǎn)的坐標(biāo)可推出||y軸，即得出力8=yB-yA=3.

【詳解】解：??弘，8兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(5,—1),(5,2),

-AB||y軸，

...ZB=yB-yA=2-{-1)=3.

故答案為：3.

2.已知平面直角坐標(biāo)系中有一點(diǎn)M(3—2m,3m+2).

⑴存在點(diǎn)N(2,-3),當(dāng)MN平行于y軸時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)：

⑵當(dāng)點(diǎn)M在久軸上方，且到%軸的距離是到y(tǒng)軸距離的兩倍時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

【答案】⑴M(2,0

(2)也—13,26)或M仔,羊)

【分析】本題考查了平面直角坐標(biāo)系；掌握點(diǎn)在坐標(biāo)系中的特點(diǎn)是關(guān)鍵.

(1)根據(jù)平行于y軸的直線上的點(diǎn)的特征：橫坐標(biāo)相同可求得加的值，從而求解；

(2)根據(jù)點(diǎn)加在x軸上方，則縱坐標(biāo)為正數(shù)，得機(jī)的取值范圍，再由距離關(guān)系列方程即可求得加的值,

從而求解.

【詳解】(1)解：?.?MN平行于y軸，

.*.3—2m=2,

1

解得：m=|,

貝ij3m+2=:,

MW)；

(2)解：??,點(diǎn)M在%軸上方，

.'.3m+2>0；

即一>—條2

???點(diǎn)M至熾軸的距離是3m+2,點(diǎn)M至Ijy軸距離是|3-2m\；

???點(diǎn)〃至U%軸的距離是至如軸距離的兩倍，

??-3m+2=2|3—2m|,

4

解得：m=8或m=

13,26)或“俘冷)

3.已知點(diǎn)P(2m—+3).

(1)若點(diǎn)尸在了軸上，求機(jī)的值；

⑵若點(diǎn)尸在第一象限，且點(diǎn)P到x軸的距離是到y(tǒng)軸的距離的4倍，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【答案】(1)|

(2)P(1,4)

【分析】此題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)，正確掌握平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

(1)直接利用y軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)(橫坐標(biāo)為0)得出小的值；

(2)直接利用P點(diǎn)位置結(jié)合其到x,y軸距離得出點(diǎn)的坐標(biāo).

【詳解】(1)解：?.?點(diǎn)P(2m—1即+3)在y軸上，

2m—1=0,

解得m=I:

(2)解：”(26一1即+3)點(diǎn)尸在第一象限，且點(diǎn)尸到x軸的距離是到y(tǒng)軸的距離的4倍,

由題意可得：m+3=4(2m—1),

解得m=1,

貝ij27n—1=2—1=1,m+3=4,

故P(l,4).

2

4.閱讀理解：如何根據(jù)坐標(biāo)求出兩點(diǎn)之間的距離？

如圖，在坐標(biāo)系中4(2,1),8(6,4),構(gòu)造RtaaCB,貝必C=6—2=4,BC=4—1=3,

22

-'-AB=y/AC+BC-A/42+32=5

若B(%2,y2)，則4c=咫一久ilBC-172-711

22

■■AB=7AC2+BC2=V(x2-%i)+(y2-yi)

這就是兩點(diǎn)間的距離公式，例如E(O,1),￡)(4,0)

■■.ED=7(4-0)2+(0-1)2="6+1=V17

⑴根據(jù)上述材料，老師讓同學(xué)們求代數(shù)式J(12—x)2+9+不彳的最小值.

小明同學(xué)的思路是：如圖，J(12—幻2+9可以看成是點(diǎn)4(12,3)與點(diǎn)C(x,0)的距離,Vj西4可以看成是

點(diǎn)B(0,2)與點(diǎn)C(x,0)的距離.

請完成如下填空：

作點(diǎn)8關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)夕(,—),當(dāng)/、C、夕三點(diǎn)共線時(shí)4C+8C最小，連接4方，則4C+8C

的最小值等于,由兩點(diǎn)間的距離公式得,

.4(127)2+9+存工4的最小值是.

⑵借助上面的思考過程，畫圖說明并求出代數(shù)式：

①1(8—久)2+25+Vj區(qū)不I最小值.

②|J(8—久)2+25—石石1|的最大值.

3

【答案】(1)0,-2；13；13

(2)①1。②4西

【分析】本題考查的是軸對稱-最短路線問題，解答此題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題，學(xué)會用轉(zhuǎn)

化的思想解決問題.

(1)根據(jù)題目提供的思路解答即可；

(2)①按照(1)的思路解答即可；

②若C4CB/B不在同一條直線上可構(gòu)成一個(gè)三角形，則有|C4—CB|當(dāng)C4CB/B在同一條直線

上則有|C4-C8|=4B故可得結(jié)論

【詳解】([)解：如圖，JQ2—x)2+9可以看成是點(diǎn)4(12,3)與點(diǎn)C(x,0)的距離,后百可以看成是

點(diǎn)B(0,2)與點(diǎn)C(x,0)的距離.

作點(diǎn)8關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)方(0,—2),當(dāng)4C、用三點(diǎn)共線時(shí)力C+8C最小，連接則4C+8C的最

小值等于月方，由兩點(diǎn)間的距離公式得='(12—0)2+(3+2尸=13,

、/(12—嗎2+9+7x2+4的最小值是13.

故答案為：0,—2；13；13；

(2)解：①如圖，J(8—x)2+25可以看成是點(diǎn)4(8,5)與點(diǎn)C(x,0)的距離,Vj兩萬可以看成是點(diǎn)處0,1)

與點(diǎn)。(久,0)的距離.

作點(diǎn)2關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)夕(0,—1),當(dāng)/、C、夕三點(diǎn)共線時(shí)力C+BC最小，連接力用，貝U4C+BC的最

小值等于4斤,

4

由兩點(diǎn)間的距離公式得2夕=7(8-0)2+(5+I)2=10,

.-?7(8-%)2+25+7x2+1的最小值是10.

②|J(8—久—+25-石石刁表示|C4-CB\,

若點(diǎn)C不在直線AB上，則在△4BC中，^\CA-CB\<AB,

若點(diǎn)C在直線48上時(shí)，有|C4—C8|=A8,

故原代數(shù)式的最大值即為線段的長度，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C在直線4B上，

此時(shí)，AB=7(8-0)2+(5-1)2=4V5,

即|J(8—x)2+25-信不T|的最大值為4席

5.閱讀材料：

兩點(diǎn)間的距離公式：如果平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有兩點(diǎn)4(巧,月)、8(久2，、2)，那么從B兩點(diǎn)的距離4B=

2222

V(%i-x2)+(yi-y2)>貝!MB?=(%!-x2)+(月-72)?

例如：

若點(diǎn)4(4,1)以3,2),則4B=7(4-3)2+(1-2)2=V2,

若點(diǎn)4(a,l),B(3,2),且力8=魚，則(煙=(a—3尸+(1—2)2.

根據(jù)實(shí)數(shù)章節(jié)所學(xué)的開方運(yùn)算即可求出滿足條件的a的值.

根據(jù)上面材料完成下列各題：

(1)若點(diǎn)4(-2,3),B(m,2)

①若m=L貝必、B兩點(diǎn)間的距離是.

②)若AB||y軸，則4、B兩點(diǎn)間得距禺是.

(2)若點(diǎn)4(-2,3),點(diǎn)2在X軸上，且4、B兩點(diǎn)間的距離是5,求5點(diǎn)坐標(biāo).

【答案】⑴①VT5;②1

⑵8(—6,0)或B(2,0)

【分析】本題考查平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)，利用平方根解方程，實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，正確理解題意是

解題關(guān)鍵.

(1)①根據(jù)題目所給兩點(diǎn)間的距離公式求解即可.

②根據(jù)4811y軸，得出B(—2,2),即可求解；

5

(2)設(shè)B(nvi),根據(jù)點(diǎn)8的位置和題目所給點(diǎn)的兩點(diǎn)間距離公式列出方程，再根據(jù)開方運(yùn)算求解即可.

【詳解】(1)解:①?以(一2,3),B(l,2),

???AB=7(-2-1)2+(3-2)2=V10,

故答案為：Vio；

②???4B平行y軸，

2),

則力B=1；

(2)解：設(shè)

??,點(diǎn)B在軸上，

n=0,

???4(一2,3),且4、B兩點(diǎn)間的距離是5,

52=(-2-m)2+(3-0)2,

整理得(一2—巾)2=16,

-±V16=±4,

??-—2—m=4或—2—m=—4,

??-m——6或m=2,

；.B(—6,0)或B(2,0).

【題型2求平面直角坐標(biāo)系中動點(diǎn)問題的面積】

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知4(a,0),其中a,b滿足+2+(b—2尸=0.

(1)填空：a=,b=；

⑵如果在第三象限內(nèi)有一點(diǎn)M(—3,m),請用含機(jī)的式子表示的面積；

⑶在(2)的條件下，當(dāng)機(jī)=—3時(shí)，在y軸上有一點(diǎn)尸，使得AABP的面積是的面積的2倍,

請求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

6

【答案】⑴—2,2

⑵S44BM=—2m

⑶(0,6)或(0,—6)

【分析】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、一元一次方程的應(yīng)用；

(1)根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解即可；

(2)首先求出AB=4,然后利用三角形的面積公式列式即可；

(3)設(shè)點(diǎn)P(0,k),則S》BP=2|/C|,然后根據(jù)aABP的面積是△力BM的面積的2倍，列方程求解即可.

【詳解】(1)解：—2)2=0,

a+2=0,b—2=0,

解得：a=—2,b=2,

故答案為：一2,2；

(2)解：由(1)知4(一2,0),8(2,0),

AB=2—(—2)=4,

又???點(diǎn)叭一3四)在第三象限，

.,.m<0,

=^AB-|m|=1x4x(-m)=-2m；

(3)解：設(shè)點(diǎn)P(0,k),貝USA4BP=9B-岡=Jx4x|母=2|k|,

當(dāng)m=—3時(shí),S^ABM=-2m=6,

由題意得：2\k\=2x6,

解得：k=±6,

???點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,6)或(0,—6).

7.已知在平面直角坐標(biāo)系中有點(diǎn)4(一2,1),8(3,1),C(2,3),。(-1,5).

7

6

5

4

3

2

-------------------Lo-------------------->

-6-5-4-3-2-1.]123456x

-2

-4

-5

-6

⑴在坐標(biāo)系內(nèi)描出△ABC的位置;

(2)求出△2CD的面積;

⑶在了軸上是否存在一點(diǎn)P使得以4B、P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積為10,若存在，請直接寫出點(diǎn)尸

的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

【答案】⑴見解析

(2)7

(3)P(0,5)或P(0,-3)

【分析】本題考查平面直角坐標(biāo)系點(diǎn)坐標(biāo)畫圖，求網(wǎng)格中三角形面積，利用面積求點(diǎn)坐標(biāo)等.

(1)根據(jù)題意在平面直角坐標(biāo)系中描出三個(gè)點(diǎn)力(一2,1),S(3,l),C(2,3),繼而得到答案；

(2)先在平面直角坐標(biāo)系中找出點(diǎn)。并順次連接得到△4CD,根據(jù)補(bǔ)全法求三角形面積公式即可；

(3)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,y),繼而利用面積公式列式繼而求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

【詳解】(1)解：根據(jù)題意在平面直角坐標(biāo)系中描出三個(gè)點(diǎn)4(—2,1),C(2,3),并順次連

接如下圖所示：

(2)解：:4(—2,1),C(2,3),0(-1,5),

??.在平面直角坐標(biāo)系中順次連接得到△2CD,

8

-^/\ACD=4x4—7；

(3)解：???以4B、P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積為10,

???點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(0,y),在平面直角坐標(biāo)系順次連接4B、P,

設(shè)力、B、P三點(diǎn)圍成的三角形高為九

?4△ABP—夕8-h—10,

-：AB=5,

.■.h=4,

???點(diǎn)P到直線28距離為/i,

當(dāng)點(diǎn)P在y軸正半軸上時(shí)，l+4=y,即P(0,5),

當(dāng)點(diǎn)P在y軸負(fù)半軸上時(shí),l-4=y,即P(0,—3),

???點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(0,5)或P(0,—3).

8.在平面直角坐標(biāo)系中，4(見0),C(瓦2),滿足+1)2+-3=0,過點(diǎn)。作CB1久軸于點(diǎn)反

9

(1)如圖1,連接ac,求三角形ABC的面積.

(2)如圖2,連接4C,若過點(diǎn)8作BDII4C交y軸于點(diǎn)。，且ZE,DE分別平分“48,乙ODB,求乙4ED?

⑶如圖3,過C作CD垂直于點(diǎn)。，連接2D,點(diǎn)尸從。點(diǎn)出發(fā)，沿"。C-CB"移動，若點(diǎn)尸的速度為每秒

1個(gè)單位長度，運(yùn)動時(shí)間，秒，當(dāng)P運(yùn)動到什么位置時(shí)，直線0P將四邊形A8CD面積分為3:11兩部分?

求出P的坐標(biāo)?

【答案］⑴4

(2)45°

⑶P&2)或P(3,l)

【分析】本題考查的是平行線的判定與性質(zhì)，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形面積，清晰的分類討論是解本

題的關(guān)鍵.

(1)由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)先求解a力的值，可得4B,C的坐標(biāo)，進(jìn)一步可得三角形的面積;

(2)過E作EFII4C,如圖2,證明B0I4CIIEF,可得43==Nl,Z4=jzODS=Z2,證明

4cAB+乙ODB=Z5+Z6=180°-90°=90°,從而可得結(jié)論；

(3)當(dāng)尸在DC時(shí)，如圖①，貝i」P(t,2),由題意得S四邊形4OPD=NF=2X：X(3+4)X2,當(dāng)P在BC

上時(shí)，P(3,5—t),如圖②，S三角形OBP=^F=^x：x(3+4)x2,再解方程可得答案;

【詳解】(1)解：?；(￡!++也―3=0,

：.a+1=0,b—3=0,

.,.a=—1,b=3,

,：CB1AB,

???4(-1,0),8(3,0),C(3,2),

.??三角形ABC的面積=1x2x4=4；

(2)解:過E作EFII4C,如圖2,

10

■：BD\\AC,

■,BDWACWEF,

如圖所示，

■：AE,DE分另平分NC48,Z.ODB,

.-.z3=、CAB=zl,z4=l^ODB=z2,

,:CB1%軸,

：.2LCBA=90°,

???CB||y軸，BD\\ACf

：.Z-CAB=z5,Z-ODB=z6,

即NG48+乙ODB=Z5+Z6=180°-90°=90°,

i

.■./-AED=N1+42=-{/.CAB+4ODB)=45°.

(3)解：當(dāng)尸在DC時(shí),如圖①，則P(t,2),

叫

圖①

由題意得

c2(t+l)31。

S四邊形oz尸。=-2—=IjX]X(3+4)x2,

解得t=

即P0,2).

當(dāng)尸在BC上時(shí)，P(3,5—t),如圖②，

11

D

AO

圖②

由題意得

c3(5-t)31，、r

S三角形OBP=12—=五乂5*(3+4)*2,

解得t=4,

：.BP=5-4=1,

即P(3,l),

綜上，P9，2)或P(3，l).

9.如圖，已知4(一4,0),5(4,0),

(1)求四邊形4BCD的面積;

(2)在y軸上存在一點(diǎn)尸，使三角形4PB的面積等于四邊形4BCD面積的一半，求尸點(diǎn)的坐標(biāo).

【答案】(1)20

⑵尸點(diǎn)的坐標(biāo)(0,2.5)或(0,—2.5).

【分析】此題主要考查了多邊形面積及坐標(biāo)系的基礎(chǔ)知識，解題關(guān)鍵是熟練掌握基礎(chǔ)圖形面積公式.

(1)觀察圖形，用分割法求解，分別過C、D兩點(diǎn)作x軸的垂線，將圖形分割為兩個(gè)直角三角形和一個(gè)直

角梯形，再根據(jù)直角三角形和直角梯形的面積公式求面積和即可；

(2)P點(diǎn)的縱坐標(biāo)到原點(diǎn)的距離就是aAPB的2B邊上的高，根據(jù)(1)P點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，再根據(jù)P點(diǎn)分

別在y軸正負(fù)半軸，寫出p點(diǎn)的坐標(biāo)即可.

【詳解】(1)解：分別過C、。兩點(diǎn)作x軸的垂線，垂足分別為E、F,如下圖：

12

???4(—4,0),8(4,0),C(3,2),。(-2,4),

：.AF=2,OF=2,OE=3,BE=1,CE=2,

COFE

貝US四邊形43co=^AADF+S梯形+S^BCE

111

=-x4x2+-x(2+4)x5+-xlx2

=44-15+1

=20；

(2)解：設(shè)△APB的AB邊上的JWJ為/i,由S&4PB=萬xS四邊形ARC。，

i-1

得：-x(4+4)xh=-x20,

解得h=2.5,

又「P點(diǎn)在y軸上，

■.P點(diǎn)的坐標(biāo)(0,2.5)或(0,—2.5).

10.如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知力(一1,2),B(l,—2),C(4,0),線段力B經(jīng)過原點(diǎn)O.

①求△ABC的面積；

(2)在x軸上是否存在一點(diǎn)。，使SOCO=SOBC，如果存在，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)，如果不存在說明理由.

【答案】⑴8

(2)(—4,0)或(12,0)

【分析】本題考查了求平面直角坐標(biāo)系中三角形的面積；

13

(1)由S/V1BC=S4ozc+S/^OBC,即可求解；

1

(2)設(shè)。(m,0),由三角形面積得引血一引x2=8,即可求解;

能根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)表示出三角形面積是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：由題意得

SMBC=S/^OAC+SAOBC

11

=-x4x2+-x4x2

=8；

(2)解：設(shè)。(m,0),

???||m—4|X2=8,

解得：m=—4或m=12,

。的坐標(biāo)為(一4,0)或(12,0).

【題型3平面直角坐標(biāo)系中規(guī)律題探究】

11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，每個(gè)最小方格的邊長均為1個(gè)單位長，Pi，P2,「3,…，均在格點(diǎn)上,

其順序按圖中"-"方向排列，如：Pi(。，0),P2(0,1),P3(l,1),P4(l,-1),P5(-l,-1),P6(-I

,2)…根據(jù)這個(gè)規(guī)律，點(diǎn)P2019的坐標(biāo)為(

P14.

81

■>

X

Pn

A.(-505,505)B.(505,-505)C.(505,-506)D.(505,505)

【答案】D

【分析】本題考查了規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)前幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，總結(jié)出規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)各個(gè)點(diǎn)的位置關(guān)系，可得出從。3(1，1)開始，下標(biāo)為4的倍數(shù)的點(diǎn)在第四象限的角平分線上，被4

除余1的點(diǎn)在第三象限的角平分線上，被4除余2的點(diǎn)在第二象限的角平分線上，被4除余3的點(diǎn)在

14

第一象限的角平分線上，所以點(diǎn)02019的在第四象限的角平分線上，然后根據(jù)規(guī)律求解即可.

【詳解】解：?41(0,0)島(0,1)島(1,1)典(1,—1)島(-1,-1),6(-1,2),...,

???從P3(l，l)開始，p4M，—①在第四象限的角平分線上，P4n+1(—%—九)在第三象限的角平分線上，

p4n+2(-n,n+1)在第二象限的角平分線上，P4n+3(n+l,n+1)在第一象限的角平分線上，

???2019=4x504+3,

???點(diǎn)「2019的在第一象限的角平分線上，n=504,

???點(diǎn)22019坐標(biāo)為(505,505)

故選D.

12.如圖，動點(diǎn)尸在平面直角坐標(biāo)系中按圖中箭頭所示方向運(yùn)動，第一次從原點(diǎn)。運(yùn)動到點(diǎn)Pi(l,2),第二

次運(yùn)動到點(diǎn)P2(2,。)，第三次運(yùn)動到％(3,-1),…，按這樣的運(yùn)動規(guī)律，第23次運(yùn)動后，動點(diǎn)「23的縱坐

【答案】C

【分析】本題考查了規(guī)律型點(diǎn)的坐標(biāo)，數(shù)形結(jié)合并從圖象中發(fā)現(xiàn)循環(huán)規(guī)律：縱坐標(biāo)每6次運(yùn)動組成一

個(gè)循環(huán)是解題的關(guān)鍵.

由圖得點(diǎn)的縱坐標(biāo)變化每6次一循環(huán)，23+6=3….5,點(diǎn)P23的縱坐標(biāo)為符合第5個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1.

【詳解】解：由圖得，點(diǎn)每運(yùn)動一次橫坐標(biāo)就增加1,

二。23的橫坐標(biāo)為23,

點(diǎn)的縱坐標(biāo)變化每6次一循環(huán)，

23+6=3….5,

.??點(diǎn)223的縱坐標(biāo)為L

故選：C.

15

13.在一單位為1的方格紙上，有一列點(diǎn)21H2/3,…(其中"為正整數(shù))均為網(wǎng)格上的格點(diǎn)，按如圖

所示規(guī)律排列，點(diǎn)41(2,0)4(1,—1)4(0,0)4(2,2),……，則42024的坐標(biāo)為()

A.(-1010,0)B.(2,1012)C.(1012,2)D.(1014,0)

【答案】B

【分析】本題考查了坐標(biāo)的規(guī)律探索，根據(jù)直角坐標(biāo)系得出坐標(biāo)的規(guī)律是解題關(guān)鍵.觀察坐標(biāo)系發(fā)現(xiàn)

44n(2,2n)，即可得到^2024的坐標(biāo).

【詳解】解：由直角坐標(biāo)系可知，44(2,2),48(2,4),A12(2,6),

以此類推可知44n(2,2n),

2024=4x506,

??S2024的坐標(biāo)為(2,506x2),即(2,1012).

故選：B.

14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一動點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，沿著箭頭所示方向，每次移動1個(gè)單位，依次得到

點(diǎn)「1(1,0)12(1,1)島(0,1)，4(0,2)島(1,2)，...,根據(jù)這個(gè)規(guī)律，點(diǎn)。28的坐標(biāo)為()

斗

P4fp5

尸3~；\P2

---------------——-----------------?

0PlX

A.(0,14)B.(1,7)C.(0,8)D.(1,8)

【答案】A

【分析】本題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律探索，根據(jù)題意可得規(guī)律每四次移到為一個(gè)循環(huán)，橫坐標(biāo)為1,

1,0,0依次出現(xiàn)，縱坐標(biāo)每2次移到增加1,據(jù)此規(guī)律求解即可.

【詳解】解：Pi(l,0),P2(l,l)?23(。,1)，P4(0,2),P5(l,2),......,

16

以此類推可知，每四次移到為一個(gè)循環(huán)，橫坐標(biāo)為1,1,0,0依次出現(xiàn)，縱坐標(biāo)每2次移到增加1,

???28+4=7,28+2=14,

.??點(diǎn)028的橫坐標(biāo)為0,縱坐標(biāo)為14,

二點(diǎn)228的坐標(biāo)為(0,14),

故選:A.

15.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，*軸負(fù)半軸上有一點(diǎn)做一1,0).點(diǎn)4第一次向上平移1個(gè)單位至點(diǎn)4式一1,1),

接著又向右平移1個(gè)單位至點(diǎn)42(0,1)，然后再向上平移1個(gè)單位至點(diǎn)43(0,2),向右平移1個(gè)單位至點(diǎn)

^4(1,2),…，照此規(guī)律平移下去，點(diǎn)出024的坐標(biāo)是()

->

AOX

A.(1010,1011)B.(1011,1012)

C.(1010,1012)D.(1011,1013)

【答案】B

【分析】本題考查點(diǎn)坐標(biāo)規(guī)律的應(yīng)用，熟練掌握類比法及點(diǎn)坐標(biāo)的基礎(chǔ)知識，是解題關(guān)鍵.

分別對點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的變化規(guī)律進(jìn)行探討，當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，一，亨)，當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，An

(C，即得.

【詳解】4(一1,0)，&(-1,1)，

&(0,1)，&(0,2),

4式1,2),4(1,3),

4(2,3),4(2,4),

48(3,4),人9(3,5),

...,

觀察發(fā)現(xiàn)，

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，力n(1,等)，

17

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，Ai(容,以，

???點(diǎn)42024的坐標(biāo)是(1011,1012).

故選：B.

16.如圖，點(diǎn)”在y軸正半軸及x軸正半軸上交替運(yùn)動，點(diǎn)/從原點(diǎn)出發(fā)，依次跳動至點(diǎn)公(0,1),4

(1,0),人3(2,0),4(0,2),4(0,3),4(3,0),(4,0),4(0,4),…,按此規(guī)律，則點(diǎn)『2024的坐標(biāo)是

()

A.(0,1011)B.(1011,0)C.(0,1012)D.(1012,0)

【答案】C

【分析】本題考查規(guī)律探索，根據(jù)已知的點(diǎn)坐標(biāo)，對點(diǎn)分組找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)已知點(diǎn)的坐標(biāo)特征，將連續(xù)的4個(gè)點(diǎn)看成一組，由第1組，第2組確定組內(nèi)點(diǎn)的位置特征、點(diǎn)坐

標(biāo)與組序數(shù)的聯(lián)系；以此類推，2023=4x505+3,故點(diǎn)人2024是第506組的第4個(gè)點(diǎn)，貝以2024在了

軸上，其非零坐標(biāo)即橫坐標(biāo)為2X506=1012.

【詳解】解：根據(jù)題意，將連續(xù)的4個(gè)點(diǎn)/看成一組，

第1組：公(0,1),42(1,0)，4(2,0),4(0,2),其位置分別為y軸、x軸、x軸、y軸，前兩個(gè)點(diǎn)的非零

坐標(biāo)為1,后兩個(gè)點(diǎn)的非零坐標(biāo)為2；其中，1=2x1—1,2=2x1；

第2組：人5(0,3)，46(3,0)，人7(4,0),48(0,4),其位置分別為y軸、x軸、x軸、y軸，前兩個(gè)點(diǎn)的非零

坐標(biāo)為3,后兩個(gè)點(diǎn)的非零坐標(biāo)為4；其中，3=2x2—1,4=2x2；

以此類推，2024=4x506,則點(diǎn)42024是第506組的第4個(gè)點(diǎn)，貝總2024在y軸上，其非零坐標(biāo)即橫坐

標(biāo)為1012,

故點(diǎn)42024的坐標(biāo)是(0,1。12),

故選：C.

17.如圖，在一個(gè)單位為1的方格紙上，△41424，力445，△人人出，是斜邊在X軸上，斜邊長分別

18

為2,4,6的等腰直角三角形.若△4遇24的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為41(2,0),X2(l,-1),43(0,0)，則依圖

中所示規(guī)律，^2024的橫坐標(biāo)為.

【答案】2

【分析】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律，由圖可得，當(dāng)n為4的倍數(shù)時(shí)，點(diǎn)4n在第一象限，且橫坐標(biāo)為

2,據(jù)此即可求解，根據(jù)圖形找到點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由圖形可知，當(dāng)n為4的倍數(shù)時(shí)，點(diǎn)4在第一象限，且橫坐標(biāo)為2,

???2024+4=506,

???點(diǎn)兒024的橫坐標(biāo)為2,

故答案為：2.

18.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，4(1,1),8(—1,1),C(-l,-2),0(1,-2).把一條長為2019個(gè)單

位長度且沒有彈性的細(xì)線(線的粗細(xì)忽略不計(jì))的一端固定在點(diǎn)/處，并按aTBrCTD7力T...的規(guī)律

緊繞在四邊形48CD的邊上，則細(xì)線另一端所在位置的點(diǎn)的坐標(biāo)是()

19

A.(1,0)B.(0,1)C.(0,-2)D.(1,-2)

【答案】A

【分析】本題考查的是坐標(biāo)規(guī)律的探究，先求解四邊形4BCD的周長為2Q4B+BC）=10.結(jié)合

2019-10=201……9,從而可得答案.

【詳解】解：???4(1,1),5(-1,1),C(—1,—2),￡>(1,-2),

：.AB—2,BC=3,

???四邊形4BCD的周長為2(AB+BC)=10.

???2019+10=201……9,

???細(xì)線另一端所在位置的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,0）.

故選A.

19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系上有點(diǎn)力點(diǎn)/第一次向左跳動至&（—1,0）,第二次向右跳動至公

（2,0）,第三次向左跳動至4（—2,1）,第四次向右跳動至4（3,1）...依照此規(guī)律跳動下去，點(diǎn)/第2021次

跳動至42021的坐標(biāo)（

A.(-1011,1010)

【答案】A

【分析】根據(jù)Ai（-1,0）即4i（-甘得）42（2,0）即-手■，彳今人3（-2,1）即公（一等1，羊）

4（3,1）即4（-（，等）…依照此規(guī)律跳動下去，當(dāng)"為奇數(shù)時(shí)4（-等,等），當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)4n

（-等,等），解答即可.

本題考查了坐標(biāo)的規(guī)律問題，正確發(fā)現(xiàn)坐標(biāo)與序號的規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：根據(jù)4（―1,0）即&（—理,9），4（2,0）即出（—竽,年），&（—2,1）即4

（-亨,空），阿孫即川-歲學(xué)…

依照此規(guī)律跳動下去，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)力n（—與，'i）,當(dāng)"為偶數(shù)時(shí)4n（—亨,等）,

20

2021是奇數(shù),

故點(diǎn)/第2021次跳動至42021的坐標(biāo)為42021(-3羅，空歲)即(—1011,1010).

故選A.

20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有若干個(gè)整數(shù)點(diǎn)，其順序按圖中"玲"方向排列，如(0,1),(—1,2),(0,2),(1,2)

,(2,3),(1,3),(0,3),......，根據(jù)這個(gè)規(guī)律探索可得第2024個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是()

A.(43,45)B.(44,45)

C.(-43,45)D.(-42,45)

【答案】C

【分析】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律探索，探索出點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律是解題的關(guān)鍵；按點(diǎn)的縱坐標(biāo)分類：縱

坐標(biāo)是1的點(diǎn)有1個(gè)，縱坐標(biāo)是2的點(diǎn)有3個(gè)，縱坐標(biāo)是3的點(diǎn)有5個(gè)，縱坐標(biāo)是4的點(diǎn)有7個(gè)...

一般地，縱坐標(biāo)為〃的點(diǎn)有(2n—1)個(gè)；考慮點(diǎn)排列方向：縱坐標(biāo)是1、3、5、7,.......點(diǎn)是從右往左

的方向，縱坐標(biāo)是2、4、6,......，點(diǎn)是從左往右排列的方向；而452=2025,當(dāng)縱坐標(biāo)是45時(shí)，這樣

的點(diǎn)共有89個(gè)，且點(diǎn)是從右往左方向，則可得第2024個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).

【詳解】解：縱坐標(biāo)是1的點(diǎn)有1個(gè)，縱坐標(biāo)是2的點(diǎn)有3個(gè)，縱坐標(biāo)是3的點(diǎn)有5個(gè)，縱坐標(biāo)是4

的點(diǎn)有7個(gè)，......，一般地，縱坐標(biāo)為n的點(diǎn)有(2n—1)個(gè)，且這"個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)從左往右依次是

—71+1,—n+2,…1,0,1,…刀一1；考慮點(diǎn)排列方向：縱坐標(biāo)是1、3、5、7,......,點(diǎn)是從右往左的方

向，縱坐標(biāo)是2、4、6,......，點(diǎn)是從左往右排列的方向；

???452=2025,當(dāng)縱坐標(biāo)是45時(shí)，這樣的點(diǎn)共有89個(gè)，且點(diǎn)是從右往左方向,

???最左邊的點(diǎn)坐標(biāo)為(-44,45),即第2025個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，

第2024個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為(-43,45).

故選：C.

21.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一點(diǎn)自Po(l,O)處向上運(yùn)動1個(gè)單位長度至尸1(1,1)，然后向左運(yùn)動2個(gè)單

位長度至P2處，再向下運(yùn)動3個(gè)單位長度至P3處，再向右運(yùn)動4個(gè)單位長度至P4處，再向上運(yùn)動5個(gè)

21

單位長度至P5處，…，按此規(guī)律繼續(xù)運(yùn)動，貝行2024的坐標(biāo)是（

A.(-1011,-1012)B.(1013,-1012)C.(-1011,1012)D.(1013,1012)

【答案】B

【分析】本題考查坐標(biāo)系下點(diǎn)的規(guī)律探究.解題的關(guān)鍵是找到點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的數(shù)字規(guī)律.

先確定點(diǎn)P2024在第三象限，根據(jù)第三象限各點(diǎn)橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的數(shù)據(jù)得出規(guī)律P2nO+L—幾），進(jìn)而

得出答案即可.

【詳解】解:?■?2024-4=506,則「2024在第四象限,

由題意，第四象限的點(diǎn)為24（3,—2）,P8（5,—4）,.....,P2n（jl+1,—H）

???02024（1013,-1012）.

故選：B.

22.平面直角坐標(biāo)系中有若干點(diǎn)，按照如圖所示的方式排列，其坐標(biāo)依次為41（1,0）,42（1,1），人3（—1,1），

44（—1,—1），45（2,—1）,…按此規(guī)律，點(diǎn)22024的坐標(biāo)為（）

A.(-505,-505)B.(-505,506)C.(-506,-506)D.(507,-506)

【答案】C

【分析】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)正方形為單位格點(diǎn)變化規(guī)律，反應(yīng)出點(diǎn)的坐標(biāo)變化從特殊到一般再到特

殊規(guī)律計(jì)算方法，同時(shí)也體現(xiàn)出第三象限點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)數(shù)字隱含規(guī)律：點(diǎn)的坐標(biāo)=—9（〃為角標(biāo)）求

22

解.

根據(jù)每四個(gè)象限循環(huán)一周找到角標(biāo)與坐標(biāo)之間變化規(guī)律即可解題.

【詳解】解：由題可知第一象限的點(diǎn)：A2,A6,A10,……角標(biāo)除以4余數(shù)為2；

第二象限的點(diǎn):4,A7,a.......角標(biāo)除以4余數(shù)為3；

第三象限的點(diǎn):A4,A8,A12......角標(biāo)除以4余數(shù)為0；

第四象限的點(diǎn)：砥A……角標(biāo)除以4余數(shù)為1；

A9,13

由上規(guī)律可知:20244-4=506...0,

二點(diǎn)42024在第三象限.

觀察圖形，得：點(diǎn)44的坐標(biāo)為(一L—1)，點(diǎn)48的坐標(biāo)為(一2,—2),點(diǎn)A12的坐標(biāo)為

(—3,—3),..)

??.第三象限點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)數(shù)字規(guī)律：點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)一?("為角標(biāo))

二點(diǎn)42024的坐標(biāo)為(—506,—506).

故選：C.

23.將從1開始的連續(xù)自然數(shù)按以下規(guī)律排列：

第1行1

第2行234

第3行56789

第4行10111213141516

第5行171819202122232425

若有序數(shù)對(n,m)表示第n行，從左到右第爪個(gè)數(shù)，如(3,2)表示6,則252表示的有序數(shù)對是()

A.(14,16)B.(14,24)C.(16,27)D.(16,29)

【答案】C

【分析】本題考查數(shù)字規(guī)律的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)字規(guī)律的相關(guān)性質(zhì).分析每一行的第一

個(gè)數(shù)字的規(guī)律，得出第九行的第一個(gè)數(shù)字為1+0—1尸，從而求得最終的答案.

【詳解】第1行的第一個(gè)數(shù)字：1=1+(1—1)2

第2行的第一個(gè)數(shù)字：2=1+(2—1)2

第3行的第一個(gè)數(shù)字：5=1+(3-I)2

第4行的第一個(gè)數(shù)字：10=1+(4—

第5行的第一個(gè)數(shù)字：17=1+(5—I)2

23

設(shè)第n行的第一個(gè)數(shù)字為久，得x=1+5—I)2

設(shè)第n+1行的第一個(gè)數(shù)字為z,得Z=1+T?2

設(shè)第〃行，從左到右第加個(gè)數(shù)為y

當(dāng)y=252時(shí)

1+(n-I)2<252<1+n2

.-.(n-1)2<251<n2

,R為整數(shù)

，n=16

.-.%=1+(n—l)2=226

???m=252—226+1=27,

???252表示的有序數(shù)對是(16,27)

故選：C.

24.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，動點(diǎn)/從(1,0)出發(fā)，向上運(yùn)動1個(gè)單位長度到達(dá)點(diǎn)3(1,1),分裂為

兩個(gè)點(diǎn)，分別向左、右運(yùn)動到點(diǎn)。(0,2),D(2,2),此時(shí)稱動點(diǎn)/完成第一次跳躍；再分別從C,D

點(diǎn)出發(fā)，每個(gè)點(diǎn)重復(fù)上面的運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)G(—1,4),4),/(3,4),此時(shí)稱動點(diǎn)/完成第二次

跳躍；依此規(guī)律跳躍下去，動點(diǎn)/完成第2023次跳躍時(shí)，最右邊一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是()

C.(2024,4046)D.(2024,22023)

【答案】C

【分析】

根據(jù)題意找到點(diǎn)坐標(biāo)變化的規(guī)律即可.

24

【詳解】

解：由題意可得：/(1,0)、D(2,2)、/(3,4)...

每完成一次跳躍，最右邊一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)增加2,到達(dá)點(diǎn)的橫坐標(biāo)增加1,

則動點(diǎn)/完成第2023次跳躍時(shí)，最右邊一個(gè)點(diǎn)縱坐標(biāo)為2023X2=4046,橫坐標(biāo)為：

2023+1=2024

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了點(diǎn)坐標(biāo)規(guī)律的探索.根據(jù)題意尋找變化規(guī)律是解題關(guān)鍵.

【題型4等腰三角形個(gè)數(shù)討論問題】

25.在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)4(—4,4—5砌位于第二象限，點(diǎn)8(—4,—a—1)位于第三象

限，且a為整數(shù).

(1)求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo).

(2)若點(diǎn)C(a,0)為x軸上一點(diǎn)，且△4BC是以BC為底的等腰三角形，求m的值.

【答案】(1)4(一4,4),8(—4,一1)；(2)瓶=-7或一1

【分析】(1)根據(jù)點(diǎn)A位于第二象限，點(diǎn)B位于第三象限，可得到再根據(jù)a為整數(shù),

求解即可；

(2)根據(jù)題干可知力設(shè)垂足為D,利用勾股定理可求得CD,進(jìn)而可求出m的值.

【詳解】解：⑴由題意得｛露?：/，

4

解得-1VaV1

??,a為整數(shù),

.0.a=0,

???/(—4,4)以一4,一1)；

(2)由題意知，481%軸，假設(shè)點(diǎn)C(m,0)位置如圖，Z81%交x軸于點(diǎn)D,

25

??.D(-4,0),

■.■△ABC是以BC為底的等腰三角形，

-，AC=AB=5,AD=4,

.■.CD=y/AC^-AD^=3,

■-CD=3=|m+4|,

■■-m=-7或—1.

【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)及絕對值的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是

綜合運(yùn)用相關(guān)知識解題.

26.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，A,B在x軸上，C在y軸上，BC2+CO2=AC2.

(1)求證：AO=BC；

(2)如圖2,若點(diǎn)4(—5,0),C(0,4),現(xiàn)有一個(gè)動點(diǎn)P從點(diǎn)力出發(fā)，沿著x軸正方向運(yùn)動，連結(jié)PC,當(dāng)/PCB

為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)如圖3,若AB=4C,點(diǎn)B(8一1,0),過。作。E〃BC交力C于E,求。E的長.

【答案】(1)詳見解析；(2)滿足條件的點(diǎn)P有四個(gè)，分別為：(—2,0),(8,0),(-3,0),(-^,0);

(3)OE