2024-2025學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)期中模擬數(shù)學(xué)試卷1（含答案）

2024-2025高二上期中模擬檢測(cè)一（2019人教A版）

檢測(cè)范圍：選擇性必修一第一章、第二章、第三章

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1.（24-25高二上?山東濰坊?開(kāi)學(xué)考試）如圖所示，在四面體/一BCD中，點(diǎn)E是CD的中

點(diǎn)，記冠="AC=b,AD=c,則屜等于（）

2.（22-23高二下?吉林長(zhǎng)春?開(kāi)學(xué)考試）不論左為任何實(shí)數(shù)，直線

（2"-1）》-（4+3）＞-（4-11）=0恒過(guò)定點(diǎn)，則這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

A.（々3）B.（2,3）c.（2,一3）Q（一2,-3）

土+2=1

3.（2022高三?全國(guó)?專題練習(xí)）設(shè)耳月是橢圓1224的兩個(gè)焦點(diǎn),尸是橢圓上一點(diǎn),

￡

COS^FPF

X23.則罵的面積為（

且

A.6B.6叵C.8D,872

4.（23-24高二下?江蘇常州?期中）己知"=（2，T3）,彼=（-4,%2）,且?。ā?3）,則

＞的值為（）

A.6B.10C.12D.14

5.（22-23高二下廣東深圳?期中）點(diǎn)0°⑼，點(diǎn)。是圓入丁=4上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則線段

「°的中點(diǎn)M的軌跡方程是（）

22

E:=-4=l（a>0,6>0）

6.（23-24高三上?湖北武漢?階段練習(xí)）過(guò)雙曲線。/的左焦點(diǎn)尸作

2.22

x+y=a的一條切線，設(shè)切點(diǎn)為T(mén),該切線與雙曲線￡在第一象限交于點(diǎn)/,若

市=3西，則雙曲線￡的離心率為（）

V13V15

A.也B.^5C.2D.2

7.（23-24高三上?北京海淀?期末）己知圓C：x2+2x+y2_l=0,直線加、+"（了-1）=°與圓

C交于A,B兩點(diǎn).若為直角三角形，則（）

A.mn=0B.加—〃=0

C.m+n=0D.—3n2=0

y=—x2

8.（23-24高三下?山東荷澤?階段練習(xí)）已知拋物線0的方程為4,廠為其焦點(diǎn)，點(diǎn)

N坐標(biāo)為（°，—4）,過(guò)點(diǎn)尸作直線交拋物線C于A、B兩點(diǎn)，。是x軸上一點(diǎn)，且滿足

[N|=\DB\=叫，則直線AB的斜率為（）

+巫+Vii

A.12B.一2C.土桓D.±6

二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，

有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得

0分）

9.（24-25高二上?浙江臺(tái)州?開(kāi)學(xué)考試）如圖所示，在棱長(zhǎng)為1的正四面體ABC。中，

E,尸分別是ND的中點(diǎn)，則下列計(jì)算結(jié)果正確的是（）

A

BD

C

—?—?1

EFBA=~EF,BD=—

A.4B.2

EFDC=--ABCD=-

C.4D.2

10.（23-24高二下?山西運(yùn)城?開(kāi)學(xué)考試）下列說(shuō)法正確的是（）

~兀［「3兀）

A.直線xsme+y+2=°的傾斜角。的取值范圍是14」14J

B."。=-1"是"直線/x-N+l=°與直線x-0-2=°互相垂直”的充要條件

C.兩個(gè)非零向量與任何一個(gè)向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則這兩個(gè)向量共線

D,已知向量”（％4T）,"=（1,2,2）,則。在B上的投影向量為。，2,2）

11.（23-24高三上?河北滄州?階段練習(xí)）已知橢圓,2+加?一的焦點(diǎn)分別為月（0,2）,

《（°廠2）,設(shè)直線/與橢圓C交于乂N兩點(diǎn)，且點(diǎn)（牙力為線段"N的中點(diǎn)，則下列

說(shuō)法正確的是（）

V3

A.機(jī)2=6B.橢圓C的離心率為3

C,直線/的方程為-+'-2=°D.AGMN的周長(zhǎng)為40

三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在題中的橫線

±）

12.（22-23高三下?湖北?階段練習(xí)）已知拋物線V=2px（p>0）的焦點(diǎn)為尸，過(guò)點(diǎn)尸的直

線與該拋物線交于43兩點(diǎn)，以同=5a,/'的中點(diǎn)縱坐標(biāo)為正，則°=.

13.（2024,浙江?二模）如圖為世界名畫(huà)《星月夜》，在這幅畫(huà)中，文森特?梵高用夸張的手

法，生動(dòng)地描繪了充滿運(yùn)動(dòng)和變化的星空.假設(shè)月亮可看作半徑為1的圓。的一段圓弧E,

4兀

且弧E所對(duì)的圓心角為了.設(shè)圓C的圓心C在點(diǎn)。與弧￡中點(diǎn)的連線所在直線上.若存在圓

C滿足：弧E上存在四點(diǎn)滿足過(guò)這四點(diǎn)作圓。的切線，這四條切線與圓C也相切，則弧

E上的點(diǎn)與圓C上的點(diǎn)的最短距離的取值范圍為.（參考數(shù)據(jù)：

14.（22-23高二下?江蘇連云港?階段練習(xí)）如圖，在四棱錐尸一/BCD中，已知尸N_L平面

71

ABCD,且四邊形NBC。為直角梯形，ZABC=ABAD=2-,PA…=AD=6k4B=BC=1.

點(diǎn)°是線段3P上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線CQ與。尸所成的角最小時(shí)，則線段2。的長(zhǎng)為

四、解答題（本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演

算步驟）

15.（13分）（2021?浙江?高考真題）如圖，在四棱錐尸-23。中，底面/8CZ）是平行四

邊形，/4BC=12V,4B=1,BC=4,P4=屈,跖N分別為2cpe的中點(diǎn)，

PD±DC,PM1,MD

（1）證明：AB1PM.

（2）求直線/N與平面POM所成角的正弦值.

22

上一匕=1

16.（15分）（23-24高二上?廣東東莞?期中）已知雙曲線/b2的漸近線方程為1=±"

且點(diǎn)M（2,l）在該雙曲線上.

⑴求雙曲線C方程;

（2）若點(diǎn)片，外分別是雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，且雙曲線C上一點(diǎn)尸滿足出,尸乙，求

“尸耳鳥(niǎo)的面積.

17.（15分）（23-24高二上?浙江金華?階段練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)尸與兩個(gè)定點(diǎn)"（1'°）,

8（4°）的距離的比是2.

⑴求動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡C的方程；

（2）直線/過(guò)點(diǎn)（2」），且被曲線C截得的弦長(zhǎng)為26，求直線/的方程.

18.（17分）（2023,江蘇徐州?模擬預(yù)測(cè)）在三棱臺(tái)/3C-DE/中，G為NC中點(diǎn)，

AC=2DF,ABLBC9BC工CF.

⑴求證：平面QEG；

71

⑵若4B=BC=2,CFLAB,平面即G與平面/CFD所成二面角大小為3,求三棱錐

E-ZW的體積.

19.（17分）（2024,山東青島?一模）已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)少為。°：一+「=4和

0M的公共點(diǎn)，OM-OW=^,°”與直線"2=0相切，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為C.

⑴求C的方程；

⑵若"＞機(jī)＞0,直線/—7一"=0與C交于點(diǎn)N,B,直線4：x-y-"=°與c交于點(diǎn)H,

B',點(diǎn)、A,H在第一象限，記直線與88'的交點(diǎn)為G,直線與A4'的交點(diǎn)為〃，線

段N5的中點(diǎn)為￡

①證明：G,E,"三點(diǎn)共線；

②若（，"+1）+〃=7,過(guò)點(diǎn)〃作4的平行線，分別交線段44',BB'于點(diǎn)T,T',求四邊形

GTE7'面積的最大值.

參考答案:

題號(hào)12345678910

答案ABBCACABABCACD

題號(hào)11

答案AC

1.A

【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算，用基底表示向量.

【詳解】連接4區(qū)如圖所示,

A

AD

C

AC=b,AD=c,+

???￡是CD的中點(diǎn)，=

在中，BE=BA+AE=-AB+AE,又AB=G,

B―E?=-a+1-/(一b+c、)=-a+一-b+-1c

...2V722

故選：A.

2.B

【分析】直線方程即“(2x+1T)+(f+3y+ll)=0,一定經(jīng)過(guò)2x-y-1=0和T-3y+U=0

的交點(diǎn)，聯(lián)立方程組可求定點(diǎn)的坐標(biāo).

［詳解］直線Q左T)x-(左+3)y-(左-11)=0

即k(2x—y—1)+(—%—3y+11)=0

(2x-y-l=0fx=2

根據(jù)k的任意性可得If-3y+11=0,解得U=3,

???不論左取什么實(shí)數(shù)時(shí)，直線(2"Dx+/+?-(%TD=0都經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)(2,3).

故選：B

3.B

【分析】利用橢圓的幾何性質(zhì),得到附1+1%=2。=4&，閨月|=2c=4g,進(jìn)而利用

…和=得出M.附?=18,進(jìn)而可求出“PF用

22

上+匕=122

【詳解】解：由橢圓1224的方程可得°=246=12

所以c?=/-62=12,得a=2瓜c=2#!

且|尸耳|+|尸￡|=2a=4&內(nèi)閭=2C=4G

在A尸耳耳中，由余弦定理可得

|列訐+|尸初2一1百百2”幣+產(chǎn)百）2一2|尸印|「月|一|甲寸

cosZFPF=

{22|尸號(hào)|尸居|21Pzn

_4/-402一2|郎||產(chǎn)工|_462-21尸大||P"|_4xl2-2|尸耳|此|

2|岬「引2|尸修|尸居|2|尸耳|]附|

cosZFPR=-附”*=18,

而3,所以,

cos/F]PF,=-sinZ^P/^=—

又因?yàn)椋?3,所以3

所以S"大月=三尸周|尸7訃sin4；%=1x18x^1=672

23

故選：B

4.C

【分析】根據(jù)空間向量坐標(biāo)運(yùn)算以及空間向量垂直的坐標(biāo)表示可以計(jì)算得到答案.

【詳解】因?yàn)樗允?3）=（2,一1,3）.（2一4,T+y,3+2）=一4+17+15=0,

解得＞=12,

故選：C.

5.A

【分析】設(shè)出點(diǎn)河坐標(biāo)，得出0點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓方程，即可得到線段尸。的中點(diǎn)/的軌跡

方程.

【詳解】設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為屈（龍/）,因?yàn)镸點(diǎn)是線段「°的中點(diǎn),

可得0（21,2/）,點(diǎn)0在圓上，

則（21）2+（2?=4,J'"]+j2=1.

故選：A.

6.C

【分析】取線段NT中點(diǎn)，根據(jù)給定條件，結(jié)合雙曲線定義及直角三角形勾股定理求解作

答.

【詳解】令雙曲線￡的右焦點(diǎn)為尸，半焦距為c,取線段月T中點(diǎn)連接

因?yàn)镋4切圓x、/=/于？，則OT_LE4,有|尸71=，|OP）一|07『=g-a?=b,

因?yàn)槌?3萬(wàn)，則有|加1|=也7H41=6,MkH/B-2a=3b-2a,

而。為尸F(xiàn)的中點(diǎn)，于是FH//OT,即尸，\F'M\=2\OT\=2a；

b__3

在Rt”尸W中，（2a>+/=（36-20）-,整理得02,

e，=一而

所以雙曲線E的離心率a\a22

故選：C

7.A

【分析】由直線與圓相交的弦長(zhǎng)公式M卻=2后二戶進(jìn)行求解即可.

【詳解】因?yàn)閳AC：X2+2X+/_1=O,圓心為C（T，°）,半徑為廠=也，即

|C^|=|CS|=V2

因?yàn)闉橹苯侨切危匝踻=如城+?2=2,

d|-m-?||m+w|

設(shè)圓心C（T°）到直線s+"GT）=°的距離為d,J療+〃2Vm2+n2

n___卜+H_i

由弦長(zhǎng)公式.同=242-/得,=1,所以‘蘇+"2，化簡(jiǎn)得機(jī)”=0

故選：A.

8.B

［分析］設(shè)必），以叼，巧），。（。，°）,直線方程為廣丘+1,聯(lián)立直線與拋物線方

程，消元,得到中2=g再由=|。回=|ZW|=+4?,可得4（勺必），8（叼,為）是方

程一+/一2辦一16=0的解，將,二h+1代入方程，由玉％=-4求出七

［詳解］設(shè)8（和）2）,。（凡0）,直線方程為、=依+1,

y=kx+\

<12

y=-x

聯(lián)立直線與拋物線方程14,可得產(chǎn)-4履-4=0,

顯然A>°,所以再％=-4.

又|。/|=\DB\=QN|=Va2+42，即+y；=J（%-a］+外=Va2+42

即xf+yf—2axi-16=02ax2_16=0

故4（%1，為），鞏工2必）是方程/+/-2辦-16=0的解，

將了=履+1代入方程/+9-2辦-16=0,

整理得（1+42卜+（2"2a）x-15=0,顯然4>o,

故選：B.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下:

（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（/，%）、（“2，丫2）；

（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于x（或》）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算△；

（3）列出韋達(dá)定理；

（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為王+無(wú)2、%馬的形式；

（5）代入韋達(dá)定理求解.

9.ABC

【分析】利用向量數(shù)量積的定義分別求解即可.

-"1->

EF=-BD

【詳解】因?yàn)镋,尸分別是4。的中點(diǎn)，所以2,

EF-A4=-5D-A4=-lfiz5l|A4|cos5Z）,A4=-xcos600=-

所以22lII?24,A正確；

麗?麗」麗.麗=』而

22112,B正確；

EFDC=-BD-DC=-\RD\\DC\-COSBD-DC=-xcosl20°=--

22lH?24,c正確；

ZB-CD=Z8-（ZD-l4C）=AB-ZD-AB-^C=|I8||AD|COSZB,ZD-|ZB||^C|.COSZB,^C=

cos600-cos60°=0,D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

10.ACD

【分析】利用直線的傾斜角與斜率的關(guān)系及三角函數(shù)的性質(zhì)即可判斷A選項(xiàng)，利用兩直線

的垂直及充要條件的定義即可判斷B選項(xiàng)，利用空間向量的基本定理可判斷C選項(xiàng)；利用

投影向量的定義可判斷D選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，直線、sina+y+2=°的傾斜角為°,則tan0=-sina,因?yàn)?/p>

「兀［「3兀）

-l<sina<l,所以TWtanOWl,所以L4」14九故A正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)橹本€/x7+l=°與直線x-今-2=°互相垂直，所以

2

axl+（-l）x（-a）=0；即02+”0,解得a=0或"-1,所以"a=-1"是"°=0或"-1”

的充分不必要條件，所以是"直線"與-了+1=°與直線尤-即-2=°互相垂直”的充

分不必要條件，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)，若兩個(gè)非零向量與任何一個(gè)向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，不妨設(shè)這兩個(gè)

非零向量不共線，設(shè)這兩個(gè)非零向量為,石，由空間向量的基本定理可知，在空間中必存

在非零向量、使得干為空間的一個(gè)基底，假設(shè)不成立，故這兩個(gè)非零向量共線，故

C正確;

對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)橄蛄浚?,4,-4）3=（1,2,2）,所以￡在B上的投影向量為

a-bb=邸八）22）=（1，2,2）

|5|cos5,6~=\a\

同I斗網(wǎng)

故D正確.

故選：ACD.

11.AC

【分析】先由題意求出/即可判斷A；再根據(jù)離心率公式即可判斷B；由點(diǎn)差法可以求出

直線/的斜率，由直線的點(diǎn)斜式化簡(jiǎn)即可判斷C；由焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)公式即可判斷D.

【詳解】如圖所示:

根據(jù)題意，因?yàn)榻裹c(diǎn)在y軸上，所以蘇-2=4,貝I]療=6,故選項(xiàng)A正確;

c2展

橢圓C的離心率為。瓜3,故選項(xiàng)B不正確；

2222

,、,、江+21=1三+二=1

不妨設(shè)亂（西/1）山（無(wú)2，%）,則26,26,

a+Xzgf）=_（必+%）（%一%）2LZA=_3義現(xiàn)+苫2

兩式相減得2一6，變形得再一馬必+%,

x{+x21

X

xt+x2=2=P=2=]

尸化「|M+力乂+%yP1

又注意到點(diǎn)122J為線段MN的中點(diǎn)，所以22

^=AZA=_3X^±^._3X1=_3

所以直線/的斜率為網(wǎng)-馬必+%

y--=-3|x--|

所以直線/的方程為2I2人即3&+y-2=°,故選項(xiàng)c正確;

因?yàn)橹本€/過(guò)片，所以△鳥(niǎo)兒W的周長(zhǎng)為

F2M+F2N+MN=MM+國(guó)M）+MM+閨N|）=2。+2。=4。=,故選項(xiàng)口不正確.

故選：AC.

V2

12.2收或2

_￡

【分析】由題可設(shè)直線的方程為無(wú)一叼十萬(wàn)，/（再,必）,8區(qū)%）,與拋物線聯(lián)立可得

交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，根據(jù)相交弦長(zhǎng)公式及中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求得P的值.

2、（m尸（9°]x=my+—

【詳解】拋物線V=2"（p>0）的焦點(diǎn)12人設(shè)直線的方程為,2,

A（x,y）,B（x,y）

il22f

%+為=也

所以2,貝|必+8=212,

P

x=my+—

聯(lián)立〔「=2px,消去x得：/-2P羽-/=0,

2

A=(-2pmy-4x(-p)=4P2m2+4p?>o,百成立，

m=V2

所以乂+力=2,見(jiàn)必為=一。;所以2Pm=2四,則%p,

又

|=2小乂%弘％+-

\AB\=yll+m2N一%Vl+m-(+)2-4=%療4+娟=jl+i-58+4/=572

2p2+^--17=0f2p_■-VP--=0也

整理得：P-，所以I°八P），解得P=2.或2.

V2

故答案為：2&或3.

13.（。⑹

【分析】設(shè)弧￡的中點(diǎn)為“，根據(jù)圓與圓相離，確定兩圓的外公切線與內(nèi)公切線，確定圓

。的位置，分析可得弧E上的點(diǎn)與圓C上的點(diǎn)的最短距離.

【詳解】如圖，

4兀

設(shè)弧￡的中點(diǎn)為河，弧E所對(duì)的圓心角為5,

4兀

圓。的半徑1加|=1,在弧￡上取兩點(diǎn)48,則乙

分別過(guò)點(diǎn)48作圓。的切線，并交直線OW于點(diǎn)。，

當(dāng)過(guò)點(diǎn)42的切線剛好是圓0與圓C的外公切線時(shí)，劣弧上一定還存在點(diǎn)S，T,使過(guò)

點(diǎn)邑7的切線為兩圓的內(nèi)公切線，

則圓C的圓心C只能在線段"D上，且不包括端點(diǎn)，

過(guò)點(diǎn)C,分別向/〃，8。作垂線，垂足為凡尸，則以即為圓°的半徑,

設(shè)線段℃交圓C于點(diǎn)N,則弧￡上的點(diǎn)與圓C上的點(diǎn)的最短距離即為線段"N的長(zhǎng)度.

因=31<-—31

2兀J5-1

28cos2cos__1

在RM/OD中,254

^j|A/?V|=|C>C|-|(9Af|-|C^|=|OC|-l-|C7?|<|OZ)|-l-0=V5+l-l=V5

即弧￡上的點(diǎn)與圓C上的點(diǎn)的最短距離的取值范圍為。逐）

故答案為：（。石）.

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查了根據(jù)兩圓位置關(guān)系求距離的范圍的問(wèn)題.可按如下結(jié)論求解:

相離的兩個(gè)圓（圓心分別為&和a,半徑分別為五和『）上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)之間的距離L的最小

值是兩圓心之間的距離減去兩圓的半徑，最大值是兩圓心之間的距離加上兩圓的半徑，即

4in=|01°2|-尺-八4^^\O,Oj\+R+r

V3

14.2

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量的夾角公式求出

IcosGQ,皮〉I的最大值，從而確定0點(diǎn)在上的位置，即可求得答案.

JT

/ABC=/BAD=—m

【詳解】因?yàn)槭?，平?8co年2,所以/民/。,/尸兩兩垂直，

以｛AB,AD,AP｝為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為'（L0,。）,C（1,1,0），”（0,石,0）,尸（0,0,5

因?yàn)樵?（一1,0,后），設(shè)麗=彳麗=（一彳,0,⑨）,（04彳VI）,

又C8=（0,-1,0）,則CQ-CB+BQ-（-2,-1,V32）,

CQDP_1+V3/L

cos〈函函二

又加=(0,-后兩\CQ\\DP\~^+2

從

設(shè)1+y[?>A,—t,t&[1,1+-\/3]

3產(chǎn)3,7

cos2（CQ,DP）=--------------------?—

8〃_16/+14M_16+8-8

則t2t

/=72=V|__巫

當(dāng)且僅當(dāng)一兄，即4時(shí)，1cos〈詼，麗〉|的最大值為丁,

V14

即直線°。與小所成角的余弦值的最大值為工，

”[0,-]

而直線CQ與。尸所成角的范圍為2,

[0,-]”

因?yàn)椤?cosx在2上是減函數(shù)，故此時(shí)直線CQ與。P所成角最小，

,—BQ=—BP=—

又因?yàn)?尸="^=2,所以42,

V3

故答案為：2

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)求得C。，。尸的夾角的余弦的最

大值，即可確定。點(diǎn)的位置，進(jìn)而求得答案，因此在解決類似問(wèn)題時(shí)，可以嘗試建立空間

坐標(biāo)系，利用向量解決問(wèn)題，可以簡(jiǎn)化題目的難度.

V15

15.（1）證明見(jiàn)解析；（2）6.

【分析】（1）要證可證DC,由題意可得，PD1DC,易證

從而DC_L平面PDM,即有OC1.PM,從而得證；

（2）取/。中點(diǎn)E,根據(jù)題意可知，〃及DM,PM兩兩垂直，所以以點(diǎn)M為坐標(biāo)原點(diǎn)，

建立空間直角坐標(biāo)系，再分別求出向量.和平面尸。河的一個(gè)法向量，即可根據(jù)線面角的

向量公式求出.

【詳解】（1）在△DCN中，DC=1,CM=2,ZDCM=60°,由余弦定理可得八攸=6,

所以。州2+。02=cw2,:.DMJ_DC.由題意。C_LPD且尸。COM=。，.,.DC，平面

PDM,而PWu平面PZW,所以DC_LPM,又ABIIDC,所以48_LPM.

（2）由尸河工兒少，AB1PM,而48與DW相交，所以尸ML平面N2CD,因?yàn)?/p>

AM=S,所以尸M=2收，取4D中點(diǎn)E,連接ME,則〃瓦八攸,PM兩兩垂直，以點(diǎn)

M為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，

則4-百,2,0）,尸（0,0,2揚(yáng),。（5瓦0,0）,Af（0,0,0）,C（V3,-l,0）

1/V31rr'}（3A/35國(guó)

又N為尸C中點(diǎn)，所以I22）<22A

由（1）得CD，平面尸。拉，所以平面PQ拉的一個(gè)法向量方=（°J，°）

5

.°\AN-n\萬(wàn)V15

sin0=——L=?乙=?=-----

\AN\\n\27+25+26

從而直線/N與平面尸DM所成角的正弦值為V4+4+

【點(diǎn)睛】本題第一問(wèn)主要考查線面垂直的相互轉(zhuǎn)化，要證明可以考慮

DC1PM

題中與DC有垂直關(guān)系的直線較多，易證DC,平面尸DM,從而使問(wèn)題得以解決；第二問(wèn)

思路直接，由第一問(wèn)的垂直關(guān)系可以建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)線面角的向量公式即可計(jì)

算得出.

16.(1)33

(2)3

￡=1

【分析】(1)根據(jù)雙曲線漸近線方程得了一，根據(jù)點(diǎn)"(2/)在雙曲線上列方程/一記一

最后解方程組得出雙曲線的方程；

(2)根據(jù)雙曲線定義和尸耳,沙列方程組求解因中鳥(niǎo)，再根據(jù)三角形面積公式計(jì)算面積

可得出答案.

)=1

22I2a=5/3

【詳解】(1)由題知，1//解得，,=退

22

上一匕=1

所以雙曲線C的方程為：33

2

(2)PF2：.PF；+PF；=*=(2c)=24

根據(jù)雙曲線的定義得，戶￡一夕用=2。=26

,‘附_*=26

?[尸邛+*=24解方程得，PF「PF[=6

月曄=：平因=卜6=3

【點(diǎn)睛】考查雙曲線方程求解及焦點(diǎn)三角形的面積求解，屬基礎(chǔ)題.

".⑴(X-5)2+J?=4

(2))=1或3x+4yT0=0

【分析】(1)直接利用條件求出點(diǎn)尸的軌跡方程，所求方程表示一個(gè)圓；

(2)直線/的斜率分存在與不存在兩種情況，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，檢驗(yàn)不滿足條件；

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，用點(diǎn)斜式設(shè)出直線的方程，根據(jù)弦長(zhǎng)和點(diǎn)到直線的距離公式列出等

式即可求出直線的斜率，進(jìn)而求出直線的方程.

【詳解】⑴設(shè)點(diǎn)尸GM,

???動(dòng)點(diǎn)P與兩個(gè)定點(diǎn)"O'°）,2（4°）的距離的比是2,

且-2

...PB,即網(wǎng)=2網(wǎng)，

貝|JJ（X_1）2+/=2yJ（X-4）。+F,

化簡(jiǎn)得/+/-必+21=0,

所以動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡C的方程為（X-5）2+V=4；

（2）由（1）可知點(diǎn)尸的軌跡C是以（5,0）為圓心，2為半徑的圓，

???直線被曲線C截得的弦長(zhǎng)為2百，

，圓心（5，°）到直線/的距離“="萬(wàn)=1,

①當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，直線/的方程為》=2,此時(shí)圓心到直線/的距離是3,不符合

條件；

②當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為廣166一2）,即.-了-2左+1=0,

所以圓心⑸°）到直線/的距離護(hù)W,

左--3

化簡(jiǎn)得蝴+64+1=/+1,解得左=0或4,

此時(shí)直線’的方程為了=1或3x+4?-10=0.

綜上，直線/的方程是、=1或3x+4y-io=o.

18.⑴證明見(jiàn)解析

2

（2）6

【分析】（1）易證得四邊形GCED為平行四邊形，由此可得8CLOG,結(jié)合BC'OE,

由線面垂直的判定可得結(jié)論；

（2）根據(jù)垂直關(guān)系，以G為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)=W=m（加＞0）,

由二面角的向量求法可構(gòu)造方程求得優(yōu),利用體積橋/"FG=%-。班可求得結(jié)果.

【詳解】（1）在三棱臺(tái)/8C-DE尸中，G為NC中點(diǎn)，則4c=2GC,

又AC=2DF,GC=DF,

ACHDF,.??四邊形GCED為平行四邊形，DG//CF,

又BCLCF,BC1DG,

■：DE//AB,AB1BC,:.BCLDE,

■：DE[}DG=D；Z>￡,DGu平面。EG,，8C_L平面。EG

（2）CFA.AB,DG//CF,:.DG：B,

又DGIBC,ABcBC=B,4B,8Cu平面/BC,DG_L平面NBC,

連接2G,?：AB=BC=2,AB1BC,G為NC中點(diǎn)，GB1AC.

^B,GC,GD^

以為正交基底，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系G一切z,

則G（0,0,0）5（72,0,0）/@,-也,0）C0,V2,O）

設(shè)OG=C/=加（加>0）則0（0,0,加）尸@,也,旭）

.?.而=①+瓦=&+—4=（0,0,加）+—3,五,0）=—,—,m

GF=（b,V2,w）

\7

設(shè)平面EFG的一個(gè)法向量為五=（X/,z）,

n-GE=^x+^y+mz=Q

22■

則nGF=也y+mz=0：.n—6,機(jī),―血）

令z=一母,角軍得：y=mx=m

又平面/CED的一個(gè)法向量而=0，°，°）,

?__|\m-n\m1

??|COSfTl,川=-—/——

\m\'\n\42m2+22,解得：加=1,即。G=l,

;OG_L平面4BC,平面NBC〃平面DE尸，DG_L平面￡）￡戶,

VE-DFG=VG-DEF=TS^DEF-DG=-X—xlxlxl=-