2024-2025學(xué)年高二年級上冊期中考試模擬卷（上海專用）

2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬卷

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.測試范圍：滬教版2020必修第三冊第十~十一章。

5.難度系數(shù)：0.65?

一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）

1.“點(diǎn)A在直線/上”用符號語言可以表示為.

【答案】Ae/

【解析】A在直線/上，即Ac/

故答案為：Ae/

2.在正方體中，M=2,則直線A3到平面CDRG的距離為.

【答案】2

【解析】根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，AB//CD.

又ABN平面CDDtCt,CDu平面CDDG,

所以，AB〃平面CDDG.

所以，點(diǎn)A到平面CDAG的距離，即等于直線AB到平面SAG的距離.

又的＞，平面CDD.C.,所以點(diǎn)A到平面CDDG的距離即為AD=AA,=2.

所以，直線A3到平面CDDG的距離為2.

故答案為：2.

3.已知圓柱的底面半徑為2,高為2,則該圓柱的側(cè)面積是.

【答案】8兀

【解析】圓柱的側(cè)面展開為矩形，其中矩形的一條邊長為圓柱底面周長，即27rx2=4兀，另一邊長為2,故

圓柱的側(cè)面面積為2x471=871.

故答案為：8兀

4.如圖，在正方體ABC。-A用G2中，異面直線48與AC所成的角為

【解析】在正方體ABCD-4瓦G2中，連接AD?CD,,

正方體ABCD-ABCA的對角面A,BCD,是矩形，則CDJ/A.B,

因此ZACQ是異面直線\B與AC所成的角或其補(bǔ)角,

而曲=CDJ=AC=42AB,即△AC0是正三角形，則NAC，=60,

所以異面直線48與AC所成的角為60。.

故答案為：60°

5.圓錐的母線長為2,母線所在直線與圓錐的軸所成角為30。，則該圓錐的高為

【答案】V3

【解析】由已知得該圓錐的高為2cos30=6

故答案為：V3.

6.一個梯形的直觀圖是一個如圖所示的等腰梯形，且4?=1,O'C'=3,0A=2,則原梯形的面積

【解析】在xQy坐標(biāo)系中作出直觀圖對應(yīng)的原圖形0RC,它是直角梯形，如圖.

故原梯形的面積為：5=-x(l+3)x4=8,

故答案為：8.

7.已知斜線段的長度是斜線段在這個平面內(nèi)射影的長的近倍，則這條斜線和這個平面所成的角的大小

為.

【答案】y/45

【解析】設(shè)斜線和平面所成角為貝hosa=3=也，

故答案為：—.

4

8.已知球的兩個平行截面的面積分別為49兀，400兀且兩個截面之間的距離是9,則球的表面積為.

【答案】250加

【解析】由球的截面為圓，設(shè)兩個平行的截面圓的半徑分別為4，4,球的半徑為R,

因?yàn)樨?2=49兀，所以々=7,

又兀?4?=400TI,所以乃=20,

當(dāng)兩截面在球心的同側(cè)時，JR2_72_JR2_202=9,

解得R2=625,球的表面積為4兀玄=2500兀；

當(dāng)兩截面在球心的同側(cè)時，-72+^R2-202=9＞無解；

綜上，所求球的表面積為250所.

故答案為：250071.

9.如圖，在四棱錐P-A8CD中，以，底面ABC。，底面ABCD是邊長為1的正方形，出=1,則側(cè)面PCD

與底面ABCD所成的二面角的大小是.

【答案】45°

【解析】因?yàn)榈酌?28是邊長為1的正方形，所以ADLCD,

又因?yàn)榕??底面ABC。，CDcJKffiABCD,所以B4J_CD,

因?yàn)锽4rM￡)=A,B4,在面內(nèi)，所以CD_L平面

又因?yàn)镻Ou平面B4O,所以COLPO,

于是NPZM為側(cè)面PCD與底面ABCO所成的二面角的平面角，

因?yàn)锽4_L底面ABC。，ADcJftffiABCD,PALAD,

又因?yàn)锽4=l,AD=1,所以/PD4=45。，

于是側(cè)面PCD與底面ABC。所成的二面角的大小為45°.

故答案為：45°.

10.如圖是一個正方體的平面展開圖，在這個正方體中，下列說法中，正確的序號是.

(1)直線AF與直線DE相交；

(2)直線CH與直線DE平行；

(3)直線BG與直線DE是異面直線；

(4)直線與直線3G成60。角.

【答案】(3)(4)/(4)(3)

【解析】解:由正方體的平面展開圖可得正方體ABCD-EFG8,

可得AF與即為異面直線，故(1)錯誤；

CH與。E為異面直線，故(2)錯誤；

直線8G與直線DE是異面直線，故(3)正確；

連接AH,AC,由正方體的性質(zhì)可得所以NAHC為異面直線CH與直線BG所成的角，因?yàn)椤瓵//C

為等邊三角形，所以NAHC=60。，即直線C8與直線3G所成角為60。，故(4)正確；

故答案為：(3)(4).

11.設(shè)A3和CD都是平面。的垂線，其垂足分別為反。.已知AB=5,8=9,30=3,那么線段

AC=.

【答案】5或a5?

【解析】如圖所示，因?yàn)楹虲。都是平面。的垂線，其垂足分別為反。,

可得A3//CD,且ABLBRCDLBD,

如圖(1)所示，當(dāng)點(diǎn)AC在平面的同側(cè)時，

過點(diǎn)A作AELCD,垂足為E,則Afi/ABD,

又因?yàn)锳3=5,CD=9,3D=3,可得CE=CD-r>E=CD-AB=4,

在直角/VICE中，oJWAC=VAE2+CE2=A/32+42=5.

如圖(2)所示，當(dāng)點(diǎn)AC在平面的兩側(cè)時，

過點(diǎn)A作CO的延長線的垂線，設(shè)AFLCF,垂足為尸，則AF〃9,

又因?yàn)锳B=5,C￡)=9,BD=3,nJ^CF=CD+DF=CD+AB=14,

在直角△Ab中，可得AC=jAp2+CF2=,32+14?

故答案為：5或亞？.

圖⑴

12.如圖，平面。4B_L平面a,OAua,OA^AB,Z(MB=120°.平面。內(nèi)一點(diǎn)P滿足上4_LPB,記直

線OP與平面0A8所成角為e,則tan。的最大值是.

【答案Y

【解析】如圖,

取AH的中點(diǎn)為E,連接PE,過點(diǎn)尸作PFLQ4,垂足為尸,

.平面GWBJ_平面a,且平面OAB）平面（z=OA,BF/u平面Q4B,PFua,

:.BH±a,尸尸，平面。山，二。尸在平面。的上的射影就是直線。4,

故NAOP就是直線0P與平面Q4B所成的角6,即/AOP=。，

APua,:.AP±BH,

又：PA±PB,PBBH=B,PB,BHu平面尸3”,

平面P3H,P”u平面尸3”,:.PALPH,

故點(diǎn)尸的軌跡就是平面a內(nèi)以線段AH為直徑的圓（4點(diǎn)除外）,

OA^AB,MZOAB=120,:.ZBAH=6Q,

設(shè)OA=a（a>0）,貝=從而A”=AB-cos60=旦，

2

當(dāng)且僅當(dāng)PE_LOP,即。尸是圓E的切線時，角6有最大值，tan。有最大值,

a

PEPE4V6

==

tan。取得最大值為：-=/一一2一廠4=I=TT.

°PJOE-PE一趨+?嗎212

故答案為：逅.

12

二、選擇題（本題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分；每題有且只有一個正

確選項(xiàng)）

13.下列說法錯誤的是（）

A.一個棱柱至少有5個面B.斜棱柱的側(cè)面中沒有矩形

C.圓柱的母線平行于軸D.正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形

【答案】B

【解析】由棱柱的性質(zhì)可知A正確，B錯誤；由圓柱的性質(zhì)可知C正確；由正棱錐的性質(zhì)可知D正確.

故選：B

14.已知/是直線，私分是兩個不同平面，下列命題中的真命題是（）

A.若〃/&,〃/￡,則a〃￡B.若戊_1_尸，〃/（Z,貝！|/1??

C.若ILaJH/3,則a_LAD.若〃/tz,c〃尸，貝i"〃￡

【答案】C

l解版、若ac（3=aajU/3,則有〃/a,〃//?,故可判斷A錯誤.

若ac0=acc,則〃//7或/u/7,故B錯誤.

若/，/〃/￡,則月存在直線與/平行，所以故C正確.

若〃/a,M〃，則〃/6或/u〃，故D錯誤.

故選：C.

15.《九章算術(shù)》中所述“羨除”，是指如圖所示五面體ABCDEF,其中AB//DC//EF,“羨除'形似“楔體”.“廣”

是指“羨除”的二條平行側(cè)棱之長。、6、。，“深”是指一條側(cè)棱到另兩條側(cè)棱所在平面的距離機(jī)、“袤”是指

這兩條側(cè)棱所在平行直線之間的距離〃（如圖）.羨除的體積公式為V=（a+.+c）”"，,過線段的，go的

6

中點(diǎn)G,4及直線所作該羨除的一個截面。，已知。剛好將羨除分成體積比為5:4的兩部分.若AB=4、

DC=2,則￡尸的長為（）

【答案】B

【解析】因?yàn)锳B=4、DC=2、AB//DCHEF,G,H為線段A。，5c的中點(diǎn),

所以G〃〃AB〃CD且GH=g(A5+CD)=3,

(EF+DC+GH)mx^(EF+AB+GH)mx^

所以

VGHCDEFVABHGEF=7

6

n

mx—(EF+7)mx^

即2

VGHCDEFVABHGEF=7

6

n

(EF+7)mx一

2

HGEF565

因?yàn)榧唇獾肊F=3.

4n4

CDEF(￡F+5)mx—

2

6

EF

16.如圖，在正方體ABC。-agG，中，點(diǎn)「在線段耳。上運(yùn)動，則以下命題正確的序號為（）

7T

②平面B{CD與平面BCD的夾角大小為

③三棱錐尸-AG。的體積為定值

IT7T

④異面直線”與4。所成角的取值范圍是

A.①②B.①③C.①③④D.①④

【答案】B

【解析】如圖，連接3Q,正方形A4G2中，

「正方體的棱8月，平面A4GR,ACU平面ABIGR,二臺與，AG，

BByBR=B[,平面即2，所以46_1_平面即2，

又BAU平面班Q,所以同理a。，BA.

AGAD=A，AG，AQU平面AG。，所以平面AG。，①正確；

因?yàn)镃D,平面BCu平面BC4,所以c。，耳c,

又平面B]CZH平面BCD=CD,BC1CD,3。匚平面38,4Cu平面片C。，

則/第”是平面與平面BCD的夾角，顯然三角形網(wǎng)C為等腰直角三角形，則該角大小為j②錯;

4

因?yàn)锳81//AB,A|B|=AB,AB//CD,AB=CD,所以4耳//C￡>,4田=C￡>,

所以四邊形44。為平行四邊形，因此有AD//BC，

又A^u平面AGO,200平面AG。，所以耳c//平面AGO,

PeB￡,因此P到平面4G。的距離為定值，三棱錐尸-的體積為定值，③正確;

由于AD//BC，因此異面直線AP與4。所成角就是釬與5c所夾的角，

即圖中—APC或44尸瓦，設(shè)正方體棱長為1,易知做=AC=4C=0,

當(dāng)點(diǎn)尸為耳C中點(diǎn)時，此時APLBC，

TTJT

因?yàn)椤B,C是等邊三角形，尸在線段與C,因此/APC或44段中較小的角的范圍是y,-,④錯誤.

三、解答題（本大題共有5題，滿分78分，第17-19題每題14分，第20、21題每題18分.）

17.如圖，已知E,￡G,H分別是正方體43。）-4瓦62的棱4氏8。,?！?口的中點(diǎn)，且跖與龍相交于

點(diǎn)Q.

⑴求證：點(diǎn)Q在直線DC上；

（2）求異面直線EF與AB,所成角的大小.

【解析】（1）平面ABCD|平面CDD￡=DC,

由于QeEBu平面ABCD,Qe//Gu平面,

所以QeDC,也即點(diǎn)。在直線OC上.（6分）

（2）根據(jù)正方體的性質(zhì)可知4片〃DC,

所以異面直線即與AA所成角為NDQE,（8分）

由于AB//DC,E,尸分別是AB,BC的中點(diǎn)，

所以ZDQE=ZFEB=45°,

所以異面直線跖與4耳所成角的大小為45。.（14分）

18.如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABC。為平行四邊形，。是AC與8。的交點(diǎn)，ZADC=45,AD=AC=2,

POLnABCD,PO=2,M是尸。的中點(diǎn).

⑴證明：依〃平面ACM

（2）求直線AM與平面ABCD所成角的大小.

【解析】（1）連接M0,在平行四邊形ABC。中,

因?yàn)?。為AC與3。的交點(diǎn)，

所以。為3。的中點(diǎn)，（2分）

又M為PD的中點(diǎn)，所以PB//MO.

因?yàn)槠矫鍭CM,MOu平面ACM,

所以尸3〃平面ACM.（6分）

（2）取。。中點(diǎn)N,連接

因?yàn)镸為的中點(diǎn)，所以MV//PO,且MN=：PO=1,

由POJ_平面ABC￡>,得肱V_L平面ABCD,

所以"4V是直線AM與平面ABC。所成的角.（8分）

因?yàn)榈酌鍭BCD為平行四邊形，且4M>C=45。，AD=AC=2,

所以NACD=45，則ZDAC=90，

在RL.ZMO中,">=2,49=1,所以。0=如,從而4"=L。0=倉，

22

因?yàn)殡臯J_平面ABCDANu平面ABCD,MN_LAN,

MN'2非「1

所以在Rt_AW中，3/肱^=而=方=有一，/MAN?0,1,

T

所以直線A/Vf與平面ABCD所成角大小為arctan2叵.（14分）

5

19.某種“籠具”由上、下兩層組成，上層和下層分別是一個圓錐和一個圓柱，其中圓柱與圓錐的底面半徑相

等，如圖所示：圓錐無底面，圓柱無上底面有下底面，內(nèi)部鏤空，已知圓錐的母線長為20cm,圓柱高為30cm,

底面的周長為24兀cm.

（1）求這種“籠具”的體積（結(jié)果精確到（Men?）；

（2）現(xiàn)要使用一種紗網(wǎng)材料制作這樣“籠具”的保護(hù)罩（包括底面）50個，該保護(hù)罩緊貼包裹“籠具”，紗網(wǎng)材

料（按實(shí)測面積計(jì)算）的造價為每平方卷8不，共需多少元？（結(jié)果精確到01元）

【解析】（1）設(shè)圓錐的底面半徑為心母線長為/,高為4,圓柱高為力2，

貝I」由題意有2Tlz=24兀，得r=12cm,圓錐高％不］!?=16cm,

所以“籠具”的體積v=兀產(chǎn)色+；兀產(chǎn)4=7t^l44x30+|xl44x16^=508871?15984.4cm3,（6分）

（2）圓柱的側(cè)面積￡=2無電=720兀cm?,圓柱的底面積邑=兀尸=144兀，

圓錐的側(cè)面積S3=m-l=2407r,

所以“籠具”的側(cè)面積S側(cè)=￡+$+'=1lOhrcn?.（12分）

故造50個“籠具”的最低總造價為一廠）=1等a138.7元.（14分）

答：這種“籠具”的體積約為15984.4CH?；生產(chǎn)50個籠具需要138.7元.

20.如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AD//BC,NBCD=90°,PA=PB,PC=PD.

（1）證明：CD與平面RLD不垂直;

（2）證明：平面平面A3CD；

（3）如果CD=AD+3C,二面角尸-3C-A等于60。，求二面角P-C￡>-A的大小.

【解析】（1）若8,平面PAD,

則CD_LPD,

由已知PC=PD,

ZPCD=ZPDC<900,（2分）

這與8LPD矛盾，所以CD與平面上4。不垂直.（4分）

（2）取43、CD的中點(diǎn)E、F,連接尸E、PF、EF,

由叢=尸3,PC=PD,得

PFLCD,

.?.EF為直角梯形的中位線，（6分）

EFLCD,又PFEF=F,

CD1平面PEF,（8分）

由尸Eu平面PEF,得CD_LPE,又鉆_LPE且梯形兩腰A3、CD必交,

.?./史上平面鉆。，

又尸Eu平面R4B,

平面上4B_L平面ABCD,（10分）

（3）由（2）及二面角的定義知/PFE為二面角P-CD-A的平面角,

作EGL3C于G,連PG,

由于PE_L平面ABCD,3Cu平面ABCD,故PELBC,

EGLBC,EGcPE=E,EG,PEu平面PEG，故3cl.平面PEG

PGu平面PEG,所以PGIBC

故NPGE為二面角尸一3C—4的平面角，（12分）

即ZPGE=60°,

由已知，得班=J（AD+BC）=gcD,

又EG=CF=gcD.

EF=EG,

RtPEP=RtPEG.NPEF=ZPGE=60°,

故二面角尸-CD-A的大小為60。.（18分）

21.如圖，斜三棱柱ABC-A4G中，AC=BC,。為48的中點(diǎn)，2為44的中點(diǎn)，平面ABC,平面42與4.

（1）求證：直線a?！ㄆ矫鍮GR；

（2）設(shè)直線A瓦與直線82的交點(diǎn)為點(diǎn)E,若三角形ABC是等邊三角形且邊長為2,側(cè)棱⑨二且，且異面

一2

直線3a與A片互相垂直，求異面直線4。與3G所成角；

（3）若48=2,4。=2^=&/血/44?=9，在三棱柱ABC-A^G內(nèi)放置兩個半徑相等的球，使這兩個球

相切，且每個球都與三棱柱的三個側(cè)面及一個底面相切.求三棱柱ABC-A與G的高.

【解析】（1）斜三棱柱ABC-A4G中，2為A片的中點(diǎn)，。為的中點(diǎn),

所以=且A2//BO,

所以四邊形為平行四邊形，

所以AD//B2，（2分）

因?yàn)?Ru平面BCQ,4。0平面

所以4。//平面BC|2；（4分）

（2）因?yàn)锳C=2C,。為AB的中點(diǎn)，所以