2024-2025學(xué)年廣東省東莞市高三年級上冊10月聯(lián)考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年廣東省東莞市高三上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)質(zhì)量

檢測試題

說明：本試卷共4頁，19小題，滿分150分，考試用時120分鐘.

注意事項：L答卷前，考生請用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號、試室

號、座位號填寫在答題卡上.用2B鉛筆將試卷類型(A)填涂在答題卡相應(yīng)位置上.

2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分，在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.設(shè)/={(》/)舊=/_x},B={(x,y)\y=x}則2口5=()

A.{(0,0),(2,2)}B.{(0,0)}C.{(2,2)}D.0

【答案】A

【解析】

【分析】聯(lián)立集合“與集合2方程組，解出來的解組就是ZC8.

【詳解】根據(jù)題意知聯(lián)立集合力與集合5方程組得,

、y=x

x=0%—2

解之可得二?；蚨?,所以NCB={(0,0),(2,2)}.

故選：A

2.“0<》<2”是“尤2_尤_6<0”的()

A.必要而不充分條件B,充分而不必要條件

C,充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】分析兩個集合N={x[0<x<2}和8={x|-2<x<3}的關(guān)系，從而推出命題之間的關(guān)系

【詳解】解不等式/一工一6<0,得—2<x<3

而集合/={x|0<x<2}是集合8={x|-2<x<3}的真子集，所以"0<x<2”是“無2一無一6<0”的充

分而不必要條件

故選：B

Q

3.函數(shù)/(x)=2x+—(x〉l)的最小值為()

x-1

A.8B.6C.4D.10

【答案】D

【解析】

【分析】

Q

由/(x)=2(x-l)+——+2然后利用基本不等式可求得答案.

x-1

【詳解】因為x>l,所以/(x)=2(x-l)+—+2>2716+2=10,

x-1

Q

當(dāng)且僅當(dāng)2(x—1)=—即x=3等號成立，

X—1

所以函數(shù)的最小值為10,

故選：D.

【點睛】本題考查了利用基本不等式求最值，注意等號成立的條件，屬于基礎(chǔ)題.

4.學(xué)校組織同學(xué)參加社會調(diào)查，某小組共有5名男同學(xué)，4名女同學(xué).現(xiàn)從該小組中選出3位同學(xué)分別到

A,B,C三地進(jìn)行社會調(diào)查，若選出的同學(xué)中男女均有，則不同安排方法有()

A.70種B.140種C.420種D.840種

【答案】C

【解析】

【分析】將情況分為2男1女和2女1男兩種情況，相加得到答案.

【詳解】2男1女時：用=240

2女1男時：=180

共有420種不同的安排方法

故答案選C

【點睛】本題考查了排列組合的應(yīng)用，將情況分為2男1女和2女1男兩種情況是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，直線/和圓C,當(dāng)/從，。開始在平面上繞點。按逆時針方向勻速轉(zhuǎn)到(轉(zhuǎn)到角不超過90°)時，

它掃過的圓內(nèi)陰影部分的面積S是時間t的函數(shù)，這個函數(shù)的圖像大致是

B.

D.

【答案】D

【解析】

【分析】由題意可知：S變化情況為“一直增加，先慢后快，過圓心后又變慢”，據(jù)此確定函數(shù)的大致圖像即

可.

【詳解】觀察可知面積S變化情況為“一直增加，先慢后快，過圓心后又變慢”,

對應(yīng)的函數(shù)的圖象是變化率先變大再變小，由此知D符合要求.

故選D

【點睛】本題主要考查實際問題中的函數(shù)圖像，函數(shù)圖像的變化趨勢等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和

計算求解能力.

6.設(shè)。=logs2,b=ln2,c=5七則

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a

【答案】C

【解析】

【分析】由Q=?^<ln2=/?及a〉log3百==3=:可比較大小.

m3Z75742

【詳解】a=ln2>0,歷3>1,a=---<In2=Z),即a<b.

In3

燈1111

又。=logs2>logs，3=5，c=:.a>c.綜上可知：c<a<b

故選C.

【點睛】本題主要考查了指數(shù)與對數(shù)的運算性質(zhì)及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，屬于中檔題.

7.在中，(a+c)(sin/—sinC)=b(sin4—sin8),則/C=(

71712兀57C

A.-B.-C.—D.

633~6

【答案】B

【解析】

【分析】利用正弦定理的邊角變換與余弦定理即可得解.

【詳解】因為(a+c)(sinN-sinC)=b(sinA-sinB),

所以由正弦定理得(a+c)(6Z-c)=b(a-b),即/一C2=仍—/，

a1+b2-c2ab

則a2+b2-c1=ab故cosC=

2ablab2

jr

又0<C<7T,所以C=—.

3

故選：B.

8.阻尼器是一種以提供阻力達(dá)到減震效果的專業(yè)工程裝置.我國第一高樓上海中心大廈的阻尼器減震裝

置，被稱為“定樓神器”，如圖1.由物理學(xué)知識可知，某阻尼器的運動過程可近似為單擺運動，其離開平衡

位置的位移v(m)和時間［S)的函數(shù)關(guān)系為y=sin(0/+°)(O>0,|同<兀)，如圖2,若該阻尼器在擺動

過程中連續(xù)三次到達(dá)同一位置的時間分別為4,t2,%(0<%<，2</3)，且。+%2=2,%+4=5,則在

一個周期內(nèi)阻尼器離開平衡位置的位移大于0.5m的總時間為()

圖1圖2

124

A.—SB.—sC.1sD.—s

333

【答案】c

【解析】

【分析】先根據(jù)周期求出。=g,再解不等式sin0.5,得到f的范圍即得解.

27r271

【詳解】因為4+%=2,t2+t3=5,13Tl，所以T=3,又7=——，所以。=——，

co3

則歹=sin[1,由>>0.5可得sin[^7+0]>0.5,

IT27cS71

所以2E+—<——t+(p<---卜2kK,keZ,

636

所以3左H----------(p<t<-------(D+3k,keZ,故(3左H------------夕]—(3左H------------0]=1,

42兀427t142兀J(42兀J

所以在一個周期內(nèi)阻尼器離開平衡位置的位移大于0.5m的總時間為1s.

故選：C.

二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，滿分18分，部分選對得部分分，錯選得0分.

(2021?全國?高考真題)

9.有一組樣本數(shù)據(jù)占，x2,X",由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)為，%,...,yn,其中N=Xj+c

?=1,2「一,〃),。為非零常數(shù)，則()

A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同

B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同

D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同

【答案】CD

【解析】

【分析】A、C利用兩組數(shù)據(jù)的線性關(guān)系有￡(y)=￡(x)+c、。(歹)=O(x),即可判斷正誤；根據(jù)中位

數(shù)、極差的定義，結(jié)合已知線性關(guān)系可判斷B、D的正誤.

【詳解】A：￡(y)=￡(x+c)=￡(x)+c且cwO,故平均數(shù)不相同，錯誤；

B：若第一組中位數(shù)為七，則第二組的中位數(shù)為％=x,+c,顯然不相同，錯誤;

c：D(j)=D(x)+D(c)=D{x),故方差相同，正確;

D:由極差的定義知：若第一組的極差為4m-4?，則第二組的極差為

Nmax-Bin=Gmax+C)-Kin+C)=/ax一/in，故極差相同，正確;

故選：CD

（2021高考北京改編?）

71

10.若點/（COS仇sin夕）關(guān)于歹軸對稱點為51cosf+ksinf+，則，的取值可以為（）

6

771兀5兀1171

A.----B.---C.—D.——

12121212

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)對稱性得到cosO+cos1'+=0,sin'=sin［夕+己71），

化簡后得到tan。=2+，對

6

四個選項一一計算，得到答案.

【詳解】由題意得cos8+cos[e+g)=0,sin^=sinf+71j,

6

兀兀^^cos"』sin。

cos<9+cos8+—=cos^+cos^cos——sin^sin—==0,故tan0=2+^3，

66622

/兀JT\JT7T2-V3

sin-sin0+—=sin6-sin6cos--cossin—sin6^--cos3=0,故tan。=2+，

66622

兀兀

tan—+tan-'廠=2+,A正確；

7717兀兀+兀34

A選項,tan-tan——=-tan

+兀+兀

121241-tan—tan—1-V3

34

兀兀

tan—tan—/7_i

兀34

B選項,tan-tan—=-tan----j==—2,B錯誤;

12I1+t,an—兀t，an—兀1+V3

34

兀,兀

tan—+tan—與1_

5兀兀+兀641=2+M,

C選項,tan——二tanrC正確;

1241+兀+兀

1—tan—tan—

643

由B選項知，tan；^=tan1兀71

D選項,=-tan'■=一2,D錯誤.

12

故選：AC

11.已知函數(shù)/(x)=/—sinx在x=x()處取得極值，貝U()

111

x

A./JB.o>JC.x0

【答案】ABC

【解析】

【分析】求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，再次求導(dǎo)證明/'(x)單調(diào)遞增，根據(jù)零點存在定理得到AB正

確，代換得到%-；-sinXo<0,C正確，若D成立得到不<g,矛盾，得到答案.

【詳解】f(x)=x2-sinx,則/'(x)=2x—cosx,/"(%)=2+sinx>0恒成立，

故/'(X)單調(diào)遞增，/[￡|=1—cosg〉0,/Q^=|-cos|<|-cos-^=|-^<0,

故存在/,函數(shù)/(x)在(-co,%)上單調(diào)遞減，在(%0,+00)上單調(diào)遞增，AB正確；

/'(%)=2%-cos/=0,/(%)=x；-sin/</(0)=0,

XQ———sinXQ<XQ———XQ=———J<0,故C正確；

2

若tan申〉則sin￡〉^cosx0=l-2sin^-<1--^=-1,

c2則不(!,這與Xoe，，］)矛盾,故D錯誤.

cosx0=2x0<—

故選：ABC.

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，滿分15分

(必修一P219例4(3)改編)

l+tanl5°

12.求值:

l-tanl5°

【答案】V3

【解析】

【分析】直接利用兩角和的正切公式計算可得;

5l+tanl5°tan45°+tan15°._.,./-

【詳解】解：---------=------------------=tanz(45+15n)A=tan60n=V3

l-tanl5°1-tan450-tan150\'

故答案為：V3

(選擇性必修三P改編)

13.甲和乙兩個箱子中各裝有10個球，其中甲箱中有5個白球、5個紅球，乙箱中有8個紅球、2個白球.擲

一枚質(zhì)地均勻的骰子，如果點數(shù)為5或6,從甲箱子隨機摸出1個球；如果點數(shù)為1,2,3,4,從乙箱子中隨

機摸出1個球.則摸到紅球的概率為.

7

【答案】—##0.7

【解析】

【分析】分別計算出從甲箱中摸到紅球的概率和從乙箱中摸到紅球的概率，然后利用概率的加法公式即

可.

2151

【詳解】從甲箱中摸紅球：擲到點數(shù)為5或6的概率為一=-,再從甲箱中摸到紅球的概率為一=一,

63102

故從甲箱中摸到紅球的概率為片=」義工=!；

326

4284

從乙箱中摸紅球：擲到點數(shù)為1,2,3,4的概率為一=—,再從乙箱中摸到紅球的概率為一=—,

63105

故從乙箱中摸到紅球的概率為K=-x-=A.

23515

1Q7

綜上所述：摸到紅球的概率為尸=4+6

1261510

7

故答案為：—

14.定義在(0,+8)上的函數(shù)/(x)滿足：①當(dāng)xe[l,3)時，/(x)=\@/(3x)=3/(x).

3-x,2<x<3,

若函數(shù)尸(x)=〃x)-a的零點從小到大依次記為和孫…,當(dāng),…，則當(dāng)ae(1,3)時,

%1+x2++x2?=.

【答案】6(3--1)

【解析】

【分析】在同一坐標(biāo)系內(nèi)做出>=/(x)和歹=。的圖象，根據(jù)圖象得到七戶2,…，當(dāng)，…，的對稱關(guān)系，把

占+%+…++無*轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列前n項和即可求解.

【詳解】在同一坐標(biāo)系內(nèi)做出V=/(x)和。的圖象如圖所示:

當(dāng)ae(l,3)時，利用對稱性，依次有：%1+X2=2X6=2X2X3,

X2n-\+X2n=2x2x3,

3(1-3"),、

+x=4';§=6(3"_11

所以X]+x2+??-+X2)I-12n=4X(3+32+…+3”)

故答案為：6(30-1).

【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點，求零點的和(積)的常用方法:

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再直接求和(積)；

(2)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象,

利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

四、解答題：本大題共5小題，滿分77分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.

(2014?福建?高考真題)

15.函數(shù)/(x)=2cosx(sinx+cosx).

(1)求/(千)的值；

(2)求函數(shù)/(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.

【答案】(1)/(—)=2；(2)7="，/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為法乃—紅，左"+工］，左eZ.

488

【解析】

【詳解】試題分析：(1)借助題設(shè)直接運用誘導(dǎo)公式化簡求解；(2)借助題設(shè)條件和二倍角公式求解.

試題解析：

(1)/(——)=2cos—(sin-+cos-)=-2cos—(-sin--cos—)=2,

4444444

(2)因為/(x)=2sinxcosx+2cos2x-sin2x+cos2x+1=V2sin(2x+^)+1.

所以7=3="，由2左不一工V2x+工＜2左"+工，左eZ,

2242

37r

得左萬——<X<k7T+~,k^Z,所以/（X）的單調(diào)遞增區(qū)間為k兀-—,k7i+—,k&Z

8888

考點：三角函數(shù)的圖象及誘導(dǎo)公式二倍角公式的運用.

（2007年海南卷）

16.設(shè)函數(shù)/（x）=ln（2x+3）+。

（1）討論/（x）的單調(diào)性；

「31~

（2）求/（x）在區(qū)間一的最大值和最小值.

【答案】⑴函數(shù)/（X）在上:一11]一g，+:|上單調(diào)遞增；在11，一；]上單調(diào)遞減；

（2）/（x）在區(qū)間—丁，丁上的最大值為7+ln—,最小值為—Fln2.

'，L44J1624

【解析】

【分析】（1）先求函數(shù)的定義域，解不等式/'（x）〉0求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，解不等式/'（x）<0求出

函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值.

【小問1詳解】

函數(shù)/（力=山（21+3）+》2的定義域為1_[,+8],

又加）=上+2」2AJ.

''2x+32x+3I2）

令/'（x）〉0,解得或_3<x<_l；令/，（x）<0,解得

222

所以函數(shù)/（X）在[一，-1]1—上單調(diào)遞增；在[T,一g]上單調(diào)遞減；

【小問2詳解】

「3]-1「1]-

由（1）可得：函數(shù)/（X）在區(qū)間-1，-不內(nèi)單調(diào)遞減，在一不立內(nèi)單調(diào)遞增.

所以當(dāng)無=一心時，函數(shù)/（X）取得最小值/1—g]=；+ln2,

(3、門、93171311

而/―巳—/-=^in---------ln-=-+ln-<-+ln-^=O,

⑷16+2162272Ve

ii7

所以當(dāng)時，函數(shù)/(x)取得最大值為：—+ln-.

即/(x)在區(qū)間一!■二上的最大值為工+lnZ,最小值為，+ln2.

'/441624

17.長跑可提高呼吸系統(tǒng)和心血管系統(tǒng)機能，較長時間有節(jié)奏的深長呼吸，能使人體呼吸大量的氧氣，吸

收氧氣量若超過平時的7-8倍，就可以抑制人體癌細(xì)胞的生長和繁殖.其次長跑鍛煉還改善了心肌供氧狀

態(tài)，加快了心肌代謝，同時還使心肌纖維變粗，心收縮力增強，從而提高了心臟工作能力.為了調(diào)查學(xué)生喜

歡跑步是否與性別有關(guān)，高三年級特選取了200名學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到如下的2x2列聯(lián)表：已知在

這200名學(xué)生中隨機抽取1人抽到喜歡跑步的概率為0.6.

喜歡跑步不喜歡跑步合計

男生80

女生20

合計

(1)判斷：是否有90%的把握認(rèn)為喜歡跑步與性別有關(guān)?

(2)從上述不喜歡跑步的學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取8名學(xué)生，再在這8人中抽取3人調(diào)查其喜歡的

運動，用X表示3人中女生的人數(shù)，求X的分布及數(shù)學(xué)期望.

a0.100.050.005

Xa2.7063.8417.879

n(ad-be)?

附：/，其中n=a+b+c+d.

(Q+Z?)(c+d)(a+c)伍+d)

【答案】（1）無90%把握認(rèn)為喜歡跑步與性別有關(guān)，理由見解析

3

（2）分布列見解析，E（X）=a

【解析】

【分析】（1）計算出喜歡跑步和不喜歡跑步的人數(shù)，完善列聯(lián)表，作出零假設(shè)，計算出卡方，與2.706比較

后得到結(jié)論；

（2）由分層抽樣得到抽取女生2名，男生6名，得到X的分布列，計算出期望值.

【小問1詳解】

由題可知，從200名學(xué)生中隨機抽取1人抽到喜歡跑步的概率為0.6,

故喜歡跑步的人有200x0.6=120（人），不喜歡跑步的人有200-120=80（人）.

喜歡跑步不喜歡跑步合計

男生8060140

女生402060

合計12080200

<7=80,b—60,c=40,d=20,

零假設(shè)4：學(xué)生對長跑的喜歡情況與性別無關(guān)聯(lián),

根據(jù)題意，由2x2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，

200x（80x20—40x60）2

可得/?1.587<2.706

120x80x140x60

所以在a=0.1的獨立性檢驗中，不能推翻名,故無90%把握認(rèn)為喜歡跑步與性別有關(guān).

【小問2詳解】

按分層抽樣，設(shè)女生》名，男生N名，—=—解得x=2,y=6,

802060

從不喜歡跑步的學(xué)生中抽取女生2名，男生6名，

故X的可能取值為0,1,2.

「0「3vpl「21s「2pla

尸（丫=0）=上二^=2,p（x=i）=Ej=X,p（x=i\=^^=—

\/C；14\'C28\'Cl28

故X的分布為:

X012

5153

p

142828

.c5115c3213

?,E(X)—0x---F1x----F2x—=—=一

v7142828284

18.設(shè)函數(shù)/(x)=xe*-2ae*,g(x)=-2-ax,aeR.

(1)a=0時，求/(x)在(1,7(l))處切線方程;

(2)若在y軸右側(cè)，函數(shù)/(x)圖象恒不在函數(shù)g(x)的圖象下方，求實數(shù)0的取值范圍;

(3)證明：當(dāng)“eN*時，l+g+g+…+!<111(2〃+1).

【答案】(1)2ex-y-e=0

(2)

(3)證明見解析

【解析】

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；

(2)設(shè)函數(shù)〃(x)=/(x)-g(x)=xe*-2ae*+ax+2,求得=(x+l-2a)e*+a,令

(p(x)=(x+l-2a)ex+a,求得0'(x)=(x+2—2a)e"分2—2a20和2—2a<0,兩種情況討論，求

解函數(shù)的單調(diào)，進(jìn)而求得。的取值范圍.

2t—22t—21

(3)取a=l,由(2)知xeX—2e*+x+220，令x=ln《/21),tar>-------,令------=一,化簡

1+r1+tn

得到-<ta產(chǎn);=ln(2?+l)-ta(2?-l),進(jìn)而證得結(jié)論.

【小問1詳解】

a=0時,f(x)=xex,

-：f'(x)=(x+l)e\：.k=r(l)=2e,

V/(l)=e,則切線方程為y-e=2e(x-l),即2ex—y-e=0.

【小問2詳解】

設(shè)函數(shù)/z(x)=/(x)-g(x)=xex-2aex+ax+2(x>0),則/(x)=(x+l-2a)e*+a,

令e(x)=(x+l-2a)eA+a(x>0),貝"o'(x)=(x+2-2a)e”,

當(dāng)2-2a20,即時，(p(x)>0,即°(x)=(x+l—2a)e*+a?0(0)=l—a?0,

即(x)=(x+1-2a)e*+a20,

所以/z(x)=xe*-2aex+lax+2>/z(0)=2-2a>0成立，此時符合題意;

當(dāng)2-2。<0,即a>l時，令。'(x)<0,解得x<2-2a,

所以"(x)在區(qū)間［0,2—2a)上單調(diào)遞減，

又由火0)=1—a<0,此時/z(x)在［0,2—2a)上單調(diào)遞減，

所以〃(x)<〃(O)=2-2a<0,顯然不滿足題意，

綜上可得，實數(shù)a的取值范圍為(-84］.

【小問3詳解】

取a=l,由(2)知xe-2e工+X+220在［。,+⑹上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，等號成立,

因為x?0,令x=ln/(721),代入得到/In/-2/+ln/+220,

即心著，且三。》［0,2),

2t-2_1+2〃+1

令一，77GN，=------

1+tn2n—l

代入化簡得到1<ln|^；=ln(2〃+l)—ln(2〃—l),

所以l+g+g+…+!<(ln3—lnl)+(ln5—ln3)+…+[ln(2〃+l)—ln(2〃—l)]=ln(2〃+l)成立.

【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明或判定不等式問題:

1.通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值(最值)，從而得出不等關(guān)系；

2.利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，從而判定不等關(guān)系;

3.適當(dāng)放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮或利用常見放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；

4.構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).

19.已知后eN*，集合4={x\x=2'。+2'|+---+2\0<z0<z；<??■<%,其中儲,…,%eN}.

(1)求X2中最小的元素；

(2)設(shè)a=2i+23eX-beXx,且a+beX-求b的值；

k+1b

(3)記匕=王門(