2024-2025學(xué)年廣東省珠海市香洲區(qū)某中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷

2024-2025學(xué)年廣東省珠海市香洲區(qū)紫荊中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1.（3分）若關(guān)于x的方程（加-1），+加x-1=0是一元二次方程，則加的取值范圍是（）

A.m=\B.mC.mAD.m^O

2.（3分）2024年7月27日，第33屆夏季奧運(yùn)會(huì)在法國(guó)巴黎舉行，如圖所示巴黎奧運(yùn)會(huì)項(xiàng)目圖標(biāo)中（）

3.（3分）已知。。的半徑為3c根，點(diǎn)尸到圓心。的距離為5cm,則點(diǎn)尸（）

A.在圓內(nèi)B.在圓上

C.在圓外D.在圓上或圓外

4.（3分）已知拋物線(xiàn)y=G+3）2-2經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸（1,ji）和。（3,?），則yi與"的大小關(guān)系是（）

A.yi=y2B.yi>y2C.yi<y2D.無(wú)法確定

5.（3分）在“雙減政策”推動(dòng)下，某校學(xué)生課后作業(yè)時(shí)長(zhǎng)明顯減少.原來(lái)每天作業(yè)平均時(shí)長(zhǎng)為100〃泌，

經(jīng)過(guò)兩個(gè)學(xué)期的調(diào)整后，則所列方程為（）

A.100（1-%2）=70B.70（1+x2）=100

C.100（1-X）2=70D.70（1+x）2=100

6.（3分）ZUOB繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)65°后得到△COD,若//。2=30°,則N30C的度數(shù)是（）

A.25°B.30°C.35°D.65

第1頁(yè)（共26頁(yè)）

7.（3分）如圖，已知NC是直徑，AB=6,。是弧8C的中點(diǎn)，則?！?（)

A.1B.2C.3D.4

8.（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-1,遮），將點(diǎn)N順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)4,

則點(diǎn)4坐標(biāo)為（）

C.(0,2)D.(?,1)

9.（3分）二次函數(shù)夕=h2一6x+3的圖象與x軸有交點(diǎn)，則左的取值范圍是（）

A.左W3且左WOB.左<3且左WOC.kW3D.k<3

10.（3分）如圖所示，邊長(zhǎng)為2的等邊△NBC是三棱鏡的一個(gè)橫截面.一束光線(xiàn)兒很沿著與邊垂直的

方向射入到3C邊上的點(diǎn)。處（點(diǎn)。與3,C不重合），反射光線(xiàn)沿DF的方向射出去，且入射光線(xiàn)和

反射光線(xiàn)使NML>K=/FDK.設(shè)BE的長(zhǎng)為x,△。尸C的面積為>（）

B.

第2頁(yè)（共26頁(yè)）

二、填空題（每小題3分，共15分）

11.（3分）拋物線(xiàn)y=-（x-1）2+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是；與夕軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是.

12.（3分）己知/、〃是方程--2x-3=0的兩個(gè)根，則代數(shù)式7〃"+/-的值為.

13.（3分）拋物線(xiàn)y=（x+2）2-5先向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移6個(gè)單位長(zhǎng)度得到的拋物線(xiàn)解

析式為.

14.（3分）如圖，已知AB是的直徑，C、。是。。上兩點(diǎn)、且/。=130°度.

15.（3分）如圖，拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c（a#0）與x軸交于點(diǎn)（-1,0）和點(diǎn)（3,0）.（填寫(xiě)

序號(hào)）

①abc>0；②2a-6=0；③3a+c=0：④當(dāng)y>0時(shí)；⑤加為任意實(shí)數(shù)，則a加?+6加>°+人；⑥若

，

axj+bx1=axo+bx2且xi力X2,貝UXI+X2=2-

三、解答題（一）（每小題7分，共21分）

16.（7分）解方程：

（1）X2+3X=0；

（2）X2-6X-7=0.

17.（7分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△4BC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是/（-1,2）（-3,1）、C（0,

-1).

第3頁(yè)（共26頁(yè)）

(1)畫(huà)出△/2C關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)稱(chēng)的△NbBiCi；

(2)畫(huà)出△/2C繞點(diǎn)C逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后得到的△DEC,并寫(xiě)出點(diǎn)/的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。的坐標(biāo).

18.(7分)雜技團(tuán)進(jìn)行雜技表演，演員從蹺蹺板右端N處彈跳到人梯頂端椅子8處，其身體(看成一點(diǎn))

y=-2x*+2x+2的一部分，如圖所示.

5

(1)求演員彈跳離地面的最大高度；

(2)已知人梯高8。=3.6米，在一次表演中，人梯到起跳點(diǎn)/的水平距離是4米

四、解答題(二)(每小題9分，共27分)

19.(9分)已知關(guān)于x的一元二次方程(x-3)(x-2)=\m\.

(1)求證：對(duì)于任意實(shí)數(shù)相，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

(2)若方程的一個(gè)根是1,求加的值及方程的另一個(gè)根.

20.(9分)如圖，是OO的一條弦，于點(diǎn)。，點(diǎn)E在。。上.

(1)若NBED=28。，則//OD的度數(shù)為；

第4頁(yè)(共26頁(yè))

(2)若點(diǎn)3是DE的中點(diǎn)，求證：DE=AB；

(3)若CD=3,48=12,求。。的半徑長(zhǎng).

D

21.(9分)某商場(chǎng)將進(jìn)貨價(jià)為30元的臺(tái)燈以40元售出，平均每月能售出600個(gè)，調(diào)查表明：這種臺(tái)燈的

售價(jià)每上漲0.5元

(1)為了實(shí)現(xiàn)平均每月10000元的銷(xiāo)售利潤(rùn)，這種臺(tái)燈的售價(jià)應(yīng)定為多少元？這時(shí)應(yīng)進(jìn)臺(tái)燈多少個(gè)？

(2)當(dāng)臺(tái)燈的售價(jià)定為多少元時(shí)，獲得的月利潤(rùn)最大？

五、解答題(三)(22題13分，23題14分，共27分)

22.(13分)如圖，在正方形/BCD中，線(xiàn)段N3繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(0°<a<90°),延長(zhǎng)至點(diǎn)歹

使得C2=C尸，取線(xiàn)段斯的中點(diǎn)G

(1)求證：4ADE咨ACDF.

(2)如圖(2),當(dāng)￡恰好是AF中點(diǎn)時(shí)，求證：AE=V5DG.

(3)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，/BGC的度數(shù)是否發(fā)生改變？若不變，求出/BGC的度數(shù)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(4)若48=4,在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，請(qǐng)直接寫(xiě)出△GDC的面積最大值.

圖⑴圖⑵

23.(14分)如圖所示，拋物線(xiàn)y=a/+2x+c的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=l,與x軸交于點(diǎn)/、點(diǎn)、B,與y軸交于點(diǎn)

C(0,5),E兩點(diǎn).

(1)求拋物線(xiàn)的解析式；

(2)平移線(xiàn)段CD,若點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。落在拋物線(xiàn)上，點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。落在直線(xiàn)?！晟?3)如圖(2),

將DE上方的拋物線(xiàn)沿著直線(xiàn)DE翻折，P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)Q,連接PQ交DE于點(diǎn)G.

第5頁(yè)(共26頁(yè))

①當(dāng)四邊形DPE。是菱形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)尸的坐標(biāo);

②在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求線(xiàn)段尸。的最大值.

第6頁(yè)（共26頁(yè)）

2024-2025學(xué)年廣東省珠海市香洲區(qū)紫荊中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1.（3分）若關(guān)于x的方程-1），+如；-1=0是一元二次方程，則加的取值范圍是（）

A.機(jī)=1B.C.機(jī)21D.mWO

【解答】解：由題意得：m-l^O,

解得：〃層3,

故選：B.

【解答】解：A.圖形既不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；

B.圖形不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；

C.圖形既不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；

D.圖形既是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)符合題意

故選：D.

3.（3分）已知。。的半徑為3ca,點(diǎn)尸到圓心。的距離為5cm,則點(diǎn)尸（）

A.在圓內(nèi)B.在圓上

C.在圓外D.在圓上或圓外

【解答】解：：點(diǎn)P到圓心。的距離為5cm>3cm,

點(diǎn)尸在圓外.

故選：C.

4.（3分）已知拋物線(xiàn)y=（x+3）2-2經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸（1,ji）和。（3,y2）,則yi與/的大小關(guān)系是（

A.yi—y2B.yi>yiC.y\<yiD.無(wú)法確定

第7頁(yè)（共26頁(yè)）

【解答】解：當(dāng)X=1時(shí)，A=(8+3)2-7=14；

當(dāng)％=3時(shí)，yi=(5+3)2-6=34.

V14O4,

故選：C.

5.(3分)在“雙減政策”推動(dòng)下，某校學(xué)生課后作業(yè)時(shí)長(zhǎng)明顯減少.原來(lái)每天作業(yè)平均時(shí)長(zhǎng)為100〃泌,

經(jīng)過(guò)兩個(gè)學(xué)期的調(diào)整后，則所列方程為()

A.100(1-x2)=70B.70(1+x2)=100

C.100(1-X)2=70D.70(1+x)2=100

【解答】解：根據(jù)題意得100(1-X)2=70.

故選：C.

6.(3分)△/。2繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)65°后得到△COD,若//。2=30°,則N80C的度數(shù)是()

A.25°B.30°C.35°D.65°

【解答】解：:△/OB繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)65°得到△<%>〃，

ZAOC=ZBOD=65°,

VZAOB=30°,

：.ZBOC=ZAOC-ZAOB=35°,

故選C.

7.(3分)如圖，已知NC是直徑，48=6,。是弧8C的中點(diǎn)，則。￡=()

第8頁(yè)(共26頁(yè))

【解答】解：連接。瓦

:。是弧BC的中點(diǎn)，

/.ZBOD=ZCOD,

"：OB=OD,

：.OD±BC,BE=AAX8=6,

22

是圓的直徑，

ZABC^90°,

；.AC=d+BC2r62+87=10,

.,.OB=^AC=4,

2

???OE=VOB2-BE2=VS2-48=3，

：.DE=OD-OE=5-2=2.

故選：B.

三

8.（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)/的坐標(biāo)為（-1,弧）,將點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)4,

則點(diǎn)4坐標(biāo)為（）

y

A.（1,-遙）B.（-V3，1）C.（0,2）D.（V3-1）

【解答】解：如圖所示，過(guò)/作軸于2,

VZAOA'=90°=ZABO=ZOCA',

：.ZBAO+ZAOB=9Q°^ZA'OC+ZAOB,

：.ZBAO=ZCOA',

又

:.LAOB2AOA'C（AAS）,

第9頁(yè)（共26頁(yè)）

：.A'C=BO=\,CO=AB=y/3,

.?.點(diǎn)/'坐標(biāo)為（&,1）,

9.（3分）二次函數(shù)夕=依2一6工+3的圖象與x軸有交點(diǎn)，則人的取值范圍是（）

A.左W3且左WOB.后<3且左WOC.kW3D.k<3

【解答】解：?二次函數(shù)尸依2-6x+4的圖象與x軸有交點(diǎn)，

.?啟0且公=（-6）7-4^328,

；"W3且左W0.

故選：A.

10.（3分）如圖所示，邊長(zhǎng)為2的等邊△NBC是三棱鏡的一個(gè)橫截面.一束光線(xiàn)兒很沿著與邊垂直的

方向射入到BC邊上的點(diǎn)。處（點(diǎn)D與B,C不重合），反射光線(xiàn)沿DF的方向射出去，且入射光線(xiàn)和

反射光線(xiàn)使NMDK=/FDK.設(shè)BE的長(zhǎng)為x,△。尸C的面積為了（）

A.

第10頁(yè)（共26頁(yè)）

ZB=ZC=60°,BC=2,

u：MELAB,

：.ZBED=90°,

；?/BDE=30°,

又.：BE=x,血石沿著與45邊垂直的方向射入到5C邊上的點(diǎn)。處(點(diǎn)D與B,

；?BD=2x,CD=6-2x.

VZMDK=ZFDK,OK與5C垂直，

：?NCDF=NBDE=30°,

ZZ>FC=180°-ZCDF-ZC=90°,

：.FC=1.CD=1.,FD=CD-sin60°=(8-2x)X叵=M，

327

：.y=lj^C-FD

5

=A(7-X)xJs

2

=(1-x)2.

8

函數(shù)圖象為開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)，其對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=5.

故選：A.

二、填空題(每小題3分，共15分)

11.(3分)拋物線(xiàn)>=-(x-1)2+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1,3)；與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(0,2)

【解答】解：由題意，二?拋物線(xiàn)為夕=-(x-1)2+2,

，其頂點(diǎn)為(1,3).

又令x=4,

.,?y--(0-1)3+3=2.

第11頁(yè)(共26頁(yè))

，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2,2）.

故答案為：（1,2）,2）.

12.（3分）己知〃?、〃是方程--2x-3=0的兩個(gè)根，則代數(shù)式僅"+加2-的值為0.

【解答】解：：加、〃是方程，-2x-5=0的兩個(gè)根，

m2-Im-3=0,mn--3,

nr-2m=5,

mn+m2-2m=-2+3=0.

故答案為：4.

13.（3分）拋物線(xiàn)y=（x+2）2-5先向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移6個(gè)單位長(zhǎng)度得到的拋物線(xiàn)解

析式為y=（x+3）2+1.

【解答】解：由題知，

將拋物線(xiàn)^=（x+2）2-8向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得拋物線(xiàn)的解析式為>=（x+3）6-5,

再將所得拋物線(xiàn)向上平移6個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得拋物線(xiàn)的解析式為y=（x+7）2+1.

故答案為:尸（x+2）2+l.

14.（3分）如圖，已知48是。。的直徑，C、。是上兩點(diǎn)、且/。=130°40度.

【解答】解：是。。的直徑,

ZACB=90°,

.,./2=180°-ZD=50°,

：.ZBAC=900-Z5=40°.

15.（3分）如圖，拋物線(xiàn)y=ax2+6x+c（aWO）與x軸交于點(diǎn)（7,0）和點(diǎn)（3,0）①③⑹.（填

寫(xiě)序號(hào)）

①%>0；②2a-6=0；③3a+c=0：④當(dāng)y>0時(shí)；⑤〃？為任意實(shí)數(shù)，則。”於+方根>°+6；⑥若

+,

axi+bx1=ax2bx2且不力物則知+&=2.

第12頁(yè)（共26頁(yè)）

【解答】解：由所給函數(shù)圖象可知,

。>0,b<0,

所以abc>2.

故①正確.

因?yàn)閽佄锞€(xiàn)與X軸交于點(diǎn)（-1,0）和點(diǎn)（7,

所以?huà)佄锞€(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=zlil=1）

5

則上=2，

2a

所以2a+b=0.

故②錯(cuò)誤.

因?yàn)閽佄锞€(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-2,0）,

所以a-b+c=0,

又因?yàn)閎=-2a,

所以a-(-2a)+c=0,

即8a+c=0.

故③正確.

由函數(shù)圖象可知，

當(dāng)x<-l或x>8時(shí)，函數(shù)圖象在x軸上方，

所以當(dāng)y>0時(shí)，x<-1或x>4.

故④錯(cuò)誤.

因?yàn)閽佄锞€(xiàn)開(kāi)口向上，且對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=l，

所以當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)取值最小值為a+6+c,

則對(duì)于拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn)（橫坐標(biāo)為機(jī)），且函數(shù)值不小于a+b+c,

所以am4+bm+ca+b+c,

即am2+bm^a+b.

故⑤錯(cuò)誤.

第13頁(yè)（共26頁(yè)）

又因?yàn)閄1WX8,

所以巴士;1，

6

即XI+X7=2.

故⑥正確.

故答案為：①③⑥.

三、解答題(一)(每小題7分，共21分)

16.(7分)解方程:

(1)X2+3X=0；

(2)X2-6X-7=0.

【解答】解：(1)VX2+3X=4,

.,.x(x+3)=0,

則x=6或x+3=0,

解得X7=0,X2=-6；

(2)Vx2-6x-2=0,

(x-7)(x+8)=0,

貝Ux-7=4或x+1=0,

解得X4=7,X2=-8.

17.(7分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△NBC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是/(-1,2)(-3,1)、C(0,

-1).

(1)畫(huà)出△A3C關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)稱(chēng)的△NLBICI；

(2)畫(huà)出△A3C繞點(diǎn)C逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后得到的△DEC,并寫(xiě)出點(diǎn)/的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。的坐標(biāo).

第14頁(yè)(共26頁(yè))

（2）如圖，△DEC即為所求.

由圖可得，點(diǎn)。的坐標(biāo)為（-3.

18.（7分）雜技團(tuán)進(jìn)行雜技表演，演員從蹺蹺板右端/處彈跳到人梯頂端椅子2處，其身體（看成一點(diǎn)）

y=-2x2+2x+2的一部分，如圖所示.

5――

（1）求演員彈跳離地面的最大高度；

（2）已知人梯高3c=3.6米，在一次表演中，人梯到起跳點(diǎn)/的水平距離是4米

第15頁(yè)（共26頁(yè)）

【解答】解：(1)由題意，：二次函數(shù)為y=-Z?+2x+2=-2(x-1)2+_9；

5567

.?.當(dāng)X=9時(shí)，y有最大值，

y最大值

22

演員彈跳離地面的最大高度是4.4米.

(2)能成功表演.理由是：

當(dāng)x=4時(shí)，y—-A2+2X4+2=3.3.

7

即點(diǎn)2(4,3.6)在拋物線(xiàn)y=-Z?+2x+2上，

5

因此，能表演成功.

四、解答題(二)(每小題9分，共27分)

19.(9分)已知關(guān)于x的一元二次方程(x-3)(x-2)=\m\.

(1)求證：對(duì)于任意實(shí)數(shù)處方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

(2)若方程的一個(gè)根是1,求加的值及方程的另一個(gè)根.

【解答】(1)證明：：(x-3)(x-2)=H，

.".x5-5x+6-\m\—l,

VA=(-5)2-5(6-|m|)=\+2\m\,

而|加及0,

A>0,

???方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

(2)解：?.?方程的一個(gè)根是6,

\tn\=2,

解得：m=±2,

，原方程為：x2-5x+4=5,

第16頁(yè)(共26頁(yè))

解得：X1=1,X2=4.

即m的值為土2,方程的另一個(gè)根是6.

20.(9分)如圖，是。。的一條弦，于點(diǎn)C,點(diǎn)E在。。上.

(1)若/3￡。=28°,則的度數(shù)為56°；

(2)若點(diǎn)8是血的中點(diǎn)，求證：DE=AB；

(3)若CE>=3,4B=12,求。。的半徑長(zhǎng).

D

【解答】(1)解：于點(diǎn)C,交OO于點(diǎn)，

，弧/。=弧8￡>,

■:NDEB=28°,

ZAOD=2ZDEB=56°,

故答案為：56°；

(2)證明：?.,點(diǎn)3是品的中點(diǎn)，

?1?BD=BE，

于點(diǎn)C,交。。于點(diǎn)D,

???AD=BD?

B1>AD=BD+BE-

即定=命

：.DE=AB-,

(3)解：'：ODLAB,

:.AC=BC=1AB=L,

32

'：CD=4,

：.OC=OD-CD=OA-CD,

第17頁(yè)(共26頁(yè))

在直角三角形/0C中，AO2^OC2+AC3,

：.AO2=（CM-3）2+62,

解得/。=生，

8

..?。。的半徑長(zhǎng)為”.

2

21.（9分）某商場(chǎng)將進(jìn)貨價(jià)為30元的臺(tái)燈以40元售出，平均每月能售出600個(gè)，調(diào)查表明：這種臺(tái)燈的

售價(jià)每上漲0.5元

（1）為了實(shí)現(xiàn)平均每月10000元的銷(xiāo)售利潤(rùn)，這種臺(tái)燈的售價(jià)應(yīng)定為多少元？這時(shí)應(yīng)進(jìn)臺(tái)燈多少個(gè)？

（2）當(dāng)臺(tái)燈的售價(jià)定為多少元時(shí)，獲得的月利潤(rùn)最大？

【解答】解：（1）設(shè)這種臺(tái)燈的售價(jià)應(yīng)定為x元，則平均每月可售出[[600-2，

0.3

...（X-30）[600-10（X-40）]=10000,

.,.X2-130x+4000=0,

.*.X7=50,X2=80.

又：每個(gè)臺(tái)燈的利潤(rùn)不得高于進(jìn)價(jià)的90%,即利潤(rùn)W30X90%=27,

-30W27.

?\xW57.

**.x=50.

這時(shí)應(yīng)進(jìn)臺(tái)燈為：600-5（50-40）=500（個(gè)）.

7.5

答：為了實(shí)現(xiàn)平均每月10000元的銷(xiāo)售利潤(rùn)，這種臺(tái)燈的售價(jià)應(yīng)定為50元.

（2）由題意，設(shè)臺(tái)燈的售價(jià)為x元，依題意：y—（x-30）[600--,

'6.5

-10X2+1300X-30000

=-10（X-65）2+12250.

又：0<xW57.

.,.當(dāng)x=57時(shí)，y最大=11610元.

答：這種臺(tái)燈的售價(jià)應(yīng)定為57元，每月的最大利潤(rùn)是11610元.

五、解答題（三）（22題13分，23題14分，共27分）

22.（13分）如圖，在正方形/BCD中，線(xiàn)段N3繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（0°<a<90°）,延長(zhǎng)至點(diǎn)/

使得C2=CF,取線(xiàn)段斯的中點(diǎn)G

（1）求證：AADE咨ACDF.

第18頁(yè)（共26頁(yè)）

(2)如圖(2),當(dāng)E恰好是2尸中點(diǎn)時(shí)，求證：AE=V5DG.

(3)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，/2GC的度數(shù)是否發(fā)生改變？若不變，求出NBGC的度數(shù)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(4)若/8=4,在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，請(qǐng)直接寫(xiě)出△GZX7的面積最大值.

圖⑴圖(2)

【解答】(1)證明：：四邊形N5CD是正方形，

：.AB=AD=BC=CD,ZBAD=ZABC=ZBCD=90°,

:線(xiàn)段NB繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(0°<a<90")得到線(xiàn)段NE,

：?4B=4E,ZBAE=a,

:./DAE=90°-a,ZABE=90°-

2

：.ZCBF=—,

7

?；BC=CF,

：.ZCBF=ZCFB=CF=CD=AD=AE,

2

/.Z5C^=180°-a,

：.ZDCF=90°-a,

：.ZDCF=ZDAE,

:.A4DE名ACDF(&4S)；

(2)證明：如圖2,連接3。，

圖⑵

AADE義4CDF,

第19頁(yè)(共26頁(yè))

:?DE=DF,NADE=NCDF,

：.ZADC=ZEDF=90°,

???△。旗是等腰直角三角形，

???G是跖的中點(diǎn),

：.DG=EG=GF,DG1EF,

:./DGB=9U°=ABCD,NDEG=45°,

?,?點(diǎn)G,點(diǎn)。，點(diǎn)。四點(diǎn)共圓，

/.ZBGC=ZBDC=45°,

：./DEG=/BGC,

C.DE//CG,

?；BC=CF,點(diǎn)、E是BF中點(diǎn)、,

：.CE.LBF,BE=EF=6DG,

：.DG//CE,

???四邊形DGCE是平行四邊形，

:?CE=DG,

22

■-CF=7EF-K；E=V6DG2+DG2=娓DG,

:.AE=4^DG；

(3)解：N8GC的度數(shù)不會(huì)改變，理由如下:

如圖2,連接AD,

圖(2)

,/4ADE出dCDF,

：.DE=DF,ZADECDF,

：.ZADC=ZEDF=90°,

...△D即是等腰直角三角形，

第20頁(yè)（共26頁(yè)）

：G是所的中點(diǎn),

：.DG=EG=GF,DGLEF,

：.ZDGB=90°=ZBCD,ZDEG=45°,

...點(diǎn)G,點(diǎn)。，點(diǎn)C四點(diǎn)共圓，

ZBGC=ZBDC=45°；

(4)解：如圖7,連接NC,連接。G,

圖（3）

:四邊形/BCD是正方形，AB=4,

：.CD=AB=4,AC=BD=2MM，

:點(diǎn)G,點(diǎn)。，點(diǎn)。四點(diǎn)共圓，

...點(diǎn)G在以。為圓心，0D為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

:線(xiàn)段繞點(diǎn)N逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（80<a<90°）得到線(xiàn)段NE,

.?.點(diǎn)G在加上運(yùn)動(dòng)，

當(dāng)。GLCD時(shí)，△GDC的面積有最大值，

'：ODLOC,OD=OC,

：.0H=CH=DH=2,

.,.△GDC的面積的最大值=」X4義（2V3V2-4.

5

23.（14分）如圖所示，拋物線(xiàn)y=a/+2x+c的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=l,與x軸交于點(diǎn)/、點(diǎn)5,與y軸交于點(diǎn)

C（0,5）,E兩點(diǎn).

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）平移線(xiàn)段CD,若點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。落在拋物線(xiàn)上，點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。落在直線(xiàn)DE上（3）如圖（2）,

將DE上方的拋物線(xiàn)沿著直線(xiàn)DB翻折，P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)。，連接尸。交?！暧邳c(diǎn)G.

①當(dāng)四邊形DPEQ是菱形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

第21頁(yè)（共26頁(yè)）

②在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求線(xiàn)段PQ的最大值.

-2=1,

7a

解得：a=-1,

又：拋物線(xiàn)y=ox3+2x+c與夕軸交于點(diǎn)C（0,3）,

??5,

...拋物線(xiàn)的解析式為＞=-X2+3X+5.

（2）聯(lián)立得,,

y=-x2+2x+5