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文檔簡介
2024-2025學(xué)年廣東省珠海市香洲區(qū)紫荊中學(xué)九年級(上)期中數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題(每小題3分,共30分)
1.(3分)若關(guān)于x的方程(加-1),+加x-1=0是一元二次方程,則加的取值范圍是()
A.m=\B.mC.mAD.m^O
2.(3分)2024年7月27日,第33屆夏季奧運(yùn)會在法國巴黎舉行,如圖所示巴黎奧運(yùn)會項目圖標(biāo)中()
3.(3分)已知。。的半徑為3c根,點尸到圓心。的距離為5cm,則點尸()
A.在圓內(nèi)B.在圓上
C.在圓外D.在圓上或圓外
4.(3分)已知拋物線y=G+3)2-2經(jīng)過點尸(1,ji)和。(3,?),則yi與"的大小關(guān)系是()
A.yi=y2B.yi>y2C.yi<y2D.無法確定
5.(3分)在“雙減政策”推動下,某校學(xué)生課后作業(yè)時長明顯減少.原來每天作業(yè)平均時長為100〃泌,
經(jīng)過兩個學(xué)期的調(diào)整后,則所列方程為()
A.100(1-%2)=70B.70(1+x2)=100
C.100(1-X)2=70D.70(1+x)2=100
6.(3分)ZUOB繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)65°后得到△COD,若//。2=30°,則N30C的度數(shù)是()
A.25°B.30°C.35°D.65
第1頁(共26頁)
7.(3分)如圖,已知NC是直徑,AB=6,。是弧8C的中點,則?!?()
A.1B.2C.3D.4
8.(3分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點N的坐標(biāo)為(-1,遮),將點N順時針旋轉(zhuǎn)90°得到點4,
則點4坐標(biāo)為()
C.(0,2)D.(?,1)
9.(3分)二次函數(shù)夕=h2一6x+3的圖象與x軸有交點,則左的取值范圍是()
A.左W3且左WOB.左<3且左WOC.kW3D.k<3
10.(3分)如圖所示,邊長為2的等邊△NBC是三棱鏡的一個橫截面.一束光線兒很沿著與邊垂直的
方向射入到3C邊上的點。處(點。與3,C不重合),反射光線沿DF的方向射出去,且入射光線和
反射光線使NML>K=/FDK.設(shè)BE的長為x,△。尸C的面積為>()
B.
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二、填空題(每小題3分,共15分)
11.(3分)拋物線y=-(x-1)2+3的頂點坐標(biāo)是;與夕軸的交點坐標(biāo)是.
12.(3分)己知/、〃是方程--2x-3=0的兩個根,則代數(shù)式7〃"+/-的值為.
13.(3分)拋物線y=(x+2)2-5先向左平移1個單位長度,再向上平移6個單位長度得到的拋物線解
析式為.
14.(3分)如圖,已知AB是的直徑,C、。是。。上兩點、且/。=130°度.
15.(3分)如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a#0)與x軸交于點(-1,0)和點(3,0).(填寫
序號)
①abc>0;②2a-6=0;③3a+c=0:④當(dāng)y>0時;⑤加為任意實數(shù),則a加?+6加>°+人;⑥若
,
axj+bx1=axo+bx2且xi力X2,貝UXI+X2=2-
三、解答題(一)(每小題7分,共21分)
16.(7分)解方程:
(1)X2+3X=0;
(2)X2-6X-7=0.
17.(7分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知△4BC的頂點坐標(biāo)分別是/(-1,2)(-3,1)、C(0,
-1).
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(1)畫出△/2C關(guān)于原點。對稱的△NbBiCi;
(2)畫出△/2C繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到的△DEC,并寫出點/的對應(yīng)點。的坐標(biāo).
18.(7分)雜技團(tuán)進(jìn)行雜技表演,演員從蹺蹺板右端N處彈跳到人梯頂端椅子8處,其身體(看成一點)
y=-2x*+2x+2的一部分,如圖所示.
5
(1)求演員彈跳離地面的最大高度;
(2)已知人梯高8。=3.6米,在一次表演中,人梯到起跳點/的水平距離是4米
四、解答題(二)(每小題9分,共27分)
19.(9分)已知關(guān)于x的一元二次方程(x-3)(x-2)=\m\.
(1)求證:對于任意實數(shù)相,方程總有兩個不相等的實數(shù)根;
(2)若方程的一個根是1,求加的值及方程的另一個根.
20.(9分)如圖,是OO的一條弦,于點。,點E在。。上.
(1)若NBED=28。,則//OD的度數(shù)為;
第4頁(共26頁)
(2)若點3是DE的中點,求證:DE=AB;
(3)若CD=3,48=12,求。。的半徑長.
D
21.(9分)某商場將進(jìn)貨價為30元的臺燈以40元售出,平均每月能售出600個,調(diào)查表明:這種臺燈的
售價每上漲0.5元
(1)為了實現(xiàn)平均每月10000元的銷售利潤,這種臺燈的售價應(yīng)定為多少元?這時應(yīng)進(jìn)臺燈多少個?
(2)當(dāng)臺燈的售價定為多少元時,獲得的月利潤最大?
五、解答題(三)(22題13分,23題14分,共27分)
22.(13分)如圖,在正方形/BCD中,線段N3繞點/逆時針旋轉(zhuǎn)a(0°<a<90°),延長至點歹
使得C2=C尸,取線段斯的中點G
(1)求證:4ADE咨ACDF.
(2)如圖(2),當(dāng)£恰好是AF中點時,求證:AE=V5DG.
(3)在旋轉(zhuǎn)過程中,/BGC的度數(shù)是否發(fā)生改變?若不變,求出/BGC的度數(shù),請說明理由.
(4)若48=4,在旋轉(zhuǎn)過程中,請直接寫出△GDC的面積最大值.
圖⑴圖⑵
23.(14分)如圖所示,拋物線y=a/+2x+c的對稱軸為直線x=l,與x軸交于點/、點、B,與y軸交于點
C(0,5),E兩點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)平移線段CD,若點C的對應(yīng)點。落在拋物線上,點。的對應(yīng)點。落在直線?!晟?3)如圖(2),
將DE上方的拋物線沿著直線DE翻折,P的對應(yīng)點為點Q,連接PQ交DE于點G.
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①當(dāng)四邊形DPE。是菱形時,請直接寫出點尸的坐標(biāo);
②在點P的運(yùn)動過程中,求線段尸。的最大值.
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2024-2025學(xué)年廣東省珠海市香洲區(qū)紫荊中學(xué)九年級(上)期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題(每小題3分,共30分)
1.(3分)若關(guān)于x的方程-1),+如;-1=0是一元二次方程,則加的取值范圍是()
A.機(jī)=1B.C.機(jī)21D.mWO
【解答】解:由題意得:m-l^O,
解得:〃層3,
故選:B.
【解答】解:A.圖形既不是軸對稱圖形,故本選項不符合題意;
B.圖形不是軸對稱圖形,故本選項不符合題意;
C.圖形既不是軸對稱圖形,故本選項不符合題意;
D.圖形既是中心對稱圖形,故本選項符合題意
故選:D.
3.(3分)已知。。的半徑為3ca,點尸到圓心。的距離為5cm,則點尸()
A.在圓內(nèi)B.在圓上
C.在圓外D.在圓上或圓外
【解答】解::點P到圓心。的距離為5cm>3cm,
點尸在圓外.
故選:C.
4.(3分)已知拋物線y=(x+3)2-2經(jīng)過點尸(1,ji)和。(3,y2),則yi與/的大小關(guān)系是(
A.yi—y2B.yi>yiC.y\<yiD.無法確定
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【解答】解:當(dāng)X=1時,A=(8+3)2-7=14;
當(dāng)%=3時,yi=(5+3)2-6=34.
V14O4,
故選:C.
5.(3分)在“雙減政策”推動下,某校學(xué)生課后作業(yè)時長明顯減少.原來每天作業(yè)平均時長為100〃泌,
經(jīng)過兩個學(xué)期的調(diào)整后,則所列方程為()
A.100(1-x2)=70B.70(1+x2)=100
C.100(1-X)2=70D.70(1+x)2=100
【解答】解:根據(jù)題意得100(1-X)2=70.
故選:C.
6.(3分)△/。2繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)65°后得到△COD,若//。2=30°,則N80C的度數(shù)是()
A.25°B.30°C.35°D.65°
【解答】解::△/OB繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)65°得到△<%>〃,
ZAOC=ZBOD=65°,
VZAOB=30°,
:.ZBOC=ZAOC-ZAOB=35°,
故選C.
7.(3分)如圖,已知NC是直徑,48=6,。是弧8C的中點,則?!?()
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【解答】解:連接。瓦
:。是弧BC的中點,
/.ZBOD=ZCOD,
":OB=OD,
:.OD±BC,BE=AAX8=6,
22
是圓的直徑,
ZABC^90°,
;.AC=d+BC2r62+87=10,
.,.OB=^AC=4,
2
???OE=VOB2-BE2=VS2-48=3,
:.DE=OD-OE=5-2=2.
故選:B.
三
8.(3分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點/的坐標(biāo)為(-1,弧),將點/順時針旋轉(zhuǎn)90°得到點4,
則點4坐標(biāo)為()
y
A.(1,-遙)B.(-V3,1)C.(0,2)D.(V3-1)
【解答】解:如圖所示,過/作軸于2,
VZAOA'=90°=ZABO=ZOCA',
:.ZBAO+ZAOB=9Q°^ZA'OC+ZAOB,
:.ZBAO=ZCOA',
又
:.LAOB2AOA'C(AAS),
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:.A'C=BO=\,CO=AB=y/3,
.?.點/'坐標(biāo)為(&,1),
9.(3分)二次函數(shù)夕=依2一6工+3的圖象與x軸有交點,則人的取值范圍是()
A.左W3且左WOB.后<3且左WOC.kW3D.k<3
【解答】解:?二次函數(shù)尸依2-6x+4的圖象與x軸有交點,
.?啟0且公=(-6)7-4^328,
;"W3且左W0.
故選:A.
10.(3分)如圖所示,邊長為2的等邊△NBC是三棱鏡的一個橫截面.一束光線兒很沿著與邊垂直的
方向射入到BC邊上的點。處(點D與B,C不重合),反射光線沿DF的方向射出去,且入射光線和
反射光線使NMDK=/FDK.設(shè)BE的長為x,△。尸C的面積為了()
A.
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ZB=ZC=60°,BC=2,
u:MELAB,
:.ZBED=90°,
;?/BDE=30°,
又.:BE=x,血石沿著與45邊垂直的方向射入到5C邊上的點。處(點D與B,
;?BD=2x,CD=6-2x.
VZMDK=ZFDK,OK與5C垂直,
:?NCDF=NBDE=30°,
ZZ>FC=180°-ZCDF-ZC=90°,
:.FC=1.CD=1.,FD=CD-sin60°=(8-2x)X叵=M,
327
:.y=lj^C-FD
5
=A(7-X)xJs
2
=(1-x)2.
8
函數(shù)圖象為開口向上的拋物線,其對稱軸為直線x=5.
故選:A.
二、填空題(每小題3分,共15分)
11.(3分)拋物線>=-(x-1)2+3的頂點坐標(biāo)是(1,3);與y軸的交點坐標(biāo)是(0,2)
【解答】解:由題意,二?拋物線為夕=-(x-1)2+2,
,其頂點為(1,3).
又令x=4,
.,?y--(0-1)3+3=2.
第11頁(共26頁)
,與y軸的交點坐標(biāo)為(2,2).
故答案為:(1,2),2).
12.(3分)己知〃?、〃是方程--2x-3=0的兩個根,則代數(shù)式僅"+加2-的值為0.
【解答】解::加、〃是方程,-2x-5=0的兩個根,
m2-Im-3=0,mn--3,
nr-2m=5,
mn+m2-2m=-2+3=0.
故答案為:4.
13.(3分)拋物線y=(x+2)2-5先向左平移1個單位長度,再向上平移6個單位長度得到的拋物線解
析式為y=(x+3)2+1.
【解答】解:由題知,
將拋物線^=(x+2)2-8向左平移1個單位長度后,所得拋物線的解析式為>=(x+3)6-5,
再將所得拋物線向上平移6個單位長度后,所得拋物線的解析式為y=(x+7)2+1.
故答案為:尸(x+2)2+l.
14.(3分)如圖,已知48是。。的直徑,C、。是上兩點、且/。=130°40度.
【解答】解:是。。的直徑,
ZACB=90°,
.,./2=180°-ZD=50°,
:.ZBAC=900-Z5=40°.
15.(3分)如圖,拋物線y=ax2+6x+c(aWO)與x軸交于點(7,0)和點(3,0)①③⑹.(填
寫序號)
①%>0;②2a-6=0;③3a+c=0:④當(dāng)y>0時;⑤〃?為任意實數(shù),則?!膘?方根>°+6;⑥若
+,
axi+bx1=ax2bx2且不力物則知+&=2.
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【解答】解:由所給函數(shù)圖象可知,
。>0,b<0,
所以abc>2.
故①正確.
因為拋物線與X軸交于點(-1,0)和點(7,
所以拋物線的對稱軸為直線x=zlil=1)
5
則上=2,
2a
所以2a+b=0.
故②錯誤.
因為拋物線經(jīng)過點(-2,0),
所以a-b+c=0,
又因為b=-2a,
所以a-(-2a)+c=0,
即8a+c=0.
故③正確.
由函數(shù)圖象可知,
當(dāng)x<-l或x>8時,函數(shù)圖象在x軸上方,
所以當(dāng)y>0時,x<-1或x>4.
故④錯誤.
因為拋物線開口向上,且對稱軸為直線x=l,
所以當(dāng)x=l時,函數(shù)取值最小值為a+6+c,
則對于拋物線上任意一點(橫坐標(biāo)為機(jī)),且函數(shù)值不小于a+b+c,
所以am4+bm+ca+b+c,
即am2+bm^a+b.
故⑤錯誤.
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又因為X1WX8,
所以巴士;1,
6
即XI+X7=2.
故⑥正確.
故答案為:①③⑥.
三、解答題(一)(每小題7分,共21分)
16.(7分)解方程:
(1)X2+3X=0;
(2)X2-6X-7=0.
【解答】解:(1)VX2+3X=4,
.,.x(x+3)=0,
則x=6或x+3=0,
解得X7=0,X2=-6;
(2)Vx2-6x-2=0,
(x-7)(x+8)=0,
貝Ux-7=4或x+1=0,
解得X4=7,X2=-8.
17.(7分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知△NBC的頂點坐標(biāo)分別是/(-1,2)(-3,1)、C(0,
-1).
(1)畫出△A3C關(guān)于原點。對稱的△NLBICI;
(2)畫出△A3C繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到的△DEC,并寫出點/的對應(yīng)點。的坐標(biāo).
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(2)如圖,△DEC即為所求.
由圖可得,點。的坐標(biāo)為(-3.
18.(7分)雜技團(tuán)進(jìn)行雜技表演,演員從蹺蹺板右端/處彈跳到人梯頂端椅子2處,其身體(看成一點)
y=-2x2+2x+2的一部分,如圖所示.
5――
(1)求演員彈跳離地面的最大高度;
(2)已知人梯高3c=3.6米,在一次表演中,人梯到起跳點/的水平距離是4米
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【解答】解:(1)由題意,:二次函數(shù)為y=-Z?+2x+2=-2(x-1)2+_9;
5567
.?.當(dāng)X=9時,y有最大值,
y最大值
22
演員彈跳離地面的最大高度是4.4米.
(2)能成功表演.理由是:
當(dāng)x=4時,y—-A2+2X4+2=3.3.
7
即點2(4,3.6)在拋物線y=-Z?+2x+2上,
5
因此,能表演成功.
四、解答題(二)(每小題9分,共27分)
19.(9分)已知關(guān)于x的一元二次方程(x-3)(x-2)=\m\.
(1)求證:對于任意實數(shù)處方程總有兩個不相等的實數(shù)根;
(2)若方程的一個根是1,求加的值及方程的另一個根.
【解答】(1)證明::(x-3)(x-2)=H,
.".x5-5x+6-\m\—l,
VA=(-5)2-5(6-|m|)=\+2\m\,
而|加及0,
A>0,
???方程總有兩個不相等的實數(shù)根;
(2)解:?.?方程的一個根是6,
\tn\=2,
解得:m=±2,
,原方程為:x2-5x+4=5,
第16頁(共26頁)
解得:X1=1,X2=4.
即m的值為土2,方程的另一個根是6.
20.(9分)如圖,是。。的一條弦,于點C,點E在。。上.
(1)若/3£。=28°,則的度數(shù)為56°;
(2)若點8是血的中點,求證:DE=AB;
(3)若CE>=3,4B=12,求。。的半徑長.
D
【解答】(1)解:于點C,交OO于點,
,弧/。=弧8£>,
■:NDEB=28°,
ZAOD=2ZDEB=56°,
故答案為:56°;
(2)證明:?.,點3是品的中點,
?1?BD=BE,
于點C,交。。于點D,
???AD=BD?
B1>AD=BD+BE-
即定=命
:.DE=AB-,
(3)解:':ODLAB,
:.AC=BC=1AB=L,
32
':CD=4,
:.OC=OD-CD=OA-CD,
第17頁(共26頁)
在直角三角形/0C中,AO2^OC2+AC3,
:.AO2=(CM-3)2+62,
解得/。=生,
8
..?。。的半徑長為”.
2
21.(9分)某商場將進(jìn)貨價為30元的臺燈以40元售出,平均每月能售出600個,調(diào)查表明:這種臺燈的
售價每上漲0.5元
(1)為了實現(xiàn)平均每月10000元的銷售利潤,這種臺燈的售價應(yīng)定為多少元?這時應(yīng)進(jìn)臺燈多少個?
(2)當(dāng)臺燈的售價定為多少元時,獲得的月利潤最大?
【解答】解:(1)設(shè)這種臺燈的售價應(yīng)定為x元,則平均每月可售出[[600-2,
0.3
...(X-30)[600-10(X-40)]=10000,
.,.X2-130x+4000=0,
.*.X7=50,X2=80.
又:每個臺燈的利潤不得高于進(jìn)價的90%,即利潤W30X90%=27,
-30W27.
?\xW57.
**.x=50.
這時應(yīng)進(jìn)臺燈為:600-5(50-40)=500(個).
7.5
答:為了實現(xiàn)平均每月10000元的銷售利潤,這種臺燈的售價應(yīng)定為50元.
(2)由題意,設(shè)臺燈的售價為x元,依題意:y—(x-30)[600--,
'6.5
-10X2+1300X-30000
=-10(X-65)2+12250.
又:0<xW57.
.,.當(dāng)x=57時,y最大=11610元.
答:這種臺燈的售價應(yīng)定為57元,每月的最大利潤是11610元.
五、解答題(三)(22題13分,23題14分,共27分)
22.(13分)如圖,在正方形/BCD中,線段N3繞點/逆時針旋轉(zhuǎn)a(0°<a<90°),延長至點/
使得C2=CF,取線段斯的中點G
(1)求證:AADE咨ACDF.
第18頁(共26頁)
(2)如圖(2),當(dāng)E恰好是2尸中點時,求證:AE=V5DG.
(3)在旋轉(zhuǎn)過程中,/2GC的度數(shù)是否發(fā)生改變?若不變,求出NBGC的度數(shù),請說明理由.
(4)若/8=4,在旋轉(zhuǎn)過程中,請直接寫出△GZX7的面積最大值.
圖⑴圖(2)
【解答】(1)證明::四邊形N5CD是正方形,
:.AB=AD=BC=CD,ZBAD=ZABC=ZBCD=90°,
:線段NB繞點/逆時針旋轉(zhuǎn)a(0°<a<90")得到線段NE,
:?4B=4E,ZBAE=a,
:./DAE=90°-a,ZABE=90°-
2
:.ZCBF=—,
7
?;BC=CF,
:.ZCBF=ZCFB=CF=CD=AD=AE,
2
/.Z5C^=180°-a,
:.ZDCF=90°-a,
:.ZDCF=ZDAE,
:.A4DE名ACDF(&4S);
(2)證明:如圖2,連接3。,
圖⑵
AADE義4CDF,
第19頁(共26頁)
:?DE=DF,NADE=NCDF,
:.ZADC=ZEDF=90°,
???△。旗是等腰直角三角形,
???G是跖的中點,
:.DG=EG=GF,DG1EF,
:./DGB=9U°=ABCD,NDEG=45°,
?,?點G,點。,點。四點共圓,
/.ZBGC=ZBDC=45°,
:./DEG=/BGC,
C.DE//CG,
?;BC=CF,點、E是BF中點、,
:.CE.LBF,BE=EF=6DG,
:.DG//CE,
???四邊形DGCE是平行四邊形,
:?CE=DG,
22
■-CF=7EF-K;E=V6DG2+DG2=娓DG,
:.AE=4^DG;
(3)解:N8GC的度數(shù)不會改變,理由如下:
如圖2,連接AD,
圖(2)
,/4ADE出dCDF,
:.DE=DF,ZADECDF,
:.ZADC=ZEDF=90°,
...△D即是等腰直角三角形,
第20頁(共26頁)
:G是所的中點,
:.DG=EG=GF,DGLEF,
:.ZDGB=90°=ZBCD,ZDEG=45°,
...點G,點。,點C四點共圓,
ZBGC=ZBDC=45°;
(4)解:如圖7,連接NC,連接。G,
圖(3)
:四邊形/BCD是正方形,AB=4,
:.CD=AB=4,AC=BD=2MM,
:點G,點。,點。四點共圓,
...點G在以。為圓心,0D為半徑的圓上運(yùn)動,
:線段繞點N逆時針旋轉(zhuǎn)a(80<a<90°)得到線段NE,
.?.點G在加上運(yùn)動,
當(dāng)。GLCD時,△GDC的面積有最大值,
':ODLOC,OD=OC,
:.0H=CH=DH=2,
.,.△GDC的面積的最大值=」X4義(2V3V2-4.
5
23.(14分)如圖所示,拋物線y=a/+2x+c的對稱軸為直線x=l,與x軸交于點/、點5,與y軸交于點
C(0,5),E兩點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)平移線段CD,若點C的對應(yīng)點。落在拋物線上,點。的對應(yīng)點。落在直線DE上(3)如圖(2),
將DE上方的拋物線沿著直線DB翻折,P的對應(yīng)點為點。,連接尸。交?!暧邳cG.
①當(dāng)四邊形DPEQ是菱形時,請直接寫出點尸的坐標(biāo);
第21頁(共26頁)
②在點P的運(yùn)動過程中,求線段PQ的最大值.
-2=1,
7a
解得:a=-1,
又:拋物線y=ox3+2x+c與夕軸交于點C(0,3),
??5,
...拋物線的解析式為>=-X2+3X+5.
(2)聯(lián)立得,,
y=-x2+2x+5
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