2024-2025學(xué)年廣東省深圳市某中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年廣東省深圳市翠園中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.已知直線珀勺傾斜角為120。，在y軸上的截距是3,則直線/的方程為（）

A.y=平x+3B.y=一收久-3C.y=-yj^x+3D.y=V^x-3

2.圓Ci：（久+2）2+（y—2）2=4和圓C2：（久一2）2+（y—5）2=16的位置關(guān)系是（）

A.內(nèi)切B.相離C.相交D.外切

3.設(shè)機(jī)為實(shí)數(shù)，若方程三+惡=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)小的取值范圍是（）

333

A.-<m<2B.m>-C.1<m<2D.1<m<-

4.布達(dá)佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)?芬奇方磚，在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案（如

圖1）,把三片這樣的達(dá)?芬奇方磚形成圖2的組合，這個(gè)組合表達(dá)了圖3所示的幾何體.如圖3中每個(gè)正方體

的棱長(zhǎng)為1,則點(diǎn)力到平面QGC的距離是（）

電器PZ_zN,

圖1圖2圖3

11

AjB.~C-TD-T

5.如圖，空間四邊形。力BC中，04=a,OS=b,沆=K點(diǎn)”在04上，且加=會(huì)?

小

點(diǎn)N為BC中點(diǎn)，則而等于（）

AA.-I-a*+?-D--c

2-1-1.B

B--3a+2b+2C

C.~2C-L+—2D^——1C-

CD.—2C-L+—2D^——1C-

6.已知Q為直線Lx+2y+1=。上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P滿足評(píng)=（1,一3）,記P的軌跡為E,貝"（）

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A.E是一個(gè)半徑為巡的圓B.E是一條與I相交的直線

C.E上的點(diǎn)到I的距離均為此D.E是兩條平行直線

7.臺(tái)風(fēng)中心從M地以每小時(shí)30km的速度向西北方向移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心30避fon內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)地區(qū)，城市

N在M地正西方向60Qn處，則城市N處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)長(zhǎng)為()

A.lhB.C.2/1D.3%

8.PA,PB,PC是從點(diǎn)P出發(fā)的三條射線，每?jī)蓷l射線的夾角均為60。，那么直線PC與平面P4B所成角的正

弦值是()

A.孚B.乎C.*D.1

3322

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.給出下列命題，其中是真命題的是()

A.若Z=(-1,1,一2)是直線/的方向向量，3=(-2,-1,今是直線7H的方向向量，則/與771垂直

B.若2=(1,1,—1)是直線I的方向向量，宕=(0,—1,—1)是平面a的法向量，則3a

C.若正=(1,0,3),正=(0,1,2)分別為平面a,S的法向量，則a1￡

D.若'=(1,0,3)工2=(0,1,2)分別為平面a,0的法向量，則平面a,S交線的方向向量可以是(3,2,-1)

10.已知直線：kx-y-k+1=0,圓M：爐+丫2+。%+防/+4=0的圓心坐標(biāo)為(3,2),則下列說法正確

的是()

A.直線Z恒過點(diǎn)(1,1)

B.D=6,E=4

C.直線/被圓M截得的最短弦長(zhǎng)為4

D.當(dāng)卜=3寸，圓M上存在無數(shù)對(duì)點(diǎn)關(guān)于直線/對(duì)稱

11.已知正方體的棱長(zhǎng)為4,點(diǎn)P為平面ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是()

A.若點(diǎn)P在棱4。上運(yùn)動(dòng)，財(cái)41P+PC的最小值為4+4"

B.若點(diǎn)P是棱力。的中點(diǎn)，則平面PBCi截正方體所得截面的周長(zhǎng)為4巡+6企

C.若點(diǎn)P滿足P/%1DCi，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一條直線

D.若點(diǎn)P在直線2C上運(yùn)動(dòng)，貝中到直線BQ的最小距離為竽

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

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12.橢圓。的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6,且與橢圓春+與=1有相同的焦點(diǎn)，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為―.

13.已知向量之=(-1,3-2)5=(2,-1,3),c=(4,3即)，若值薪｝不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則實(shí)數(shù)機(jī)的值為

14.幾何學(xué)史上有一個(gè)著名的米勒問題：“設(shè)點(diǎn)M,N是銳角N4QB的一邊QAA

上的兩點(diǎn)，試在QB邊上找一點(diǎn)P,使得4MPN最大如圖，其結(jié)論是：點(diǎn)P為

過兩點(diǎn)且和射線相切的圓與射線的切點(diǎn).根據(jù)以上結(jié)論解決以下問

M,NQBQBM(7/

題：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給定兩點(diǎn)M(-1,3),N(2,6),點(diǎn)P在x軸上移J

QpB

動(dòng)，當(dāng)NMPN取最大值時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題15分)

已知空間三點(diǎn)力(1,2,2),8(2,1,2),C(3,2,l).

(1)若向量而分別與同，前垂直，且|布|=2擊，求向量記的坐標(biāo)；

(2)求點(diǎn)C到直線力B的距離.

16.(本小題15分)

己知圓C與y軸相切，圓心在直線x+y-l=。上，且被x軸截得的弦長(zhǎng)為2避.

(1)求圓C的方程；

(2)已知直線/過點(diǎn)(1,-3),圓C上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線/的距離等于1,求直線的勺方程.

17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P—4BCD中，底面4BCD是正方形，側(cè)棱PD1底面4BCD,PD=DC,E是PC的中點(diǎn)，作

EF1PB交PB于點(diǎn)F.

(1)求證：PB1平面EFD；

⑵求平面CPB與平面PBD的夾角的大小.

18.(本小題15分)

已知橢圓C：苴+j|=l(a>6>0)過點(diǎn)(0,8)，且離心率為《設(shè)4B為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，P為橢圓上

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異于4B的一點(diǎn)，直線4P,BP分別與直線八久=4相交于M,N兩點(diǎn),且直線MB與橢圓C交于另一點(diǎn)兒

①求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(II)求證：直線力P與BP的斜率之積為定值；

(皿)判斷三點(diǎn)4H,N是否共線，并證明你的結(jié)論.

19.(本小題17分)

在空間直角坐標(biāo)系。盯z中，過點(diǎn)PQo，yo，zo)且以工=(a,b,c)為方向向量的直線方程可表示為寧=$=

^-p-{abcH0)；過點(diǎn)P(%o，yo，zo)且以］=(a,b,c)為法向量的平面方程可表示為a久+by+cz=ax0+by0+c

(1)在四面體。ABC中，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)4在平面KOy內(nèi)，平面。48以帚=(1,—3,2)為法向量，平面2BC

的方程為3x-y+z=8,求點(diǎn)力的坐標(biāo)；

(2)若直線3與l=y-2=芋與%：早=丫-2=m都在平面a內(nèi)，求平面a的方程；

(3)若集合M={(x,y,z)||x|+|y|+|z|=2}中所有的點(diǎn)構(gòu)成了多面體。的各個(gè)面，求。的體積和相鄰兩個(gè)面

所在平面的夾角的余弦值.

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參考答案

1.C

2.C

3.0

4.C

5.B

6.C

7.C

8.A

9.AD

IQ.ACD

11.BCD

12卷+白1

13.5

14.2

15.解：(1)荏=(1,-1,0),通=(2,0,-1),

設(shè)m=(x,y,z~),???m1AB,m1AC,

m-AB=0,m-AC=0.

｛跚z==°0,整理得｛匯黑

V|m|=y%2+y2+z2=^6^2_2^/6,.-.%=+2,

???m=(2,2,4)或m=(-2,-2,-4)；

(2)取K=緇=(￥，—#,0),a=AC=(2,0-1),

則a?u=W，a=5.

c到直線ZB的距離為了不%尸=付2=B

16.解：(1)設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(久-a)2+(y-6)2=＞。),

???圓心C在直線x+y-1=0上，

CL+b-1=0(T),

??,圓C與y軸相切，

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r=\a\@,

又???圓C被無軸截得的弦長(zhǎng)為2避，

b2+3=r2@,

聯(lián)立①②③解得，a=2,b=-1,r=2,

圓。的方程為(x—2)2+(y+1)2=4.

(2)?；圓C上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線/的距離等于1,

???圓心C到直線1的距離d=r—1=1.

當(dāng)直線I斜率不存在時(shí)，直線/的方程為x=l,

圓心C(2,—1)到直線I的距離為1,符合題意；

當(dāng)直線/斜率不存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為y+3=fc(x-l),

即々％—y—k—3=0,

???圓心c到直線I的距離d="苗+[迎==1，

解之得，k=p

???直線/的方程為3x-4y-15=0.

綜上，所求直線1的方程為％=1或3x-4y-15=0.

17.(1)證明：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)DC=L依題意得。(0,0,0),8(1,1,0),

11

P(0,0,l),C(0,l,0),E(o,翡)，

所以麗=(1,1,-1),麗=(0若■),

則而?反=0+＞六0,所以PB1DE,

由已知EF1PB,且EFnDE=E,EF,DEu平面EFD,

所以PB1平面EFD；

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(2)解:已知PB1EF,由(1)可知PB_L平面EFD,

又DFu平面所以P81DF,

故NEFD即為平面CPB與平面PBD的夾角，

設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為O，y,z),則而=(x,y,z-l),

設(shè)而=k而，則有(久,y,z-l)=/c(l,l,-l),

即x=k,y=k,z—1—k,

設(shè)麗?赤=0,則有麗=k+k—l+k=3k—l=0,解得k=],

則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為舄|),即而=

又點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,翡)，所以前=,

麗?麗(*)X(*)+"(*)+(4)>(一|)1

所以cos<FE,FD>=一￡

I國同I63

又NEFD為銳角，所以NEFD=60°,

即平面CPB與平面PBD的夾角大小為60。.

力=4'a=2

C_1,解得力=避

18.解：①根據(jù)題意可知a~2

a2=h2Q+co2c=1.

所以橢圓c的方程q+9=1；

4D

(n)根據(jù)題意，直線AP,BP的斜率都存在且不為零，2(-2,0),8(2,0),

設(shè)PQWo)，則竽+券=1(-2<=<2).

則kap-kBP=久0v2-^2=

因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，則苧+券=1,所以，羽=3(1—苧)=義守，

gr-p,.>濟(jì)氯4一底)3

所以膜「4"=百=方丁=-4'

所以直線2P與BP的斜率之積為定值-楙；

(in)三點(diǎn)4、H、N共線.證明如下：

設(shè)直線4P的方程為y=k(K+2)(fc*0),由(II)得直線8P的方程為y=-^(x-2),

所以M(4,6k),N(4「書,k=-^-=3k,

Z/tBM4,—Z

設(shè)直線HM：y=3k(x—2),

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y=3fc(x—2)

聯(lián)立方程組名+e=1，消去y整理得，(1+12/c2)x2-48fc2%+48fc2-4=0,J>0,

,43

設(shè)”(孫月)，貝儂1=蘇符言，

所以“1=鬻言，%=3做久1-2)=費(fèi)

耳匚【、[]"24k2—212k

朋+「12H+/

o___3_i

因?yàn)?(—2,0)、N(4,等,廄—襄，

Z>A.N=￥6=T'A.

12k

i_______12M+i___1

KAH=24F—2?1二一薪，

12k2+1

所％N=kAH，所以三點(diǎn)4H,N共線.

19.解：(1)根據(jù)題意,設(shè)點(diǎn)4(a力,0),則瓦？=(a,b,0),

因?yàn)槠矫?。力B以方=(1,一3,2)為法向量，

則ni?。4=a—36=0,①

又因?yàn)辄c(diǎn)4在平面A8C內(nèi)，則3a—b=8,②

聯(lián)立①②：｛g/?=(.可得a=3,b=1,

故點(diǎn)2的坐標(biāo)為(3,1,0).

(2)由題意可知，直線人的一個(gè)方向向量為工=(2,1,3),直線L的一個(gè)方向向量為兀=(3,1,2),

設(shè)平面a的法向量為五=Oi，yi，zD，

則后1近則件&=2打+%+3如=0

AJ