2023年中考數(shù)學(xué)必刷題分類專練：動點綜合問題【解析版】

備戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)必刷真題考點分類專練（全國通用）

專題29動點綜合問題

一、單選題

1.（2022?山東濰坊?中考真題）如圖，在。中，ZA=60°,AB=2,AD=1,點E,歹在。的邊上，

從點/同時出發(fā)，分別沿和/-O-C的方向以每秒1個單位長度的速度運動，到達點C時停止,

線段所掃過區(qū)域的面積記為力運動時間記為X,能大致反映y與X之間函數(shù)關(guān)系的圖象是（）

【答案】A

【解析】

【分析】

分0弓爛1,l<x<2,2夕至3三種情況討論，利用三角形面積公式求解即可.

【詳解】

VZA=60°,AE=AF=x,

??A(J-

由勾股定理得尸6居，

2

;.7AEXFG=&,圖象是一段開口向上的拋物線;

24

當(dāng)l<x<2時，過點D作DHLAB于點H,

■:ND4H=60°,AE=x,AD=\,DF=x-l,

；.4g,

由勾股定理得D〃=宜,

2

:.月DF+AE)xDHqx耳,圖象是一條線段;

當(dāng)2W爛3時，過點￡作EILCD于點I,

"：ZC=ZDAB=60°,CE=CF=3-x,

同理求得￡/=梟3次),

...尸ABxDH23色&-x)2=02+嗎圖象是一段開口向下的拋物線；

-24424

觀察四個選項，只有選項A符合題意，

故選：A.

【點睛】

本題考查了利用分類討論的思想求動點問題的函數(shù)圖象；也考查了平行四邊形的性質(zhì)，含30度的直角三角

形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積公式以及一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象.

2.（2022?湖北鄂州?中考真題）如圖，定直線ACVIIPQ,點2、C分別為ACV、尸0上的動點，且2C=12,BC

在兩直線間運動過程中始終有NBCQ=60。.點/是上方一定點，點。是P。下方一定點，且/EII8CIIDR

AE=4,DF=8,AD=2443,當(dāng)線段3c在平移過程中，/8+CD的最小值為（）

D

A.24V13B.24V15C.12V13D.12V15

【答案】C

【解析】

【分析】

如圖所示，過點尸作FHIICD交BC于〃，連接可證明四邊形CZ才H是平行四邊形，得到。7=。歹=8,

CD=FH,則3H=4,從而可證四邊形/AFffi1是平行四邊形，得到/2=〃石，即可推出當(dāng)E、R//三點共線時，

EH+HF有最小值EF即AB+CD有最小值EF,延長/￡交P0于G,過點E作ET±PQ于T,過點A作AL±PQ

于3過點。作DK_LP。于K,證明四邊形BEGC是平行四邊形，ZEGT=ZBCQ=60°,得到￡G=BC=12,

然后通過勾股定理和解直角三角形求出ET和7F的長即可得到答案.

【詳解】

解：如圖所示，過點F作F”IICD交2C于兄連接E8,

"：BC\\DF,FHWCD,

四邊形。才歸是平行四邊形，

：.CH=DF=8,CD=FH,

：.BH=4,

：.BH=AE=4,

^：AE\\BC,

二四邊形ABHE是平行四邊形，

：.AB=HE,

"：EH+FH>EF,

.?.當(dāng)￡、F、X三點共線時，￡77+#'有最小值斯即/5+CD有最小值ER

延長4B交P0于G,過點￡作ET_LP。于7,過點/作N￡_L尸。于A,過點。作DK_LP。于K,

'."MNWPQ,BCWAE,

：.四邊形BEGC是平行四邊形，ZEGT=ZBCQ=60°,

：.EG=BC=U,

AGT=GE-cos乙EGT=6,ET=GE?sin/EGT=6?

同理可求得GL=8,AL=8V3,KF=4,DK=4V3,

：.TL=2,

,：ALLPQ,DKLPQ,

：.AL\\DK,

：.AALOs4DKO,

.ALAO仁

??----L9

DKDO

：.A0=^AD=16V3,DO==8V3,

.'.OL=y/AO2-AL2=24,OK=VZ)O2-DK2=12,

：.TF=TL+0L+OK+KF=42,

"-EF=yjET2+TF2=12V13.

故選C.

【點睛】

本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，解直角三角形，正確作

出輔助線推出當(dāng)E、F、H三點共線時，Mr+加7有最小值EF即/2+CD有最小值斯是解題的關(guān)鍵.

3.（2022?四川樂山?中考真題）如圖，等腰△/2C的面積為2百，AB=AC,2C=2.作且/￡=匏。.點

P是線段上一動點，連接PE,過點E作尸￡的垂線交2C的延長線于點RM是線段斯的中點.那么,

當(dāng)點尸從/點運動到8點時，點M的運動路徑長為（)

A.V3B.3C.2V3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

當(dāng)尸與4重合時，點9與C重合，此時點M在N處，當(dāng)點尸與3重合時，如圖，點M的運動軌跡是線段

MN.求出CF的長即可解決問題.

【詳解】

解：過點/作NDL8C于點。，連接CE,

"：AB=AC,

1

：.BD=DC=^C=\,

：.AE=DC=1,

■:AEHBC,

???四邊形4ECQ是矩形，

?.S4ABC卷CxAgmAD=2W,

：.AD=2y/3,則CE=AD=26,

當(dāng)尸與/重合時，點歹與C重合，此時點M在CE的中點N處，

當(dāng)點P與3重合時，如圖，點M的運動軌跡是線段

'：BC=2,CE=2同

由勾股定理得B￡=4,

BCBE24

c°s/EBCf=俞nn=

:.BF=8,

：.CF=BF-BC=6,

丁點N是C￡的中點，點M是ER的中點,

..?吟1g

.?.點M的運動路徑長為3,

故選：B.

【點睛】

本題考查點的軌跡、矩形的判定和性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找點M的

運動軌跡，學(xué)會利用起始位置和終止位置尋找軌跡，屬于中考填空題中的壓軸題.

4.（2022?湖北恩施?中考真題）如圖，在四邊形48CD中，ZA=ZB=9Q°,4D=10cm,3c=8cm,點P從點

。出發(fā)，以lcm/s的速度向點/運動，點M從點3同時出發(fā)，以相同的速度向點C運動，當(dāng)其中一個動點

到達端點時，兩個動點同時停止運動.設(shè)點尸的運動時間為:（單位：s）,下列結(jié)論正確的是（）

A.當(dāng)t=4s時，四邊形/BMP為矩形

B.當(dāng)t=5s時，四邊形CDRW為平行四邊形

C.當(dāng)CD=PM時，t=4s

D.當(dāng)CD=PM時，t=4s或6s

【答案】D

【解析】

【分析】

計算AP和BM的長，得到AP手BM,判斷選項A；計算PD和CM的長，得到PD^CM,判斷選項B；按PM=CD,

且PM與CD不平行，或PM=CD,且尸/飲〃CD分類討論判斷選項C和D.

【詳解】

解：由題意得PD=3AP=AD-PD=10-t,BM=t,CM=S-t,ZA=ZB=90°,

A.當(dāng)t=4s時，AP=]0-t=6cm,BM=4cm,AP豐BM,則四邊形/BMP不是矩形，該選項不符合題意；

B、當(dāng)t=5s時，PD=5cm,CA/=8-5=3cm,PD^CM,則四邊形CDPM不是平行四邊形，該選項不符合題

思；

作CELAD于點E,貝!]/CE/=//=/B=90。，

.,?四邊形/BCE是矩形，

BC=AE=8cm,

:.DE=2cm,

PM=CD,且PQ與CD不平行，作于點尸，CELAD于點E,

APFED

四邊形CEFN是矩形，

:.FM=CE；

:.RmPFM"RtxDEC(HL),

：.PF=DE=2,EF=CM=8-t,

.,.^P=10-4-(8-f)=10-Z,

解得t=6s；

PM=CD,且尸M〃C。,

???四邊形CDPM是平行四邊形，

：.DP=CM,

解得1=4s；

綜上，當(dāng)尸河=CD時，片4s或6s；選項C不符合題意；選項D符合題意；

故選：D.

【點睛】

此題重點考查矩形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確地作出解題所需要的輔助

線，應(yīng)注意分類討論，求出所有符合條件的/的值.

5.(2022?黑龍江?中考真題)如圖，正方形48CD的對角線/C,BD相交于點O,點、F是CD上一點，OE1OF

交8C于點￡,連接//交于點尸，連接0P則下列結(jié)論:①2E1BF；②NOP力=45。；③AP—BP=&0P;

④若BE:CE=2:3,貝iJtanNCAE：/⑤四邊形。ECF的面積是正方形/BCD面積的/其中正確的結(jié)論是

()

A.①②④⑤B.①②③⑤C.①②③④D.①③④⑤

【答案】B

【解析】

【分析】

分別對每個選項進行證明后進行判斷：

①通過證明△DOF=△C0EQ4S4)得至I」EC=FD,再證明△EAC=△FBD(S力S)得至1]/瓦4。=4陽0,從而證明

ZBPQ=ZAOQ=90°,即4E1BF；

②通過等弦對等角可證明N0P4=40BA=45°；

③通過正切定義得tan/BZE=蕓=整,利用合比性質(zhì)變形得到力P—BP=嚶,再通過證明△AOP-△AEC

ABAPBE

得到。石=等，代入前式得力P—BP=嘯署，最后根據(jù)三角形面積公式得到4E-BP=4B-BE,整體代

AOAO-BE

入即可證得結(jié)論正確；

④作EGLAC于點G可得EGII8。，根據(jù)tanzCXF=器=設(shè)正方形邊長為5a,分別求出EG、AC、

CG的長，可求出tan/CZE=結(jié)論錯誤；

⑤將四邊形OEC廠的面積分割成兩個三角形面積，利用△D。/三△COEQ4S4),可證明S儆媛

OECF=SACOE+SACOF=SADOF+SACOF=SACOD即可證明結(jié)論正確.

【詳解】

①,?,四邊形45CD是正方形，。是對角線4C、AD的交點，

：.OC=OD,OCLOD,/ODF=/OCE=45。

*：0E1OF

：.ZDOF+ZFOC=ZFOC+ZEOC=90°

：.ZDOF=ZEOC

在ADOF與ACOE中

Z.ODF=乙OCE

OC=OD

乙DOF=乙EOC

：.^DOF=^COEQASA)

：.EC=FD

EC=FD

???在AE4c與AFBD中，2EG4=乙FDB=45°

AC=BD

：.△EAC^△FBD(SAS)

：.ZEAC=ZFBD

又：/BQP=/AQO

：.ZBPQ=ZAOQ=90°

J.AELBF

所以①正確；

②：ZAOB=ZAPB=90°

工點P、。在以為直徑的圓上

是該圓的弦

：.Z.OPA=Z.OBA=45°

所以②正確;

@vtan^E=S=S

.ABAP

*BEBP

AB-BEAP-BP

BEBP

BP-BE

AP-BP^

乙EAC=Z.OAP,/-OPA=/-ACE=45°

△AOP-△AEC

OP_AO

CE-AE

CE=-O-P---A-E

AO

…=與翳

-AE-BP=-AB-BE

22—^LABE

AE,BP=AB?BE

AP-BP=^^=熬。P=&OP

所以③正確;

④作EG.LAC于點G,則EGWBO,

.EG_CE_CG

OB~BC~OC

設(shè)正方形邊長為5Q,貝!J5c=5Q,OB=OC=——a,

2

若BE:CE=2:3,則普=|，

CE3

.BE+CE2+3

?.-------------

CE3

.CE_3

?,BC?5

?p，廠CE門。35V23V2

??EG——,OB=-X—ci=—ci

BC522

*：EGLAC,ZACB=45°,

：.NGEC=45。

：.CG=EG=^a

2

所以④錯誤；

⑤ADOF=ACOE(ASA),S四邊形OECF=S&COE+SACOF

：.S四邊形OECF=SADOF+SACOF=SACOD

1

.SACOD=^^^^ABCD

,四邊形°ECF=%S正方形ABCD

所以⑤正確；

綜上，①②③⑤正確，④錯誤，

故選B

【點睛】

本題綜合考查了三角形、正方形、圓和三角函數(shù)，熟練運用全等三角形、相似三角形、等弦對等角和三角

函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

6.（2022?廣西玉林?中考真題）如圖的電子裝置中，紅黑兩枚跳棋開始放置在邊長為2的正六邊形4BC0EF

的頂點/處.兩枚跳棋跳動規(guī)則是：紅跳棋按順時針方向1秒鐘跳1個頂點，黑跳棋按逆時針方向3秒鐘

跳1個頂點，兩枚跳棋同時跳動，經(jīng)過2022秒鐘后，兩枚跳棋之間的距離是（）

A.4B.2V3C.2D.0

【答案】B

【解析】

【分析】

由題意可分別求出經(jīng)過2022秒后，紅黑兩枚跳棋的位置，然后根據(jù)正多邊形的性質(zhì)及含30度直角三角形

的性質(zhì)可進行求解.

【詳解】

解：V2022-3=674,2022+1=2022,

674+6=112??…2,2022+6=337,

經(jīng)過2022秒后，紅跳棋落在點/處，黑跳棋落在點E處，

連接NE,過點/作歹GL4E于點G,如圖所示：

在正六邊形力BCDEF中，AF=EF=2,^AFE=120°,

：.AG=^AE,AFAE=^FEA=30°,

：.FG=^AF=1,

'-AG=y/AF2-FG2=V3>

：.AE=2V3,

故選B.

【點睛】

本題主要考查圖形規(guī)律問題、勾股定理、含30度直角三角形的性質(zhì)及正多邊形的性質(zhì)，熟練掌握圖形規(guī)律

問題、勾股定理、含30度直角三角形的性質(zhì)及正多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

7.（2022?廣西?中考真題）如圖，在AABC中，CA=CB=4,ABAC=a,將△ABC繞點/逆時針旋轉(zhuǎn)2a,

得到△48CT連接eC并延長交AB于點。，當(dāng)時，麗，的長是（）

廠

A2V3o4V38gn10V3

A?TTH?7TC?ITD.----------TT

3399

【答案】B

【解析】

【分析】

先證NBZD=60°,再求出AB的長，最后根據(jù)弧長公式求得而

【詳解】

解:???CA=CB,B'D1AB,

AD=DB=-AB,

2

???△290是4ZBC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)2a得到，

AB=AB',AD=^AiB',

在RSAB'D中，cos^B'AD=^=p

???乙B,AD=60°,

???(CAB=a,Z-B'AB=2a,

???乙CAB=-^B'AB=ix60°=30°,

22

vAC=BC=4,

AD=4C-cos30°=4X—=2百，

2

AB=2AD=4A/3,

...麗，的長儂%=遞兀,

1803

故選：B.

【點睛】

本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變換，等腰三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)定義，弧長公式，正確運算三角函數(shù)定義求線

段的長度是解本題的關(guān)鍵.

8.(2022?江蘇蘇州?中考真題)如圖，點4的坐標(biāo)為(0,2),點8是x軸正半軸上的一點，將線段N3繞點/

按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60。得到線段NC.若點。的坐標(biāo)為(6,3),則加的值為()

AW3B2岳C逋D4歷

'3333

【答案】c

【解析】

【分析】

過C作軸于D,CELy軸于E,根據(jù)將線段48繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60。得到線段NC,可得△48C

是等邊三角形，又/(0,2),C(m,3),即得力C=Vm2+1=BC=AB>可得BD=VBC2—CD2-Vm2—8,

OB=7AB2—。爐=、源一3,從而―后一3+-8=m，即可解得租=*.

【詳解】

解：過C作CD，x軸于。，軸于E,如圖所示:

；CD_Lx軸，CE_Ly軸，

ZCDO=ZCEO=ZDOE=90°,

四邊形EODC是矩形，

?.?將線段繞點/按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60。得到線段/C,

：.AB=AC,ZBAC^60°,

/\ABC是等邊三角形，

：.AB=AC=BC,

,：A(0,2),C(.m,3),

：.CE=m=OD,CD=3,04=2,

：.AE=OE-OA=CD-OA=1,

.".AC=<AE2+CE2=Vm2+1=BC=AB,

在RtA5CZ)中，BD=VBC2-CD2=Vm2-8.

在RtAAOB中，08=y/AB2-0A2=Vm2-3;

"；OB+BD=OD=m,

Vm2—3+Vm2—8=m,

化簡變形得：3--22/-25=0,

解得：爪=旦^或7?1=—^^(舍去)，

33

；.根=逋，故C正確.

3

故選：c.

【點睛】

本題考查直角坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)變換，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用勾股定理，用含m的代數(shù)式表示相關(guān)線段的長

度.

9.（2022?遼寧?中考真題）如圖，在Rt△力BC中，N4BC=90。,4B=2BC=4,動點尸從點/出發(fā)，以每

秒1個單位長度的速度沿線段4B勻速運動，當(dāng)點P運動到點B時，停止運動，過點P作PQ14B交力C于點

Q,將ZMPQ沿直線PQ折疊得到△力'PQ,設(shè)動點尸的運動時間為f秒，△力'PQ與△ABC重疊部分的面積為S,

則下列圖象能大致反映S與7之間函數(shù)關(guān)系的是（）

C

,二:

ApA9B

S八S八

AB.

o\24^o\2

SAS八

C.

6\24fO\247

【答案】D

【解析】

【分析】

由題意易得4P=t,tan/.A=則有PQ=羨3進而可分當(dāng)點尸在45中點的左側(cè)時和在45中點的右側(cè)時,

然后分類求解即可.

【詳解】

解：'：/.ABC=90°,AB=2BC=4,

1

tanzX=

2

由題意知：AP=t,

1

:?PQ=AP-tanZ.X=-t,

由折疊的性質(zhì)可得：AP=AP,AAPQ=^APQ=90°,

當(dāng)點P與中點重合時，則有t=2,

當(dāng)點P在ZB中點的左側(cè)時，即0Wt<2,

二△力'PQ與AABC重疊部分的面積為S“PQ=7'P-PQ=共亭=/2；

當(dāng)點P在中點的右側(cè)時，即2WtW4,如圖所示：

由折疊性質(zhì)可得：AP=HP=t,Z.APQ=乙A'PQ=90°,tan乙4=tan乙4,=

；.BP=4-t,

：.AB=2t—4,

:.BD=AB-tanZTl=t-2,

AAPQ與△ABC重疊部分的面積為S梯形PBDQ—~（BD+PQ）-PB=g（gt+t—2）?（4—t）—|t2+4t—

4；

綜上所述：能反映△4卬（2與44BC重疊部分的面積S與t之間函數(shù)關(guān)系的圖象只有D選項；

故選D.

【點睛】

本題主要考查二次函數(shù)的圖象及三角函數(shù)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵.

10.（2022?貴州遵義?中考真題）遵義市某天的氣溫yi（單位：。C）隨時間t（單位：h）的變化如圖所示，

設(shè)為表示0時到t時氣溫的值的極差（即0時到t時范圍氣溫的最大值與最小值的差），則力與t的函數(shù)圖象大

致是（)

0

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)函數(shù)為圖象逐段分析，進而即可求解.

【詳解】

解：：根據(jù)函數(shù)為圖象可知，從0時至5時，丫2先變大，從5到10時，%的值不發(fā)生變化

大概12時后變大，從14到24時，月不變，

???乃的變化規(guī)律是，先變大，然后一段時間不變又變大，最后不發(fā)生變化,

反映到函數(shù)圖象上是先升，然后一段平行于工的線段，再升，最后不變

故選A

【點睛】

本題考查了函數(shù)圖象，極差，理解題意是解題的關(guān)鍵.

11.（2022?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）如圖①所示（圖中各角均為直角），動點尸從點/出發(fā),以每秒1個

單位長度的速度沿/TBTC—DTE路線勻速運動，△ZEP的面積y隨點尸運動的時間X（秒）之間的函數(shù)

關(guān)系圖象如圖②所示，下列說法正確的是()

圖①

A.AF=5B.AB=4

【答案】B

【解析】

【分析】

路線為NTBTCTD—E,將每段路線在坐標(biāo)系中對應(yīng)清楚即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：坐標(biāo)系中(4,12)對應(yīng)點運動到B點

A\--------715

I/C------------\D

XB=v-t=lx4=4

B選項正確

1

S&ABF-5AB-AF

即：12=gx4-4F

解得：AF=6

A選項錯誤

12?16s對應(yīng)的段

Z)E=v-At=1x(16-12)=4

C選項錯誤

6?12s對應(yīng)的CD段

CD—v-At—1X(12—6)—6

EF=AB+CD=4+6=10

D選項錯誤

故選：B.

【點睛】

本題考查動點問題和坐標(biāo)系，將坐標(biāo)系中的圖象與點的運動過程對應(yīng)是本題的解題關(guān)鍵.

12.（2022?湖北武漢?中考真題）如圖，邊長分別為1和2的兩個正方形，其中有一條邊在同一水平線上，

小正方形沿該水平線自左向右勻速穿過大正方形，設(shè)穿過的時間為大正方形的面積為Si，小正方形與大

正方形重疊部分的面積為S2,若5=51-S2,則S隨/變化的函數(shù)圖象大致為（）

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，設(shè)小正方形運動的速度為V,分三個階段；①小正方形向右未完全穿入大正方形，②小正方形穿

入大正方形但未穿出大正方形，③小正方形穿出大正方形，分別求出S,可得答案.

【詳解】

解：根據(jù)題意，設(shè)小正方形運動的速度為V,由于V分三個階段；

①小正方形向右未完全穿入大正方形，S=2x2-v;xl=4-vZ（悵1）；

②小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形，S=2x2-lxl=3；

③小正方形穿出大正方形，5=2x2-（1xl-v/）—3+vt（vZ<l）.

分析選項可得，A符合，C中面積減少太多，不符合.

故選：A.

【點睛】

本題主要考查了動點問題的函數(shù)圖象，解決此類問題，注意將過程分成幾個階段，依次分析各個階段得變

化情況，進而綜合可得整體得變化情況.

13.（2022?甘肅武威?中考真題）如圖1,在菱形4BCD中，N4=60°,動點P從點4出發(fā)，沿折線AD-?DC-CB

方向勻速運動，運動到點B停止.設(shè)點P的運動路程為x,△力P8的面積為y,y與％的函數(shù)圖象如圖2所示，

則力B的長為（）

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)圖1和圖2判定三角形/瓦）為等邊三角形，它的面積為3舊解答即可.

【詳解】

解：在菱形/BCD中，ZA=60°,

圖1

△/AD為等邊三角形，

設(shè)由圖2可知，的面積為3百，

:.AABD的面積=—a2=3V3

4

解得：。=2遍

故選B

【點睛】

本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，根據(jù)菱形的性質(zhì)和函數(shù)圖象，能根據(jù)圖形得出正確信息是解此題的關(guān)鍵.

第II卷（非選擇題）

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二、填空題

14.（2022?山東煙臺?中考真題）如圖1,△48C中，ZABC=60°,。是8c邊上的一個動點（不與點8,C

重合），DEWAB,交NC于點E,EFWBC,交4B于點、F.設(shè)8。的長為x,四邊形尸的面積為y,y與x

的函數(shù)圖象是如圖2所示的一段拋物線，其頂點尸的坐標(biāo)為（2,3）,則的長為_____.

【答案】2V3

【解析】

【分析】

根據(jù)拋物線的對稱性知，BC=4,作切_LBC于77,當(dāng)時，。出比產(chǎn)的面積為3,則此時2尸=百,

AB=2BF,即可解決問題.

【詳解】

解：：拋物線的頂點為（2,3）,過點（0,0）,

；.x=4時，y=0,

：.BC^4,

作于X,當(dāng)8。=2時，口8DEr的面積為3,

圖1

?：3=2FH,

:?FH=§3

ZABC=60°,

3_

BF=_2_=V3,

sin60°

'：DE//AB,

:.AB=2BF=2同

故答案為：2同

【點睛】

本題主要考查了動點的函數(shù)圖象問題，拋物線的對稱性，平行四邊形的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值等知識,

求出BC=^是解題的關(guān)鍵.

15.（2022?湖北黃岡?中考真題）如圖1,在△48C中，NB=36。,動點尸從點/出發(fā)，沿折線4—BTC勻

速運動至點C停止.若點尸的運動速度為lcm/s,設(shè)點尸的運動時間為/（s）,/尸的長度為y（cm）,y與/

的函數(shù)圖象如圖2所示.當(dāng)/尸恰好平分/A4c時，/的值為

【答案】2V5+2##2+2V5

【解析】

【分析】

根據(jù)函數(shù)圖像可得/8=4=3C,作/A4C的平分線AD,/8=36。可得N3=/D4C=36。,進而得到△力DC-△

BAC,由相似求出8。的長即可.

【詳解】

根據(jù)函數(shù)圖像可得/B=4,AB+BC=8,

；.BC=AB=4,

"：NB=36。,

.?"。力=乙8"=72。，

作NB/C的平分線AD,

：.ZBAD=ZDAC=36°=ZB,

：.AD=BD,乙BCA=LDAC=72°,

：.AD=BD=CD,

設(shè)AD=BD=CD=x,

,//DAC=/B=36。,

：.AADC-ABAC,

.AC_DC

??—，

BCAC

.x4—x

?（—―,

4x

解得：-2+2V5,x2=—2—2A/5（舍去），

：-AD=BD=CD=245-2,

止匕時t==2V5+2（S）,

故答案為：2函+2.

【點睛】

此題考查了圖形與函數(shù)圖象間關(guān)系、相似三角形的判定與性質(zhì)、解一元二次方程，關(guān)鍵是證明△4DC?△B力C.

16.（2022?廣西?中考真題）如圖，在正方形NBC。中，AB=4五,對角線AC,BD相交于點。點E是對角

線/C上一點，連接8E,過點￡作分別交CD,8D于點尸、G,連接8尸，交NC于點“，將△EFH

沿斯翻折,點〃的對應(yīng)點“恰好落在AD上，得到△EFH,若點尸為CD的中點，則△EG"'的周長是.

AD

S；

【答案】5+V5##V5+5

【解析】

【分析】

過點￡作P0///D交于點尸，交。。于點。，得到5P=CQ,從而證得ABPE空AEQF,得到BE=EF,

再利用BC=4VL/為中點，求得BF=VBC2+CF2=2V1O,從而得到BE=EF=嚕=2后再求出E。=

VBE2-BO2=2,再利用AB//FC,求出△4BHCFH,得到平=-=求得AH=：x8=警，C”=：x

8=|,從而得到EH=AH-AE=^-2=y,再求得△EOBGOE得至I端=y=|=|,求得EG=V5,OG=1,

過點F作FMLAC于點M,作FN1OD于點N,求得FM=2,MH=~,FN=2,證得Rt&FHN^RtKFMH

得到H'N=MH=|,從而得到ON=2,NG=\,GH'=|+1=|,從而得到答案.

【詳解】

解：過點E作PQ〃AD交AB于點、P,交DC于點°,

AD

YADIIPQ,

：.AP=DQ,(BPQ=2CQE,

：.BP=CQ,

\9^ACD=45°,

：.BP=CQ=EQ,

?；EF2BE,

:?乙PEB+(FEQ=90°

■:乙PBE+乙PEB=90°

C.Z-PBE=乙FEQ,

在ABPE與△EQF中

乙BPQ=乙FQE

PB=EQ

Z.PBE—Z-FEQ

△BPE=LEQF,

:?BE=EF,

又；BC=AB=4近,,尸為中點，

ACF=2V2,

:.BF=VBC2+CF2=2V10?

:.BE=EF=察=2亞,

V2

???EO=y/BE2-BO2=2,

AE=AO-EO=4-2=2,

9：AB//FC,

:.bABHfCFH,

.AB_AH

??—，

CFCH

?,4?V—2—=AH=2一,

2V2CH1

AC=y[2AB=8,

：.AH^-x8=—,

33

CH=-x8=-

33f

：.EH=AH-AE=^--2=—,

33

■:乙BEO+乙FEO=90°,

乙BEO+乙EBO=90°,

:'(FEO=Z.EBO,

又?：(EOB=乙EOG=90°,

△EOBGOE

.EG_OG_OE

?.BE-OE-OB'

EG_OG_2_1

2V5-2-4-2’

:.EG=?OG=\,

過點F作FMA.AC于點M,

pr

：.FM=MC==n==2

V2f

：.MH=CH-MC=^-2=|,

33

作尸N_LO〃于點N,

FN=*2,,

在RtAFH,N與RtAFMH中

FH'=FH

.FN=FM

ARtAFH'N注RtAFHM

,2

：.HN=MH=-,

3

：?0N=2,NG=1,

/.GH——F1=一,

33

...CAEGH，=EH'+EG+GH'=EH+EG+GH=y+V5+|=5+V5,

故答案為：5+V5.

【點睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)應(yīng)用，重點是與三角形相似和三角形全等的結(jié)合，熟練掌握做輔助線是解題的關(guān)

鍵.

17.（2022?四川廣元?中考真題）如圖，直尺N3垂直豎立在水平面上，將一個含45。角的直角三角板CDE

的斜邊。E靠在直尺的一邊上，使點￡與點/重合，r）E=12cm.當(dāng)點。沿LM方向滑動時，點E同時

從點/出發(fā)沿射線/尸方向滑動.當(dāng)點。滑動到點/時，點。運動的路徑長為cm.

【答案】（24-12迎）

【解析】

【分析】

由題意易得CD=CE=￥z）E=6&cm,則當(dāng)點。沿方向下滑時，得到過點C作C,N_L于

點N,作C'M_L4F于點然后可得AD'C'N三△E'C'M,進而可知點。沿D4方向下滑時，點C在射線/C

上運動，最后問題可求解.

【詳解】

解：由題意得：NDEC=45。,Z）E=12cm,

CD=CE=曰DE=6V2cm,

如圖，當(dāng)點。沿ZX4方向下滑時，得到過點C作C'NIAB于點N,作C,M,4F于點

ZDAM=9Q°,

，四邊形N4MC是矩形，

:.乙NC'M=90°,

：.Z.D'C'N+/.NCE=Z.NCE'+ZE'C'M=90°,

."D'C'N=Z.E'C'M,

'：DC=EC',Z.DNC'=/.EMC,=90°,

：.AD'CN=AE'C'M,

：.C'N=CM,

VCN1AB,CM1AF,

AC'平分NAMM,

即點。沿。/方向下滑時，點。在射線NC上運動，

當(dāng)C'。'14B時，此時四邊形C‘D'HE'是正方形，C。的值最大，最大值為力?！狝C=(12-6a)cm,

當(dāng)點D滑動到點/時，點C運動的路徑長為2x(12-6V2)=(24-12&)cm；

故答案為(24-12夜).

【點睛】

本題主要考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰直角三角形的性質(zhì)及角平分線的判定定理，

熟練掌握正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰直角三角形的性質(zhì)及角平分線的判定定理是解題

的關(guān)鍵.

18.(2022?湖北隨州?中考真題)如圖I,在矩形4BCD中,AB=8,AD=6,E,1分別為ZB,的中點,

連接EF.如圖2,將△/所繞點/逆時針旋轉(zhuǎn)角8(0<8<90。)，使EFLAD,連接3E并延長交。廠于點

H,則的度數(shù)為，?！ǖ拈L為

【答案】90。##90度嗎布遮

55

【解析】

【分析】

設(shè)EF交AD于點M,BH交AD于點N,先證明可得N4D尸=/4BE,可得NAffl)=/34D=90。；

然后過點￡作￡G_L/B于點G,可得四邊形NMEG是矩形，從而得至11EG=/M,AG=ME,ZABE=ZMEN,

然后求出EG=4M=”，再利用銳角三角函數(shù)可得tanN4EF=*=：,從而得到AG=ME=小蒜=”，

5AE4tanz.AEF5

進而得到BG=AB—AG=8——=—,可得到tanZ_MEN=tanZ-ABE=—從而得到MN=進而得

55BG25

到DN=2,即可求解.

【詳解】

解：如圖，設(shè)M交/。于點BH交AD于點、N,

1

AGB

1

根據(jù)題意得：ZBAE=ZDAF,ZEAF=90°,===f=4,

,絲_0

??赤―4f

在矩形Z5C7）中，AB=8,AD=6,ZBAD=90°,

.AD3

??—,

AB4

^ADF^/\ABE,

/ADF=NABE,

???ZANB=ZDNH.

：./BHD=/BAD=90。；

如圖，過點￡作￡6,45于點G,

???ZAGE=ZAME=ZBAD=90°,

J四邊形4MEG是矩形，

：.EG=AM,AG=ME,ME//AB,

：./ABE=/MEN,

在班中，EF=y/AE2+AF2=5,

???tan“EF=^=3,

■：ShAEF^^AM-EF^^AE-AF,

12

：.EG=AM

16

：.AG=ME

tanz.AEFT

1624

：.BG=AB-AG=8-^-=^.

AtanzM^=tanz^E=^=l,

.MN_I，即MN=/

：.DN=AD-AM-MN=2,

???/ADF=/ABE,

i

...tan"DF=tanNA8E=5,

即DH=2HN,

,:DU+HN2=DH2+?DH）2=DN2=4-

解得：?！??或—?（舍去）.

故答案為：90。，卓

【點睛】

本題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，解直角三角形，矩形的性質(zhì)和判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握直

角三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和判定，相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

19.（2022?江蘇蘇州?中考真題）如圖，在矩形中強=J.動點M從點N出發(fā)，沿邊/。向點。勻速

運動，動點N從點5出發(fā)，沿邊向點。勻速運動，連接動點“，N同時出發(fā)，點M運動的速度

為也，點N運動的速度為〃2，且巧V〃2.當(dāng)點N到達點。時，M,N兩點同時停止運動.在運動過程中，

將四邊形沿"N翻折，得到四邊形M/'B'N.若在某一時刻，點5的對應(yīng)點3'恰好在CD的中點重合,

則廣的值為

02---------

【答案】I

【解析】

【分析】

Ap2

在矩形4BCD中鋁=；,設(shè)力B=2a,BC=3a,運動時間為3得到CD=AB=2a,4D=BC=3a,BN=

BC3

v2t,AM=V1t,利用翻折及中點性質(zhì)，在RtAB'CN中利用勾股定理得到=,。=BN,然后利用AED8'?

△B'CN得到DE=[a=4E,在根據(jù)判定的△力'EMwADEB'C4s4）得到力M==a,從而代值求解即可.

【詳解】

解：如圖所示:

在矩形4BCD中,=；設(shè)力B=2a,BC=3a,運動時間為t,

DC3

???CD=AB=2a,AD=BC=3a,BN=v2t,AM=

在運動過程中，將四邊形肋12N沿翻折，得到四邊形M4月N,

BN=BN=v2t,AM=AM=v1t,

若在某一時刻，點B的對應(yīng)點8'恰好在CD的中點重合，

.?.DB=BC=

在RSB'CN中，ZC=90°,BC=a,B'N=v2ttCN=3a-v2t,則172t=

???Z.AB'N=Z.B=90°,

???/.ABD+乙CB'N=90°,

???乙CNB'+乙CB'N=90°,

???/.ABD=乙CNB；

：.XEDB，?XB,CN,

DE_BC_B,C_a_3

,,DB，-CN-BC-BN-3a-a-4'

DB=BC=a,

DE=-DB=-a,則B,E=[（DB>+DE?=Ja2+（：。）=gq,

AE=AB—BE=2a--a=-a,即DE=-a=AE,

444

在A4'EM和△DEB'中，

乙4'=ZD=90°

AE=DE

AAEM=乙DEB'

^AEM主ADEB'OISZ）,

AM=BD=a,即=vyt—a,

._也t_AM_a_3

V2V2tBN5f

故答案為：|.

【點睛】

本題屬于矩形背景下的動點問題，涉及到矩形的性質(zhì)、對稱性質(zhì)、中點性質(zhì)、兩個三角形相似的判定與性

質(zhì)、勾股定理及兩個三角形全等的判定與性質(zhì)等知識點，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及判定，求出相應(yīng)線段長是解

決問題的關(guān)鍵.

20.（2022?四川自貢?中考真題）如圖，矩形48CD中，4B=4,BC=2,G是AD的中點，線段EF在邊AB

上左右滑動；若EF=1,則GE+CF的最小值為

【答案】3立

【解析】

【分析】

如圖，作G關(guān)于的對稱點G，，在C。上截取。7=1,然后連接交于E,在￡3上截取￡歹=1,此

時GE+CF的值最小，可得四邊形EF”r是平行四邊形，從而得至I」GH=EG%E居EG+C凡再由勾股定理求

出“G的長，即可求解.

【詳解】

解：如圖，作G關(guān)于48的對稱點G，，在CD上截取C〃=l,然后連接交48于E,在班上截取￡尸=1,

此時GE+CF的值最小，

/.G'E=GE,AG=AG',

.四邊形/BCD是矩形，

：.AB//CD,AD=BC=2

J.CH//EF,

"：CH=EF=\,

四邊形EFCH是平行四邊形，

：.EH=CF,

：.G'H=EG'+EH=EG+CF,

'：AB=4,BC=AD=2,G為邊4D的中點，

：.AG=AG'=\

：.DG'=AD+AG'=2+\=?>,DH=4-1=3,

:-HG=^DH2+DG'2=V32+32=3立，

即GE+CF的最小值為3a.

故答案為：3企

【點睛】

此題主要考查了利用軸對稱求最短路徑問題，矩形的性質(zhì)，勾股定理等知識，確定GE+CF最小時E,F位

置是解題關(guān)鍵.

21.（2022?內(nèi)蒙古通遼?中考真題）如圖，。。是△力BC的外接圓，AC為直徑，若力B=2舊，BC=3,點、P

從B點出發(fā)，在△力BC內(nèi)運動且始終保持NCBP=NB4P,當(dāng)C,P兩點距離最小時，動點P的運動路徑長為

【答案】遺兀.

3

【解析】

【分析】

根據(jù)題中的條件可先確定點尸的運動軌跡，然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系確定CP的長最小時點P的位置，進

而求出