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江門(mén)市2025屆普通高中高三調(diào)研測(cè)試
皿「、、九
數(shù)學(xué)
本試卷共5頁(yè),19小題,滿(mǎn)分150分.考試時(shí)間120分鐘.
注意事項(xiàng):
L答題前,務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡規(guī)定的位置上,
2.做選擇題時(shí),必須用2B鉛筆將答題卷上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干
凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào).
3.答非選擇題時(shí),必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆,將答案寫(xiě)在答題卡規(guī)定的位置上.
4.所有題目必須在答題卡上作答,在試題卷上作答無(wú)效.
5.考試結(jié)束后,將答題卡交回.
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是
符合題目要求的.
1已知集合1八I,,則()
A.{x|0<x<9}B.{1,2,3}
C.{x|0<x<3}D.{0,1,2,3)
2.設(shè)九〃ER,則“0+1)3=昌'是"2加的()
A,充分不必要條件B.充要條件
C.必要不充分條件D.既不充分又不必要條件
3.下列命題為真命題的是()
A.若Q>Z?>C>0,則"十"
bb+c
B.若a〉b>0,c<0,則
ab
C.a>b>0,則ac2>be2
...…a+b,
D.右a>b,則〃>---->b
2
e+e,x<2,
4.已知函數(shù)/(x)=<則“In27)=(
,x>2,
10728730
AB.C.---D.
IT27~Z7~
5.下列函數(shù)中,以兀為周期,且在區(qū)間兀上單調(diào)遞增的是()
A.y=sin|x|B.y=cos|x|
C.y=|tanx|D.y=|cos%|
6.在正方形A3CD中,怎=而,衣=2而,AF與DE交于點(diǎn)M,貝UcosNEM/=()
7.金針菇采摘后會(huì)很快失去新鮮度,甚至腐爛,所以超市銷(xiāo)售金針菇時(shí)需要采取保鮮膜封閉保存.已知金
針菇失去的新鮮度〃與其來(lái)摘后時(shí)間/(天)滿(mǎn)足的函數(shù)解析式為〃=加出"+。)(。>0).若采摘后1天,
金針菇失去的新鮮度為40%;若采摘后3天,金針菇失去的新鮮度為80%.現(xiàn)在金針菇失去的新鮮度為
60%,則采摘后的天數(shù)為()(結(jié)果保留一位小數(shù),V2?1.41)
A.1.5B.1.8C.2.0D.2.1
8.已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列滿(mǎn)足q=1,%=2,a;-心―>%?!币?(V^3,neN+),則下列
結(jié)論中一定正確的是()
A.a8>124B,a20>1024
C.as<124D.a20<1204
二、多選題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目
要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.
9.若函數(shù)〃x)=x(x—4在x=l處取得極大值,貝。()
A.c=l,或。=3
B.獷(x+l)<0的解集為(-1,0)
C,當(dāng)0<x<|■時(shí),/(cosx)〉/(cos/)
D./(2+x)+/(2-x)=4
10.在△ABC中,AB=\,AC=4,3C=JW,點(diǎn)。在邊3c上,AD為NA4c的角平分線,點(diǎn)E
為AC中點(diǎn),則(
A.△ABC的面積為右B.BA-CA=2y/3
C.BEf
II.已知力(x)=sin2"x+cos2x"(neN+),則()
A.力(x)的最小正周期為]
,+@,0)左eZ)對(duì)稱(chēng)
B.力(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)
fn(%)的圖象關(guān)于直線x=]對(duì)稱(chēng)
擊W力(上1
D.
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.
12.函數(shù)〃x)=x4nx的單調(diào)遞減區(qū)間為
13.已知函數(shù)/(x)是定義在R上的偶函數(shù),當(dāng)x20時(shí),/(%)=sin%(l+cosx),則當(dāng)x<0時(shí),
〃力=
..4b+8
14.已知a〉0,6w0,且。+網(wǎng)=4,則,+的最小值為.
四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15.已知角a的頂點(diǎn)與原點(diǎn)。重合,始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,它的終邊過(guò)點(diǎn)尸(4,-3).
(1)求sin2。的值;
(2)若角尸滿(mǎn)足sin(a+,)=搐,求cos£的值.
16.已知數(shù)列{?!埃那?項(xiàng)和為S“,且3S"=4"+i—4(〃eN+).
(1)證明:數(shù)列{lOg24}為等差數(shù)列;
、1111100
(2)記數(shù)列{log2。,,}的前幾項(xiàng)和為7;,+—+—+7,求滿(mǎn)足條件的最大整數(shù)”.
41273ln1U1
17.已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,3,C所對(duì)的邊分別為。,瓦c,且。=4,c=36,記△ABC的面積為S,內(nèi)
切圓半徑為廠,外接圓半徑為R.
(1)若b=也,求sinA;
(2)記〃=5(〃+/?+c),證明:丫=一;
(3)求歡的取值范圍:
18.設(shè)函數(shù)〃x)=lnx,g(x)=l-,(%>0).
(1)求/(x)在X=1處的切線方程;
(2)證明:/(x)>g(x):
(3)若方程力'(x)=g(x)有兩個(gè)實(shí)根,求實(shí)數(shù)。的取值范圍,
19.如果定義域?yàn)閇0』的函數(shù)“X)同時(shí)滿(mǎn)足以下三個(gè)條件:⑴對(duì)任意的xe[0,l],總有〃x)zo;
(2)/(1)=1;(3)當(dāng)番20,%2?0,且時(shí),/(再+々)2/(再)+/(%2)恒成立?則稱(chēng)
/(X)為“友誼函數(shù)”.請(qǐng)解答下列問(wèn)題:
(1)已知”X)為“友誼函數(shù)",求“0)的值;
(2)判斷函數(shù)g(x)=3工-x-是否為“友誼函數(shù)”?并說(shuō)明理由;
(3)已知〃x)為“友誼函數(shù)”,存在不式0』,使得/5)式0』,且/(/函))=/,證明:
fM=x0.
江門(mén)市2025屆普通高中高三調(diào)研測(cè)試
皿「、、九
數(shù)學(xué)
本試卷共5頁(yè),19小題,滿(mǎn)分150分.考試時(shí)間120分鐘.
注意事項(xiàng):
L答題前,務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡規(guī)定的位置上,
2.做選擇題時(shí),必須用2B鉛筆將答題卷上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干
凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào).
3.答非選擇題時(shí),必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆,將答案寫(xiě)在答題卡規(guī)定的位置上.
4.所有題目必須在答題卡上作答,在試題卷上作答無(wú)效.
5.考試結(jié)束后,將答題卡交回.
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是
符合題目要求的.
.備人A=N|0<x2<9],B=\xeN|0<x<101,4nR-
1.已知集合1>1',n則()
A.(x|0<x<9}B.{1,2,3}
C.{x|0<x<3}D.{0,1,2,3}
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意求集合A3,集合交集運(yùn)算求解.
【詳解】由題意可得:A={XGN|0<X2<9}={0,1,2,3},
B={xeN|0<x<10}={0,l,2,3,4,5,6,7,8,9,10},
所以AcB={0,l,2,3}.
故選:D.
2.設(shè)機(jī),〃eR,則“(m+1)3=〃3"是"2"'<2"”的()
A.充分不必要條件B.充要條件
C,必要不充分條件D.既不充分又不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)充分、必要條件的判定方法進(jìn)行判斷.
【詳解】由(m+1)3=n3nm+1=nn2m+1=2',
又2加<2m+1,所以2"'<2",故"(m+1)3=/"是“2m<2"”的充分條件;
又若2"'<2",如/〃=0,n-2,此時(shí)(m+1)3=/不成立,
mn
所以“(加+1)3=%”是“2<2”的不必要條件.
綜上:“(m+1)3=”是“2m<2n”的充分不必要條件.
故選:A
3.下列命題為真命題的是()
...八a〃+c
A.右a>b7>c>0,則一<----
bb+c
B.若a〉Z?〉0,c<0,則£<9
ab
C.a>b>0,則〃<?>be2
D.若則〃〉"+
2
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)作差法比較大小或取特殊值判斷,即可得出結(jié)果.
aa+ca(b+c]-b(a+c]c(a-b)
【詳解】對(duì)于A,--7-=V\—-=77;V
bb+cb[b+c)b[b+c)
因?yàn)椤?gt;Z?>c>0,所以o—b>0,b(/?+c)>0,
a〃+cc(a-b)
所以不一^一=77:—(>0,即af>a一+上c,故A錯(cuò)誤;
bb+cbyb+c)bb+c
對(duì)于B,因?yàn)閍〉Z?〉O,所以一<—,
ab
cc
又c<0,所以一>不,故B錯(cuò)誤;
ab
對(duì)于C,當(dāng)c=0時(shí),ac2=be2=0故C錯(cuò)誤;
對(duì)于D,若a>b,貝!J2〃〉〃+/?,〃+/?〉2/?,
所以。>"2>匕,故D正確.
2
故選:D.
eA'+e-x,x<2,
4.已知函數(shù)/(x)=<xc則〃ln27)=()
,%〉2,
810728730
A.-B.—C.---D.——
332727
【答案】B
【解析】
【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算可得答案.
【詳解】因?yàn)?=Ine<ln3<Ine?=2
e%+eK2
所以In27=ln33=3如3>3,又因?yàn)?(%)=<x
,x>2
ln2731n3ini
所以;■0n27)=f=/(ln3)=eln3+e-ln3=3+e'"3=3+-=—
"I"亍33
故選:B.
5.下列函數(shù)中,以兀為周期,且在區(qū)間兀上單調(diào)遞增的是()
A.y=sin|x|B.y=cosx
C.y=|tanx|D.y=|cos%|
【答案】D
【解析】
【分析】先判斷各函數(shù)的最小正周期,再確定各函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性,即可選擇判斷.
7n1..3n
【詳解】對(duì)于A:由sin--=1,sin----=-1,可知兀不是其周期,(也可說(shuō)明其不是周期函數(shù))故錯(cuò)
22
誤;
cosx,x>0COSXX0
對(duì)于B:y=cosx=<'-ycosx,其最小正周期為2兀,故錯(cuò)誤;
cos(-x),x<0cosx,x<Q
對(duì)于C:y=|tan%|滿(mǎn)足kan(x+句口tanx|,以兀為周期,
當(dāng)時(shí),y=|tanx|=-tanx,由正切函數(shù)的單調(diào)性可知y=,anx|=—tanx在區(qū)間上單
調(diào)遞減,故錯(cuò)誤;
對(duì)于D,丁=|以九了|滿(mǎn)足卜05(%+兀)=|<:05工,以兀為周期,
當(dāng)xe[,7r]時(shí),j=|cosx|=-cosx,由余弦函數(shù)的單調(diào)性可知,V=-cosx在區(qū)間[,兀]上單調(diào)遞
增,故正確;
故選:D
6.在正方形A3CD中,怎=麗,說(shuō)=2而,AF與DE交于點(diǎn)M,貝!JcosNEM/=()
A.—B.-C.—D.—
551010
【答案】C
【解析】
【分析】建立平面直角坐標(biāo)系,利用向量的坐標(biāo)計(jì)算夾角的余弦值即可.
建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)正方形A5CD的棱長(zhǎng)為2,
因?yàn)?=麗,的=2而,
則E(0,l),A(0,2),0(2,2),
所以/J],—21,DE=(-2,-1),
V2
所以cosNETWFXT
故選:c
7.金針菇采摘后會(huì)很快失去新鮮度,甚至腐爛,所以超市銷(xiāo)售金針菇時(shí)需要采取保鮮膜封閉保存.已知金
針菇失去的新鮮度用與其來(lái)摘后時(shí)間/(天)滿(mǎn)足的函數(shù)解析式為人=根111。+4)(4>0).若采摘后1天,
金針菇失去的新鮮度為40%;若采摘后3天,金針菇失去的新鮮度為80%.現(xiàn)在金針菇失去的新鮮度為
60%,則采摘后的天數(shù)為()(結(jié)果保留一位小數(shù),V2
A.1.5B.1.8C.2.0D.2.1
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件得到兩個(gè)等式,兩個(gè)等式相除求出。的值,再根據(jù)兩個(gè)等式相除可求得結(jié)果.
mln(l+tz)=0.4'兩式相除l可n(3得+a")
【詳解】由題可得<=2,
mln(3+a)=0.8
則ln(3+a)=21n(l+a),3+a=(l+tz)2,
解得a=1,
設(shè)/天后金針菇失去的新鮮度為60%,
則機(jī)ln?+l)=0.6,又陽(yáng)物(1+1)=0.4,
...ln(/+l)=g,21n(/+l)=31n2,(z+l)2=23=8,r+1=272=2x1.41=2.82-
In22
則/=2.82—1=1.8221.8,
故選:B.
8.已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{a"滿(mǎn)足勾=1,g=2,a;--anan_2>(n>3,neN+),則下列
結(jié)論中一定正確的是()
A.as>124B,a20>1024
C./<124D,a20<1204
【答案】B
【解析】
aaaa0
【分析】由。;一。3_nn-2>n-in-25N3,〃eN+)得(a“+)[a“一(a—+??-2)]>-由題意,
%>區(qū)”1+%-2,根據(jù)遞推公式可驗(yàn)證B,通過(guò)對(duì)名賦值,可驗(yàn)證ACD.
【詳解】由a;-<i-anan_2>an_lall_2(n>3,n,
得(a“+an_x)[a?~[an_x+an_2)]>0,
因?yàn)閿?shù)列各項(xiàng)都為正數(shù),
所以4+%>0,故%—(%+-)>°,即〉%+4.2,
所以。3>/+4=2+1=3,
對(duì)于A,設(shè)。3=4,則。4〉/+%=4+2=6,
設(shè)%=7,則。5〉。4+。3=7+4=11,
設(shè)。5=12,則〃6〉。5+。4=12+7=19,
設(shè)。6=20,則%>4+%=20+12=32,
設(shè)%=33,則/>%+《=33+20=53,
則。8可以為54<124,故A錯(cuò)誤;
對(duì)于B,。4>。3+%〉3+2〉5,。5>〃4+〃3>5+3〉8,
。6>。5+〃4>8+5〉13,%>。6+。5>13+8>21,
%>%+4>21+13>34,%>。8+%>34+21〉55,
々io〉為+%>55+34>89,q1>4。+為〉89+55〉144,
a
〃i2>u+4o>144+89>233,>an+〃“>233+144>377,
〃i4>《3+《2>377+233>610,aX5>+?13>610+377>987,
%6>^15+^4>987+610>1597,axl>ai6+al5>1597+987>2584,
%8>《7+%6>2584+1597>4181,ai9>4181+2584>6765,
%o>勾9+〃i8>6765+4184>10946>1024,故B正確;
對(duì)于C,若。3=124,由于4>a〃_i+Q?2,貝IJ〃8>124,故c錯(cuò)誤;
對(duì)于D,若。3=1。24,由于〃-2,貝故D錯(cuò)誤;
故選:B
二、多選題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目
要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.
9.若函數(shù)〃x)=x(x—4在x=l處取得極大值,則()
A.c=l,或。=3
B.燈'(x+l)<0的解集為(-1,0)
C,當(dāng)0<x<]時(shí),/(cosx)>/(cos2x^)
D./(2+x)+/(2-x)=4
【答案】BCD
【解析】
【分析】A選項(xiàng),由題可得r(l)=0,據(jù)此得C的可能值,驗(yàn)證后可判斷選項(xiàng)正誤;B選項(xiàng),由A分析,
可得獷(x+1)表達(dá)式,解相應(yīng)不等式可判斷選項(xiàng)正誤;C選項(xiàng),由A分析結(jié)合cosx,cos2x大小關(guān)系可判
斷選項(xiàng)正誤;D選項(xiàng),由A分析,驗(yàn)證等式是否成立可判斷選項(xiàng)正誤.
【詳解】A選項(xiàng),由題/(x)=%3一2cd+c?》,則/<x)=3—-4cx+c2,
因在x=l處取得極大值,則/(1)=。2-4。+3=0=。=1或。=3.
當(dāng)C=1時(shí),/'(X)=3/—4x+l,令/'(x)〉0nxe[-”,g]D(l,+");<0xe.
則〃x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,則在x=l處取得極小值,不合題
思;
當(dāng)c=3時(shí),f'(x)=3x2-12x+9,令/'(%)>00%€(-00,1)33,+00);/'(x)<0nxe(l,3).
則在(-"/),(3,+")上單調(diào)遞增,在(1,3)上單調(diào)遞減,則在x=l處取得極大值,滿(mǎn)足題
忌;
貝Uc=3,故A錯(cuò)誤;
B選項(xiàng),由A可知,=x(x-3)2,則
獷(x+l)=x(x+l)(x-2)2<0nx(x+l)<0nxe(-1,0).
故B正確;
C選項(xiàng),當(dāng)0<x<],貝ij,則cos2x<cosx,由A分析,“X)在(0,1)上單調(diào)遞增,
則/(cosx)〉/(cos2x),故C正確;
D選項(xiàng),4'x+2=m,2-x=n,由A可知,f(x)=x3-6x2+9x.
則f(x+2)+/(2-x)=/(m)+/(〃)
=m3-6m2+9m+n3-6n2+9n—[in+n^^iv2-mn+n2^-6^trr+zz2^+9(m+n),
又zw+〃=4,則/(根)+/(")=—4加"一2(加2+“2)+36=36-2(加+”)-=4,故D正確.
故選:BCD
10.在△ABC中,AB=l,AC=4,BC=V13>點(diǎn)。在邊BC上,AD為NA4c的角平分線,點(diǎn)E
為AC中點(diǎn),則()
A.AABC的面積為6B.BA-CA=2>j3
C.BE=43D.AD=^-
【答案】ACD
【解析】
jr
[分析]根據(jù)余弦定理可得ZA=|,進(jìn)而可得面積判斷A,再結(jié)合向量的線性運(yùn)算及向量數(shù)量積可判斷BC,
根據(jù)三角形面積及角分線的性質(zhì)可判斷D.
A
【詳解】
如圖所示,
fAB2+AC2-BC21+16-131
由余弦定理可知cosABAC=------------------------=-------------=-,
2ABAC2x1x42
而/B4c為三角形內(nèi)角,故NBAC=g,sinZBAC=—,
32
所以△ABC面積SuLAB-ACvinNBACuLxlxdx^:
=V3fA選項(xiàng)正確;
222
BA-G4=AB-AC=AB-AC-cosZBAC=lx4x1=2,
JB選項(xiàng)錯(cuò)誤;
由點(diǎn)E為AC中點(diǎn),則而=荏一通=1衣一通,
2
所以而2=|AC2+AB2-ABAC=4+1—2=3,則赤=6,C選項(xiàng)正確;
jr
由A。為/A4c的角平分線,則NR4D=NCAD=—,
6
所以S=LABAD-sinN8AD+ACADsinNG4。,
2
即百=LX1XLAD+LX4XLAD=3A。,則AD=逑,D選項(xiàng)正確;
222245-
故選:ACD.
II.已知力(%)=51!12"%+0)52"%(〃€^),則()
A.上(X)的最小正周期為]
(k7T
B.力(X)的圖象關(guān)于點(diǎn)-+v,0左eZ)對(duì)稱(chēng)
k2o
C.力(x)的圖象關(guān)于直線x=]對(duì)稱(chēng)
D.,r"(x)Kl
【答案】ACD
【解析】
【分析】用函數(shù)對(duì)稱(chēng)性的定義及函數(shù)周期性的定義可判斷ABC選項(xiàng)的正誤;利用導(dǎo)數(shù)法可判斷D選項(xiàng)的
正誤.
2222
【詳解】力(%)=sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x|-2sinxcosx=l——sin2x
2
,11-cos4x3+cos4x
=1—x--------=---------
224
9ITTT
所以/(九)的最小正周期為T(mén)=二二”,故A正確;
42
..7T,_7Tkit
令4%=一+左兀,可rZ得c3%=一+—,左eZ,所以力(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)—+~?-£Z)對(duì)稱(chēng),故B錯(cuò)誤;
284
對(duì)于C:/(萬(wàn)一x)=[sin(?_x)丁〃+[cos(7一x)T〃=(sinx)21+(-cosx)2n
=sin2nx+cos2nX=/(%),
所以函數(shù)/(%)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱(chēng),C對(duì);
對(duì)于D:,因?yàn)?[]+%]=sinf+x\
=(cosx)\2n+(/-si.nx)\2n
12
=sin2nx+cos2n/(x),
所以,函數(shù)f(x)為周期函數(shù),且]是函數(shù)/(X)的一個(gè)周期,
只需求出函數(shù)/(x)在0,|上的值域,即為函數(shù)/(%)在R上的值域,
v/(x)=sin2nx+cos2nx,則
/r(x)=2nsin2n_1xcosx-2ncos2n_1xsinx=2nsinxcosxfsin2n-2x-cos2n_2x
7171
當(dāng)時(shí),0<cosx<—<sinx<B
4’22
因?yàn)椤ㄖ?且左wN*,則2〃—222,故sir?"一2%〉cos2〃-2%,此時(shí)廣(%)>0,
所以,函數(shù)/(X)在上單調(diào)遞增,
當(dāng)xe[o,z]時(shí),0<sinx<^^<cosx<l,
因?yàn)樽?2且左eN*,則2〃-212,故sin252尤〈cos?”?無(wú),此時(shí)廣(%)<0,
所以,函數(shù)f(x)在0,?上單調(diào)遞減,
x
所以,當(dāng)xe時(shí),f(Ln=f
又因?yàn)椤?)=/1,則
因此,函數(shù)/(X)的值域?yàn)?,1,D對(duì).
故選:ACD
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.
12.函數(shù)〃x)=x4nx的單調(diào)遞減區(qū)間為
-1
【答案】##(0,e]
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得了(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?0,+功,V/,(x)=lnx+l.
令I(lǐng)nx+lVO得0<%vL
e
二函數(shù)/(%)=K山%的單調(diào)遞減區(qū)間是[0,,.
故答案為:^0,—
13.已知函數(shù)“X)是定義在R上的偶函數(shù),當(dāng)xNO時(shí),/(x)=sinx(l+cosx),則當(dāng)x<0時(shí),
〃x)=----------
【答案】-sinx(l+cosx)
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性與三角函數(shù)的奇偶性求解即可.
【詳解】因?yàn)楫?dāng)x20時(shí),/(x)=sin%(l+cosx),
所以當(dāng)x<0時(shí),則-x>0,所以〃-x)=sin(-x)[l+cos(-x)]=-sinx(l+cosx),
又函數(shù)/(X)是定義在R上的偶函數(shù),所以/(£)=/(-x)=—sinx(l+cosx).
故答案為:-sinx(l+cosx).
..4b+8
14.已知a〉0,6/0,且。+網(wǎng)=4,則,+的最小值為.
【答案】2+272.
【解析】
4b+848b48
【分析】先將所求式子化簡(jiǎn)一a+F\b\T=—a+畝\b\+畝\b\,再根據(jù)基本不等式得到一a+畝\b\的最小值,則可判斷當(dāng)
b<0,求得最小值.
4b+848Z?
【詳解】根據(jù)題意:一+工廠=一+而+而,
a\b\a\b\\b\
bb,
若〃>0,則—=1,若Z?>0,則面=一1,
因?yàn)閍〉0,6w0,貝力6|>0,
48148、/⑺、°\b\2a\\b\2a廠
一+畝=:z(—+三)(。+例)=3+—+而>3+2—--j=3+2V2,
a\b\4a\b\a\b\'a\b\
當(dāng)且僅當(dāng)號(hào)=/即。=%J5-1),例=4(2-V2)時(shí)取等號(hào);
4b+848,「「
則當(dāng)人<0時(shí),-+-|^-=-+^|的最小值是3+20—1=2+2貶,
當(dāng)且僅當(dāng)a=4(、回—1),6=4(72-2)時(shí)取等號(hào).
故答案為:2+26.
四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15.已知角a的頂點(diǎn)與原點(diǎn)。重合,始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,它的終邊過(guò)點(diǎn)尸(4,-3).
(1)求sin2a的值;
(2)若角廠滿(mǎn)足sin(a+,)=搐,求cos£的值.
24
【答案】(1)——
25
33f63
(2)——或----
6565
【解析】
【分析】(1)根據(jù)三角函數(shù)的定義,求三角函數(shù)值,再根據(jù)二倍角公式,即可求解;
(2)利用角的變換cos£=cos[(a+£)-a],再結(jié)合兩角差的余弦公式,即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
由題意可知,尸(4,-3),則r=5,
…34
則sma=--,coscr,
24
sin2a=2sinacosa=-----
25
【小問(wèn)2詳解】
512
sin(a+〃)=jj,所以cos(a+〃)=±值,
所以cos°=cos[(a+-a]=cos(a+/?)cosa+sin(a+/)sina,
12124533
當(dāng)cos(a+1)=R,所以COSP=JJX1+JJX
65
,(小12b,12145(3)63
當(dāng)cos(a+0=-工,所以cos/=-/卜三+卜三―布,
綜上可知,cos£的值為2或-3
6565
16.已知數(shù)列&}的前〃項(xiàng)和為5“,且3s〃=4"+i-4(〃eN+).
(1)證明:數(shù)列{log2??}為等差數(shù)列;
(2)記數(shù)列{log2%}的前幾項(xiàng)和為北,^―+—+—+,,-+—<—7,求滿(mǎn)足條件的最大整數(shù)”.
,1A’34
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)99
【解析】
【分析】(1)利用退一相減法可得4及l(fā)og?4,即可得證;
/、1111
(2)根據(jù)等差數(shù)列求和公式可得7;=〃("+1),則亍=而旬=力—一J,利用裂項(xiàng)相消法可得
1111,1
—+—+—+=1-------解不等式即可.
t《nTnn+1
【小問(wèn)1詳解】
由已知3s“=4用—4,
當(dāng)〃=1時(shí),34=35\=4?—4=12,即q=4;
當(dāng)“22時(shí),3S,T=4"—4,
則3a?=3S?-3S,T=4"曲—4-4"+4=3?4",即4=4",
又〃=1時(shí),%=4滿(mǎn)足%=4",
所以4=4〃=22",
2
TSZ?,,=log2=log22"=2n,%-2=2(〃+l)-2”=2,
即數(shù)列{g}為等差數(shù)列,即數(shù)列{log24}為以2為首項(xiàng)2為公差的等差數(shù)列;
【小問(wèn)2詳解】
由等差數(shù)列可知T”=(仿+;")"=(2+;)2=〃(〃+°,
11_J___1_
則T=~T7
Tn小+1)nn+1
111111111i
所以方+方+^-'1^=1-二+二一二-1----1--------7=1------7,
T\T2T3Tn223n〃+ln+1
即(嗎
HeN,
n+\101+
解得“<100,
即滿(mǎn)足條件的最大整數(shù)"=99.
17.已知AABC的三個(gè)內(nèi)角A,3,C所對(duì)的邊分別為a,0,c,且。=4,c=36,記△ABC的面積為S,內(nèi)
切圓半徑為乙外接圓半徑為R.
(1)若b=血,求sinA;
(2)記p=5(a+b+c),證明:r=一;
(3)求歡的取值范圍:
【答案】(1)迪
3
(2)證明見(jiàn)解析(3)
【解析】
【分析】(1)利用余弦定理求得cosA,進(jìn)而求得sinA.
(2)根據(jù)三角形的面積公式證得結(jié)論成立.
(3)用6表示出,然后利用導(dǎo)數(shù)求得主的取值范圍.
【小問(wèn)1詳解】
?二〃=4,。=y/~2,c-3V2,
上人」、…Ez■b-+c2-a22+18-161
由余弦定理,得BcosA=-------------=----------尸=一,
2bc2xjr2x3j23
V0<A<7i,sinA=A/1-cos2A=
3
【小問(wèn)2詳解】
,/ZSABC的面積為S,內(nèi)切圓半徑為r,
11,11z,
/.Sn=—axr+—bxr+—cxr=—(a+b+cx]r,
2222、7
S_
又P=5("+b+c),S=pr,/1
P
【小問(wèn)3詳解】
Ar\
由正弦定理得-=2R,得R=---二------二-----
sinA2sinA2sinAsinA
因?yàn)椤?4,c=3b,
由(2)得5=pr=;r(4+b+3Z?)=(2+2Z?)r,
13b2
又因?yàn)镾=—bcsinA=----xsinA,
22
3b2sinA3b2
所以r=所以Hr二—x------
4(1+。)21+b
他+3b〉4
由<7/C7解得l<b<2,
Z?+4>3Z?
3b2,/、36(6+2)
令/3)=上—d<b<2),/'(》)=—~甘〉o,
2(1+。)2(1+。)
3
則/S)在(1,2)上單調(diào)遞增,所以a</S)<2,
故主的取值范圍為
18.設(shè)函數(shù)/(x)=lnx,g(x)=l__(x>0).
(1)求/(X)在X=1處的切線方程;
(2)證明:/(x)zg(x):
(3)若方程/'(x)=g(x)有兩個(gè)實(shí)根,求實(shí)數(shù)。的取值范圍,
【答案】⑴x—y—1=0
(2)證明見(jiàn)解析(3)(0,l)u(L+s)
【解析】
【分析】(1)根據(jù)切點(diǎn)和斜率求得切線方程.
(2)利用構(gòu)造函數(shù)法,結(jié)合導(dǎo)數(shù)證得不等式成立.
(3)利用構(gòu)造函數(shù)法,結(jié)合導(dǎo)數(shù)以及對(duì)。進(jìn)行分類(lèi)討論來(lái)求得。的取值范圍.
【小問(wèn)1詳解】
=則女=尸(1)=1,/(1)=0.
X
???/(%)在冗=1處的切線方程為丁=1一1,即%—y—1=0.
【小問(wèn)2詳解】
令/z(x)=f(x)-g(x)=Inxd----1,XG(0,+。)
x
“、11x-1
h(x)=-----5=—^、
XXX
X—1
令”(%)=一—二0,解得x=l.
X
/.0<x<1,hr(x)<0;x>1,h\x)>0.
力(九)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+8)上單調(diào)遞增.
h(x)>h(l)=0,gp/(x)>g(x).
【小問(wèn)3詳解】
令加⑴=/(x)-g(x)=6zlnx+--l,xe(0,+。),
問(wèn)題轉(zhuǎn)化為皿%)在(0,+oo)上有兩個(gè)零點(diǎn).
,/、a1ax-1
m(x)=-----—廠.
xxx
①當(dāng)〃<0時(shí),
m(x)<0,皿X)在(0,+8)遞減,皿元)至多只有一個(gè)零點(diǎn),不符合要求.
②當(dāng)〃>0時(shí),
令加(%)=0,解得X--
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