2024-2025學(xué)年八年級(jí)年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專項(xiàng)復(fù)習(xí)講義：三角形的兩大模型（含答案）

1講三角形的兩大模型

O知識(shí)甘航

模塊二兩大模型與邊長(zhǎng)關(guān)系

“飛鏢”模型“8”字模型

AX

BCcD

AB+AC>BD+CDAB+CD<AD+BC

模塊三多邊形

1.多邊形的基本概念：D「

U

(1)定義：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做

多邊形.

(2)要素：頂點(diǎn)、邊、內(nèi)角、外角、對(duì)角線BA

內(nèi)角：ZA、ZABC.NC、NCDE、ZE......(多邊形

外角：Not

對(duì)角線：連接不相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)的線段是多邊形的對(duì)角線.如CQ

九邊形對(duì)角線條數(shù)："("3)條

2;、

(3)分類：凸、凹多邊形：多邊形的每一邊都在任何一邊所在直凸多邊形凹多邊形

線的同一側(cè)，叫做凸多邊形；反之叫做凹多邊形.(如圖)AzF

(4)正多邊形：各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多

邊形(如圖正六邊形)

AB=BC=CD=DE=EF=AFCD

ZA=ZB=NC=ZD=NE=NF正六邊形

2.多邊形的內(nèi)角和：

(1)結(jié)論：”邊形內(nèi)角和等于("一2)」80°.

(2)證明：

①過"邊形一個(gè)頂點(diǎn)，連對(duì)角線，可以得(〃-3)條對(duì)角線，并且將

“邊形分成(〃-2)個(gè)三角形，這(〃-2)個(gè)三角形的內(nèi)角和恰好是多

邊形的內(nèi)角和.1

②在“邊形邊上取一點(diǎn)與各頂點(diǎn)相連，得(〃-1)個(gè)三角形，“邊形

內(nèi)角和等于這(〃-1)個(gè)三角形內(nèi)角和減去在所取的一點(diǎn)處的一個(gè)

平角,即("-2>180°.

③在”邊形內(nèi)部取一■點(diǎn)與力邊形各頂點(diǎn)相連，得“個(gè)三角形，這"

個(gè)三角形所有內(nèi)角之和為180°,故〃邊形內(nèi)角和等于

(77-2)-180°.

3.多邊形的外角和：

(1)結(jié)論：多邊形外角和等于360。.

(2)證明：

故口圖：Na=180°—Nl,N￡=180°-N2,

Zr=180°-Z3,...

Za+Z^+Zr+=180°-Z1+Z180°-Z2+180°-Z3+等式右邊共

BA

有八個(gè)180。相加，Z1+Z2+Z3+代表〃邊形的內(nèi)角和，即

Za+Z/3+Zr+=360°.

模塊一兩大模型與角度關(guān)系

(1)如圖1-1,△ABC中，點(diǎn)。在8c的延長(zhǎng)線上，過。作于E,交AC于R已知NA=30。，

N尸CD=80。，則ZZ)的度數(shù)為.

(2)如圖1-2,4=105°,貝!JZA+NB+NC+ZD+NE+NF'n

(3)如圖1-3,貝！|ZA+NB+NC+ZD+NE=

(1)40°;(2)210°;(3)180°.

【教師備課提示】這道題主要考查三角形兩大模型的基礎(chǔ)倒角問題——找模型.

(1)飛鏢模型：找燕尾；(2)“8”字模型：找X字.

(1)如圖2-1,貝I]ZA+ZB+NC+ZD+ZE=

(2)如圖2-2,貝UZA+ZB+NC+ND+NE+N/=

解析

(1)本題既可按“8字模型”來考慮，也可按照飛鏢模型來做，也可以應(yīng)用外角定理來解決，此題可以鍛

煉學(xué)生一題多解，熟練靈活的應(yīng)用.

①如圖1,連接CD,應(yīng)用“8字模型

NB+NE=NECD+NBDC,Z4+4+NC+ZD+Z￡=180°.

②如圖2,應(yīng)用飛鏢模型，:ZA+NC+ZD=NCFD=ZBFE

,/ZJB+Z￡+ZBFE=180°,：.ZA+ZB+ZC+ZD+ZE=180°

③如圖3,應(yīng)用外角定理，；ZC+ZE=Z1,ZB+ZD=Z2

又：NA+N1+N2=18O°,ZA+ZB+ZC+ZD+Z￡=180°

圖1圖2圖3

(2)法一：：NA+NB=N5+N6①

NC+NO=N4+N6②

Z￡+ZF=Z4+Z5③

①+②+③=2(N4+N5+N6),Z4+Z5+Z6=180°.

ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=360°.

法二：VZA+Z6+Z1=18O°,①

ZC+ZD+Z3=180°,②

ZE+ZF+Z2=180°.③

而4=N4,Z2=Z6,Z3=Z5,且N4+N5+N6=180°.④

...①+②+③一④得，ZA+Zfi+ZC+ZD+Z￡+ZF=360°

法三:連接ED,ZA+ZB=ZBED+ZADE

：.N4+NB+NC+ND+N￡+NF=〃+NC+NFH)+NCD￡T=360°

【教師備課提示】這道題相對(duì)復(fù)雜，鍛煉孩子們找模型的能力和倒角能力，一題多解.

(1)如圖3-1,已知&=133°,￡=83°,貝ijNA+NB+NC+ND=

(2)如圖3-2,貝ijZ4+Z6+ZC+ZD+ZE=

(1)216°;利用兩次"8"字模型.

(2)220°;連接2。利用兩次飛鏢模型.

【教師備課提示】這道題主要需要孩子們自己連接輔助線，鍛煉倒角能力.

A

ZADC

70°.

己知：如圖NB=34°,ZD=40°,AM,CM分別平分和/BCD.

(1)求的大?。?/p>

(2)當(dāng)NB,ZD為任意角時(shí)，探索與NB,間的數(shù)量關(guān)系，并對(duì)你的結(jié)論加以證明.

(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，在八研和△<?￡1“中，

ZB+Zl=180°-ZAEB,

ZM+Z3=180°-ZCEM,

AZM=ZB+Z1-Z3①

同理NM=ND+N4-N2②

VZL=Z2,Z3=Z4,

①+②得2ZM=ZB+ZD,

即ZM=；(NB+NO)=g(34。+40。)=37。

(2)當(dāng)NB、/￡>為任意角時(shí)，ZM=-(ZB+ZD'),

證明：根據(jù)三角形外角性質(zhì)，可得：

Z5=ZM+Z3,Z5=ZB+Z1

Z6=ZM+Z2,Z6=ZD+Z4

AZM+Z3=ZB+Z1,ZM+Z2=ZD+Z4

：.2NM+(Z2+Z3)=(ZB+ZD)+(Z1+Z4)

又「40、CM分別平分NWD、ZBCD

：.Z1=Z2,Z3=Z4,Z2+Z3=Z1+Z4

A2ZM=ZB+ZD,即NM=g(4+ZD)

【教師備課提示】例4一例5主要考查兩大模型的拓展,自己拓展出結(jié)論.

模塊二兩大模型與邊長(zhǎng)關(guān)系

如圖，AC,8。是四邊形ABC。的對(duì)角線，且AC、8。相交于點(diǎn)0.

求證：(1)AB+CD<AC+BD；

(2)AC+BD>^(AB+BC+CD+AD).

解析

(1)在AABO中，AO+BO>AB,

在△COO中，CO+DO>CD,

兩不等式相加得，AAB+CD<AO+BO+CO+DO

即AB+CD<AC+5D

(2)應(yīng)用上題的結(jié)論：AB+CD<AC+BD,AD+BC<AC+BD,

：.AC+BD>^(AB+BC+CD+AD).

三角形不等式是指一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)度之和大于第三邊的長(zhǎng)度.在下圖中，E位于線段CA上，。位于

線段8E上.

(1)說明為什么AB+袒>DB+DE.

(2)說明為什么TW+ACADB+DC.

(3)AB+BC+CA^2(DA+DB+DC),哪一個(gè)更大？證明你的答案；

(4)AB+BC+CA^DA+DB+DC,哪一個(gè)更大？證明你的答案.

遨)解析

(1)由三角形三邊關(guān)系，AB+AE>DB+DE.

(2)由三角形三邊關(guān)系，DE+EC>DC.1產(chǎn)1

因此,AB+AC=AB+AE+EC>DB+DE+EC>DB+DC.

(3)由三角形三邊關(guān)系，DA+DB>AB,DB+DC>BC,以及DC+ZM>C4,

將三個(gè)不等式相加，^2(DA+DB+D(J)>AB+BC+CA.

(4)由(2)可知AB+ACADB+DC.

類似可得5C+54>DC+ZM,以及C4+CB>D4+D3.

將這三個(gè)不等式相加，可得2(A5+BC+C4)>2(DA+DB+DC),

即鉆+AC+3C>D4+￡>B+DC.

【教師備課提示】例6一例7主要考查兩大模型和邊長(zhǎng)的關(guān)系.

模塊三多邊形

(1)下列平面圖形____________不具有穩(wěn)定性.(黑點(diǎn)表示連接點(diǎn))

(2)科技館為某機(jī)器人編制一段程序，如果機(jī)器人在平地上按照?qǐng)D示

中的步驟行走，那么該機(jī)器人所走的總路程為()

A.6米B.8米

C.12米D.不確定

(3)m邊形的一個(gè)頂點(diǎn)有7條對(duì)角線，“邊形沒有對(duì)角線，k邊形對(duì)

角線條數(shù)等于邊數(shù)，則〃2+〃+左=

(1)C.提示：三角形具有穩(wěn)定性.

(2)B.多邊形的外南和為360。，每個(gè)外角為45。，貝"360。-45。=8,

故多邊形邊數(shù)為8,則周長(zhǎng)為1x8=8.

(3)根邊形的一i個(gè)頂點(diǎn)有7條對(duì)角線，所以m―3=7,則加=10;

沒有對(duì)南線的多邊形顯然是三角形，則九=3;

左邊形條數(shù)與其邊數(shù)相等，即伏一3)1二左,所以左=5.ikm+n+k=18.

2

(1)若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于720。，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是()

A.5B.6C.7D.8

(2)若一個(gè)正多邊形的一個(gè)外角是40。，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是()

A.10B.9C.8D.6

(3)一個(gè)多邊形內(nèi)角和是外角和的4倍，那么這是()邊形.

A.10B.22C.15D.8

(4)如果一個(gè)五邊形的4個(gè)內(nèi)角都是100。，則第5個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是

(5)一個(gè)凸多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都等于140。，那么，從這個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線的條數(shù)

是.

遏)解析

(1)B：(2)B.

(3)A.設(shè)多邊形的邊數(shù)為〃，由題意得(〃一2)/180。=360。><4,解得力=10.

(4)(5-2)xl800-4xl00°=140°.

(5)6.每個(gè)外角為180。-140。=40。，邊數(shù)為360。+40。=9,

則每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)得到對(duì)南線的條數(shù)：9-3=6.

(1)一個(gè)凸多邊形的內(nèi)角中，最多有個(gè)銳角.

(2)一個(gè)凸“邊形，除一個(gè)內(nèi)角外，其余”-1個(gè)內(nèi)角的和是2400。，則w的值為

超解析

(1)3.

(2)由凸”邊形的內(nèi)角得，0°<(n-2)xl800-2400°<180°,

解不等式的15,<〃<16,，故〃=16.

33

------------------------?

如圖，求NA+/B+NC+ND+NE+/F+NG+NW六個(gè)角的和.

ED

"解析

連接。E、EF,BE與DG的交點(diǎn)、為O

?.?三角形內(nèi)角和等于180。，

AZB+ZG+ZBOG=180°,ZBED+ZEDG+ZDOE=180°

VZBOG=ZDOE,；.ZB+/G=ZBED+/EDG

同理NC+NH=NHEF+NEFC

??.NA+NB+NC+ND+NE+NF+NG+NH

=ZA+ZBED+ZEDG+ZHEF+/EFC+ND+NE+NF

=ZA+(/D+/EDG)+(/BED+/E+/HEF)+(/EFC+/F)=ZA+ZADE+ZDEF+AEFA=360°.

1師備選1》

如圖所示，在△ABC中，AD±BC,。在BC上,ZABC>ZACB,P是A￡>上的任意一點(diǎn)，求證

AC+BP<AB+PC.

作點(diǎn)3關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)3',則點(diǎn)9落在線段CZ）上.連接43,交PC于點(diǎn)E,連接

由軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)可得=PB=PB：

在△AEC中，AE+EOAC,在APE3,中，PE+EB'>PB'.

因此AC+PB'<AE+EC+PE+EB'=AB'+PC,所以AC+3P<AB+PC.

【師備選2A

如圖，在三角形ABC中，AB>AC>BC,為三角形內(nèi)任意一點(diǎn)，連結(jié)AP,并延長(zhǎng)交8c于點(diǎn)D

求證：(1)AB+AOAD+BC；

(2)AB+AC>AP+BP+CP.

BDCBD

超解析

(1)VAB>AC,ZABD<ZACD

VZADB>ZACD,：.ZADB>ZABD,：.AB>AD

VAOBC,：.AB+AOAD+BC

(2)過點(diǎn)P作砂〃BC,交A3、AC于E、F,則NAEF=NA3C,ZAFE=ZACB

由(1)AE+AF>AP+EF

VBE+EP>BP,CF+FP>CP

：.(AE+BE)+(AF+CF)+(EP+FP)>AP+BP+CP+EF

即AB+AOAP+BP+CP

幾何證明中后一問常常要用到前一問的結(jié)論.

復(fù)習(xí)鞏固

模塊一兩大模型與角度、邊長(zhǎng)關(guān)系

胃?》

(1)如圖1-1,已知NA=70。，ZB=40°,ZC=20°,則=

(2)如圖1-2,Z3=20°,Z4=30°,貝U/l—N2=.

(1)130°;(2)10°.

i^^?>

(1)如圖2-1,ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=

(1)360°;(2)連接2C,:ZEFD=NCFB(對(duì)頂角相等)

AZE+ZD=ZFCB+ZFBC(等量減等量差相等)

AZACB+ZABC=ZACD+ZABE+ZFCB+ZFBC(等量代換),

VZA+ZABC+ZACB=180°(三角形內(nèi)角和定義)，

AZA+ZB+ZC+ZD+ZE=180°(等量代換).

將圖3-1中線段A。上一點(diǎn)E(點(diǎn)A、D除外)向下拖動(dòng)，依次可得圖3-2、圖3-3、圖3-4.分別探究圖3-2、

圖3-3、圖3-4中NA、ZB、/C、ND、ZE(ZAED)之間有什么關(guān)系？

圖3-1圖3-2圖3-3圖3-4

探究圖3-2、圖3-3、圖3-4可得：ZA+ZB+ZC+ZD+ZE(或/4團(tuán))=180°

圖3-2中：證明：

ZL=ZB+ZC,Z2=ZA+ZE.

:Zl+Z2+ZD=180°,A(ZB+ZC)+(ZA+ZE)+ZD=180°

即ZA+ZB+ZC+ZD+ZE=180°

圖3-3中：同上可證NA+NB+NC+ND+NA田=180°

圖3-4中：同上可證NA+N3+NC+ND+//?=180°

■SW〉〉

(1)已知如圖4-1所示，在圖形ABCDEFG中，若BC//FG,則ZA+ZB+ZC+ZD

+ZE+ZF+ZG=.

(2)如圖4-2所示，ZA+ZB+NC+ND+NE+NF+NG的值等于

(1)ZA+ZB+ZBCH+ZHCG+/HGA+NCGH=360。,

NE+N尸+ND+〃HD=360。,

ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG=(360°-ZHCG-NCGH)+(360°-/FHD)=540°.

(2)連接BE、CF,設(shè)BD與CE交于M,CE與DF交于N.

由ZB+ZBMN+ZE+ZG=360°,

ZFNM+ZF+ZA+ZC=360°,

而NBMN+NFNM=ND-8CP,所以，

原式=(ZA+NC+ZF)+(NB+NE+NG)+ZD

=(360°一NFNM)+(360°-/BMN)+ND

=720°-(NBMN+NFNM)+ND

=720°-(Z