2024-2025學年度高二數(shù)學第一學期期中模擬試卷（一）（含答案）

2024-2025學年度第一學期高二數(shù)學期中模擬試卷(一)

總分：150分考試時間：120分鐘

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.直線4:ax+y—1=0,4：(a-2)x—即+1=0,貝i］“a=—2”是“Uh”的()條件

A.必要不充分B,充分不必要

C.充要D,既不充分也不必要

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)直線平行求得。，結合充分、必要條件的知識求得正確答案.

［詳解］若貝/x(-a)=lx(q_2),a+a-2=0,

解得a=l或a=-2,

當a=l時，4和4的方程都是x+N—l=°,兩直線重合，不符合題意.

經(jīng)驗證可知，。=-2符合.

所以“a=-2，，是“卜〃2”的充要條件.

故選：C

了1

E:y=-x2

2.拋物線’4的焦點到其準線的距離為()

1￡

A.8B.4C.2D.4

【答案】C

【解析】

【分析】將拋物線方程化為標準式，即可得到夕，再根據(jù)夕的幾何意義得解；

F12

E：y=—x2A。

【詳解】解：拋物線4,即X=4y,則2夕=4,所以2=2,

所以拋物線的焦點到其準線的距離為2=2.

故選：C

3.已知橢圓〃+〃的左、右焦點分別為片、鳥，短軸長為46,離心率為5,過點

片的直線交橢圓于A,B兩點，則入18g的周長為

A.4B.8C.16D.32

【答案】C

【解析】

【分析】利用橢圓的定義，結合/=戶+。2,即可求解，得到答案.

-T=1（?！蹬_〉0）/T—

【詳解】由題意，橢圓?！亩梯S長為4,3,離心率為2,

c2_a2-b2_Z72_1

所以/a2a24,2b=46,則4=12,所以。=4,

所以A45K的周長為1“周+|“周+忸耳|+忸■周=4。=16,

故選C.

22

4.設雙曲線。b的虛軸長為2,焦距為2,3,則雙曲線的漸近線方程為（）

V2_,1

v=V-+2X"土〒xy=±-x

A.yB.y~-zxC.2D,2

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意得到b=l,°=百，進而得到°=逝，求出漸近線方程.

【詳解】由題意得%=2,2c=2e,解得6=1,c=M,

故a=Vc2—b~=V2,

,b,垃

y-±—x-±—x

故雙曲線漸近線方程為"a2.

故選：C

x2y21

---1----1

5.已知焦點在8軸上的橢圓機3的焦距為6,則實數(shù)加等于（）

221

A.4B,4C.12D.12-6百

【答案】c

【解析】

【分析】根據(jù)橢圓的標準方程建立方程，解之即可求解.

[詳解]由題意知，機＞3，°=痂，b=3，c=3,

又。2=〃+。2,所以"2=3+9=12,

即實數(shù)加的值為12.

故選：C

6.點("J)在曲線了=[4-J—2上,則田一令+4]的取值范圍為()

「2%l%

[][r]

A,?TB.[2，岡c.I]D.?J

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，問題轉化為半圓上的點到定直線的距離的5倍，進而求出結果.

【詳解】如圖，曲線J=-4——2為圓J+(y+2)2=4的上半圓,圓心'(0,—2),半徑為2,

8(2,-2)

|3x-4y+4|表示點(x/)到直線3x-4y+4=0距離的§倍，

1叫」；「4=.〉2

點A到直線3x—4y+4=0的距離V3+(-4)5,即直線3%—4了+4=0與圓相離,

M」3：4x(一少41弋

點8到直線3x-外+4=0的距離/+(-4)',

13x-4y+41最小值為5伽。卜2)=2,4-4y+41最大值為5忸。=18,

則|3》-4尸41的取值范圍為[2,18].

故選：B

2

7.焦距為2后，并且截直線＞=2x-l所得弦的中點的橫坐標是7的橢圓的標準方程為（）

2

X+—=l2o2

A.3Bx+3y=1

2222

二+匕=1/+匕=1±+/=1

C.412D.3或3.

【答案】A

【解析】

【分析】設橢圓方程為J〃一，且切〉0，〃〉0，切/〃，及交點"（21），'（￡，％）,將兩點代入橢

（再+龍2）（--%2）=_（%+%）（.%-%）-2=現(xiàn)

圓方程可得m一"，根據(jù)弦中點坐標關系可得再一遍3m,結合直線方程

得"=3m,再由橢圓的焦距求得加，"的值，即可得橢圓標準方程.

X2/1

【詳解】解：設橢圓方程為機〃，且加＞°,〃＞0,機力〃

設直線y=2x-1與橢圓相交的兩點坐標為A（再8（32）,由題意可知2=7,即”+“2—7,

46

所以必+%=（2王-1）+（2%T）=2（X[+xz）-2=2xy-2=-y

（22

-------1---------1

mn

＜

22

A（xy）互+及=14+口=0

又3'必力（2，必1在橢圓上，可得：[mn,兩式相減得mn,

（國+工2）（占一/）二（二+1）（必一%）4xt-x26y,-y2=2n

整理得：wn，則7加7〃，所以再一苫23m,

.J”

又直線＞=2x-l的斜率為2,所以一3加，gpn=3m,所以〃＞相

—?y2_]

橢圓機“一的焦距為20，所以c=J^,貝+2,

n=m+21〃=3”2

＜—2I-1/+匕=]

故可得：[〃-3機解得〔加-1,故橢圓的標準方程為：3.

故選：A.

8,已知圓C：（x—1）+廠=1,直線/：y=《（x+l）,若直線與X軸交于點A,過直線/上一點尸作圓

C的切線，切點為T,且PA=6PT,則上的取值范圍是（）.

VisV151r1r

A.L」B.LJJ」

V15[[_]_姮

―_亍

C.L」D.L」

【答案】A

【解析】

【分析】先求出尸的軌跡方程，再根據(jù)直線/與圓（“—3）+丁=1°有交點，結合點到直線距離公式即可

求解.

設尸（如為），根據(jù)直線/：了=稔+1）解析式，直線/與x軸交點'（T°）,

2

因為C:（x-1）+j=1；圓心半徑r=l；

根據(jù)題意w刀=、尸C'一球=-x°T:+y：T=M-2X°+*,

IF=jG+iy+y：,又因為PA=OPT,

則有,/&_2/+需=,國+1）2

化簡整理得，x；-6x°+y：T=0,故P的軌跡為（a3）+廣=1°,

是圓心為8°）,半徑為雨的圓；

因為存在尸4=71叮，則直線/與圓（x-3）+丁=1°有交點，

則圓心（二°）到直線i-k^-y+k=o的距離小于等于半徑回,

"2°+文麗母蟲〈而^<5

所以“？+1,即,公+1,整理得：3,

岳/?岳

-----<K<----

解得33.

故選：A

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

22

C:q+上=1

9.曲線2+左2一左,下列結論正確的有（）

A.若曲線C表示橢圓，則-24<2且左不等于oB.若曲線C表示雙曲線，則焦距是定值

C.若k=1,則短軸長為2D.若左=3,則漸近線為了=土氐

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)橢圓雙曲線簡單幾何性質逐項判斷即可.

'2+左>0

22<2~k>0

C.%+?_]

【詳解】對于A：，2+左+2-左表示橢圓，則〔2+**2-上即％e（-2,0）U（0,2）,故人正確;

22

..xy_1

對于B：,2+左+2-左表示雙曲線，則（2+%）（2-%）<°,即2）U（2,+OO）,

當左>2時,/=Q+左）+（左-2）=2左，焦距不是定值，故B錯誤；

22

C:二+2=1

對于C：左=1時，31為橢圓，短軸長2b=2,故C正確；

221

c：—--=1y=±—^x

對于D：左=3時，51為雙曲線,漸近線方程為75，故D錯誤;

故選：AC.

10.已知直線/：而一了+1=°和圓M：（x—l）'+（y—2）2=4,則下列選項正確的是（）

A,直線/恒過點（°/）B,圓川與圓=1有三條公切線

C.直線/被圓河截得的最短弦長為20D.當左=1時，圓M上存在無數(shù)對關于直線/對稱的點

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)定點的特征即可求解A,根據(jù)兩圓的位置關系即可求解B,根據(jù)垂直時即可結合圓的弦長公

式求解C,根據(jù)直線經(jīng)過圓心即可求解D.

【詳解】對于A,由直線/的方程區(qū)一＞+i=°,可知直線/恒經(jīng)過定點尸（°」），故A正確；

對于B,由圓M的方程（x—iy+S—2）2=4,可得圓心”（1,2）,半徑廠=2,又由

\CM\=7（0-1）2+（0-2）2=V5由于2-1〈斯＜3=1+2,

所以圓M與圓C：/+/=1相交，圓出與圓C：—+/=l有兩條公切線，故B錯誤；

對于C,由儼祖上也，根據(jù)圓的性質，可得當直線/和直線尸N垂直時，此時截得的弦長最短，最短弦

長為2"^=2/，故c正確；

對于D,當左=1時，直線/：》—了+1=°,將圓心"O'2）代入直線/的方程x—y+l=°,可得

1-2+1=0

所以圓M上存在無數(shù)對關于直線/對稱的點，故D正確，

故選:ACD.

V2

C:---1-y2=1

11.設橢圓4"的右焦點為r，點A為左頂點，點B為上頂點，直線/過原點且與橢圓交于

N兩點（又在第一象限），則以下命題正確的有（）

V3

/。叫?1,2）B.NMW=120。時，三角形面積為5

C,直線匯M與直線RV的斜率之積是定值D.當"N與4B平行時，四邊形48MN的面積最大

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)題意和橢圓的性質，結合直線的特點，可較易判斷A選項；對于B選項我們可以巧妙利用橢

圓的對稱性，將所求三角形轉化為面積相同且較易求面積的三角形，利用三角形相關的性質，即可判斷；

對于C選項，按照選項內(nèi)容建立起直線和直線EN的斜率的積的關系式，通過對式子的變形整理，看

式子中是否含有變量，如果有變量，則不是定值，如果沒有變量，則是定值；對于D選項，我們可以將四

邊形的面積分解為幾個易于計算的小三角形的面積，這樣有利于我們更好的建立四邊形面積的表達式，從

而根據(jù)表達式得出面積最大時，MN和48的位置關系.

【詳解】設橢圓的長半軸長為。伍＞°）,短半軸長為焦距為2c（°＞°）,

2

則由題意可知片=4,a=2,〃=i,b=l,c=y]a-b-=74^1=V3；

一（省,0）,4（_2,0）,5（0,1）,直線/過原點，且"在第一象限,

設直線/的方程為：丫=依，k>Q,

..?加經(jīng)過原點，.一<嶼|<2°,即：2<MN|<4,

1<\OM\=^\MN\<2

即：PMe（l，2）,故A正確;

如圖所示:

設橢圓的左焦點為片，連接旅，F(xiàn)N,NR,KM,由對稱性可知：四邊形屈引乃是平行四邊形,

0

S、MFN=QS°MFNF\=S-MFF\ZFA^F；=180-Z7mv=180°-I20°=60°

設|期|=s\MFl\=2a-s=4-s\FxF\=2c=2^

由余弦定理可知：閨殲=眼死+眼聞之一2M川阿"osN乩/，

即gG）=s?+（4—s）~—2s（4_s）cos60°

2

s-2+^4-5=4-f2±-L2+—

rys=2±-----aa

即：3s-125+4=0,解得：3,V5J3

2V6,、2底

s=20-------4-s=2+-----

又：s<4—s,3,3,

S心=|MR|sinZJFW；=15（4-5）sin60°

1L2V6Y.2a、也V3

213"3J23

，3,故B正確；

設："G，%）,亂點在第一象限，...項〉0,%〉0,由對稱性知：N（F，-凹）,

k，k=%_____f=*=kr；

FN-x「晅--43~2-3-x；-3

??XlX1，

又"（"J在橢圓上，.?.[才吟+-]/=』，

^FM，kfN=-i

———3

即有：4k2,

直線松與直線EV的斜率之積與直線/的斜率左有關，不是定值，故C錯誤;

S口ABMN=S^ABO+SdNAO+cMBO=萬1"。1忸。|+小。卜必|+g忸。忖

——x2x1H—x2V,H—x

22112

2A+1

71+4F

—k1=-

當且僅當:左，即：4左2=1,42時等號成立,

k:1-0J.、

2

而°一（一2）,MMN//AB,

.?.當MV與23平行時，四邊形的面積最大，最大面積為1+后，故D正確.

故選：ABD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知圓的方程是一+「—2G+2（"-2）7+2=°,則圓心的軌跡方程為.

［答案］x+y-2=0（x1）

【解析】

【分析】將圓方程化成標準方程可得出圓心坐標為伍，2-。），再根據(jù)表示圓的條件消去參數(shù)4即可得圓心

的軌跡方程.

【詳解】因為方程一+「—2ax+2（a-2）y+2=°表示圓，

222

即（x—q）2+（y+0—2）2=力-2）.2表示圓,所以（z+（（z-2）-2>0；

解得

易知圓心坐標為（見2-。）,且awl,

x=a

<

設圓心坐標為（x/）,則有【丁=2-"，

消去。，得x+V-2=°（x/1）即為所求圓心的軌跡方程.

故答案為：x+y-2=0（x^l）

22

C：---F-=1A（\

13.已知尸為橢圓94上的點，&U，u人則線段長度的最小值為.

【答案】5##5

【解析】

【分析】記線段P/的長度為"，表達"的函數(shù)，利用尸（%,%）；結合二次函數(shù)的性質即可

求d的最小值.

【詳解】設出1，°）,記線段上4的長度為d,尸是橢圓E上任意一點，

設尸（X。,%）,-34《3,

x_22=x2x

d=7（o1）+y0J（o-I）+41-個］=J^o-2x0+5

所以：Yl力V9

由于一34%"3,故'》時，d有最小值，且d的最小值5

故答案為：5

14.直線了=.-1與雙曲線，-/=1有且只有一個公共點，則實數(shù)上=.

【答案】土血或±1

【分析】由口=履-1消去y,對二次系數(shù)是否為0分類討論可得.

R-/=i2

【解析】由消去y,整理得(>*"+2丘-2=0,

當一』時，由A=4.+8(l-F)=0得一啦;

又注意到直線>=依一1恒過點(0'T),且漸近線的斜率為±1時，直線與漸近線平行時也成立.

故答案為：土行或±1

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.已知圓°：/+「=3,直線/過點"He).

(1)當直線/與圓°相切時，求直線/的斜率；

(2)線段48的端點8在圓C上運動，求線段4B的中點/的軌跡方程.

【答案】⑴土百

(x+l)2+/=|

【解析】

【分析】（1）設出直線’的方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，建立方程，解出即可；（2）建立點

M和點A之間的關系式，再利用點A的坐標滿足的關系式得到點M的坐標滿足的條件，即可求出.

【小問1詳解】

已知c的圓心是°（°，°）,半徑是百，

設直線斜率為上

則直線方程是N=MX+2）,即履-y+2左=0,

則圓心到直線距離為,

解得直線的斜率左=±仃.

【小問2詳解】

設點”（x，V），B（x。，xo）則，

%o一2

x=----

,2

；=A12，

由點”是4s的中點得，I2

%=2%+2

V

所以Uo=2y①

因為2在圓C上運動，所以C：x；+%2=3②

①代入②得，（2x+2）2+（24=3,

（X+I）2+）2=—

化簡得點〃的軌跡方程是4

16.已知拋物線C的頂點在原點，焦點在x軸上，且拋物線上有一點尸（4,加）到焦點的距離為6.

（1）求拋物線C的方程；

（2）若拋物線C與直線^=履一2相交于不同的兩點4B,且中點橫坐標為2,求人的值.

【答案】（1）V=8x（2）2

【解析】

【分析】（1）根據(jù)拋物線上點到焦點的距離關于〃的方程可求出。得拋物線方程；

（2）聯(lián)立直線方程與拋物線方程得一元二次方程，由韋達定理及中點坐標公式即可求解.

【小問1詳解】

__p_

由題意設拋物線方程為廣2=2p，其準線方程為x=5,

...0（4,加）到焦點的距離等于4到其準線的距離，

4+?=6

2

...p=4

拋物線C的方程為「=8x

【小問2詳解】

y2=8x

由=2消去修得左2》2_（4左+8）X+4=0,

...直線y=區(qū)-2與拋物線相交于不同兩點/、B,

則有后wO,A=64（左+1）>0

解得左〉-1且左。0,

玉+々_2左+42

又2k-

解得k=2,或左=—1（舍去）

...左的值為2.

17已知圓+（'—2）x+y2+2'>+1—'=°

（1）證明：圓c過定點.

（2）當九=2時，求直線歹=”被圓°截得的弦長.

（3）當幾=2時，若直線/：>=丘一1與圓C交于“，N兩點，且西.麗<-2,其中。為坐標原點,

求上的取值范圍.

【答案】（1）證明見解析（2）2G（3）（T/）

【解析】

【分析】（1）對式子變形為"―2x+i+v+'G+2y—i）=°,由于與幾無關，列方程求解即可得定點;

（2）求出圓心到直線距離，再結合垂徑定理求解弦長即可；

（3）聯(lián)立直線與圓的方程，韋達定理，利用數(shù)量積的坐標運算列不等式，求解即可.

【小問1詳解】

由I?+（4—2）x++2Ay+1—2=0

/曰*-2x+1++A（x+2y—1）=0

令x+2y—1=0,得（％—1）+y=。，解得了=1，^=0,

所以圓C過定點，且定點的坐標為

【小問2詳解】

當彳=2時，圓0的標準方程為一+3+2）2=5,

則圓C的圓心（°'一2）到直線歹=》的距離"=行，

所以直線歹=x被圓C截得的弦長為2,5-笛=26.

【小問3詳解】

將^=丘一1代入丁+（＞+2）2=5,得。+左2*+2依-4=0.

EA=4左2+160+左2）=16+20左2＞。

則、1恒成立，

-2k-4

設M（XQ）N（X2/2）,貝/+X2=T7F，X|X2=b,

XX

所以QAfON=X1X2+必%=\2+（依1一1）（注2—1）=（1+左2）X1%2■■左（再+]2）+1

-4（1+左2）2k2,c

1+左1+左~,整理得左2＜1,則一1〈左＜1,

所以上的取值范圍是（—L1）.

為+與=1（口〉6〉0）r—

18.已知橢圓C：ab的焦距為212,離心率為2.

（1）求C的標準方程；

x=（y+-（/＞0）叵

（2）若＜12）,直線/：2交橢圓C于E,尸兩點，且△ZEE的面積為2,求才

的值.

【答案】（1）42

（2）亞

【解析】

c41

【分析】（1）根據(jù)題意得到2c=2J2,a2,即可得到答案.

?_|_716Z2+14

（2）首先設￡（和乂），廠（“2）,根據(jù)直線與橢圓聯(lián)立，結合根系關系得至產(chǎn)間*+2

。仁，01S^F=-\AD\.\yi-y2\=^-

設直線/與x軸的交點為人再根據(jù)2-2求解即可.

【小問1詳解】

由題意得，2c=2及，c=6,

e—_c—_V__2

又a2,則a=2,

則〃=a2-c2=2,

x2y21

----1----—1

所以C的標準方程為42

【小問2詳解】

,如圖所示:

整理得（產(chǎn)+2獷+3吐：=。，A>0）

J16r+14

t2+2