計(jì)算電磁學(xué)-第5章-時(shí)域有限差分法3

計(jì)算電磁學(xué)

ComputationalElectromagnetism張洪欣電子工程學(xué)院第5章時(shí)域有限差分法（FDTD）（三）5.7周期性吸收邊界條件周期性邊界條件周期性邊界條件（PeriodicBoundaryConditions,PBC）是邊界條件的一種，反映的是如何利用邊界條件替代所選部分（系統(tǒng)）受到周邊（環(huán)境）的影響。可以看作是如果去掉周邊環(huán)境，保持該系統(tǒng)應(yīng)該附加的條件，也可以看作是由部分的性質(zhì)來(lái)推廣表達(dá)全局的性質(zhì)。主要用于數(shù)學(xué)建模和計(jì)算機(jī)仿真中，將具有時(shí)空周期性的物理問(wèn)題簡(jiǎn)化為單元進(jìn)行處理。常見(jiàn)周期性邊界條件1.連續(xù)性周期邊界（Continuity），源和目標(biāo)邊界上的場(chǎng)值相等；2.反對(duì)稱(chēng)周期邊界（Antiperiodicity），源和目標(biāo)邊界上場(chǎng)值符號(hào)相反；3.弗洛奎特周期性邊界（Floquetperiodicity），源和目標(biāo)邊界上場(chǎng)值相差一個(gè)相位因子，相位因子由波矢和邊界相對(duì)距離確定。Continuity和Antiperiodicity邊界可以認(rèn)為是Floquetperiodicity邊界在位相分別為0和π情況下的兩個(gè)特例。4.循環(huán)對(duì)稱(chēng)性邊界（CyclicSymmetry），源和目標(biāo)邊界上場(chǎng)值相差一個(gè)相位因子，相位因子由計(jì)算域所對(duì)應(yīng)的扇形角和角向模式數(shù)決定。一、計(jì)算機(jī)仿真中應(yīng)用周期性邊界條件

微納光學(xué)領(lǐng)域內(nèi)的光子晶體（PhotonicCrystal）、表面等離子體激元（SurfacePlasmon）列陣結(jié)構(gòu)及超材料（Metamaterial）等；這幾種結(jié)構(gòu)均由空間上周期性重復(fù)的散射體構(gòu)成，當(dāng)計(jì)算透射率及能帶結(jié)構(gòu)時(shí)，常常可采用Floquet周期邊界將結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化。超材料能帶結(jié)構(gòu)計(jì)算作為壓電傳感器件的聲表面波器件（SurfaceAcousticWave,SAW）的本征頻率分析。飛機(jī)、輪船、風(fēng)力發(fā)電機(jī)中的渦輪機(jī)，或是旋轉(zhuǎn)電機(jī)結(jié)構(gòu)往往具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性，在進(jìn)行電磁場(chǎng)或振動(dòng)模態(tài)分析時(shí)，可采用CyclicSymmerty類(lèi)型周期性邊界簡(jiǎn)化。二、周期性邊界條件的實(shí)現(xiàn)將超材料在yz平面無(wú)限擴(kuò)展成為無(wú)窮大,在yz平面上,選定材料結(jié)構(gòu)中的一個(gè)單元為研究對(duì)象;并設(shè)金屬絲為理想導(dǎo)體,其周?chē)捎弥芷谛赃吔鐥l件(PBC).波的入射方向沿x方向,可根據(jù)研究的需要來(lái)決定所選的周期數(shù)。zyxPBC與PML的結(jié)合整個(gè)計(jì)算區(qū)域由3部分組成:一部分為自由空間,εr=μr=1;一部分為支撐理想導(dǎo)體的印制板,εr、μr為印制板的相對(duì)介電常數(shù)和磁導(dǎo)率;還有一部分是理想導(dǎo)體,在理想導(dǎo)體表面,電場(chǎng)的切向分量為零,在理想導(dǎo)體內(nèi)部,電場(chǎng)和磁場(chǎng)的各個(gè)分量均為零.在計(jì)算區(qū)域的周期性邊界(PBC)上,既可以全部采用為電場(chǎng)邊界,也可以全部采用為磁場(chǎng)邊界,或一部分為電場(chǎng)邊界,一部分為磁場(chǎng)邊界。Floquet定理當(dāng)周期陣列無(wú)限大，且饋電或者平面波均勻照射時(shí)，結(jié)構(gòu)的周期性將導(dǎo)致其附近的場(chǎng)幅度的分布具有同樣的周期性。在相位上，由于饋電相位線(xiàn)性分布或者平面波的斜入射而具有規(guī)律的相位差，則在時(shí)域上表現(xiàn)為有規(guī)律的延時(shí)，即一種準(zhǔn)周期條件。假想將陣面上的網(wǎng)格線(xiàn)沿垂直陣面的方向無(wú)限平移，將空間劃分為無(wú)數(shù)個(gè)周期性子單元，選定其中一個(gè)為研究對(duì)象，其四壁用PBC截?cái)?，則一個(gè)周期性單元就代表了整個(gè)陣面。選擇在yz平面上的一個(gè)周期單元，周?chē)肞BC截?cái)?；設(shè)y方向上的周期長(zhǎng)度為ay，z方向上的周期長(zhǎng)度為az，根據(jù)Floquet定理，在周期性邊界（PBC）上有：磁場(chǎng)邊界zyx電場(chǎng)邊界設(shè)電磁波沿x方向垂直入射，則ky=kz=0;上述公式簡(jiǎn)化為：在x方向上用PML截?cái)?，差分方程同前；在PBC吸收邊界上，采用磁場(chǎng)邊界時(shí)，對(duì)于x軸左側(cè)邊界，在j=jm的邊界上，有：其他邊界的情況依此類(lèi)推。仿真結(jié)果入射波與物體作用產(chǎn)生散射波，散射波與入射波之和為總場(chǎng)；在有些問(wèn)題中總場(chǎng)正是需要計(jì)算的場(chǎng)，例如在吸收和透射等這類(lèi)問(wèn)題但是在某些問(wèn)題中需要的卻是散射場(chǎng)，這時(shí)就有必要把散射場(chǎng)分離出來(lái)。角標(biāo)t，s，i分別表示總場(chǎng)，散射場(chǎng)和入射場(chǎng)；Et=Es+EiHt=Hs+HiEs=Et-EiHs=Ht-Hi5.8總場(chǎng)-散射場(chǎng)區(qū)的連接邊界條件1.連接邊界條件的原理與實(shí)現(xiàn)(l)最直接的好處就是為散射場(chǎng)的計(jì)算提供了方便；(2)使散射體的設(shè)置變得比較簡(jiǎn)單；(3)分區(qū)計(jì)算可以增大動(dòng)態(tài)范圍.(4）可以設(shè)置任意的入射平面波。連接邊界條件:討論總場(chǎng)-散射場(chǎng)區(qū)的連接邊界條件，利用1D-FDTD方法和線(xiàn)性插值法設(shè)置入射波源；在總場(chǎng)和散射場(chǎng)的連接面上設(shè)置入射波源，把整個(gè)計(jì)算空間劃分為總場(chǎng)區(qū)和散射場(chǎng)區(qū)。在總場(chǎng)區(qū)和散射場(chǎng)區(qū)可以分別用一般的FDTD方程來(lái)計(jì)算總場(chǎng)和散射場(chǎng)。

在計(jì)算總場(chǎng)區(qū)邊界點(diǎn)的總場(chǎng)時(shí)需要用到散射場(chǎng)區(qū)網(wǎng)格點(diǎn)的總場(chǎng)值，

同樣在計(jì)算散射場(chǎng)區(qū)的邊界點(diǎn)時(shí)需要用到總場(chǎng)區(qū)網(wǎng)格點(diǎn)的散射場(chǎng)值；而散射場(chǎng)區(qū)中邊界網(wǎng)格點(diǎn)的總場(chǎng)值和總場(chǎng)區(qū)中網(wǎng)格邊界網(wǎng)格點(diǎn)的散射場(chǎng)值并不存在，所以需要對(duì)總場(chǎng)-散射場(chǎng)連接面上的場(chǎng)值進(jìn)行修正。下面給出柱坐標(biāo)系下總場(chǎng)-散射場(chǎng)區(qū)連接邊界條件。以柱面邊界上的電場(chǎng)為例，在計(jì)算時(shí)要用到圓柱面外散射場(chǎng)區(qū)的磁場(chǎng)Ht，由于Ht=Hs+Hi，可以把總場(chǎng)用散射場(chǎng)和入射場(chǎng)之和來(lái)代替并帶入FDTD方程進(jìn)行計(jì)算。首先計(jì)算邊界上的入射場(chǎng)；設(shè)邊界上為總場(chǎng)；圓柱面（i＝ia，j=0:ny,k=ka:kb）：2.入射波的插值近似

由于總場(chǎng)與散射場(chǎng)連接邊界上的點(diǎn)到波源的距離并不總是空間步長(zhǎng)的整數(shù)倍，因此為求出距波源為d時(shí)的入射波可以采用直接插值近似。用

Ei(d)和

Hi(d)表示距離波源d處的電場(chǎng)和磁場(chǎng)值，則有：其中

為連接邊界上的場(chǎng)分量的波矢，

是連接邊界上的點(diǎn)到波源的距離矢量。根據(jù)以上公式，采用一維FDTD方法模擬入射波，然后再考慮入射波的極化方向，將一維波的電磁場(chǎng)分量投影到總場(chǎng)-散射場(chǎng)邊界上從而得到其入射波。其中，int表示取整，

在散射體模型建模過(guò)程中應(yīng)注意選取網(wǎng)格單元的空間步長(zhǎng)，要使構(gòu)成模型外層網(wǎng)格盡量與散射體邊界重合。為精確地模擬散射體的形狀和結(jié)構(gòu)，網(wǎng)格單元取得越小越好。但網(wǎng)格總數(shù)增加，計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)和CPU時(shí)間也會(huì)隨之增加。解決這一問(wèn)題的一般原則是，在基本滿(mǎn)足計(jì)算精度要求的情況下，盡量節(jié)省存儲(chǔ)空間和計(jì)算時(shí)間。與此同時(shí)，網(wǎng)格的空間步長(zhǎng)對(duì)計(jì)算誤差也有影響。

由于吸收邊界條件在一定入射角范圍內(nèi)有較好的吸波效果，這就要求吸收邊界離開(kāi)散射體要有足夠的距離。圖5.6示出網(wǎng)格空間的場(chǎng)區(qū)劃分。場(chǎng)區(qū)2中只允許散射場(chǎng)存在，無(wú)入射場(chǎng)，此區(qū)稱(chēng)散射場(chǎng)區(qū)。該區(qū)域外邊界為計(jì)算網(wǎng)格空間的截?cái)噙吔纭者吔纭?/p>

場(chǎng)區(qū)1和場(chǎng)區(qū)2由連接條件銜接?？倛?chǎng)區(qū)稱(chēng)為主空間，連接邊界以外稱(chēng)作輔助空間，輔助空間要占據(jù)構(gòu)成網(wǎng)格總數(shù)的一個(gè)較大部分。

場(chǎng)區(qū)1位于計(jì)算網(wǎng)格空間內(nèi)部，散射體設(shè)置在其中，場(chǎng)區(qū)1中有入射波及散射波。該區(qū)稱(chēng)作總場(chǎng)區(qū)。

另一方面，可以通過(guò)散射體對(duì)脈沖波的響應(yīng)了解散射體寬頻帶的散射特性。由于脈沖信號(hào)包含較寬的頻譜，通過(guò)Fourier變換，獲得其寬帶散射特性。這種寬帶特性的獲得只需計(jì)算程序的一次運(yùn)行，體現(xiàn)了FDTD法的優(yōu)點(diǎn)。

為研究散射體對(duì)電磁脈沖的響應(yīng)，希望入射脈沖有較寬的頻譜。尤其是頻譜變化平緩且又具有陡峭的截止特性。Gauss脈沖具有這樣的特性，其隨時(shí)間的變化規(guī)律為：

對(duì)無(wú)解析形式的入射脈沖波，可采用分區(qū)解析表示的方法，即在不同時(shí)間步范圍執(zhí)行不同的解析式。對(duì)復(fù)雜的波形還可采取以數(shù)據(jù)文件形式按步讀入。

由于入射脈沖是依時(shí)間順序分步起作用，其表現(xiàn)形式靈活，從而對(duì)脈沖波的模擬可達(dá)很高精度。式中

f為入射波頻率，n為迭代步數(shù)，?t為時(shí)間步長(zhǎng)。在n=0（t=0）時(shí)，整個(gè)網(wǎng)格空間（除波源處外）中的電磁場(chǎng)均設(shè)為“零”。

隨著n的增加，平面波由連接邊界向總場(chǎng)區(qū)內(nèi)傳播，若總場(chǎng)區(qū)內(nèi)無(wú)散射體存在，則總場(chǎng)區(qū)內(nèi)相當(dāng)于一個(gè)均勻媒質(zhì)空間，在該區(qū)內(nèi)每一網(wǎng)格點(diǎn)的場(chǎng)均按波源同樣的規(guī)律隨時(shí)間變化，穩(wěn)定的電場(chǎng)振幅也為。

達(dá)到穩(wěn)定所需時(shí)間步數(shù)與諸多因素有關(guān)，主要取決于散射體結(jié)構(gòu)的復(fù)雜程度及其物理性質(zhì)。目前尚無(wú)一種精確的計(jì)算方法。A.Taflove&K.R.Umashankar給出了經(jīng)驗(yàn)值如表5-1所示。散射波的強(qiáng)弱及其空間分布取決于入射波方位及散射體尺寸，形狀，及物理參數(shù)。

散射波是散射體信息的載體，研究其性質(zhì)對(duì)獲取散射體信息具有重要意義。

表