藝考生專題講義30 空間幾何體平行關(guān)系

考點(diǎn)30空間幾何體平行關(guān)系知識(shí)梳理一．直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行(線線平行?線面平行)∵l∥a，a?α，l?α，∴l(xiāng)∥α性質(zhì)定理一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡(jiǎn)記為“線面平行?線線平行”)∵l∥α，l?β，α∩β＝b，∴l(xiāng)∥b二．平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行(簡(jiǎn)記為“線面平行?面面平行”)∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a?α，b?α，∴α∥β性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b如果兩個(gè)平面互相平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的一直線平行與另外平面線線平行相似比(常用三角形的中位線)構(gòu)造平行四邊形(證明一組對(duì)邊平行且相等)平行的傳遞性線面垂直的性質(zhì)：垂直同一個(gè)平面的兩條直線平行線面平行的性質(zhì)面面平行的性質(zhì)平面向量空間向量線面平行證明線面平行有兩種常用方法：一是線面平行的判定定理；二是先利用面面平行的判定定理證明面面平行，再根據(jù)面面平行的性質(zhì)證明線面平行．精講精練題型一三角形的中位線證線面平行【例1】(2024·全國(guó)高三專題練習(xí)節(jié)選)如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，設(shè)G，H分別為PB，AC的中點(diǎn)，求證：平面.【答案】證明見解析.【節(jié)選】證明：連接，易知，.又由，故.又因?yàn)槠矫鍼AD，平面PAD，所以平面PAD.【方法總結(jié)】【方法總結(jié)】三角形中位線證明線面平行思路通過把面外的直線平移到平面內(nèi)找到與之平行的直線構(gòu)造三角形中位線【舉一反三】1．(2024·廣東湛江節(jié)選)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別為BC，AC的中點(diǎn)，AB=BC．求證：A1B1平面DEC1.【答案】證明見解析.【節(jié)選】因?yàn)镈，E分別為BC，AC的中點(diǎn)，所以是三角形的中位線，所以.在直三棱柱ABC?A1B1C1中，，所以.又因?yàn)镋D?平面DEC1，A1B1平面DEC1，所以A1B1平面DEC1.2．(2024·全國(guó)高三專題練習(xí))在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)分別是AC，B1C的中點(diǎn)．求證：平面.【答案】證明見解析.【節(jié)選】因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以是三角形的中位線，所以.又平面，平面，所以平面.3．(2024·南寧市邕寧高級(jí)中學(xué)節(jié)選)如圖，正四棱錐中，E為PA的中點(diǎn)，求證：平面EBD.【答案】證明見解析；【解析】連接AC交BD于點(diǎn)O，連接EO.四邊形ABCD為正方形，所以O(shè)為AC中點(diǎn)，又E為PA中點(diǎn)，，又面，面EBD，面.題型二構(gòu)造平行四邊形證線面平行【例2】(2024·全國(guó)高三專題練習(xí)節(jié)選)如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn)．證明：MN∥平面C1DE；【答案】證明見解析【解析】證明：連結(jié)B1C，ME．因?yàn)镸，E分別為BB1，BC的中點(diǎn)，所以ME∥B1C，且ME=B1C．又因?yàn)镹為A1D的中點(diǎn)，所以ND=A1D．由題設(shè)知A1B1DC，可得B1CA1D，故MEND，因此四邊形MNDE為平行四邊形，MN∥ED．又MN平面EDC1，所以MN∥平面C1DE．【方法總結(jié)】【方法總結(jié)】構(gòu)造平行四邊形證線面平行（1）通過把面外的直線平移到平面內(nèi)找到與之平行的直線（2）構(gòu)造平行四邊形，通過一組對(duì)邊平行且相等證明平行四邊形（3）利用平行四邊形的性質(zhì)證明線線平行【舉一反三】1．(2024·廣東梅州節(jié)選)如圖，四棱錐P?ABCD中，E是PD的中點(diǎn)．證明：直線平面PAB.【答案】證明見解析【解析】取的中點(diǎn)，連接，．因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，，由得，又，所以，即四邊形是平行四邊形，所以．又平面，平面，故平面．2．(2024·全國(guó)高三專題練習(xí)節(jié)選)如圖所示，已知正方形.、分別是、的中點(diǎn)，將沿折起.證明平面.

【答案】證明見解析.【解析】、分別為正方形的邊、的中點(diǎn)，∴，且，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵平面，而平面，∴平面.3．(2024·河南洛陽市節(jié)選)在棱長(zhǎng)為2的正方體中，是底面的中心，求證:平面【答案】證明見解析.【解析】證明：連接，設(shè)，連接.且，是平行四邊形..又平面，平面，平面.題型三三角形相似比證線面平行【例3】(2024·內(nèi)蒙古赤峰市·高三月考節(jié)選)如圖，四棱錐中，底面為直角梯形，且，點(diǎn)在棱上.證明：當(dāng)時(shí)，直線平面【答案】證明見解析【解析】證明：連結(jié)與交于點(diǎn)，連結(jié)，，，，，又面，面，平面.【舉一反三】1．(2024·浙江杭州市·高三期末節(jié)選)在三棱錐中，為等腰直角三角形，點(diǎn)，分別是線段，的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且.若，，.(Ⅰ)求證：平面；【答案】證明見解析【解析】連接交于，連接.則點(diǎn)為的重心，有.因?yàn)?，所以，且平面，平面，所以平?2．(2024·江西吉安市節(jié)選)如圖，在三棱錐中，已知是正三角形，為的重心，，分別為，的中點(diǎn)，在上，且，求證：平面【答案】證明見解析【解析】證明：連接，∵為的中點(diǎn)，為的重心，∴點(diǎn)一定在上，且，∵為的中點(diǎn)，∴，又，∴，即，∴，則，∵平面，平面，∴平面；題型四面面平行的性質(zhì)證線面平行【例4】(2024·江西宜春市節(jié)選)如圖所示，在多面體中，，，，四邊形為矩形，證明：平面【答案】證明見解析【解析】取的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)榍?，四邊形為平行四邊形，所以且，又因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，且平面，平面，所以平面，同理可證平面，又所以平面平面，因?yàn)槠矫嫠云矫?【方法總結(jié)】【方法總結(jié)】面面平行的性質(zhì)證明線面平行1：把線放在某個(gè)平面或構(gòu)造一個(gè)平面與之平行2.利用面面平行的性質(zhì)證明線面平行【舉一反三】1．(2024·全國(guó)高三月考節(jié)選)斜三棱柱中，設(shè)中點(diǎn)為，且，分別為，的中點(diǎn)，證明：平面【答案】證明見解析【解析】取中點(diǎn)，連接，，易知，，三點(diǎn)共線，由，且平面，平面，故平面，同理可得平面，因?yàn)?，故平面平面，由平面，故平面?.(2024·寧夏吳忠市節(jié)選)如圖，在三棱錐中，點(diǎn)D、E、F分別為棱PA、PC、BC的中點(diǎn)，G為AD的中點(diǎn)，求證：平面BDE【答案】證明見解析【解析】法一：連接PF交BE于點(diǎn)H，連接DH，見圖1:

∵E，F(xiàn)分別是PC，BC的中點(diǎn)，∴H是三角形的重心，∴．由已知得，∴，又平面BDE，平面BDE，∴平面BDE．法二：取EC中點(diǎn)M，連接FM，GM，見圖2:

由已知得∴平面BDE，平面BDE，∴平面BDE．∵M(jìn)，F(xiàn)分別是EC，BC的中點(diǎn)，∴，又平面BDE，平面BDE，∴平面BDE∴，∴平面平面BDE，又平面GFM，∴平面BDE．法三：在平面ABC內(nèi)，以垂直于AB的直線為x軸，AB所在的直線為y軸，AP所在的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，見圖3，設(shè)正三角形邊長(zhǎng)為()則，，，∴，設(shè)平面BDE的法向量為，則，，∴，可?。郑?，∴，∴，即，又平面BDE，∴平面BDE．題型五證明線線平行--線面垂直的性質(zhì)【例5】(2024·江西贛州市節(jié)選)在如圖所示的幾何體中，，，均為等邊三角形，且平面平面，平面平面，證明：；【答案】證明見解析【解析】證明：如圖示：分別取，的中點(diǎn)，，連結(jié)，，因?yàn)?，△均為全等的等邊三角形，故，且又因?yàn)槠矫嫫矫媲医挥冢矫嫫矫媲医挥?，故面，面從而有，又，進(jìn)而得四邊形為平行四邊形，得：，又即：【舉一反三】1．如圖，與都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面平面，平面，，證明：直線平面；【答案】見解析【解析】證明：取中點(diǎn)，連接，是正三角形，∵平面平面，平面，平面，∴，又面，面，面.2如圖，菱形ABCD與正三角形BCE的邊長(zhǎng)均為2，且平面ABCD⊥平面BCE，平面ABCD，．求證：平面ABCD證明：如圖，過點(diǎn)作于，連接，∴．如圖D∵平面⊥平面，平面，平面平面，∴⊥平面，又∵⊥平面，，∴，.∴四邊形為平行四邊形．∴.∵平面，平面，∴平面．題型六面面平行【例6】(2024·江西省奉新縣第一中學(xué)節(jié)選)如圖，在多面體中，面為正方形，面和面為全等的矩形，求證：平面平面【答案】證明見解析【解析】證明：∵四邊形為正方形，四邊形為矩形，∴，且.∴四邊形為平行四邊形，∴.又∵平面，平面，∴平面.同理平面.又∵，為平面內(nèi)的兩條相交直線，∴平面平面.【舉一反三】1．(2024·武漢市第一中學(xué)節(jié)選)如圖所示，多面體中，四邊形為菱形，，求證：平面平面【答案】證明見解析【解析】∵四邊形是菱形，∴．又∵平面，平面，∴平面．同理得，平面．∵，平面，且，∴平面平面；2．(2024·山西呂梁市節(jié)選)正方體，為中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，求證：∥平面【答案】見解析【解析】如圖，連接，取的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)?，故，而平面，平面，故平面，因?yàn)?，故，由正方體可得，故，而平面，平面，故平面，因?yàn)?，而平面，故平面平面，而?/p>