藝考生專題講義34 空間向量在幾何體中的運(yùn)用

考點(diǎn)34空間向量在幾何體中的運(yùn)用知識梳理一．設(shè)直線，的方向向量分別為，，平面，的法向量分別為，，則有如下結(jié)論：位置關(guān)系向量表示線線位置關(guān)系直線l1，l2的方向向量分別為，l1∥l2∥?＝k(k∈R)l1⊥l2⊥?·＝0線面位置關(guān)系直線l的方向向量為，平面α的法向量為l∥α⊥?·＝0l⊥α∥?＝k(k∈R)面面位置關(guān)系平面α，β的法向量分別為，α∥β∥?＝k(k∈R)α⊥β⊥?·＝0點(diǎn)面距已知為平面的一條斜線段(在平面內(nèi))，為平面的法向量，則到平面的距離為注：空間中其他距離問題一般都可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距問題．三．異面直線所成角設(shè)異面直線a，b所成的角為θ，則cosθ=，其中分別是直線a、b的方向向量四．直線與平面所成角l為平面α的斜線，為l的方向向量，為平面α的法向量，φ為l與α所成的角，則(直線與平面所成角的范圍為eq\o(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))))五．二面角平面α的法向量為，平面β的法向量為，〈，〉＝θ，設(shè)二面角大小為φ，則精講精練題型一空間向量證平行垂直【例1】(2024·全國高三專題練習(xí))如圖所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F(xiàn)，G分別是線段PA，PD，CD的中點(diǎn).求證：(1)PB//平面EFG；(2)平面EFG//平面PBC.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【解析】(1)因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，且ABCD為正方形，所以AB，AP，AD兩兩垂直.以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(xiàn)(0,1,1)，G(1,2,0).法一：設(shè)平面EFG的法向量為，則,即,令z＝1，則為平面EFG的一個(gè)法向量，∵，∴，所以，∵PB?平面EFG，∴PB//平面EFG.法二：，，.設(shè)，即(2,0,－2)＝s(0,－1,0)＋t(1,1,－1)，所以解得s＝t＝2.∴，又與不共線，所以，與共面.∵PB?平面EFG，∴PB∥平面EFG.(2)由(1)知：，∴，所以BC//EF.又EF?平面PBC，BC?平面PBC，所以EF//平面PBC，同理可證GF//PC，從而得出GF//平面PBC.又EF∩GF＝F，EF?平面EFG，GF?平面EFG，∴平面EFG//平面PBC.【舉一反三】1．(2024·全國高三專題練習(xí))如圖所示，在直二面角中，四邊形是邊長為的正方形，，為上的點(diǎn)，且平面.(1)求證：平面；(2)求證：平面平面.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【解析】∵為正方形，∴，∵二面角為直二面角，∴平面，以線段的中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，過點(diǎn)平行于的直線為軸，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)()，∵為上的點(diǎn)，，∴設(shè)，∴，∴，，，∵平面，∴，且，解得，，∴，，(1)，，∴，∴，∵平面，∴，∴平面；(2)由題意可知，平面的法向量為，設(shè)面的法向量為，，，∴且，取，則，，∴，∴，∴平面平面.2．(2024·全國高三專題練習(xí))如圖，在多面體ABC—A1B1C1中，四邊形A1ABB1是正方形，AB＝AC，BC＝AB，B1C1=BC，二面角A1-AB-C是直二面角.求證：(1)A1B1⊥平面AA1C；(2)AB1∥平面A1C1C.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【解析】因?yàn)槎娼茿1-AB-C是直二面角，四邊形A1ABB1為正方形，所以AA1⊥平面BAC.又因?yàn)锳B＝AC，BC＝AB，所以∠CAB＝90°，即CA⊥AB，所以AB，AC，AA1兩兩互相垂直.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，設(shè)AB＝2，則A(0，0，0)，B1(0，2，2)，A1(0，0，2)，C(2，0，0)，C1(1，1，2).(1)＝(0，2，0)，＝(0，0，－2)，＝(2，0，0)，設(shè)平面AA1C的一個(gè)法向量＝(x，y，z)，則，即，即，取y＝1，則＝(0，1，0).所以，即.所以A1B1⊥平面AA1C.(2)易知＝(0，2，2)，＝(1，1，0)，＝(2，0，－2)，設(shè)平面A1C1C的一個(gè)法向量＝(x1，y1，z1)，則，即，令x1＝1，則y1＝－1，z1＝1，即＝(1，－1，1).所以＝0×1＋2×(－1)＋2×1＝0，所以，又AB1?平面A1C1C，所以AB1∥平面A1C1C.題型二空間向量求線線角【例2】(2024·西安市航天城第一中學(xué))在我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑，如圖，在鱉臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=CD，則異面直線AC與BD所成角的余弦值為()A． B．- C．2 D．【答案】A【解析】如圖所示，分別取，，，的中點(diǎn)，，，，則，，，或其補(bǔ)角為異面直線與所成角．設(shè)，則，，，異面直線與所成角的余弦值為，故選：A．【方法總結(jié)】【方法總結(jié)】方法一：幾何法求線線角平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；②認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；③計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；④取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角．方法二：空間向量建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，通過計(jì)算向量夾角（直線方向向量與直線方向向量、直線方向向量與平面法向量，平面法向量與平面法向量）余弦值，即可求出結(jié)果.【舉一反三】1．(2024·廣西河池市)如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為正方形，，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角的正弦值為()．A． B． C． D．【答案】D【解析】連，相交于點(diǎn)，連、，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，有，可得為異面直線與所成的角，不妨設(shè)正方形中，，則，由平面，可得，則，，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，．故選：D.2．(2024·陜西西安市·西安中學(xué))如圖，四面體中，，，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，若，則與所成的角的大小是()A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖所示：取BC的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，因?yàn)镋，F(xiàn)，G都為中點(diǎn)，所以,所以，分別為異面直線EF與AB，EF與CD所成的角，因?yàn)?，所以又因?yàn)椋?，所以所?因?yàn)?，所以故選：A3．(2024·安徽高三期末)已知棱長為2的正方體中，，，，分別為，，，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為()A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖所示：

取中點(diǎn)，連接，則，即為異面直線與所成的角，可得，，所以，從而得到.故選：C題型三空間向量求線面角【例3】(2024·北海市北海中學(xué)高三月考)在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)．(1)求證：BE⊥DC；(2)求直線PC與平面PDB所成角的正弦值．【答案】(1)證明見詳解；(2)【解析】(1)證明：依題意，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖：可得，，故，所以.(2)，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則即，不妨令，可得．設(shè)直線PC與平面PDB所成角為于是有，所以直線與平面所成角的正弦值為.【方法總結(jié)】【方法總結(jié)】解決線面角相關(guān)問題通常用向量法，具體步驟為：（1）建坐標(biāo)系，建立坐標(biāo)系的原則是盡可能的使得已知點(diǎn)在坐標(biāo)軸上或在坐標(biāo)平面內(nèi)；（2）根據(jù)題意寫出點(diǎn)的坐標(biāo)以及向量的坐標(biāo)，注意坐標(biāo)不能出錯(cuò).（3）利用數(shù)量積驗(yàn)證垂直或求平面的法向量.（4）利用法向量求距離、線面角或二面角.【舉一反三】1．(2024·浙江高三期中)如圖，已知三棱錐中，平面，，M、E分別為、的中點(diǎn)，N為的中點(diǎn)．(Ⅰ)求證：；(Ⅱ)求直線和平面所成角的正弦值．【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)證明：如圖，以C為原點(diǎn)，所在直線為x軸、y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以，所以，因?yàn)?，所以?Ⅱ)由(Ⅰ)知，設(shè)平面的法向量，則得令，則，故平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成的角為，則.所以直線和平面所成角的正弦為.2．(2024·浙江紹興市·紹興一中高三期末)在三棱錐中，，，.(1)求證：；(2)若為上一點(diǎn)，且，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】(1)取中點(diǎn)，連接，，因?yàn)?，，所以，，又因?yàn)?，所以平面，?(2)由(1)得，平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平面，易得，，所以，即，又因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫妫鐖D所示，以射線，，為，，正半軸建系，，，，，，，，，設(shè)為平面一個(gè)法向量，則有，取，設(shè)為直線與平面所成角，則.即直線與平面所成角的正弦值為.3．(2024·浙江紹興市·高三期末)已知三棱柱中，平面平面，，．(Ⅰ)求證：平面；(Ⅱ)求直線與平面所成角的大?。敬鸢浮?Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)如圖所示：證：作于．因?yàn)?，面，面面且交于．∴面，因?yàn)槊妫?1)在中，由，，得到∴，即(2)，由(1)(2)得面．(Ⅱ)方法1(幾何法)如圖所示：取的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連，，則，由(Ⅰ)可知面面，且面面所以面，則為所求線面角．在，設(shè)，則，由、分別為，中點(diǎn)，得，在中，，即直線與平面所成角方法2(坐標(biāo)法)以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：設(shè)，，，，，，．設(shè)平面的法向量，則由，解得．取．，記所求線面角為，則．即直線與平面所成角．題型四空間向量求二面角【例4】(2024·鹽城市伍佑中學(xué)高三期末)在三棱柱中，平面，，，是的中點(diǎn).(1)求證：；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】(1)在三棱柱中，平面，則平面，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：設(shè)，則、、、，，，則，因此，；(2)設(shè)平面的法向量為，，，由，取，則，，可得，易知平面的一個(gè)法向量為，.由圖形可知，二面角為銳角，因此，二面角的余弦值為.【方法總結(jié)】【方法總結(jié)】利用空間向量法求解二面角的步驟如下：（1）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，寫出二面角對應(yīng)的兩個(gè)半平面中對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)出法向量，根據(jù)法向量垂直于平面內(nèi)兩條直線的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面為坐標(biāo)平面，直接取法向量即可）；（3）計(jì)算（2）中兩個(gè)法向量的余弦值，結(jié)合立體圖形中二面角的實(shí)際情況，判斷二面角是銳角還是鈍角，從而得到二面角的余弦值.【舉一反三】1．(2024·湖北高三月考)如圖，在四棱錐中，平面平面.(1)求證：平面平面；(2)若，求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】(1)證明：取的中點(diǎn)的中點(diǎn)，連接因?yàn)辄c(diǎn)是中點(diǎn)，點(diǎn)是中點(diǎn)，所以且.又因?yàn)榍宜郧宜运倪呅螢槠叫兴倪呅危砸驗(yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面平面平面ABCD，所以平面又平面所以因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以因?yàn)樗杂制矫嫠云矫嬗忠驗(yàn)镃E平面所以平面平面(2)作的中點(diǎn)分別為連結(jié)則，因?yàn)槠矫嫫矫嫠运砸驗(yàn)樗詾檎切危运约磧蓛纱怪?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為則，即取則；設(shè)平面的一個(gè)法向量為則即，取則，所以，所以所以二面角的正弦值為.2．(2024·山西呂梁市·高三一模)如圖，四棱錐中，，，側(cè)面為等邊三角形，，，.(1)求證：；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】(1)由已知，，得，，所以，所以，又，所以平面，又平面，所以.(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn)，取中點(diǎn)，，的方向分別為軸，軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，.所以，，，.平面的法向量為，則，即，即，則，，所以.平面的法向量為，則，即，得，取，則，所以，從而.因二面角為銳角，故二面角的余弦值為.3．(2024·江西贛州市·高三期末)在如圖所示的幾何體中，，，均為等邊三角形，且平面平面，平面平面.(1)證明：；(2)若，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】(1)證明：如圖示：分別取，的中點(diǎn)，，連結(jié)，，因?yàn)椋骶鶠槿鹊牡冗吶切?，故，且又因?yàn)槠矫嫫矫媲医挥?，平面平面且交于，故面，面從而有，又，進(jìn)而得四邊形為平行四邊形，得：，又即：(2)連結(jié)，由為等邊三角形，故，結(jié)合面，故分別以，，為軸，軸，軸的正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系又，所以，，則，，，，所以，，令平面的一個(gè)法向量為，所以取，，，所以平面的一個(gè)法向量為同理可求平面的一個(gè)法向量為令二面角為，由題意可知為銳角，則所以二面角的余弦值為題型五空間向量求空間距【例5】(2024·上海浦東新區(qū)·華師大二附中高三月考)如圖，在四棱錐中，底面為矩形，側(cè)棱平面，為的中點(diǎn)，.(1)證明：直線平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】(1)連接交于，連接，因?yàn)榈酌鏋榫匦危詾橹悬c(diǎn)，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，在中，分別為兩邊中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫?，所以直線平面，(2)建立如圖所示空間坐標(biāo)系，，，所以，，，設(shè)為平面的法向量，，所以，令，其中一個(gè)法向量，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，所以.【方法總結(jié)】【方法總結(jié)】利用向量方