藝考生專題講義43 橢圓

考點43橢圓知識梳理一．橢圓的定義平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)2a(2a＞|F1F2|)的動點P的軌跡叫做橢圓，這兩個定點F1，F(xiàn)2叫做橢圓的焦點.二．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．(2)中心在坐標(biāo)原點，焦點在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)．焦點在x軸上?標(biāo)準(zhǔn)方程中x2項的分母較大；焦點在y軸上?標(biāo)準(zhǔn)方程中y2項的分母較大.橢圓的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)圖形性質(zhì)范圍－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸對稱中心：原點頂點坐標(biāo)A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)軸長軸A1A2的長為2a；短軸B1B2的長為2b焦距F1F2＝2c離心率e＝eq\f(c,a)∈(0,1)a，b，c的關(guān)系a2＝b2＋c2直線與橢圓的位置關(guān)系判斷直線l與圓錐曲線C的位置關(guān)系時，通常將直線l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)代入圓錐曲線C的方程F(x，y)＝0，消去y(或x)得到一個關(guān)于變量x(或y)的一元方程．例：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,Fx，y＝0))消去y，得ax2＋bx＋c＝0.當(dāng)a≠0時，設(shè)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判別式為Δ，則：Δ>0?直線與圓錐曲線C相交；Δ＝0?直線與圓錐曲線C相切；Δ<0?直線與圓錐曲線C相離．五．弦長的求解方法(1)當(dāng)弦的兩端點坐標(biāo)易求時，可直接利用兩點間的距離公式求解．(2)當(dāng)直線的斜率存在時，斜率為k的直線l與橢圓相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩個不同的點，則弦長公式的常見形式有如下幾種：①|(zhì)AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|=eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])；②|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|(k≠0)=eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))[y1＋y22－4y1y2]).精講精練題型一橢圓的定義及應(yīng)用【例1-1】(2024·全國課時練習(xí))下列命題是真命題的是________.(將所有真命題的序號都填上)①已知定點，則滿足|PF1|＋|PF2|＝的點P的軌跡為橢圓；②已知定點F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)，則滿足|PF1|＋|PF2|＝4的點P的軌跡為線段；③到定點的距離相等的點的軌跡為橢圓.【答案】②【解析】①中，因為，可得，因為，所以點的軌跡不存在；②中，因為，所以點P的軌跡是線段；③中，由定點的距離相等的點的軌跡是線段的垂直平分線，即.故答案為：②【例1-2】．(2024·上海市奉賢中學(xué))若過橢圓上焦點的直線交橢圓于點A，B，為橢圓下焦點，則三角形的周長為___________.【答案】16【解析】在橢圓中，由橢圓的定義得所以即故答案為：16【例1-3】(2024·安徽六安市·六安一中高三月考(理))已如是橢圓的兩個焦點，P是橢圓上一點，，則的面積等于()A．24 B．26 C． D．【答案】A【解析】由橢圓方程可得焦點在軸上，，，，由橢圓定義可得，又，則可解得，，滿足，則，.故選：A.【舉一反三】1．(2024·廣西桂林市)設(shè)是橢圓上的動點，則到該橢圓的兩焦點距離之和為_____.【答案】8【解析】由，得，由橢圓的定義可得到該橢圓的兩個焦點的距離之和為.故答案為：2．(2024·浙江高三其他模擬)已知橢圓上一點到其左焦點的距離為1，則的中點到坐標(biāo)原點的距離為()A．3 B． C．1 D．【答案】B【解析】易知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．設(shè)橢圓的長軸長為，則，設(shè)橢圓的右焦點為，連接，則由橢圓的定義得．在中，易知為的中位線，所以，故選：B．3．(2024·黑龍江哈爾濱市·哈九中)已知是橢圓上的任意一點，若，則___________.【答案】4【解析】由橢圓的方程知：，由橢圓的定義知：，所以故答案為：4．(2024·陜西安康市)已知點，P為橢圓上的動點，B是圓上的動點，則的最大值為___________.【答案】2【解析】由橢圓，可得，設(shè)右焦點為，因為P為橢圓上的動點，B是圓上的動點，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)共線時取等號，，故答案為：2.5．(2024·全國課時練習(xí))已知是橢圓上的一點，、是橢圓的兩個焦點，且，則的面積是______.【答案】【解析】在橢圓中，，，，由橢圓的定義可得，，在中，，由余弦定理可得，解得，因此，.故答案為：.題型二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例2-1】(2024·全國單元測試)已知橢圓的兩個焦點的坐標(biāo)分別是(0，－3)和(0，3)，且橢圓經(jīng)過點(0，4)，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A． B．C． D．【答案】B【解析】∵橢圓的焦點在y軸上，∴可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為．∵∴a＝4，又c＝3，∴b2＝a2－c2＝16－9＝7，故所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故選：B．【例2-2】(2024·黑龍江大慶市)已知方程表示焦點在軸上的橢圓，則實數(shù)的取值范圍為()A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意程表示焦點在軸上的橢圓列不等式，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：D【舉一反三】1．(2024·全國課時練習(xí))經(jīng)過點P(3，0)，Q(0，2)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意可知且橢圓焦點在軸上，故橢圓方程為.故選：A2．(2024·黑龍江哈爾濱市·哈九中)若方程x2＋ky2＝2表示焦點在y軸上的橢圓，那么實數(shù)k的取值范圍是()A．(0，＋∞) B．(0，2) C．(1，＋∞) D．(0，1)【答案】D【解析】因為方程，即表示焦點在軸上的橢圓，所以，即，所以實數(shù)的取值范圍是．故選：D．3．(2024·湖南岳陽市·岳陽一中)橢圓的一個焦點是，那么()A． B． C． D．【答案】B【解析】因為橢圓上的一個焦點為，在軸上，所以，所以則.故選：B4．(2024·浙江麗水市)“”是“曲線表示橢圓”的()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】因為曲線為橢圓，所以，解得且，所以“”是“且”的必要而不充分條件.故選：B題型三直線與橢圓的位置關(guān)系【例3】(2024·全國課時練習(xí))已知橢圓與直線有公共點，則實數(shù)的取值范圍是_______.【答案】【解析】由，得．因為直線與橢圓有公共點，所以，即，解得．故答案為：．【舉一反三】1.若直線y＝kx＋1與橢圓eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,m)＝1總有公共點，則m的取值范圍是________．【答案】[1,5)∪(5，＋∞)【解析】方法一由于直線y＝kx＋1恒過點(0,1)，所以點(0,1)必在橢圓內(nèi)或橢圓上，則0<eq\f(1,m)≤1且m≠5，故m≥1且m≠5.方法二由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,mx2＋5y2－5m＝0，))消去y整理得(5k2＋m)x2＋10kx＋5(1－m)＝0.由題意知Δ＝100k2－20(1－m)(5k2＋m)≥0對一切k∈R恒成立，即5mk2＋m2－m≥0對一切k∈R恒成立，由于m>0且m≠5，∴m≥1且m≠5.2．直線y＝kx＋k＋1與橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的位置關(guān)系是________．【答案】相交【解析】由于直線y＝kx＋k＋1＝k(x＋1)＋1過定點(－1，1)，而(－1,1)在橢圓內(nèi)，故直線與橢圓必相交．3．(2024·安徽省泗縣第一中學(xué))已知橢圓的長軸長是，焦點坐標(biāo)分別是，.(1)求這個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)如果直線與這個橢圓交于兩不同的點，求m的取值范圍.【解析】(1)由已知得，，解得，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．(2)由，解方程組并整理得，有兩個不同的交點．解不等式得．題型四弦長【例4】(2024·上海市進(jìn)才中學(xué)高二月考)過橢圓的左焦點，斜率為的直線被橢圓截得的弦長為________．【答案】【解析】設(shè)直線與橢圓相交的兩個交點坐標(biāo)為橢圓的左焦點為所以直線的方程為則所以所以該直線別橢圓所截的弦長為故答案為：【舉一反三】1．(2024·全國課時練習(xí))求過點(3，0)且斜率為的直線被橢圓所截得的線段的長度．【答案】【解析】過點(3，0)且斜率為的直線方程為，設(shè)直線與橢圓的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，將直線方程代入橢圓方程得，即x2－3x－8＝0.∴x1＋x2＝3，x1x2＝－8.∴.2．(2024·安徽省泗縣第一中學(xué))已知橢圓的長軸長是，焦點坐標(biāo)分別是，.(1)求這個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)如果直線與這個橢圓交于?兩不同的點，若，求的值.【答案】(1)；(2).【解析】(1)由已知得，則又因為，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)由消除得因為有兩個不同的交點，所以得的取值范圍為由韋達(dá)定理得：，所以解得題型五離心率【例5】(2024·全國課時練習(xí))若橢圓的兩個焦點與短軸的一個端點構(gòu)成一個正三角形，則該橢圓的離心率為()A． B． C． D．【答案】A【解析】不妨設(shè)橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，B為橢圓的上頂點．依題意可知，△BF1F2是正三角形．∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，∴，即橢圓的離心率.故選：A【舉一反三】1．(2024·全國高三月考(文))已知點是橢圓上的一點，，是橢圓的左、右焦點，若△為等腰三角形，則該橢圓的離心率為()A． B．C．或 D．或【答案】D【解析】由△為等腰三角形知：當(dāng)，而，則，整理得，解得或(舍)，而，故，此時；當(dāng)，而，則，整理得，解得或(舍)，而，故，此時；故選：D.2．(202