藝考生專題講義03 常用邏輯用語

考點(diǎn)03常用邏輯用語知識梳理1．充分條件與必要條件(1)如果p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；(2)如果p?q，q?p，則p是q的充要條件．(3)如果pq，qp，那么稱p是q的充分不必要條件．(4)如果qp，pq，那么稱p是q的必要不充分條件．(5)如果pq，且qp，那么稱p是q的既不充分也不必要條件．2.全稱量詞與存在量詞(1)全稱量詞與全稱命題短語“所有”“任意”“每一個(gè)”等表示全體的量詞在邏輯中稱為全稱量詞，并用符號“”表示．含有全稱量詞的命題，叫做全稱量詞命題．全稱命題“對M中任意一個(gè)x，都有p(x)成立”可用符號簡記為x∈M，p(x)，讀作“對任意x屬于M，有p(x)成立”．(2)存在量詞與存在性命題短語“有一個(gè)”“有些”“存在一個(gè)”等表示部分的量詞在邏輯中稱為存在量詞，并用符號“”表示．含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題．存在性命題“存在M中的一個(gè)x，使p(x)成立”可用符號簡記為x∈M，p(x)，讀作“存在一個(gè)x屬于M，使p(x)成立”．3.含有一個(gè)量詞的命題的否定命題命題的否定x∈M，p(x)x∈M，p(x)x∈M，p(x)x∈M，p(x)精講精練題型一充分必要條件的判斷例1已知，則“”是“”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，“x<2”成立，但,故“”，故“x<2”不是“”的充分條件，“”等價(jià)于，即能推出，∴“x<2”是“”的必要條件，故“x<2”是“”的必要不充分條件，故選:B.舉一反三1．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的()A．充要條件B．充分而不必要條件C．必要而不充分條件D．既不充分也不必要條件答案A解析解x2－2x＋1＝0得x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要條件．2．“1<x<2”是“x<2”成立的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件答案A3．設(shè)p：x<3，q：－1<x<3，則p是q成立的()A．充分必要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件答案C解析∵x<3－1<x<3，但－1<x<3?x<3，∴p是q的必要不充分條件，故選C.方法總結(jié)1．充要條件問題應(yīng)首先弄清問題中條件是什么，結(jié)論是什么，再進(jìn)一步判斷條件與結(jié)論的關(guān)系，解題過程分為三步：①確定條件是什么，結(jié)論是什么；②嘗試從條件推結(jié)論，從結(jié)論推條件；③確定條件和結(jié)論是什么關(guān)系．2．充要條件的三種判斷方法(1)定義法：根據(jù)pq，qp進(jìn)行判斷；(2)集合法：根據(jù)p、q成立的對象的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷；(3)等價(jià)轉(zhuǎn)化法：根據(jù)一個(gè)命題與其逆否命題的等價(jià)性，把判斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題進(jìn)行判斷．題型二充分必要條件的選擇例2．命題“”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是()A． B． C． D．【答案】D【解析】“”為真命題，可得，因?yàn)椋蔬x:D.舉一反三1．命題“對任意”為真命題的一個(gè)充分不必要條件可以是()A． B． C． D．【答案】B【解析】命題為真命題，則對恒成立是的真子集是命題為真的充分不必要條件本題正確選項(xiàng)：2．若p:，且是的充分不必要條件，則的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，所以，故選:A.3．已知“”是“”的充分不必要條件，則的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】B【解析】由得或，解得：或，因?yàn)椤啊笔恰啊钡某浞植槐匾獥l件，所以是或的真子集，可得：.故選：B4．已知集合A={x|x>5}，集合B={x|x>a}，若命題“x∈A”是命題“x∈B”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(-∞，5) B．(-∞，5] C．(5，+∞) D．[5，+∞)【答案】A【解析】【解析】由題意可知，A?B，又A={x|x>5}，B={x|x>a}，如圖所示，由圖可知，a<5.故選：A.題型三含有一個(gè)量詞的命題的否定例3命題“存在一個(gè)無理數(shù)，它的平方是有理數(shù)”的否定是_________________________．答案任意一個(gè)無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)解析根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題可知，原命題的否定為“任意一個(gè)無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)”．舉一反三1．設(shè)x∈Z，集合A是奇數(shù)集，集合B是偶數(shù)集．若命題p：任意x∈A,2x∈B，則p是________．答案存在x∈A,2x?B解析命題p：任意x∈A,2x∈B是一個(gè)全稱命題，其命題的否定p應(yīng)為：存在x∈A,2x?B.2．已知命題p：x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋2x0＋2≤0，則￢p為____________________．答案?x∈R，x2＋2x＋2>0方法總結(jié)①要寫一個(gè)命題的否定，需先分清其是全稱命題還是特稱命題，再對照否定結(jié)構(gòu)去寫，并注意與否命題區(qū)別；否定的規(guī)律是“改量詞，否結(jié)論”；②在寫出全稱命題（或存在性命題）的否定時(shí)，一般要在兩個(gè)地方做出變化：一是量詞符號，全稱量詞要改為存在量詞，存在量詞要改為全稱量詞；二是命題中結(jié)論要進(jìn)行否定．③弄清命題的否定與否命題的區(qū)別“否命題”是對原命題“若p，則q”的條件和結(jié)論分別加以否定而得到的命題，它既否定其條件，又否定其結(jié)論；“命題的否定”即“非p”，只是否定命題p的結(jié)論.例4命題“存在x∈R,2x2－3ax＋9<0”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．答案[－2eq\r(2)，2eq\r(2)]解析由題可知原命題的否定“任意x∈R,2x2－3ax＋9≥0”為真命題，因此只需Δ＝9a2－4×2×9≤0，即－2eq\r(2)≤a≤2eq\r(2).舉一反三1．已知命題p：x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋2x0＋2≤0，則￢p為____________________．答案?x∈R，x2＋2x＋2>02．命題“x∈R，|x|≤0”的否定是“________________”．答案x∈