課時作業(yè)26 等比數列（教師版）

課時作業(yè)26等比數列一、單選題1．(2024·云南高三其他模擬)已知、、、成等差數列，、、、、成等比數列，則()A． B． C． D．【答案】D【解析】由于、、、成等差數列，可得，設等比數列、、、、的公比為，則，由等比中項的性質可得，，因此，.故選：D.2．(2024·威遠中學校高三月考)等比數列的各項均為正數，且，則().A． B． C．20 D．40【答案】B【解析】設數列的公比為，由得，所以,由條件可知，故.由得，所以,.故選：B3．(2024·四川省峨眉第二中學校高三月考)已知正項等比數列中，，，，則()A． B． C． D．【答案】D【解析】在正項等比數列中，由所以，又，所以所以故選：D4．(2024·西藏山南二中高三月考)已知等比數列的公比為2，前4項的和是1，則前8項的和為()A．15 B．17 C．19 D．21【答案】B【解析】由題意可得，，由等比數列的通項公式可得，所以，故選：B.5．(2024·黑龍江大慶市·大慶中學高三期中)等比數列的前項和為，若，，，，則()A． B． C． D．【答案】A【解析】在等比數列中，，，則為遞增數列，，由已知條件可得，解得，，，因此，.故選：A.6．(2024·四川宜賓市·高三一模)《九章算術》中的“兩鼠穿墻題”是我國數學的古典名題：“今有垣厚若干尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”題意是：有兩只老鼠從墻的兩邊打洞穿墻.大老鼠第一天進一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也進一尺，以后每天減半.如果墻足夠厚，第天后大老鼠打洞的總進度是小老鼠的4倍，則的值為()A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【解析】設大老鼠每天打洞的長度構成等比數列，則，所以.設小老鼠每天打洞的長度構成等比數列，則，所以.所以，即，化簡得解得：或(舍)故選：C7．(2024·四川宜賓市·高三一模)《九章算術》中的“兩鼠穿墻題”是我國數學的古典名題：“今有垣厚若干尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”題意是：有兩只老鼠從墻的兩邊打洞穿墻，大老鼠第一天進一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也進一尺，以后每天減半.如果墻足夠厚，第天后大老鼠打洞的總進度是小老鼠的3倍，則的值為()(結果精確到0.1，參考數據：，)A．2.2 B．2.4 C．2.6 D．2.8【答案】C【解析】設大老鼠每天打洞的進度形成數列，小老鼠每天打洞的進度形成數列，則由題可得數列是首項為1，公比為2的等比數列，所以第天后大老鼠打洞的總進度為，數列是首項為1，公比為的等比數列，所以第天后小老鼠打洞的總進度為，則由題可得，整可得，解得或，即(舍去)或，.故選：C.8．(2024·湖北武漢市·華中師大一附中高三期中)已知等比數列滿足，數列為等差數列，其前項和為，若，則()A． B． C． D．【答案】D【解析】在等比數列中，，由等比中項的性質可得，解得，，由等差數列的求和公式可得.故選：D.9．(2024·河北高三月考)在公比為的正項等比數列中，已知，，則()A． B． C． D．【答案】A【解析】由等比數列的性質，可得，因為正項等比數列中，所以，又由，所以，解得.故選：A.10．(2024·西藏拉薩市第二高級中學高三期中)等差數列的公差為2，若成等比數列，則()A．72 B．90 C．36 D．45【答案】B【解析】由題意知：，，又成等比數列，∴，解之得，∴，則，∴，故選：B11．(2024·肇東市第四中學校高三期中)已知等比數列{an}中，有a3a11＝4a7，數列{bn}是等差數列，且b7＝a7，則b5＋b9＝()A．4 B．5 C．8 D．15【答案】C【解析】∵a3a11＝4a7，∴＝4a7，∵a7≠0，∴a7＝4，∴b7＝4，∴b5＋b9＝2b7＝8．故選：C12．(2024·湖南高三月考)已知是公差為1的等差數列，且是與的等比中項，則()A．0 B．1 C．3 D．2【答案】C【解析】是公差為1的等差數列，又是與的等比中項，，即，解得，故選：C.13．(2024·全國高三專題練習)已知正項等比數列滿足，，又為數列的前n項和，則()A．或 B．C．15 D．6【答案】B【解析】正項等比數列中，，，解得或(舍去)又，，解得，，故選：B14．(2024·廣東深圳市·明德學校高三月考)在等比數列中，是數列的前n項和．若，則()A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【解析】設的公比為q，則．故選：B.15．(2024·河南高三月考)在數列中，，，則()A．32 B．16 C．8 D．4【答案】C【解析】因為，所以，所以數列是公比為2的等比數列．因為，所以．故選：C16．(2024·陜西西安市·高三月考)已知數列滿足且，則的前10項的和等于()．A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，數列滿足，即，又由，即，解得，所以數列表示首項為，公比為的等比數列，所以，即的前10項的和為.故選：B.17．(2024·江西高三期中)已知為等比數列，，，則的值為()A． B．9或 C．8 D．9【答案】D【解析】為等比數列，所以所以故選：D18．(2024·安徽六安市·六安一中高三其他模擬)在各項均為正數的等比數列中，，則的最大值是()A．25 B． C．5 D．【答案】B【解析】是等比數列，且，.又，，，當且僅當時取等號.故選：B.19．(2024·全國高三專題練習)已知正項等比數列{an}的前n項和為Sn，且S8-2S4=5，則a9+a10+a11+a12的最小值為()A．10 B．15 C．20 D．25【答案】C【解析】由題意可得a9+a10+a11+a12=S12-S8，由S8-2S4=5，可得S8-S4=S4+5.又由等比數列的性質知S4，S8-S4，S12-S8成等比數列，則S4(S12-S8)=(S8-S4)2.當且僅當S4=5時等號成立，所以a9+a10+a11+a12的最小值為20.故選：C.20．(2024·全國高三專題練習)各項均為正數的等比數列的前項和為，若則()A． B． C． D．【答案】B【解析】設等比數列的公比為，由題意易知所以，，兩式相除得，化簡得，解得，所以,故選B.21．(2024·東莞市光明中學高三月考)已知等比數列的前n項和為，且，，則()A．16 B．19 C．20 D．25【答案】B【解析】因為等比數列的前n項和為，所以，，成等比數列，因為，，所以，，故.故選：B22．(2024·陜西寶雞市·高三月考)已知等比數列中，，，，則()A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】設等比數列的公比為，則，即，因為，所以，則，即，解得，故選：B.23．(2024·遼寧大連市·遼師大附中高三月考)已知項數為奇數的等比數列的首項為1，奇數項之和為21，偶數項之和為10，則這個等比數列的項數為()A．5 B．7 C．9 D．11【答案】A【解析】根據題意，數列為等比數列，設，又由數列的奇數項之和為21，偶數項之和為10，則，故；故選：24．(2024·全國)設等比數列的前項和為，若，則公比()A．1或 B．1 C． D．【答案】A【解析】設等比數列的首項為，由題意可知，當時，，顯然成立；當時，由得，化簡得，所以解得.綜合得.故選：A.25．(2024·江蘇南京市·金陵中學高三月考)已知正項等比數列{an}的前n項和為Sn，若，則S5＝()A． B． C． D．【答案】B【解析】正項等比數列{an}的前n項和為Sn，，∴，解得a1＝1，q＝，∴S5＝＝＝．故選：B．26．(2024·山東高三專題練習)我國古代數學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百一十五里關，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數，請公仔細算相還．”其大意為：“有一個人走315里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛，每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地”則該人第一天走的路程為()A．180里 B．170里 C．160里 D．150里【答案】C【解析】根據題意，設此人每天所走的路程為數列，其首項為，即此人第一天走的路程為，又由從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，則是以為首項，為公比的等比數列，又由，即有，解得：；故選：．27．(2019·山東濰坊市·高二月考)若等比數列的前n項和，則該數列的公比q的值為()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】因為，故可得.故.故選：C.28．(多選)(2024·遼寧葫蘆島市·高三月考)已知各項均為正數且單調遞減的等比數列滿足，，成等差數列，其前項和為，且，則()A． B．C． D．【答案】AC【解析】由，，成等差數列，得.設的公比為，則，解得或(舍去)，所以，解得.所以數列的通項公式為，，故選：AC.29．(2024·全國高三專題練習())已知等差數列的公差不為零，，且，，成等比數列．則=_________.【答案】【解析】設的公差為，由題意：，即，整得：，∴(舍去)，，故：，故答案為：.30．(2024·海南高三專題練習)數列滿足且，則的值是___________【答案】11【解析】因為，所以數列是以為公比的等比數列，由得，所以，即，故答案為：11.31．(2024·湖南永州市·高三月考)在等比數列中，若，則＝________.【答案】【解析】因為等比數列中，若，所以，所以.故答案為：.32．(2024·石嘴山市第三中學高三月考)設為等比數列,其中，則___________；【答案】25【解析】由等比數列性質可得，所以故答案為2533．(2024·江西省信豐中學高三月考())若等比數列的各項均為正數，且，則等于__________．【答案】50【解析】由題意可得，=，填50.34．(2024·全國高三開學考試)已知在等比數列中，，，則首項______.【答案】4【解析】由，得,即，又，，所以.故答案為：435．(2024·貴州安順市·高三其他模擬())在正項等比數列中，，前三項的和為7，若存在，使得，則的最小值為__________.【答案】【解析】依題意，依題意存在，使得，即，即，所以，所以.當且僅當時等號成立.所以的最小值為.故答案為：36．(2024·廣東肇慶市·高三月考)已知等比數列中，，，則________．【答案】21【解析】因為為等比數列，設公比為，所以①，又②得，所以，所以，故答案為：2137．(2024·全國高三專題練習)各項均為正數的等比數列{an}的前n項和為Sn，已知S6＝30，S9＝70，則S3＝________.【答案】10【解析】根據等比數列的前n項和的性質，若Sn是等比數列的和，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍是等比數列，得到(S6－S3)2＝S3(S9－S6)，即.解得S3＝10或S3＝90(舍)．故答案為：38．(2024·全國高三專題練習)設等比數列的前n項和為，若，則為________.【答案】【解析】∵等比數列的前項和為,且∴由等比數列的性質得,所以故答案為:39．(2024·江蘇蘇州市·吳江中學高三其他模擬)等比數列的前項和為,則實數_______.【答案】1【解析】最后代回原式進行檢驗。40．(2024·黑龍江大慶市·鐵人中學高三月考())已知數列滿足且，證明數列是等比數列；【答案】證明見解析；【解析】因為，所以，