課時作業(yè)45 拋物線（教師版）

課時作業(yè)45拋物線1．(2024·四川高三月考())設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過定點(diǎn)，與拋物線交于兩點(diǎn)，若，則拋物線的準(zhǔn)線方程為()A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可知直線斜率不為.設(shè)直線與聯(lián)立.得恒成立.設(shè)，則.由得，即.即.得.所以其準(zhǔn)線方程為故選：A.2．(2024·北京豐臺區(qū)·高三一模)為拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線和對稱軸的距離分別為10和6，則()A．2 B．4 C．或 D．或【答案】D【解析】由題意可得：拋物線的準(zhǔn)線的方程為：設(shè)點(diǎn)，又因點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線和對稱軸的距離分別為10和6，所以有，解得或，即的值分別為或.故選：D.3．(2024·河南高三其他模擬())已知點(diǎn)為拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，則的最小值為()A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，則，，，當(dāng)時，，所以故選：B4．(2024·浙江高三其他模擬)已知點(diǎn)在拋物線上，過作圓的兩條切線，分別交拋物線于點(diǎn)，，若直線的斜率為，則拋物線的方程為()A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可知過所作圓的兩條切線關(guān)于直線對稱，所以，設(shè)，，，則，同可得，，則，得，得，所以，故，將代入拋物線方程，得，得，故拋物線方程為．故選：A5．(2024·吉林長春市·高三二模())已知拋物線上一點(diǎn)，為焦點(diǎn)，直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，滿足則拋物線方程為()A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖所示：作軸，則，因?yàn)?，且，所?即，解得，所以拋物線方程是故選：C．6．(2024·四川成都市·石室中學(xué)高三月考())已知雙曲線有一個焦點(diǎn)在拋物線：準(zhǔn)線上，則的值為()A．2 B．1 C． D．【答案】B【解析】雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程是，，，，焦點(diǎn)為，所以，．故選：B．7．(2024·遼寧丹東市·高三月考)傾斜角為45°的直線經(jīng)過點(diǎn)，且與拋物線：交于，兩點(diǎn)，若為的焦點(diǎn)，則()A．5 B．8 C．10 D．12【答案】C【解析】由題可知直線的方程為，設(shè)，所以由焦半徑公式得：，所以聯(lián)立方程得：，，所以，所以.故選：C.8．(2024·廣西南寧市·高三一模())已知拋物線的焦點(diǎn)為圓的圓心，又經(jīng)過拋物線C的焦點(diǎn)且傾斜角為60°的直線交拋物線C于A、B兩點(diǎn)，則()A．12 B．14 C．16 D．18【答案】C【解析】由題可得拋物線焦點(diǎn)為，則，即，則拋物線方程為，直線的傾斜角為60°，則斜率為，故直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線可得，設(shè)，則，則.故選：C.9．(多選)(2024·廣東廣州市·高三一模)已知點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，則()A． B．C．的面積為 D．線段的中點(diǎn)到直線的距離為2【答案】AC【解析】設(shè)，拋物線，則，焦點(diǎn)為，則直線過焦點(diǎn)；聯(lián)立方程組消去得，則，所以，故A正確；由，所以與不垂直，B錯；原點(diǎn)到直線的距離為，所以的面積為，則C正確；因?yàn)榫€段的中點(diǎn)到直線的距離為，故D錯故選：AC10(2024·湖北高三月考)已知點(diǎn)在拋物線：上運(yùn)動，圓過點(diǎn)，，，過點(diǎn)引直線，與圓相切，切點(diǎn)分別為，，則的取值范圍為__________.【答案】【【解析】設(shè)圓的方程為，將，，分別代入，可得，解得，即圓：；如圖，連接，，，，易得，，，所以四邊形的面積為；另外四邊形的面積為面積的兩倍，所以，故，故當(dāng)最小時，最小，設(shè)，則，所以當(dāng)時，，當(dāng)正無窮大時，趨近圓的直徑4，故的取值范圍為.故答案為：11．(2024·江西高三其他模擬())已知離心率為2的雙曲線：的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，的中心與的頂點(diǎn)重合，是與的公共點(diǎn)，若，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為______.【答案】【解析】，所以雙曲線方程為：，設(shè)拋物線方程為：聯(lián)立方程可得：解得或(舍)所以雙曲線方程為：故答案為：12．(2024·浙江)拋物線焦點(diǎn)為F，P為拋物線線上的動點(diǎn)，定點(diǎn)，則的最小值為_________．【答案】5【解析】準(zhǔn)線為，過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則，所以，易知當(dāng)三點(diǎn)共線時取得最小值為，故答案為：5．13．(2024·廣東肇慶市·高三二模)已知點(diǎn)是拋物線上的一個動點(diǎn)，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到拋物線的準(zhǔn)線的距離之和的最小值為___________.【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線的投影為點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，則.依拋物線的定義，知點(diǎn)到該拋物線的準(zhǔn)線的距離為，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到該拋物線的準(zhǔn)線的距離之和.故答案為：.14．(2024·河北張家口市·高三一模)若為拋物線上一點(diǎn)，拋物線C的焦點(diǎn)為F，則________．【答案】5【解析】由為拋物線上一點(diǎn)，得，可得，則．故答案為：515．(2024·全國高三其他模擬)已知拋物線，點(diǎn)在拋物線上，過作圓的兩條切線，分別交拋物線于點(diǎn)，，若直線的斜率為-1，則拋物線的方程為______.【答案】【解析】由題意可知，過所作圓的兩條切線關(guān)于直線對稱.設(shè)，，，則，同，，因?yàn)閮蓷l切線關(guān)于直線對稱，所以，即，得，得，所以，故，，代入拋物線方程，得，所以，故拋物線方程為.故答案為：16．(2024·桃江縣第一中學(xué))已知拋物線的焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M的準(zhǔn)線為l且與x軸相交于點(diǎn)B，A為M上的一點(diǎn)，直線AO與直線l相交于C點(diǎn)，若，，則M的標(biāo)準(zhǔn)方程為______________.【答案】【解析】因?yàn)椋?，所以，則，如圖，，故，解得，所以，直線OA的斜率為，OA的方程，聯(lián)立直線OA與拋物線方程，解得，所以，故，則拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.17．(2024·黑龍江哈爾濱市·哈爾濱三中高三一模())人們已經(jīng)證明，拋物線有一條重要性質(zhì)：從焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線上的一點(diǎn)反射后，反射光線平行于拋物線的軸，探照燈、手電筒就是利用這個原設(shè)計的.已知拋物線的焦點(diǎn)為，從點(diǎn)出發(fā)的光線經(jīng)拋物線上第一象限內(nèi)的一點(diǎn)反射后的光線所在直線方程為，若入射光線的斜率為，則拋物線方程為______.【答案】【解析】從點(diǎn)F出發(fā)的光線第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)P反射后的光線所在直線方程為y＝，可得P(，)，入射光線FP的斜率為，所以，解得p＝1或p＝﹣2(舍去)，所以拋物線方程為：y2＝2x．故答案為：y2＝2x18．(2024·貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué))若拋物線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離是A到y(tǒng)軸距離的2倍，則等于___________.【答案】【解析】由題意，得，解得，即，代入，得，結(jié)合，解得故答案為：19．(2024·江蘇南通市)已知拋物線，過焦點(diǎn)且斜率為1的直線與相交于、兩點(diǎn)，且、兩點(diǎn)在準(zhǔn)線上的投影分別為，兩點(diǎn)，則的面積為________．【答案】【解析】拋物線則焦點(diǎn)坐標(biāo)為,準(zhǔn)線方程為過焦點(diǎn)且斜率為的直線方程為,化簡可得拋物線與直線相交于,兩點(diǎn),設(shè)且,兩點(diǎn)在準(zhǔn)線上的投影分別為,則,化簡可得所以則所以故答案為:20．(2024·全國高三其他模擬)已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，直線經(jīng)過點(diǎn)且與拋物線交于，兩點(diǎn)．若線段的中點(diǎn)為，為拋物線的焦點(diǎn)，則的周長為______．【答案】【解析】把點(diǎn)代入中得，故拋物線的方程為．設(shè)，，由題意可知直線的斜率存在且不為0，故．則，，兩式相減得，又因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，所以，將代入上式得直線的斜率，于是直線的方程為，即．聯(lián)立消去得，，由根與系數(shù)的關(guān)系得，，由拋物線的定義得，而，因此的周長為．故答案為：21(2024·陜西安康市)已知拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為.(1)求拋物線的方程；(2)過點(diǎn)且斜率為的直線與交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的面積.【答案】(1)；(2).【解析】(1)因?yàn)閽佄锞€上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為，所以，解得，所以拋物線的方程為；(2)由(1)可得，；則過點(diǎn)且斜率為的直線的方程為：，即，設(shè)，，由消去，整得，則，因此，又點(diǎn)到直線的距離為，所以的面積為.22．(2024·湖北開學(xué)考試)已知拋物線的焦點(diǎn)為F，為拋物線C上的點(diǎn)，且.(1)求拋物線C的方程；(2)若直線與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，求弦長.【答案】(1)；(2).【解析】(1)，所以，即拋物線C的方程.(2)設(shè)，由得所以，所以.23．(2024·江蘇)求適合下列條件的曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)，焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(3)焦點(diǎn)在軸上，且焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是2的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】(1)；(2)；(3)或.【解析】(1)根據(jù)題意知，焦點(diǎn)在軸上，∴，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，即.(2)解:由題意，設(shè)方程為，∵，∴，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.(3)∵焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是2，∴，∴當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.24．(2024·內(nèi)蒙古包頭市)、是拋物線上兩個不同的點(diǎn)，、縱坐標(biāo)之和為4．(1)求直線的斜率；(2)為原點(diǎn)，若，求直線的方程．【答案】(1)1；(2)或．【解析】(1)法一：設(shè)，，則兩式相減得．∵，∴．根據(jù)題意可知，∴，∴直線的斜率為1．法二：據(jù)題意直線斜率存在，可設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立得，則，∴，∴直線的斜率為1．(2)由(1