精 品解析：江蘇省蘇州外國語學(xué)校 高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

第1頁/共1頁第一學(xué)期階段測(cè)試（一）高三數(shù)學(xué)2024.10一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值集合為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】化簡集合，根據(jù)，求實(shí)數(shù)的可能取值，由此可得結(jié)果.【詳解】集合，又，，所以，故實(shí)數(shù)a的取值集合為，故選：C.2.若復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的共軛在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第（）象限A.一 B.二 C.三 D.四【答案】B【解析】【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)乘法公式求出，再得到其共軛復(fù)數(shù)，由幾何意義即可判斷.【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以?fù)數(shù)的共軛在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.故選：B.3.已知，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系式和二倍角的余弦公式可得正確的選項(xiàng).【詳解】，則，，，而，故，故選：B.4.若{an}為等比數(shù)列，則“”是“（s，t，p，）”（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分又不必要條件【答案】C【解析】【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)，分別從充分性、必要性兩方面判斷題設(shè)條件間的推出關(guān)系，進(jìn)而確定它們充分、必要關(guān)系.【詳解】充分性：若，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)與不一定相等，不充分．必要性：若，則，，所以，綜上，“”是“”的必要不充分條件．故選：C5.在中，，D為AB的中點(diǎn)，，P為CD上一點(diǎn)，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由中點(diǎn)可知CD=12CA+CB，根據(jù)模長關(guān)系可得，設(shè)，結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算以及基本定理可得，用表示，結(jié)合模長運(yùn)算求解【詳解】因?yàn)镈為AB的中點(diǎn)，則CD=可得，即，解得，又因?yàn)镻為CD上一點(diǎn)，設(shè)，則，可得，解得，即，則，可得，即.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：1.根據(jù)模長關(guān)系可得；2.設(shè)，根據(jù)平面向量基本定理求得；3.以為基底表示，進(jìn)而運(yùn)算求解.6.已知函數(shù)的一條對(duì)稱軸為，且在上單調(diào)，則的最大值為（）A. B.3 C. D.【答案】D【解析】【分析】函數(shù)的對(duì)稱軸可表示為：，在上單調(diào)可得，使得，然后可得，即可分析出答案.【詳解】函數(shù)的對(duì)稱軸可表示為：，在上單調(diào)可得，使得，解得又.，∴當(dāng)3時(shí)，可取最大值為【點(diǎn)睛】本題考查的是正弦型函數(shù)的對(duì)稱性和單調(diào)性，屬于中檔題.7.數(shù)列滿足,且．記數(shù)列的前n項(xiàng)和為,則當(dāng)取最大值時(shí)n為（）A.11 B.12 C.11或13 D.12或13【答案】C【解析】【分析】分的奇偶討論數(shù)列的奇偶性分別滿足的條件,再分析的最大值即可.【詳解】由題,當(dāng)為奇數(shù)時(shí),,.故.故奇數(shù)項(xiàng)為公差為1的等差數(shù)列.同理當(dāng)為偶數(shù)時(shí),.故偶數(shù)項(xiàng)為公差為-3的等差數(shù)列.又即.又.所以.綜上可知,奇數(shù)項(xiàng)均為正數(shù),偶數(shù)項(xiàng)隨著的增大由正變負(fù).故當(dāng)取最大值時(shí)n為奇數(shù).故n為奇數(shù)且此時(shí)有,解得.故或.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了奇偶數(shù)列的應(yīng)用,需要根據(jù)題意推導(dǎo)奇偶項(xiàng)數(shù)列的遞推公式,再根據(jù)題意分析相鄰兩項(xiàng)之和與0的大小關(guān)系列不等式求解.屬于難題.8.已知函數(shù)，，若方程有且僅有5個(gè)不相等的整數(shù)解，則其中最大整數(shù)解和最小整數(shù)解的和等于（）A. B.28 C. D.14【答案】A【解析】【分析】利用換元法結(jié)合一元二次方程根的分布，數(shù)形結(jié)合計(jì)算即可.【詳解】先作出的大致圖象，如下令，則，根據(jù)的圖象可知：要滿足題意必須有兩個(gè)不等根，且有兩個(gè)整數(shù)根，有三個(gè)整數(shù)根，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)知，兩函數(shù)相切時(shí)符合題意，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，又，易知其定義域內(nèi)單調(diào)遞減，即，此時(shí)有兩個(gè)整數(shù)根或，而要滿足有三個(gè)整數(shù)根，結(jié)合圖象知必有一根小于2，顯然只有符合題意，當(dāng)時(shí)有，則，解方程得的另一個(gè)正根為，又，此時(shí)五個(gè)整數(shù)根依次是，顯然最大的根和最小的根和為.故選：A二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.設(shè)，則下列結(jié)論正確的有（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】由題意可得，，可判斷C；根據(jù)可判斷A；利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算可判斷B；根據(jù)可判斷D．【詳解】已知，，所以C正確；，即，因?yàn)?，所以，A錯(cuò)誤；，B正確；因，所以，D正確．故選：BCD．10.已知平面直角坐標(biāo)系中三個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)為線段上靠近的三等分點(diǎn)，下列說法正確的是（）A.是銳角三角形B.在上的投影向量為C.D.若四邊形為平行四邊形，則點(diǎn)為【答案】CD【解析】【分析】求出，．可推得，從而得出A項(xiàng)；根據(jù)投影向量的公式即可判斷B項(xiàng)；可求出，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算后，可判斷C項(xiàng)；由平行四邊形可得，根據(jù)向量相等可得到點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】三點(diǎn)位置如圖所示，，．因?yàn)椴还簿€，所以三點(diǎn)可構(gòu)成三角形，又，所以為鈍角，A項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以在上的投影向量為，B項(xiàng)錯(cuò)誤；.因?yàn)?，點(diǎn)為線段上靠近的三等分點(diǎn)，所以，，，所以，，所以有，C項(xiàng)正確；設(shè)Ex,y，則，因?yàn)槿羲倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以，即，即，解得，所?D項(xiàng)正確.故選：CD.11.定義域?yàn)镽的連續(xù)函數(shù)，對(duì)任意，且不恒為0，則下列說法正確的是（）A.為偶函數(shù)BC.若f1=0D.若0為的極小值點(diǎn)，則的最小值為2【答案】ACD【解析】【分析】令，先求，再令，結(jié)合奇偶性定義判斷A，令，結(jié)合換元法判斷B，令，結(jié)合f1=0，先求出的周期為4，算出即可判斷C，利用極小值定義求出的最小值判斷D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，令，有，解得或，若，只令，有，則恒為0，所以，所以，只令，有，因?yàn)?，所以，即，所以f?x=fx，所以為偶函數(shù)，故選項(xiàng)對(duì)于選項(xiàng)B，令，有，令，所以，故，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，若f1=0，令，有，所以，所以fx+2+f所以fx+2=?fx所以的周期為4，因?yàn)?，f1=0所以，，，所以，所以，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，由選項(xiàng)A可知，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以只需求解的的取值范圍，因?yàn)?為極小值點(diǎn)，所以存在，使時(shí)，，由選項(xiàng)B可知，，所以，若，則，則有，與時(shí)，矛盾，故，所以，解得或，由上述過程同理可證不成立，所以，所以當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題的關(guān)鍵在于選項(xiàng)D，利用極值的定義知存在，使時(shí)，，再利用選項(xiàng)B中結(jié)論，再分和兩種情況，即可求解.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數(shù)是奇函數(shù)，則______．【答案】##【解析】【分析】利用奇函數(shù)的定義及指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.【詳解】由，得，解得，所以的定義域?yàn)?，因?yàn)椋?，因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以，解得.故答案為：.13.在中，，，，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在，，邊上，且，，則的最小值為______．【答案】【解析】【分析】由題意可得A，F(xiàn)，D，E四點(diǎn)共圓，且為該圓直徑，則當(dāng)最小時(shí)，需最小，當(dāng)時(shí)，最小，結(jié)合題意可計(jì)算出此時(shí)的長度，即可得的最小值.【詳解】由，，故A，F(xiàn)，D，E四點(diǎn)共圓，且為該圓直徑，又，故最小時(shí)，需最小，當(dāng)時(shí)，最小，由，故此時(shí)，由正弦定理可得，．故答案為：.14.與曲線和曲線均相切的直線的方程為______.【答案】【解析】【分析】設(shè)出切點(diǎn)和，求導(dǎo)得到，并寫出切線方程，將代入，化簡得，從而求出切線方程.【詳解】設(shè)在點(diǎn)和在點(diǎn)的切線重合，，，故，即，，在點(diǎn)處的切線方程為，將代入得，即，所以，又，故，則，故切線方程為，即.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.如圖，在三棱柱中，側(cè)面均為正方形，，是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連結(jié)，交于，連結(jié)，證明，由線線平行即可推得線面平行；（2）方法一：先證平面，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連結(jié)，證明是二面角的平面角，借助于直角三角形分別求出和，即可求得；方法二：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為一組正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，依題求出相關(guān)點(diǎn)和向量的坐標(biāo)，運(yùn)用空間向量的夾角公式計(jì)算即得.【小問1詳解】如圖，連結(jié)，交于，連結(jié).在三棱柱中，側(cè)面是平行四邊形，故是的中點(diǎn)，又因是的中點(diǎn)，則得.因平面平面，故得平面.【小問2詳解】因側(cè)面均為正方形，則.又因平面，故平面.（方法一）三棱柱是直三棱柱，側(cè)面底面.過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連結(jié).因?yàn)槠矫?，平面平面，所以平面，又因平面，則,因.則平面，因平面，故.即是二面角的平面角.因?yàn)閭?cè)面均為正方形，，所以，所以,.在直角中，，故，在直角中，，故.即二面角的余弦值為.（方法二）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為一組正交基底建立空間直角坐標(biāo)系.因，側(cè)面均為正方形，故.由，可得設(shè)平面的法向量，則有，故可??；又,設(shè)平面的法向量，則有，故可取.設(shè)二面角的大小為，由圖知，為銳角，則.所以二面角的余弦值為.16.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且.（1）求B；（2）若的中線BD長為，求的最大值.【答案】（1）（2）8【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊化角，然后利用消去角C，然后化簡可得；（2）將兩邊平方，利用向量數(shù)量積性質(zhì)化簡，然后由基本不等式可得.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，所以，整理得，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，所以，?【小問2詳解】因?yàn)镈為AC中點(diǎn)，所以，因?yàn)椋?，整理得，所以，得，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為8.17.已知等差數(shù)列與等比數(shù)列滿足，，，且既是和的等差中項(xiàng)，又是其等比中項(xiàng).（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）記，其中，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由題設(shè)求得且的公差，再應(yīng)用等差、等比中項(xiàng)的性質(zhì)列方程求的基本量，進(jìn)而寫出對(duì)應(yīng)通項(xiàng)公式；（2）運(yùn)用分組求和，結(jié)合裂項(xiàng)相消、錯(cuò)位相減及等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，，，所以，解得，則，既是和的等差中項(xiàng)，又是其等比中項(xiàng)，所以，則，解得，即，所以，.【小問2詳解】∵，，∴.，①，②，①②得：∴，∴.18.已知函數(shù).（1）證明：曲線是中心對(duì)稱圖形；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由函數(shù)的定義域，計(jì)算的值判斷對(duì)稱中心；（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)對(duì)稱性列不等式求實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】函數(shù)，定義域?yàn)椋郧€關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.【小問2詳解】，因?yàn)椋?，所以，所以在定義域上單調(diào)遞增.（方法一）又關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，，所以解得.（方法二）因?yàn)殛P(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以是奇函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增.由，即，即，所以，所以解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.19.對(duì)于數(shù)列，若存在正數(shù)k，使得對(duì)任意，，都滿足，則稱數(shù)列符合“條件”．（1）試判斷公差為2的等差數(shù)列是否符合“條件”？（2）若首項(xiàng)為1，公比為q的正項(xiàng)等比數(shù)列符合“條件”．①求q的取值范圍；②記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：存在正數(shù)，使得數(shù)列符合“條件”【答案】（1）符合條件；（2）①；②證明見解析.【解析】【分析】（1）直接利用定義判斷結(jié)論是否成立；（2）①，根據(jù)an的單調(diào)性去掉絕對(duì)值，通過構(gòu)造新數(shù)列，由不等式恒成立得到新數(shù)列不遞減，求q的取值范圍；②要證數(shù)列符合“條件”，只要證，構(gòu)造新數(shù)列，由不等式恒成立得到新數(shù)列不遞減，由條件只要證即可.【小問1詳解】公差為2的等差數(shù)列an，設(shè)，由，所以公差為2的等差數(shù)列an符合條件．【小問2詳解】①首項(xiàng)為1，公比為q的正項(xiàng)等比數(shù)列an，，對(duì)恒成立，若，則，符合．若，數(shù)列an單調(diào)遞增，不妨設(shè)，，，設(shè)，由（*）式中的m，n任意性得數(shù)列bn不遞增，，，但當(dāng)，，矛盾．若，則數(shù)