方法技巧專題18 三角函數(shù)的圖像和性質（解析版）

方法技巧專題18三角函數(shù)的圖像和性質解析版一、三角函數(shù)的圖像和性質知識框架二、根據解析式研究三角函數(shù)性質【一】化為同角同函型研究三角函數(shù)的性質（如周期性、單調性、最值、奇偶性、對稱性等）的前提是用公式把已給函數(shù)化成同一個角同一種類型的三角函數(shù)形式（簡稱：同角同函）研究三角函數(shù)的性質（如周期性、單調性、最值、奇偶性、對稱性等）的前提是用公式把已給函數(shù)化成同一個角同一種類型的三角函數(shù)形式（簡稱：同角同函）或，常見方法有：（1）用同角三角函數(shù)基本關系式或誘導公式將已給函數(shù)化成同函；（2）用倍角公式（升冪或降冪）將已給函數(shù)化成同角；（3）用兩角和、差公式或輔助角公式將已給函數(shù)化成同函.1.例題【例1】函數(shù)的單調遞增區(qū)間是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】整理函數(shù)的解析式有：結合三角函數(shù)的性質可知，函數(shù)的單調遞增區(qū)間滿足：，求解不等式可得函數(shù)的單調遞增區(qū)間是.2.鞏固提升綜合練習【練習1】已知函數(shù).①的最大值為________；②設當時，取得最大值，則______.【解析】①，(其中，)當，即時，取最大值②由題意可知【練習2】已知函數(shù)，求函數(shù)的最小正周期和單調增區(qū)間；【解析】∴函數(shù)的最小正周期為.由得∴函數(shù)的單調增區(qū)間為【練習3】已知，求的最小正周期及單調遞增區(qū)間．【解析】由與得．所以的最小正周期是．由正弦函數(shù)的性質得，解得，所以，的單調遞增區(qū)間是．【二】化為二次函數(shù)型研究三角函數(shù)的性質（如周期性、單調性、最值、奇偶性、對稱性等）時，一般是把已給函數(shù)化成同同角同函型，但未必所有三角函數(shù)都能化成上述研究三角函數(shù)的性質（如周期性、單調性、最值、奇偶性、對稱性等）時，一般是把已給函數(shù)化成同同角同函型，但未必所有三角函數(shù)都能化成上述或的形式，有時會化簡為二次函數(shù)型：或，這時需要借助二次函數(shù)知識求解，但要注意的取值范圍.若將已給函數(shù)化簡為更高次的函數(shù)，如，則換元后可通過導數(shù)求解.如：解析式中同時含有和，令，由關系式得到關于的函數(shù)表達式.1.例題【例1】函數(shù)的最大值為____________．【解析】∵f(x)＝cos2x＋6coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＝cos2x＋6sinx＝1－2sin2x＋6sinx＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx－\f(3,2)))eq\s\up18(2)＋eq\f(11,2)，又sinx∈[－1,1]，∴當sinx＝1時，f(x)取得最大值5.【例2】函數(shù)y＝sinx＋cosx＋sinxcosx的值域為_______【解析】設t＝sinx＋cosx，則sinxcosx＝eq\f(t2－1,2)(－eq\r(2)≤t≤eq\r(2))，y＝t＋eq\f(1,2)t2－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(t＋1)2－1，當t＝eq\r(2)時，y取最大值為eq\r(2)＋eq\f(1,2)，當t＝－1時，y取最小值為－1.所以函數(shù)值域為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)＋\r(2))).2.鞏固提升綜合練習【練習1】已知函數(shù)，則的最小值是_____________．【解析】，所以當時函數(shù)單調遞減，當時函數(shù)單調遞增，從而得到函數(shù)的遞減區(qū)間為，函數(shù)的遞增區(qū)間為，所以當時，函數(shù)取得最小值，此時，所以，故答案是.【答案】【練習2】求函數(shù)的最大值與最小值.【解析】令，所以，，【練習3】函數(shù)y＝sinx－cosx＋sinxcosx，x∈[0，π]的值域為________．【解析】設t＝sinx－cosx，則t2＝sin2x＋cos2x－2sinxcosx，即sinxcosx＝eq\f(1－t2,2)，且－1≤t≤eq\r(2).∴y＝－eq\f(t2,2)＋t＋eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)(t－1)2＋1.當t＝1時，ymax＝1；當t＝－1時，ymin＝－1.∴函數(shù)的值域為[－1,1]．三、根據圖像和性質確定解析式【一】圖像型對形如對形如中參數(shù)的確定，應準確識別和利用題干中函數(shù)圖像的信息（如周期、振幅、最值、特征點等），列出方程（組）或不等式（組），常規(guī)方法有：由振幅或最值，可確定;由周期的值或取值范圍，可確定的值或取值范圍；由特征點，可列出三角方程（組），可確定.（有時也需特征點來確定）1.例題【例1】已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中分別是函數(shù)的圖象的一個最低點和一個最高點，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】解題思路第一步：觀察所給圖像及其圖像特征：振幅，周期，與x軸的交點坐標等。由題意，A=1,,\T=12，故，這時第二步：利用特殊點代入函數(shù)解析式計算出中的值。在圖像上，故,即，解的。第三步：從圖像的升降情況找準第一零點的位置，并進一步確定參數(shù)（一般情況，取最高最低點，方便判斷）?！?，\，第四步，得出最終結論，所有,故選A【例2】函數(shù)的圖象如圖所示，則（）A．在上是增函數(shù) B．在上是增函數(shù)C．在上是増函數(shù) D．在上是增函數(shù)【答案】A【例3】已知函數(shù)，的部分圖像如圖所示，已知點，，若將它的圖像向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，則函數(shù)圖像的一條對稱軸方程為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，所以，所以，移動后得，所以對稱軸滿足，解得，所以滿足條件的一條對稱軸方程為。故選A。2.鞏固提升綜合練習【練習1】函數(shù)(其中，)的部分圖象如圖所示,將函數(shù)的圖象（）可得的圖象A．向右平移個長度單位B．向左平移個長度單位C．向左平移個長度單位D．向右平移個長度單位【答案】D【練習2】如圖，某港口一天6時到18時的誰深變化曲線近似滿足函數(shù)y＝3sin(x＋Φ)＋k，據此函數(shù)可知，這段時間水深(單位：m)的最大值為____________.【答案】8【二】性質型對形如對形如中參數(shù)的確定，應充分挖掘題干中所給的函數(shù)性質（如周期、單調性、最值、奇偶性、對稱性等），列出方程（組）或不等式（組）.特別地，正弦型函數(shù)與最小正周期相關的幾種表述：兩個相鄰最低（高）點的距離，即為;兩個相鄰對稱軸的距離，即為;兩個相鄰對稱中心的距離，即為;相鄰對稱中心與對稱軸的距離，即為;1.例題【例1】已知函數(shù)為的零點,為圖像的對稱軸,且在單調,則的最大值為()（A）11

（B）9

（C）7

（D）5【例2】設函數(shù)，，若在區(qū)間上單調，且，則的最小正周期為（）A．B．2πC．4πD．π【解析】【例3】設函數(shù)，，其中，.若，，且的最小正周期大于，則（）（A）， （B）， （C）， （D），【答案】2.鞏固提升綜合練習【練習1】設函數(shù)f（x）=，若對任意的實數(shù)x都成立，則ω的最小值為__________．【解析】因為對任意的實數(shù)x都成立，所以取最大值，所以，因為，所以當時，ω取最小值為.【練習2】若函數(shù)的圖象關于軸對稱，則的一個值為（）A． B． C． D．四、圖像變換問題由由變換成的兩種變換方式：（1）；注：兩種變換方法，相位或周期變換都只針對自變量.1.例題【例1】已知曲線，，則下面結論正確的是（）A．把上各點的橫坐標伸長到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線B．把上各點的橫坐標伸長到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C．把上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線D．把上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線【例2】設函數(shù)，其中.已知.（Ⅰ）求；（Ⅱ）將函數(shù)的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），再將得到的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，求在上的最小值.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）得最小值.從而.根據得到，進一步求最小值.試題解析：（Ⅰ）因為，所以即時，取得最小值.2.鞏固提升綜合練習【練習1】函數(shù)（，）的最小正周期是，若其圖象向左平移個單位后得到的函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)的圖象（）A．關于點對稱 B．關于直線對稱C．關于點對稱 D．關于直線對稱【答案】B【解析】由于函數(shù)最小正周期為,所以,即.向左平移得到為奇函數(shù),故,所以.,故為函數(shù)的對稱軸,選B.【練習2】已知函數(shù)，將的圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變），再將圖象向左平移個單位，所得圖象對應的函數(shù)為，若函數(shù)的圖象在，兩處的切線都與x軸平行，則的最小值為（）A．B．C．D．【解析】根據變換得到：，圖象如圖：由圖可知，取到的最小可能為，因為，，所以最小值為4，故選：B五、三角函數(shù)值域（最值）求三角函數(shù)的值域（最值），通常利用正余弦函數(shù)的有界性，一般通過三角變換化為下列基本類型：求三角函數(shù)的值域（最值），通常利用正余弦函數(shù)的有界性，一般通過三角變換化為下列基本類型：，令，則；，引入輔助角，化為；，令，則；，令，則，所以；（5），根據正弦函數(shù)的有界性，既可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用數(shù)形結合法求最值.1.例題【例1】已知函數(shù)，則在上的最大值與最小值之差為．【答案】第三步，利用正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的有界性來確定三角函數(shù)的最值：當時，，故，即函數(shù)的值域為，故答案為．【例2】函數(shù)的最小值為．【解析】第一步，先將所給的函數(shù)式化為只含有一個三角函數(shù)的式子，通常采取換元法將其變?yōu)槎囗検胶瘮?shù)：令，所以第二步，利用函數(shù)單調性求解三角函數(shù)的最值：所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)第三步，得出結論：所以，故填．【例3】函數(shù)的最小值是__________．【答案】【解析】f（x）=sinx+cosx+2sinxcosx，x∈，化簡f（x）=（sinx+cosx）2+sinx+cosx﹣1設sinx+cosx=t，則t=sin（x）x+，那么函數(shù)化簡為：g（t）=t2+t﹣1．∵x∈∴x+∈[0，]，所以：．∵函數(shù)g（t）=t2+t﹣1．開口向上，對稱軸t=－，∴是單調遞增．當t=0時，g（t）取得最小值為-1．【例4】求函數(shù)的值域【解析】函數(shù)的值域可看作：求過點作單位圓的切線的斜率的最大、最小值設切線，即原點到切線的距離：，解得：所以，所求函數(shù)的值域為：2.鞏固提升綜合練習【練習1】已知的定義域為[].求的最小值.【解析】【練習2】函數(shù)（）的最大值是?！窘馕觥俊揪毩?】求函數(shù)的值域【解析】 六、平面向量為載體的三角函數(shù)綜合問題三角函數(shù)與向量的綜合問題中，向量只是工具，問題的本質還是三角函數(shù)問題.解決本類問題的常規(guī)方法是：三角函數(shù)與向量的綜合問題中，向量只是工具，問題的本質還是三角函數(shù)問題.解決本類問題的常規(guī)方法是：將向量的平行、垂直、數(shù)量積等通過坐標運算轉化為三角函數(shù)形式，然后進行恒等變換，進而解決本問題.1.例題【例1】設向量，.（1）求的最小正周期；（2）求在區(qū)間上的單調遞減區(qū)間.【答案】(1);(2).第一步，先將函數(shù)式化為基本三角函數(shù)的標準式，要特別注意參數(shù)的正負：由題意可得：第二步，利用三角函數(shù)的輔助角公式一般將其化為同名函數(shù)，且在同一單調區(qū)間：所以第三步，運用三角函數(shù)的圖像與性質確定其單調區(qū)間：令，求得，故函數(shù)的減區(qū)間為.再根據，可得函數(shù)的減區(qū)間為【例2】已知向量（1）若a∥b，求的值；（2）記，求的最大值和最小值以及對應的的值．【解析】（1）因為，，a∥b，所以．若，則，與矛盾，故．于是．又，所以．（2）．因為，所以，從而．于是，當，即時，取到最大值3；當，即時，取到最小值．【答案】（1）；（2）時，取到最大值3；時，取到最小值．2.鞏固提升綜合練習【練習1】已知，，設函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調增區(qū)間；（2）設的內角，，所對的邊分別為，，，且，，成等比數(shù)列，求的取值范圍．【答案】(1)，．(2).【解析】，令，則，，所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，．【練習2】已知，，記函數(shù)（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）如果函數(shù)的最小值為，求的值,并求此時的最大值及圖像的對稱軸方程.【答案】（1）；（2）；對稱軸方程為（）【解析】（1）所以最小正周期（2）的最小值為，所以，故所以函數(shù)的最大值等于由（），即（）故函數(shù)的圖象的對稱軸方程為（）七、課后自我檢測1.函數(shù)的部分圖象如圖所示,則__________；函數(shù)在區(qū)間上的零點為__________．【答案】【解析】由圖得,即最小正周期又因為,且,解得，由圖得時,，又因為,所以，的零點即的圖象與軸交點的橫坐標，則,解得，因為,得到，所以零點為，故答案為.2.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調遞增區(qū)間；（2）已知在中，的對邊分別為，若，，求面積的最大值.【答案】（1）單調遞增區(qū)間為（）；（2）.【解析】（1）令（），解得（），所以的單調遞增區(qū)間為（）.3.已知函數(shù)部分圖象如圖所示.（1）求值及圖中的值；（2）在中，角的對邊分別為，已知，求的值．【答案】（1）,（2）【解析】（1）由圖象可以知道：.∴又∵∴

∵∴，,從而.由圖象可以知道,

所以4.，函數(shù).（1）求的對稱中心；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值，并求出相應的值.【答案】（1）；（2）最大值為，最小值為.【解析】（2）由（1）得，因為，所以，所以時，即，的最大值為，當時，即時，的最小值為.5.函數(shù)的最大值是__________．6.已知函數(shù)，，且在區(qū)間上有最小值，無最大值，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖所示，因為，且，又在區(qū)間內只有最小值，沒有最大值，所以在處取得最小值，所以，所以，當時，，此時函數(shù)在區(qū)間內存在最大值，7.已知函數(shù)對任意都滿足，則函數(shù)的最大值為A．5 B．3 C． D．8．將函數(shù)的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，則下列說法不正確的是A． B．在區(qū)間上是增函數(shù)C．是圖象的一條對稱軸 D．是圖象的一個對稱中心【解析】把函數(shù)的圖像向平左移個單位，得到函數(shù)圖象的解析式故A正確；