含參存在性與恒成立問題的解題模板

含參不等式的存在性與恒成立問題的解題模板【考點綜述】含參不等式的恒成立問題越來越受到高考命題者的青睞，由于新課標(biāo)高考對導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的加強，這些不等式的恒成立問題往往與導(dǎo)數(shù)問題交織在一起，這在近年的高考試題中不難看出這個基本的命題趨勢.解決這類問題的關(guān)鍵是揭開量詞隱含的神秘面紗還函數(shù)問題本來面目，在高考中各種題型多以選擇題、填空題和解答題等出現(xiàn)，其試題難度屬高檔題.【解題方法思維導(dǎo)圖預(yù)覽】【解題方法】解題方法模板一：判別式法使用情景：含參數(shù)的二次不等式解題模板：第一步首先將所求問題轉(zhuǎn)化為二次不等式；第二步運用二次函數(shù)的判別式對其進(jìn)行研究討論；第三步得出結(jié)論.解題模板應(yīng)用：例1設(shè)，當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】【解析】解題模板選擇：本題中含參數(shù)的二次不等式，故選取解題方法模板一判別式法進(jìn)行解答.解題模板應(yīng)用：第一步首先將所求問題轉(zhuǎn)化為二次不等式；設(shè)則當(dāng)時，恒成立.第二步首先將所求問題轉(zhuǎn)化為二次不等式；當(dāng)時，即時，恒成立.當(dāng)時，恒成立等價于：解得.第三步得出結(jié)論：綜上可得實數(shù)的取值范圍為.練習(xí)1.若函數(shù)的定義域為，則實數(shù)的取值范圍為A. B.C. D.【答案】A【解析】【詳解】分析：因為定義域是，所以對一切實數(shù)恒成立，分兩種情況討論即可.詳解：對任意的，有恒成立，所以或，故，故選A.【小結(jié)】含參數(shù)的一元二次不等式的恒成立，需要分清是否是上恒成立，如果是，在確定是一元二次不等式的條件下直接應(yīng)用判別式來考慮，如果在其他范圍上的恒成立，則可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值或者采用參變分離的方法來求參數(shù)的取值范圍.2.若不等式對一切實數(shù)都成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A.或 B.或C. D.【答案】C【解析】【分析】分和兩種情況討論，結(jié)合題意可得出關(guān)于實數(shù)的不等式組，由此可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】由于不等式對一切實數(shù)都成立.當(dāng)時，可得，解得，不合乎題意；當(dāng)時，則，解得.因此，實數(shù)的取值范圍為.故選：C．【小結(jié)】本題考查利用一元二次不等式在實數(shù)集上恒成立求參數(shù)，考查計算能力，屬于中等題.3.已知向量滿足，與的夾角為，若對一切實數(shù)x，恒成立，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】平方，利用向量的數(shù)量積公式，展開整理得，對一切實數(shù)x，恒成立，從而有解不等式，即可得出結(jié)論.【詳解】解：因為，與的夾角為，所以．把兩邊平方，整理可得，所以，即，即．故選:C．【小結(jié)】本題考查向量的模與數(shù)量積的關(guān)系，將問題等價轉(zhuǎn)化為一元二次不等式恒成立，屬于基礎(chǔ)題.4.若函數(shù)y＝(k為常數(shù))的定義域為R，則k的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】把函數(shù)的定義域為，轉(zhuǎn)化為不等式在上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解?！驹斀狻坑深}意，函數(shù)(k為常數(shù))的定義域為R，即不等式在上恒成立，當(dāng)時，不等式等價于恒成立，符合題意；當(dāng)時，則滿足，即且，解得，綜上可得實數(shù)的取值范圍是?！拘〗Y(jié)】本題主要考查了函數(shù)的定義域的概念，以及一元二次不等式的恒成立問題，其中解答中把函數(shù)的定義域為，轉(zhuǎn)化為一元二次不等式的恒成立問題，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，以及推理與運算能力，屬于中檔試題。5.已知命題“”是假命題，則實數(shù)m的取值范圍是_________.【答案】【解析】【分析】求得原命題的否定，根據(jù)其為真命題，即可結(jié)合二次不等式恒成求得參數(shù)范圍【詳解】若命題“”是假命題，則“”為真命題，顯然時，不滿足題意，故只需滿足，解得.故答案為：.【小結(jié)】本題考查根據(jù)含量詞命題的真假求參數(shù)范圍的問題，涉及二次不等式在上恒成立求參數(shù)的問題，屬綜合基礎(chǔ)題.解題方法模板二：分離參數(shù)法使用情景：對于變量和參數(shù)可分離的不等式解題模板：第一步首先對待含參的不等式問題在能夠判斷出參數(shù)的系數(shù)正負(fù)的情況下，可以根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個一端是參數(shù)，另一端是變量表達(dá)式的不等式；第二步先求出含變量一邊的式子的最值；第三步由此推出參數(shù)的取值范圍即可得出結(jié)論.解題模板應(yīng)用：例2已知函數(shù)，若在函數(shù)定義域內(nèi)恒成立，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解題模板選擇：本題中可參變分離，故選取解題方法模板二分離參數(shù)法進(jìn)行解答.解題模板應(yīng)用：第一步，參變分離；在函數(shù)定義域內(nèi)恒成立，第二步，設(shè)則所以易得第三步，得出結(jié)論：故選D．練習(xí)6.若對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先分離參數(shù)，再由基本不等式得出的最小值，即可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為時，恒成立，所以在恒成立因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即或（舍）等號成立所以故選：A【小結(jié)】本題主要考查了一元二次不等式在某區(qū)間上的恒成立問題以及基本不等式的恒成立問題，屬于中檔題.7.已知，則使得都成立的取值范圍是A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】試題分析：由不等式得，解得，由于不等式恒成立，的最小值，的最小值為，因此得.考點：不等式和恒成立問題.8.已知關(guān)于的不等式在上有解，則實數(shù)的取值范圍是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將不等式化為，討論、和時，分別求出不等式成立時的取值范圍即可【詳解】時，不等式可化為；當(dāng)時，不等式為，滿足題意；當(dāng)時，不等式化為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，即；當(dāng)時，恒成立；綜上所述，實數(shù)的取值范圍是答案選A【小結(jié)】本題考查不等式與對應(yīng)的函數(shù)的關(guān)系問題，含參不等式分類討論是求解時常用方法9.若關(guān)于的不等式在內(nèi)有解，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】原不等式在內(nèi)有解等價于在內(nèi)有解，等價于，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出結(jié)果.【詳解】原不等式在內(nèi)有解等價于在內(nèi)有解，設(shè)函數(shù)，所以原問題等價于又當(dāng)時，，所以.故選：A.【小結(jié)】本題主要考查一元二次不等式的應(yīng)用，考查函數(shù)與方程思想和等價化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．10.若不等式對于一切恒成立，則的最小值是（）A.0 B.-2 C. D.-3【答案】B【解析】【分析】可將不等式轉(zhuǎn)化成，結(jié)合對勾函數(shù)的增減性即可求解【詳解】，，由對勾函數(shù)性性質(zhì)可知，當(dāng)為減函數(shù)，當(dāng)時，為增函數(shù)，故，即恒成立，，故的最小值為-2故選：B【小結(jié)】本題考查一元二次不等式在某區(qū)間恒成立的解法，轉(zhuǎn)化為對勾函數(shù)是其中一種解法，也可分類討論函數(shù)的對稱軸，進(jìn)一步確定函數(shù)的最值與恒成立的關(guān)系，屬于中檔題解題方法模板三：函數(shù)性質(zhì)法使用情景：對于不能分離參數(shù)或分離參數(shù)后求最值較困難的類型解題模板：第一步首先可以把含參不等式整理成適當(dāng)形式如、等；第二步從研究函數(shù)的性質(zhì)入手，轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的單調(diào)性和極值；第三步得出結(jié)論.解題模板應(yīng)用：例3設(shè)函數(shù)，若時，，求的取值范圍.【答案】【解析】解題模板選擇：本題中分離參數(shù)后求最值較困難，故選取解題方法模板三函數(shù)性質(zhì)法進(jìn)行解答.解題模板應(yīng)用：第一步，首先可以把含參不等式整理成適當(dāng)形式第二步，從研究函數(shù)的性質(zhì)入手，轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的單調(diào)性和極值；當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時第三步，得出結(jié)果..練習(xí)11.若二次函數(shù)f(x)＝4x2－2(t－2)x－2t2－t＋1在區(qū)間[－1,1]內(nèi)至少存在一個值m，使得f(m)>0，則實數(shù)t的取值范圍A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】函數(shù)f（x）的圖象是開口向上的拋物線，故二次函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣1，1]內(nèi)至少存在一個實數(shù)m，使得f(m)>0的否定為：對于區(qū)間[﹣1，1]內(nèi)的任意一個x都有f（x）≤0，即f（﹣1），f（1）均小于等0，由此可以構(gòu)造一個關(guān)于t的不等式組，解不等式組，找出其對立面即可求出實數(shù)t的取值范圍．【詳解】二次函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣1，1]內(nèi)至少存在一個實數(shù)m，使f（m）＞0，該結(jié)論的否定是：對于區(qū)間[﹣1，1]內(nèi)的任意一個x都有f（x）≤0，由，求得t≤﹣3或t≥．∴二次函數(shù)在區(qū)間[﹣1，1]內(nèi)至少存在一個實數(shù)m，使f（m）＞0的實數(shù)t的取值范圍是：（﹣3，），故選B．【小結(jié)】本題考查了一元二次方程根的分布和二次函數(shù)的單調(diào)性和值域等知識，屬于中檔題．同學(xué)們要注意解題過程中運用反面的范圍，來求參數(shù)取值范圍的思路，屬于中檔題．12.實數(shù)，當(dāng)時，恒有成立，則的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】設(shè)，,根據(jù)題意即和同正或同負(fù)，當(dāng)時，，則時，，所以得到，又當(dāng)時，，則需要當(dāng)時，有，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得到答案.【詳解】設(shè)，當(dāng)時，恒有成立，即和同正或同負(fù).當(dāng)時，，則時，所以，此時，在時，所以當(dāng)時，有，又的對稱軸方程為則，解得所以故答案為：【小結(jié)】本題考查函數(shù)性質(zhì)，考查恒成立問題，考查等價轉(zhuǎn)化的思想和能力，屬于中檔題.13.若關(guān)于的不等式在上有解，則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】由題意可知關(guān)于的不等式在上有解，作出函數(shù)和函數(shù)的圖象，考慮直線與函數(shù)的圖象相切，以及直線過點，數(shù)形結(jié)合可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】關(guān)于的不等式在上有解，即關(guān)于的不等式在上有解，作出兩函數(shù)，圖象，當(dāng)由與相切時，則，即，，解得.由過點得.由圖可知，因此，，即實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【小結(jié)】本題考查利用含絕對值的不等式在區(qū)間上有解求參數(shù)，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.14.已知函數(shù)，（e＝2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)），若存在，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是____.【答案】；【解析】【分析】本題先求的值域，再根據(jù)題意建立不等式參變分離，最后構(gòu)建新函數(shù)求最值解決存在性問題求參變量.【詳解】當(dāng)時，，則，即在遞減，得，當(dāng)時，在遞增，則，綜合得的值域為.由題若存在，使得成立，則，在有解，即在在有解，令，，，則，在遞減，的最小值，又，在遞減，的最大值，則.故答案為：【小結(jié)】本題考查分段函數(shù)的值域，借導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的最值，轉(zhuǎn)化存在性問題求參數(shù)的范圍，是偏難題.15.設(shè)函數(shù)（，為自然對數(shù)的底數(shù)），若曲線上存在一點使得，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【詳解】試題分析:由題設(shè)及函數(shù)的解析式可知，所以．由題意問題轉(zhuǎn)化為“存在，使得有解”，即在有解，令，則，當(dāng)時，函數(shù)是增函數(shù)；所以，當(dāng)，即.所以，故應(yīng)填答案.考點：互為反函數(shù)的圖象和性質(zhì)及函數(shù)方程思想的綜合運用．【易錯點晴】函數(shù)與方程思想、等價轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想是高中數(shù)學(xué)的重要思想方法,也高考必考的重要考點.本題以兩個函數(shù)滿足的關(guān)系式為背景,考查的是轉(zhuǎn)化與化歸思想和函數(shù)方程思想的靈活運用.解答時先依據(jù)題設(shè)條件將問題轉(zhuǎn)化為即在有解,進(jìn)而構(gòu)造函數(shù),運用導(dǎo)數(shù)求出其值域,從而使得問題巧妙獲解.解題方法模板四：函數(shù)值域法使用情景：含參不等式恰成立類型.解題模板：第一步轉(zhuǎn)化對應(yīng)函數(shù)值域問題；第二步利用函數(shù)單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)、圖像等方法求值域；第三步根據(jù)條件列方程解得結(jié)果.解題模板應(yīng)用：例4關(guān)于的不等式在上恰成立，求實數(shù)的值【答案】或【解析】解題模板選擇：本題中，故選取解題方法模板四：正弦函數(shù)性質(zhì)法進(jìn)行解答.解題模板應(yīng)用：解題模板：第一步轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)值域問題；原題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上值域為，第二步利用函數(shù)單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)、圖像等方法求值域；第三步根據(jù)條件列方程解得結(jié)果.，即實數(shù)的值為或.練習(xí)16.已知函數(shù)，，函數(shù)，若對于任意，總存在，使得成立，則a的值為（）A.-1 B.1 C.-2 D.2【答案】D【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，即可求出的值域，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得的值域，最后根據(jù)兩集合的包含關(guān)系得到不等式組，解得即可；【詳解】解：因為，，所以，可得時，即在區(qū)間上單調(diào)遞減；時，即在區(qū)間上單調(diào)遞增；又，，，故因為，所以在上單調(diào)遞減；，所以又因為對于任意，總存在，使得成立，所以所以解得所以故選：D【小結(jié)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，存在性問題的解法，屬于中檔題.17.已知集合，（Ⅰ）求實數(shù)的值；（Ⅱ）已知，若不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）等價于和是方程的兩個根，根據(jù)韋達(dá)定理可得結(jié)果；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，原不等式可化為在上恒成立，利用二次函數(shù)知識求出在上的最小值，再解不等式可得結(jié)果.【詳解】（Ⅰ）由題意可知，和是方程的兩個根，所以由韋達(dá)定理得，解得，故實數(shù).（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，原不等式可化為，所以在上恒成立，令，因為，所以，所以不等式恒成立等價于，故由，解得：，故實數(shù)的取值范圍為：.【小結(jié)】本題考查了由一元二次不等式的解集求參數(shù)，考查了一元二次不等式恒成立問題，屬于基礎(chǔ)題.18.已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù).（1）當(dāng)時，求的最小值；（2）當(dāng)時，恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）1；（2）.【解析】【分析】（1）求，令，求的正負(fù)判斷的單調(diào)性，求出的最小值，即為的最小值.（2）令，即證當(dāng)時，恒成立.由（1）可知，當(dāng)時，成立，當(dāng)時，分類討論求的范圍即可.【詳解】（1），令，，則.當(dāng)時，為增函數(shù)，；當(dāng)時，.故時，，為增函數(shù)，故，即的最小值為1.（2）令，，則本題即證當(dāng)時，恒成立.當(dāng)時，若，則由（1）可知，，所以為增函數(shù)，故恒成立，即恒成立；若，則，在上為增函數(shù)，又，，故存在唯一，使得.當(dāng)時，，為減函數(shù)；時，，為增函數(shù).又，，故存在唯一使得.故時，，為增函數(shù)；時，，為減函數(shù).又，，所以時，，為增函數(shù)，故，即恒成立；當(dāng)時，由（1）可知在上為增函數(shù)，且，，故存在唯一，使得.則當(dāng)時，，為減函數(shù)，所以，此時，與恒成立矛盾.綜上所述，.【小結(jié)】關(guān)鍵小結(jié)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值問題以及恒成立問題，本題出現(xiàn)了多次求導(dǎo)的情況.掌握利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)反應(yīng)原函數(shù)的增減以及零點存在性定理是解決本題的關(guān)鍵.解題方法模板五：主參換位法使用情景：已知參數(shù)范圍求自變量取