初中數(shù)學(xué)同步八年級(jí)上冊(cè)滬科版《壓軸題》專題1630°.45°和60°角的四種類型含答案及解析

專題1630°.45°和60°角的四種類型目錄解題知識(shí)必備 1壓軸題型講練 1類型一、在60°頂點(diǎn)處構(gòu)造共頂點(diǎn)等邊三角形 1類型二、利用60°角的一邊上的點(diǎn)向另一邊作垂線構(gòu)造直角三角形 3類型三、利用45°角構(gòu)造等腰直角三角形 5類型四、利用30°角構(gòu)造直角三角形 7壓軸能力測(cè)評(píng) 81.等邊三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角相等性質(zhì)2：含30°角的直角三角形中，30°角所對(duì)直角邊等于斜邊的一半2.等邊三角形的判定判定1：有三邊相等的三角形是等邊三角形判定2：兩個(gè)角是60°（三個(gè)內(nèi)角相等）的三角形是等邊三角形判定3：有一個(gè)內(nèi)角60°的等腰三角形是等邊三角形類型一、在60°頂點(diǎn)處構(gòu)造共頂點(diǎn)等邊三角形例．如圖，中，，點(diǎn)D、E分別在、上，，、相交于點(diǎn)O，于點(diǎn)G，求證：．【變式訓(xùn)練1】．在等邊三角形外側(cè)作直線，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，連接，交于點(diǎn)，連接．(1)依題意補(bǔ)全如圖．(2)若，求．(3)若，用等式表示線段之間的數(shù)量關(guān)系并證明．【變式訓(xùn)練2】．已知等腰和等腰中，，．(1)如圖（1），①若，，在等腰可繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中，線段的最大值為______；②若，當(dāng)B、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，則的度數(shù)為______；(2)如圖（2），若，且C與D重合，．當(dāng)?shù)拇笮≡诜秶鷥?nèi)之間任意改變，的度數(shù)是否隨之改變？請(qǐng)說明理由；(3)在（2）的條件下，F(xiàn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，連接，如圖3，試探究之間的關(guān)系，并證明．【變式訓(xùn)練3】．如圖，在四邊形中，垂直平分，，E是上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)F，且．(1)求證：是等邊三角形；(2)若，求的長(zhǎng)．類型二、利用60°角的一邊上的點(diǎn)向另一邊作垂線構(gòu)造直角三角形 例．如圖，銳角中，，點(diǎn)在上，交于點(diǎn)E，連接，．(1)特例探索：如圖，若，求的度數(shù)；(2)類比遷移：如圖，若，求的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；(3)拓展提升：在圖中，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．【變式訓(xùn)練1】．如圖，在中，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，連接、，．(1)求證：；(2)如圖2，若，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)是外一點(diǎn)，連接，，，且平分，若，，求的長(zhǎng)．【變式訓(xùn)練2】．如圖，在中，，D是中點(diǎn)，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊上，且．(1)用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)求的長(zhǎng)．【變式訓(xùn)練3】．如圖，等腰中，，點(diǎn)D在上，點(diǎn)E在延長(zhǎng)線上，連接，且．

(1)求證：；(2)若，且，求的長(zhǎng)．類型三、利用45°角構(gòu)造等腰直角三角形例．等邊三角形和等腰直角三角形是我們熟悉的特殊三角形．?dāng)?shù)學(xué)課上，同學(xué)們探究得到了以下判定和性質(zhì)：①三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；②有一個(gè)角等于的等腰三角形是等邊三角形；③等腰直角三角形的兩腰相等，兩銳角都是．請(qǐng)應(yīng)用以上知識(shí)解決下列問題：已知線段，點(diǎn)C是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，連接，點(diǎn)D在右側(cè)，且，連接交于點(diǎn)E．

【初步應(yīng)用】（1）如圖1，若，則_______°；【深化應(yīng)用】（2）如圖2，在（1）的基礎(chǔ)上，作的角平分線交于F，試探究線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【拓展應(yīng)用】（3）若，當(dāng)最長(zhǎng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．【變式訓(xùn)練1】．如圖1，在等腰直角三角形中，，，點(diǎn)在邊上，連接，，，連接，．(1)，請(qǐng)你說明理由．(2)求的度數(shù)．(3)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，連接，．補(bǔ)全圖形，判斷與之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．【變式訓(xùn)練2】．如圖，已知，中，為的中點(diǎn)，求的度數(shù)

【變式訓(xùn)練3】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)；直線與軸交于點(diǎn)．(1)當(dāng)時(shí)，求的面積；(2)若，求的值；(3)若是以為腰的等腰三角形，求的值．類型四、利用30°角構(gòu)造直角三角形例．如圖，在等邊中，點(diǎn)、分別在邊、上，，線段、交于點(diǎn)，連接．

(1)求的度數(shù)；(2)當(dāng)時(shí)，用等式表示線段CF與的數(shù)量關(guān)系，并證明．【變式訓(xùn)練1】．如圖，在中，，的垂直平分線分別交和于點(diǎn)D，E．(1)求證：；(2)連接，請(qǐng)判斷的形狀，并說明理由．【變式訓(xùn)練2】．已知，在中，，，為邊上一點(diǎn)，為射線上一點(diǎn)，連接、．(1)如圖1，若，平分，求的度數(shù)；(2)如圖2，若，求的度數(shù)；(3)如圖3，若，，在，之間，且，求的長(zhǎng)．【變式訓(xùn)練3．如圖，四邊形ABCD中，，，，，，求CD的長(zhǎng)．1．如圖，在中，點(diǎn)在上，，延長(zhǎng)至，連接．過作，截取，連接．若．

(1)探究與的數(shù)量關(guān)系；(2)求的值；(3)設(shè)與交于點(diǎn)，連接．若為等邊三角形，，求．2．如圖所示，在等邊中，，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為；點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為，連接，．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，請(qǐng)回答：(1)當(dāng)平分時(shí)，求t的值；(2)當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)P在線段的垂直平分線上？(3)在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻，使為直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．3．如圖，已知在中，，延長(zhǎng)到點(diǎn)D，使，求的度數(shù)．4．?dāng)?shù)學(xué)中常常利用面積相等來證明其他的線段相等，這種方法被稱為“面積法”．已知等邊，點(diǎn)是平面上任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到邊、邊的距離分別為、，的邊上的高為．回答以下問題：

(1)如圖（1），若點(diǎn)在三角形的邊上，、、存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)給出證明過程．(2)如圖（2），當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)，已知，求的值．(3)如圖（3），當(dāng)點(diǎn)在外，請(qǐng)直接寫出與、、的數(shù)量關(guān)系，不用證明．5．在數(shù)學(xué)課上，老師將同學(xué)們分成“智慧組”，“奮進(jìn)組”和“創(chuàng)新組”三個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)小組，進(jìn)一步探究等邊三角形的有關(guān)問題．(1)如圖①，“智慧組”在等邊中，作于點(diǎn)，經(jīng)過探究提出下面結(jié)論：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．①中等于的角為______直接填空；②求證：．(2)“奮進(jìn)組”直接探究了下面的問題：已知：為等邊三角形，以為腰，在外作等腰，使，，連接，則的度數(shù)是個(gè)定值．①利用圖求出的度數(shù)；②“創(chuàng)新組”發(fā)現(xiàn)：取中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)，若，，則可得出線段的長(zhǎng)請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng)．6．如圖1，在等邊三角形中，點(diǎn)D、E分別在邊上，,連接與相交于P．

(1)求證：；(2)如圖2，連接,當(dāng)時(shí)，求證：．7．如圖(1)如圖1，等腰和等腰中，，B，E，D三點(diǎn)在同一直線上，求證：；(2)如圖2，等腰中，，，D是外一點(diǎn)，且，求證：；(3)如圖3，等邊中，D是外一點(diǎn)，且，①∠ADB的度數(shù)；②DA，DB，DC之間的關(guān)系．8．如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點(diǎn)D是邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，連接CD，點(diǎn)B關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E，射線AE與射線CD交于點(diǎn)F．（1）在圖中，依題意補(bǔ)全圖形；（2）記∠DCB=α（α＜45°），求∠BAF的大?。唬ㄓ煤恋氖阶颖硎荆?）若△BCE是等邊三角形，猜想EF和AB的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．9．?dāng)?shù)學(xué)理解（1）如圖1，在等邊內(nèi)，作，且，E是內(nèi)一點(diǎn)，且，，求的度數(shù)；聯(lián)系拓廣（聯(lián)系圖1特點(diǎn)，解決下列問題）（2）如圖2，在中，，，E是內(nèi)一點(diǎn)，且，，連接DE，求的度數(shù)．10．△ABC是一塊鋼板余料，其中∠A＝30°，∠B＝45°，AB＝20dm，現(xiàn)要從中剪裁出邊長(zhǎng)為6dm的等邊△DEF，如圖所示，其中點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)E和點(diǎn)F在AB上，求AE、BF的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）．

專題1630°.45°和60°角的四種類型目錄解題知識(shí)必備 1壓軸題型講練 1類型一、在60°頂點(diǎn)處構(gòu)造共頂點(diǎn)等邊三角形 1類型二、利用60°角的一邊上的點(diǎn)向另一邊作垂線構(gòu)造直角三角形 10類型三、利用45°角構(gòu)造等腰直角三角形 17類型四、利用30°角構(gòu)造直角三角形 26壓軸能力測(cè)評(píng) 321.等邊三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角相等性質(zhì)2：含30°角的直角三角形中，30°角所對(duì)直角邊等于斜邊的一半2.等邊三角形的判定判定1：有三邊相等的三角形是等邊三角形判定2：兩個(gè)角是60°（三個(gè)內(nèi)角相等）的三角形是等邊三角形判定3：有一個(gè)內(nèi)角60°的等腰三角形是等邊三角形類型一、在60°頂點(diǎn)處構(gòu)造共頂點(diǎn)等邊三角形例．如圖，中，，點(diǎn)D、E分別在、上，，、相交于點(diǎn)O，于點(diǎn)G，求證：．【答案】見解析【分析】延長(zhǎng)至點(diǎn)M，使，連接，則，有，即可得到為等邊三角形，則，，，即可證明，，則．在中得到即可．【詳解】證明：延長(zhǎng)至點(diǎn)M，使，連接，如圖，∵，∴，．∵，∴為等邊三角形，∴，．又，∴．在和中，∴，∴，∴．在中，，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作輔助線并找到對(duì)應(yīng)全等三角形．【變式訓(xùn)練1】．在等邊三角形外側(cè)作直線，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，連接，交于點(diǎn)，連接．(1)依題意補(bǔ)全如圖．(2)若，求．(3)若，用等式表示線段之間的數(shù)量關(guān)系并證明．【答案】(1)見解析；(2)；(3)，理由見解析．【分析】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）由等腰三角形的性質(zhì)和外角性質(zhì)即可求解；（3）連接交于點(diǎn)，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)可求解．【詳解】（1）解：過點(diǎn)作直線的垂線，交于點(diǎn)，取點(diǎn)，使得，連接、，則點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，圖為所求的圖．

（2）解：如圖：連接，∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱∴，，∴∴，即∵∴，∴∴∴在與中∴∵是等邊三角形∴∴∵，，∴，∵，∴，∴，∴．（3）解：，理由：如圖，連接交于點(diǎn)，∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱∴，，∴∴

即∵∴，∴∴∵∴在與中∴∵是等邊三角形∴∴∵，∴由線段構(gòu)成的三角形與全等，則又∵，∴，【變式訓(xùn)練2】．已知等腰和等腰中，，．(1)如圖（1），①若，，在等腰可繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中，線段的最大值為______；②若，當(dāng)B、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，則的度數(shù)為______；(2)如圖（2），若，且C與D重合，．當(dāng)?shù)拇笮≡诜秶鷥?nèi)之間任意改變，的度數(shù)是否隨之改變？請(qǐng)說明理由；(3)在（2）的條件下，F(xiàn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，連接，如圖3，試探究之間的關(guān)系，并證明．【答案】(1)①10；②或(2)的度數(shù)不變，理由見解析(3)，理由見解析【分析】（1）①連接，由，得，則線段的最大值為10，于是得到問題的答案；②分兩種情況討論，一是、、三點(diǎn)共線，且點(diǎn)在線段上，設(shè)交于點(diǎn)，由，，，得，，可證明，得，所以，則，即可求得；二是、、三點(diǎn)共線，且點(diǎn)在線段上，設(shè)交于點(diǎn)，則，，可證明，得，于是得到問題的答案；（2）由，得，，則，所以的度數(shù)不變．（3）在線段上截取，連接，可證明是等邊三角形，得，，由，得，則，再證明垂直平分，則，所以是等邊三角形，則，，可推導(dǎo)出，即可證明，得，所以．【詳解】（1）解：①如圖（1），連接，，，，，，線段的最大值為10，故答案為：10．②如圖（1）①，、、三點(diǎn)共線，且點(diǎn)在線段上，設(shè)交于點(diǎn)，，，，，，在和中，，，，，，，，；如圖（1）②，、、三點(diǎn)共線，且點(diǎn)在線段上，設(shè)交AB于點(diǎn)，，，，，，在和中，，，，故答案為：或．（2）的度數(shù)不變，理由：，，，且與重合，，，，，，的度數(shù)不變．（3），證明：如圖（3），在線段上截取，連接，，，是等邊三角形，，，，，，，，點(diǎn)、點(diǎn)都在的垂直平分線上，垂直平分，，是等邊三角形，，，，在和中，，，，．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系、三角形內(nèi)角和定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，此題綜合性強(qiáng)，難度較大，屬于考試壓軸題．【變式訓(xùn)練3】．如圖，在四邊形中，垂直平分，，E是上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)F，且．(1)求證：是等邊三角形；(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)2【分析】（1）由垂直平分，可得，證明是等邊三角形，，由，可得，則，進(jìn)而結(jié)論得證；（2）如圖，連接交于，由垂直平分，可得，，則，，由是等邊三角形，可得，根據(jù)，計(jì)算求解即可．【詳解】（1）證明：∵垂直平分，∴，∵，∴是等邊三角形，，∵，∴，∵，∴是等邊三角形；（2）解：如圖，連接交于，∵垂直平分，∴，∴，∴，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，∴的長(zhǎng)為2．【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)．熟練掌握垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．類型二、利用60°角的一邊上的點(diǎn)向另一邊作垂線構(gòu)造直角三角形 例．如圖，銳角中，，點(diǎn)在上，交于點(diǎn)E，連接，．(1)特例探索：如圖，若，求的度數(shù)；(2)類比遷移：如圖，若，求的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；(3)拓展提升：在圖中，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．【答案】(1)；(2)；(3)，理由見解析．【分析】（）首先證明是等邊三角形，由得到，從而求解；（）由，，得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和與直角三角形的性質(zhì)即可求解；（）在上截，連接，則，再根據(jù)等腰三角形的判定與性質(zhì)即可求解；本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）∵，，∴是等邊三角形,∴，∵，∴，∵，∴；（2）∵，，∴，∵，∴，∵，∴；（3），理由如下：如圖，在上截，連接，∵∴則，由（）知，∴，∴，又∵，∴．【變式訓(xùn)練1】．如圖，在中，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，連接、，．(1)求證：；(2)如圖2，若，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)是外一點(diǎn)，連接，，，且平分，若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)，得到，由三角形外角的性質(zhì)及角的關(guān)系即可得出結(jié)論；（2）過點(diǎn)D作，交于點(diǎn)H，根據(jù)已知證明為等邊三角形，再證明，即可得出結(jié)論；（3）過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，先證明，再證明，推出，設(shè)，則，建立關(guān)于m的一元一次方程，求出m即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∵，，∴；（2）證明：過點(diǎn)D作，交于點(diǎn)H，，，為等邊三角形；，，,為等邊三角形；，由（1）知，，，在與中，，；，；（3）解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，平分，，，，，；，，由（2）知為等邊三角形，，；，，，，，，，，，；設(shè)，則，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形綜合問題，三角形全等的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，準(zhǔn)確作出輔助線，靈活運(yùn)用三角形全等的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】．如圖，在中，，D是中點(diǎn)，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊上，且．(1)用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)求的長(zhǎng)．【答案】(1)，理由見解析(2)【分析】（1）過D作于G，于H，利用等邊三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而利用證明與全等，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)解答即可；（2），得到，進(jìn)而推出，根據(jù)等邊三角形和含角的直角三角形的性質(zhì)，求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，即可．【詳解】（1）解：，理由如下：過D作于G，于H，∵，D是中點(diǎn)，，∴是等邊三角形，，∴，在與中，，∴，∴，∵，∴，在與中，，∴，∴；（2）∵，∴，∵，∴，∵是等邊三角形，，∴，，∵，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角新的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造特殊三角形和全等三角形．【變式訓(xùn)練3】．如圖，等腰中，，點(diǎn)D在上，點(diǎn)E在延長(zhǎng)線上，連接，且．

(1)求證：；(2)若，且，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)4【分析】（1）利用等邊對(duì)等角求得，利用三角形的外角性質(zhì)即可證明結(jié)論成立；（2）作于點(diǎn)F，證明是等邊三角形，求得，，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求得，再利用等腰三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）證明：∵等腰中，，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：作于點(diǎn)F，

∵等腰中，，∴是等邊三角形，∴，，∵，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．類型三、利用45°角構(gòu)造等腰直角三角形例．等邊三角形和等腰直角三角形是我們熟悉的特殊三角形．?dāng)?shù)學(xué)課上，同學(xué)們探究得到了以下判定和性質(zhì)：①三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；②有一個(gè)角等于的等腰三角形是等邊三角形；③等腰直角三角形的兩腰相等，兩銳角都是．請(qǐng)應(yīng)用以上知識(shí)解決下列問題：已知線段，點(diǎn)C是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，連接，點(diǎn)D在右側(cè)，且，連接交于點(diǎn)E．

【初步應(yīng)用】（1）如圖1，若，則_______°；【深化應(yīng)用】（2）如圖2，在（1）的基礎(chǔ)上，作的角平分線交于F，試探究線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【拓展應(yīng)用】（3）若，當(dāng)最長(zhǎng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．【答案】（1）15；（2），理由見解析；（3）的長(zhǎng)為4【分析】（1）根據(jù)，結(jié)合，得到等邊三角形，繼而得到，，結(jié)合，得到，繼而得到，解答即可；（2）過點(diǎn)B作于點(diǎn)G，根據(jù)（1）證明，利用等腰三角形三線合一性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)證明即可．（3）過點(diǎn)B作于點(diǎn)B，且，再證明，得到，根據(jù)，得到當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最大值，根據(jù)題意，得，證明，繼而得到，解答即可．【詳解】（1）∵，，∴等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，故答案為：15．（2）線段與之間的數(shù)量關(guān)系為：．理由如下：過點(diǎn)B作于點(diǎn)G，根據(jù)（1）得，，∴，∵，的角平分線交于F，∴，∴，∴，∵，，

∴，∴．（3）過點(diǎn)B作于點(diǎn)B，且，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，故當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最大值，

根據(jù)題意，得，

∴，∴，∴，∴當(dāng)最長(zhǎng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的三線合一性質(zhì)，三角形不等式求最值，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，三角形不等式是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】．如圖1，在等腰直角三角形中，，，點(diǎn)在邊上，連接，，，連接，．(1)，請(qǐng)你說明理由．(2)求的度數(shù)．(3)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，連接，．補(bǔ)全圖形，判斷與之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．【答案】(1)理由見解析(2)(3)補(bǔ)全圖形見解析，，理由見解析【分析】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）首先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，再證明，由全等三角形的性質(zhì)即可證明結(jié)論；（2）由（1）可知，，，然后由求解即可；（3）根據(jù)題意補(bǔ)畫圖形，結(jié)合軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，，，進(jìn)而證明，易得，結(jié)合可知，即可獲得答案．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∵，∴，∴，又∵，，∴，∴；（2）解：由（1）可知，，，∴；（3）如圖，，理由如下：∵點(diǎn)與關(guān)于對(duì)稱，∴，，，∴，∴，∵，∴，∴．【變式訓(xùn)練2】．如圖，已知，中，為的中點(diǎn)，求的度數(shù)

【答案】【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，垂直平分線的判定與性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．先作于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，在上截取，連接，得出是線段的垂直平分線，證明，結(jié)合角的等量代換以及角的運(yùn)算，得出，即可作答．【詳解】解：作于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，在上截取，連接，則有，

設(shè)，則，∵，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，∴是線段的垂直平分線，∴，∴，∵（三角形外角性質(zhì)），∴，∴，∵，∴，，又，∴，∴，∴∴，∴，∵，∴，∴，即，∴．【變式訓(xùn)練3】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)；直線與軸交于點(diǎn)．(1)當(dāng)時(shí)，求的面積；(2)若，求的值；(3)若是以為腰的等腰三角形，求的值．【答案】(1)(2)(3)的值為或【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．（1）分別求出、、點(diǎn)坐標(biāo)，再求的面積即可；（2）作交于，作軸，過點(diǎn)作交于，作于，證明，從而得出，再代入一次函數(shù)解析式計(jì)算即可得出答案；（3）分兩種情況：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別計(jì)算即可得出答案．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，解得，此時(shí)，∴，在中，當(dāng)時(shí)，，解得，即，在中，當(dāng)時(shí)，，解得，即A?4,0，∴；（2）解：如圖，作交于，作軸，過點(diǎn)作交于，作于，，∴∵，，∴為等腰直角三角形，∴，∵，，∴，∴，∴，，當(dāng)時(shí)，解得，此時(shí)，∴，在中，當(dāng)時(shí)，，即，∴，，∴，，∴，∴，解得：或，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，是分式方程的解，當(dāng)時(shí)，，是分式方程的解，∵直線與軸的夾角為的外角，，∴直線與軸的夾角大于，∴，∴；（3）解：由（1）可得A?4,0由（2）可得：，，如圖，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，，∴，解得：或，檢驗(yàn)：當(dāng)或時(shí)，，是分式方程的解，（不符合題意，舍去）如圖，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，即，解得：或，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，是分式方程的解，是增根，舍去，綜上所述，的值為或．類型四、利用30°角構(gòu)造直角三角形例．如圖，在等邊中，點(diǎn)、分別在邊、上，，線段、交于點(diǎn)，連接．

(1)求的度數(shù)；(2)當(dāng)時(shí)，用等式表示線段CF與的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)；(2)，證明見解析．【分析】（）通過證明得出，再由即可推出結(jié)果；（）過點(diǎn)作，垂足為，通過證明得出，再根據(jù)含30°的直角三角形性質(zhì)推出即可得出結(jié)論；本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理和含30°角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：∵是等邊三角形，∴，，在和中，∴，∴，∴，（2）證明：過點(diǎn)作，垂足為，

∴.∵，∴，在和中，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴．【變式訓(xùn)練1】．如圖，在中，，的垂直平分線分別交和于點(diǎn)D，E．(1)求證：；(2)連接，請(qǐng)判斷的形狀，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)是等邊三角形，理由見解析【分析】本題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．（1）連接，由垂直平分線的性質(zhì)可求得，在中，由直角三角形的性質(zhì)可證得，則可證得結(jié)論；（2）由垂直平分線的性質(zhì)可求得，且，可證明為等邊三角形．【詳解】（1）證明：連接，∵，∴，是的垂直平分線，，，，在中，，；（2）解：是等邊三角形，理由如下：連接．垂直平分，∴，，，，∴，，是等邊三角形．【變式訓(xùn)練2】．已知，在中，，，為邊上一點(diǎn)，為射線上一點(diǎn)，連接、．(1)如圖1，若，平分，求的度數(shù)；(2)如圖2，若，求的度數(shù)；(3)如圖3，若，，在，之間，且，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)(3)4【分析】（1）證明得到，，根據(jù)等邊對(duì)等角得到，，則，即可由三角形外角的性質(zhì)得到；（2）如圖所示，在上找一點(diǎn)F，使得，連接，先證明，進(jìn)而證明，得到，進(jìn)一步證明，得到，即；（3）作交延長(zhǎng)線于，連接，證明，證明為含的直角三角形即可得出答案．【詳解】（1）解：∵平分，，∴,在和中，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：如圖所示，在上找一點(diǎn)F，使得，連接，∵，∴，又∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，即，∴，∴；（3）解：如圖所示，過點(diǎn)C作交延長(zhǎng)線于，連接，∴，∵，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，,∵，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，三角形外角的性質(zhì)，含直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)題意作出輔助線證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3．如圖，四邊形ABCD中，，，，，，求CD的長(zhǎng)．【答案】．【分析】本題主要查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)．延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，證明是等邊三角形，可得，從而得到，再由直角三角形的性質(zhì)可得，即可求解．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，

∵，∴，∵，，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，在中，，∴，∴．1．如圖，在中，點(diǎn)在上，，延長(zhǎng)至，連接．過作，截取，連接．若．

(1)探究與的數(shù)量關(guān)系；(2)求的值；(3)設(shè)與交于點(diǎn)，連接．若為等邊三角形，，求．【答案】(1)(2)1(3)【分析】（1）根據(jù)，得出，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得出，根據(jù)、等邊對(duì)等角、三角形內(nèi)角和定理，得出與的數(shù)量關(guān)系即可；（2）過點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于，推出，利用證明，得出，利用證明，得出，推出，求出的值即可；（3）過點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于，標(biāo)記交于點(diǎn)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得出，，結(jié)合，推出和是含度角的直角三角形，結(jié)合勾股定理表示出、，再根據(jù)計(jì)算整理得出答案即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，∵，∴；（2）解：如圖，過點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于，

又∵，∴，∵由（1）得：，∴，，∴，∴，又∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴；（3）解：如圖，過點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于，標(biāo)記交于點(diǎn)，

∵為等邊三角形，，，，∴，，，∴，∵由（2）得：，∴，∴，∴，，∴，，∴，，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、含度角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角形外角的性質(zhì)、等邊對(duì)等角、三角形內(nèi)角和定理、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)、作輔助線推理證明是解題的關(guān)鍵．2．如圖所示，在等邊中，，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為；點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為，連接，．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，請(qǐng)回答：(1)當(dāng)平分時(shí)，求t的值；(2)當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)P在線段的垂直平分線上？(3)在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻，使為直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)(3)或【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)可得當(dāng)平分時(shí)，，根據(jù)距離，速度，時(shí)間的關(guān)系即可求解；（2）根據(jù)，列方程求解即可；（3）分和兩種情況討論，列方程求解即可．【詳解】（1）解：在等邊中，平分，點(diǎn)Q是的中點(diǎn)，，即，，（2）解：根據(jù)題意：，則，過點(diǎn)P作于點(diǎn)D，在等邊中，，點(diǎn)P在線段的垂直平分線上，，解得：，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在線段的垂直平分線上；（3）解：存在，當(dāng)時(shí)，為直角三角形，因?yàn)椋?，解得：，?dāng)時(shí)，為直角三角形，，即，解得：，綜上：或時(shí)，為直角三角形．3．如圖，已知在中，，延長(zhǎng)到點(diǎn)D，使，求的度數(shù)．【答案】【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．作等邊，連接，利用等邊三角形和等腰三角形的性質(zhì)，易證，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：如圖，作等邊，連接，，，，，，，，，在和中，，，．4．?dāng)?shù)學(xué)中常常利用面積相等來證明其他的線段相等，這種方法被稱為“面積法”．已知等邊，點(diǎn)是平面上任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到邊、邊的距離分別為、，的邊上的高為．回答以下問題：

(1)如圖（1），若點(diǎn)在三角形的邊上，、、存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)給出證明過程．(2)如圖（2），當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)，已知，求的值．(3)如圖（3），當(dāng)點(diǎn)在外，請(qǐng)直接寫出與、、的數(shù)量關(guān)系，不用證明．【答案】(1)，證明見解析(2)10(3)【分析】（1）連結(jié)，設(shè)，則，則，，，由得到，即可證明；（2）連結(jié)、、，則，，，，由得到，則；（3）連結(jié)、、，則，，，，由得到，則．【詳解】（1）解：，證明如下：連結(jié)，如圖（1）所示：

設(shè)，是等邊三角形，，于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，，，，，，；（2）解：連結(jié)、、，如圖（2）所示：

設(shè)，是等邊三角形，，于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，，，，，，，，，，的值為；（3）解：，理由如下：連結(jié)、、，如圖（3）所示：

設(shè)，是等邊三角形，，于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、三角形的面積公式、根據(jù)面積等式證明其他線段之間的相等關(guān)系、數(shù)形結(jié)合與分類討論數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用等知識(shí)與方法，正確地作出所需要的輔助線并且列出相應(yīng)的面積等式是解題的關(guān)鍵．5．在數(shù)學(xué)課上，老師將同學(xué)們分成“智慧組”，“奮進(jìn)組”和“創(chuàng)新組”三個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)小組，進(jìn)一步探究等邊三角形的有關(guān)問題．(1)如圖①，“智慧組”在等邊中，作于點(diǎn)，經(jīng)過探究提出下面結(jié)論：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．①中等于的角為______直接填空；②求證：．(2)“奮進(jìn)組”直接探究了下面的問題：已知：為等邊三角形，以為腰，在外作等腰，使，，連接，則的度數(shù)是個(gè)定值．①利用圖求出的度數(shù)；②“創(chuàng)新組”發(fā)現(xiàn)：取中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)，若，，則可得出線段的長(zhǎng)請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng)．【答案】(1)①；②見解析(2)①；②5【分析】（1）由直角三角形的性質(zhì)得出答案；由等邊三角形形的性質(zhì)可得出答案；（2）由等邊三角形及等腰三角形的性質(zhì)求出和的度數(shù)，則可得出答案；在上截取，連接，，證明，由全等三角形的性質(zhì)可得出，則可得出答案．【詳解】（1）解：，，，故答案為：；證明：是等邊三角形，，，，，．（2）是等邊三角形，，，，，，，，；在上截取，連接，，，為的中點(diǎn)，，，是的中垂線，，由可知，，，是等邊三角形，，，，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．6．如圖1，在等邊三角形中，點(diǎn)D、E分別在邊上，,連接與相交于P．

(1)求證：；(2)如圖2，連接,當(dāng)時(shí)，求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題是三角形綜合題，主要考查的是全等三角形的性質(zhì)和判定、三角形三邊關(guān)系、等邊三角形的性質(zhì)、含的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，則可得出結(jié)論；（2）過點(diǎn)作，交，于點(diǎn)，，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，則可得出答案．【詳解】（1）解：證明：為等邊三角形，，，在和中，，，，；（2）過點(diǎn)作，交，于點(diǎn)，，

由（2）可知，，，，由（1）知，，在和中，，，，即．7．如圖(1)如圖1，等腰和等腰中，，B，E，D三點(diǎn)在同一直線上，求證：；(2)如圖2，等腰中，，，D是外一點(diǎn)，且，求證：；(3)如圖3，等邊中，D是外一點(diǎn)，且，①∠ADB的度數(shù)；②DA，DB，DC之間的關(guān)系．【答案】(1)證明見解析．(2)證明見解析．(3)①；②．【分析】（1）如圖1，先利用SAS證明，得到，進(jìn)一步可得證；（2）如圖2，過作交于，利用ASA證明，得到，從而得證；（3）①如圖3-1，在三角形內(nèi)作，交于點(diǎn)，證得是等邊三角形，即可得證；②先利用SAS證明，得到，再利用等量代換可證得結(jié)論．【詳解】（1），∴，在和中，，，，，，，；（2）如圖2，過作交于得，，,，，，，在和中，，，，；∴．（3）①如圖3-1，在三角