初中數(shù)學(xué)同步八年級上冊滬科版《壓軸題》專題12全等三角形模型之手拉手和角平分線模型含答案及解析

專題12全等三角形模型之手拉手和角平分線模型目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 3類型一、手拉手模型 3類型二、角平分線模型 8壓軸能力測評 12模型五：手拉手模型【模型分析】將兩個三角形繞著公共頂點(diǎn)（即頭）旋轉(zhuǎn)某一角度后能完全重合，則這兩個三角形構(gòu)成手拉手全等，也叫旋轉(zhuǎn)型全等，常用“邊角邊”判定定理證明全等。【模型圖示】公共頂點(diǎn)A記為“頭”，每個三角形另兩個頂點(diǎn)逆時針順序數(shù)的第一個頂點(diǎn)記為“左手”，第二個頂點(diǎn)記為“右手”。對應(yīng)操作：左手拉左手（即連結(jié)BD），右手拉右手（即連結(jié)CE），得?！境Ｒ娔Ｐ汀浚ǖ妊ǖ冗叄ǖ妊苯牵┠Ｐ土航瞧椒志€模型【模型1】：如圖一，角平分線+對稱型CCＣOBＢAAAＮＭ圖一利用角平分線圖形的對稱性，在角的兩邊構(gòu)造對稱全等三角形，可以得到對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等。利用對稱性把一些線段或角進(jìn)行轉(zhuǎn)移，這是經(jīng)常使用的一種解題技巧。【理論依據(jù)】：三邊對應(yīng)相等的三角戲是全等三角形ＣＯＢ（SSS）、全等三角形對應(yīng)角相等ＣＯＢ【模型2】：如圖二，角平分線+垂直兩邊型角平分線性質(zhì)定理：角的平分線上的點(diǎn)作角兩邊垂直段構(gòu)成的兩個RT三角形全等．如圖二【幾何語言】：∵OC為∠AOB的角平分線，D為OC上一點(diǎn)DE⊥OA，DF⊥OB∴，∴DE=DF【模型3】如圖三，角平分線+垂直角平分線型如圖三【說明】：構(gòu)造此模型可以利用等腰三角形的“三線合一”，也可以得到兩個全等的直角三角形，進(jìn)而得到對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等。這個模型巧妙地把角平分線和三線合一聯(lián)系了起來。【模型4】角平分線+平行線型如圖四【說明】：有角平分線時，常過角平分線上一點(diǎn)作角的一邊的平行線，構(gòu)造等腰三角形，為證明結(jié)論提供更多的條件，體現(xiàn)了角平分線與等腰三角形之間的密切關(guān)系。類型一、手拉手模型【常見模型】（等腰）（等邊）（等腰直角）例．如圖，C為線段AE上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），在AE同側(cè)分別作等邊三角形ABC和等邊三角形CDE，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連結(jié)PQ．以下結(jié)論錯誤的是（

）

A．∠AOB=60° B．AP=BQC．PQ∥AE D．DE=DP【變式訓(xùn)練1】．如圖，在中，，分別以，為邊作等邊和等邊，連結(jié)，若，，則（

）A． B． C．4 D．【變式訓(xùn)練2】．如圖，正和正中，B、C、D共線，且，連接和相交于點(diǎn)F，以下結(jié)論中正確的有（

）個①

②連接，則平分

③

④A．4 B．3 C．2 D．1【變式訓(xùn)練3】．如圖，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝5，AD＝AE＝2，點(diǎn)P，Q，R分別是BC，DC，DE的中點(diǎn)．把△ADE繞點(diǎn)A在平面自由旋轉(zhuǎn)，則△PQR的面積不可能是（

）A．8 B．6 C．4 D．2【變式訓(xùn)練4】．【發(fā)現(xiàn)問題】

（1）如圖1，已知和均為等邊三角形，在上，在上，易得線段和的數(shù)量關(guān)系是______．（2）將圖1中的繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，直線和直線交于點(diǎn)．①判斷線段和的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；②圖2中的度數(shù)是______．（3）【探究拓展】如圖3，若和均為等腰直角三角形，，，，直線和直線交于點(diǎn)，分別寫出的度數(shù)，線段、間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【變式訓(xùn)練5】．如圖，在和中，，，若，連接、BD交于點(diǎn)；(1)求證：．(2)求的度數(shù)．(3)如圖(2)，是等腰直角三角形，，，，點(diǎn)是射線AB上的一點(diǎn)，連接CD，在直線AB上方作以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，連接，若，求的值．【變式訓(xùn)練6】．如圖1，在等腰三角形中，，，點(diǎn)分別在邊上，，連接，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)．

(1)觀察猜想：圖中，線段與的數(shù)量關(guān)系是_______，的大小是_______；(2)探究證明：把繞點(diǎn)順時針方向旋轉(zhuǎn)到圖的位置，連接，判斷的形狀，試說明理由；(3)拓展延伸：把繞點(diǎn)在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，請直接寫出面積的最大值．【變式訓(xùn)練7】．在中，，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)（不與、重合），把線路繞著點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)至（即），使得，連接、．(1)如圖1，點(diǎn)在線段上，如果，則__________度．

(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上，如果，則__________度．

(3)如圖3，設(shè)，，當(dāng)點(diǎn)在線段上移動時，，的數(shù)量關(guān)系是什么？請說明理由．

(4)設(shè)，，當(dāng)點(diǎn)在直線上移動時，請直接寫出，的數(shù)量關(guān)系，不用證明．【變式訓(xùn)練8】．如圖所示，△ABC和△ADE都是等邊三角形，且點(diǎn)B、A、E在同一直線上，連接BD交AC于M，連接CE交AD于N，連接MN．

(1)求證：BD=CE；(2)求證：△ABM≌△ACN；(3)求證：△AMN是等邊三角形．類型二、角平分線模型【模型1】：如圖一，角平分線+對稱型【模型2】：如圖二，角平分線+垂直兩邊型【模型3】如圖三，角平分線+垂直角平分線型【模型4】角平分線+平行線型例．如圖，已知平分，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練1】．如圖，在中，，和的平分線、相交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若已知周長為，，，則長為（）A． B． C． D．4【變式訓(xùn)練2】．如圖，為的角平分線，且，為延長線上的一點(diǎn)，，過作，為垂足．下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的是（

）

A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④【變式訓(xùn)練3】．如圖，中，，的角平分線、相交于點(diǎn)，過作交的延長線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則下列結(jié)論：①；②；③；④四邊形，其中正確的個數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【變式訓(xùn)練4】．已知，是的平分線．三角板的直角頂點(diǎn)在射線上移動，(1)在圖1中，三角板的兩直角邊分別與，交于，，求證：；(2)在圖2中，三角板的一條直角邊與交于點(diǎn)，另一條直角邊與的反向延長線交于點(diǎn)，猜想此時（1）中的結(jié)論是否成立，畫出圖形，并說明理由．【變式訓(xùn)練5】．閱讀與思考下面是小明同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)筆記，請您仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)：構(gòu)造全等三角形解決圖形與幾何問題在圖形與幾何的學(xué)習(xí)中，常常會遇到一些問題無法直接解答，需要添加輔助線才能解決．比如下面的題目中出現(xiàn)了角平分線和垂線段，我們可以通過延長垂線段與三角形的一邊相交構(gòu)造全等三角形，運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)解決問題．例：如圖1，是內(nèi)一點(diǎn)，且平分，，連接，若的面積為10，求的面積．

該問題的解答過程如下：解：如圖2，過點(diǎn)作交延長線于點(diǎn)，、交于點(diǎn)，

平分，．，．在和中，，（依據(jù)1）（依據(jù)2），，，．……任務(wù)一：上述解答過程中的依據(jù)1，依據(jù)2分別是___________，___________；任務(wù)二：請將上述解答過程的剩余部分補(bǔ)充完整；應(yīng)用：如圖3，在中，，，平分交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交延長線于點(diǎn)．若，求的長．

【變式訓(xùn)練6】．如圖，四邊形中，平分，于點(diǎn)，．求證：．【變式訓(xùn)練7】．已知：如圖，AC∥BD，AE、BE分別平分∠CAB和∠ABD，點(diǎn)E在CD上．用等式表示線段AB、AC、BD三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【變式訓(xùn)練8】．（1）如圖1，射線OP平分∠MON，在射線OM，ON上分別截取線段OA，OB，使OA＝OB，在射線OP上任取一點(diǎn)D，連接AD，BD．求證：AD＝BD．（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求證：BC＝AC+AD．（3）如圖3，在四邊形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C為BD邊中點(diǎn)，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值．1．兩個大小不同的等腰直角三角板按圖1所示擺放，將兩個三角板抽象成如圖2所示的和，其中，點(diǎn)、、依次在同一條直線上，連結(jié)．若，，則的面積是．2．如圖，，均是等邊三角形，點(diǎn)A，C，B在同一條直線上，且，分別與，交于點(diǎn)M，N，連結(jié)．則下列結(jié)論：（1）；（2）為等邊三角形；（3）平分；（4）；（5）平分．其中正確的有（

）3．已知，如圖，等腰?ABC中，∠A＝30°，AB＝AC＝8，D是AB上一點(diǎn)，且AD＝6，E為AC邊上一動點(diǎn)，以DE為邊向右側(cè)作等邊三角形DEF．（1）當(dāng)F在AC邊上時，AF長為；（2）連結(jié)BF，則BF的取值范圍為．4．如圖，在銳角中，，，的平分線交于點(diǎn)D，點(diǎn)M，N分別是和上的動點(diǎn)，則的最小值是．

5．如圖中，，分別作的兩個內(nèi)角平分線和，、相交于點(diǎn)，連接，有以下結(jié)論：①；②平分；③；④，其中正確的結(jié)論有．

6．已知，△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，∠BDC＝60°，AB＝2，AC＝3，則AD的長是．7．在平面直角坐標(biāo)系中，A（a，0）、B（b，0），且a，b滿足，C、D兩點(diǎn)分別是y軸正半軸、x軸負(fù)半軸上的兩個動點(diǎn)；（1）如圖1，若C（0，4），求△ABC的面積；（2）如圖1，若C（0，4），BC=5，BD=AE，且∠CBA=∠CDE，求D點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）如圖2，若∠CBA=60°，以CD為邊，在CD的右側(cè)作等邊△CDE，連接OE，當(dāng)OE最短時，求A，E兩點(diǎn)之間的距離．8．在ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是直線BC上一點(diǎn)（不與B，C重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，連接CE．（1）（請直接寫出你的結(jié)論）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上：①如果∠BAC＝90°，則∠BCE＝°；②如果∠BAC＝100°，則∠BCE＝°；（2）設(shè)∠BAC＝α，∠BCE＝β．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上移動，則α、β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由；②當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上移動，則α、β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請畫出圖形，并直接寫出你的結(jié)論．9．已知：ΔABC中，為的中點(diǎn)，平分于，連結(jié)，若，求的長．10．閱讀下面材料：小明遇到這樣一個問題:如圖一，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想線段AD與DC數(shù)量關(guān)系.小明發(fā)現(xiàn)可以用下面方法解決問題:作DE⊥BC交BC于點(diǎn)E：(1)根據(jù)閱讀材料可得AD與DC的數(shù)量關(guān)系為__________.(2)如圖二，△ABC中，∠A=120°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想線段AD與DC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.(3)如圖三，△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想線段AD與BD、BC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.

專題12全等三角形模型之手拉手和角平分線模型目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 3類型一、手拉手模型 3類型二、角平分線模型 20壓軸能力測評 34模型五：手拉手模型【模型分析】將兩個三角形繞著公共頂點(diǎn)（即頭）旋轉(zhuǎn)某一角度后能完全重合，則這兩個三角形構(gòu)成手拉手全等，也叫旋轉(zhuǎn)型全等，常用“邊角邊”判定定理證明全等?！灸Ｐ蛨D示】公共頂點(diǎn)A記為“頭”，每個三角形另兩個頂點(diǎn)逆時針順序數(shù)的第一個頂點(diǎn)記為“左手”，第二個頂點(diǎn)記為“右手”。對應(yīng)操作：左手拉左手（即連結(jié)BD），右手拉右手（即連結(jié)CE），得?！境Ｒ娔Ｐ汀浚ǖ妊ǖ冗叄ǖ妊苯牵┠Ｐ土航瞧椒志€模型【模型1】：如圖一，角平分線+對稱型CCＣOBＢAAAＮＭ圖一利用角平分線圖形的對稱性，在角的兩邊構(gòu)造對稱全等三角形，可以得到對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等。利用對稱性把一些線段或角進(jìn)行轉(zhuǎn)移，這是經(jīng)常使用的一種解題技巧?！纠碚撘罁?jù)】：三邊對應(yīng)相等的三角戲是全等三角形ＣＯＢ（SSS）、全等三角形對應(yīng)角相等ＣＯＢ【模型2】：如圖二，角平分線+垂直兩邊型角平分線性質(zhì)定理：角的平分線上的點(diǎn)作角兩邊垂直段構(gòu)成的兩個RT三角形全等．如圖二【幾何語言】：∵OC為∠AOB的角平分線，D為OC上一點(diǎn)DE⊥OA，DF⊥OB∴，∴DE=DF【模型3】如圖三，角平分線+垂直角平分線型如圖三【說明】：構(gòu)造此模型可以利用等腰三角形的“三線合一”，也可以得到兩個全等的直角三角形，進(jìn)而得到對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等。這個模型巧妙地把角平分線和三線合一聯(lián)系了起來。【模型4】角平分線+平行線型如圖四【說明】：有角平分線時，常過角平分線上一點(diǎn)作角的一邊的平行線，構(gòu)造等腰三角形，為證明結(jié)論提供更多的條件，體現(xiàn)了角平分線與等腰三角形之間的密切關(guān)系。類型一、手拉手模型【常見模型】（等腰）（等邊）（等腰直角）例．如圖，C為線段AE上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），在AE同側(cè)分別作等邊三角形ABC和等邊三角形CDE，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連結(jié)PQ．以下結(jié)論錯誤的是（

）

A．∠AOB=60° B．AP=BQC．PQ∥AE D．DE=DP【答案】D【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)，BC∥DE，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，得出A正確；根據(jù)△CQB≌△CPA（ASA），得出B正確；由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPA（ASA），再根據(jù)∠PCQ=60°推出△PCQ為等邊三角形，又由∠PQC=∠DCE，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，得出C正確；根據(jù)∠CDE=60°，∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，可知∠DQE≠∠CDE，得出D錯誤．【詳解】解：∵等邊△ABC和等邊△CDE，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，在△ACD與△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CBE=∠DAC，又∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=60°，即∠ACP=∠BCQ，又∵AC=BC，在△CQB與△CPA中，，∴△CQB≌△CPA（ASA），∴CP=CQ，又∵∠PCQ=60°可知△PCQ為等邊三角形，∴∠PQC=∠DCE=60°，∴PQ∥AE，故C正確，∵△CQB≌△CPA，∴AP=BQ，故B正確，∵AD=BE，AP=BQ，∴AD-AP=BE-BQ，即DP=QE，∵∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，∴∠DQE≠∠CDE，故D錯誤；∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=60°，∵等邊△DCE，∠EDC=60°=∠BCD，∴BC∥DE，∴∠CBE=∠DEO，∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，故A正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)不變性，解題的關(guān)鍵是找到不變量．【變式訓(xùn)練1】．如圖，在中，，分別以，為邊作等邊和等邊，連結(jié)，若，，則（

）A． B． C．4 D．【答案】C【分析】在Rt△ABC中可直接運(yùn)用勾股定理求出BC，然后結(jié)合“手拉手”模型證得△ABC≌△ADE，即可得到DE=BC，從而求解即可．【詳解】解：在Rt△ABC中，AB=3，AC=5，∴由勾股定理得：BC=4，∵和均為等邊三角形，∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，∴∠BAD-∠CAD=∠CAE-∠CAD，即：∠BAC=∠DAE，在△ABC和△ADE中，∴△ABC≌△ADE(SAS)，∴DE=BC=4，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練運(yùn)用勾股定理解三角形是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】．如圖，正和正中，B、C、D共線，且，連接和相交于點(diǎn)F，以下結(jié)論中正確的有（

）個①

②連接，則平分

③

④A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】根據(jù)“手拉手”模型證明，從而得到，再結(jié)合三角形的外角性質(zhì)即可求解，即可證明①；作于點(diǎn)，于點(diǎn)，證明，結(jié)合角平分線的判定定理即可證明②；利用面積法表示和的面積，然后利用比值即可證明③；利用“截長補(bǔ)短”的思想，在上取點(diǎn)，使得，首先判斷出為等邊三角形，再結(jié)合“手拉手”模型推出即可證明④．【詳解】解：①∵和均為等邊三角形，∴，，，∴，∴，在和中，∴，∴，∵，，∴，故①正確；②如圖所示，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，則，∵，∴，在和中，∴，∴，∴平分，故②正確；③如圖所示，作于點(diǎn)，∵，，∴，∵，∴整理得：，∵，∴，∴，故③正確；④如圖所示，在上取點(diǎn)，使得，∵，平分，∴，，∴為等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，在和中，∴，∴，∵，，∴，故④正確；綜上，①②③④均正確；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等，理解等邊三角形的基本性質(zhì)，掌握全等三角形中的輔助線的基本模型，包括“手拉手”模型，截長補(bǔ)短的思想等是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】．如圖，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝5，AD＝AE＝2，點(diǎn)P，Q，R分別是BC，DC，DE的中點(diǎn)．把△ADE繞點(diǎn)A在平面自由旋轉(zhuǎn)，則△PQR的面積不可能是（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】A【分析】連接BD、CE，BD的延長線交CE的延長線于O，AC交BO于H．證明△BAD≌△CAE,然后可推出△PQR是等腰直角三角形，S△PQR＝?PQ2,由AB＝5，AD＝2可知3≤BD≤7，從而得到≤PQ≤，那么≤?PQ2≤,即可得出答案．【詳解】解：連接BD、CE，BD的延長線交CE的延長線于O，AC交BO于H．∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，∠ABH＝∠OCH，∵∠AHB＝∠CHO，∴∠O＝∠BAH＝90°，∵點(diǎn)P，Q，R分別是BC，DC，DE的中點(diǎn)，∴PQ＝BD，PQ∥BO，QR＝EC，QR∥CO，∵BO⊥OC，∴PQ⊥RQ，PQ＝QR，∴△PQR是等腰直角三角形，∴S△PQR＝?PQ2，∵AB＝5，AD＝2，∴3≤BD≤7，∴≤PQ≤，∴≤?PQ2≤，∴△PQR的面積不可能是8，故答案為：A．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．【變式訓(xùn)練4】．【發(fā)現(xiàn)問題】

（1）如圖1，已知和均為等邊三角形，在上，在上，易得線段和的數(shù)量關(guān)系是______．（2）將圖1中的繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，直線和直線交于點(diǎn)．①判斷線段和的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；②圖2中的度數(shù)是______．（3）【探究拓展】如圖3，若和均為等腰直角三角形，，，，直線和直線交于點(diǎn)，分別寫出的度數(shù)，線段、間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）；（2）①，證明見解析；②；（3）度，，理由見解析．【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定以及性質(zhì)，相似三角形的判定以及性質(zhì)等知識．（1）由等邊三角形的性質(zhì)可求解；（2）①由“SAS”可證，可得；②由全等三角形的性質(zhì)可得，即可解決問題．（3）結(jié)論：，．證明，可得，，由此即可解決問題．【詳解】（1）解：∵和均為等邊三角形，∴，，∴，故答案為：；（2）如圖2中，

∵和均為等邊三角形，∴，，，∴，∴（SAS），∴；②∵，∴，設(shè)交于點(diǎn)．∵，∴，∴，故答案為：；（3）結(jié)論：，．理由：∵，，，∴，，∴，∴，，∴，∵，∴．【變式訓(xùn)練5】．如圖，在和中，，，若，連接、BD交于點(diǎn)；(1)求證：．(2)求的度數(shù)．(3)如圖(2)，是等腰直角三角形，，，，點(diǎn)是射線AB上的一點(diǎn)，連接CD，在直線AB上方作以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，連接，若，求的值．【答案】(1)見解析(2)60°(3)或【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用；（1）根據(jù)題意得出，即可證明；（2）根據(jù)題意可得是等邊三角形，根據(jù)（1）的結(jié)論可得，進(jìn)而根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，即可求解；（3）分情況討論，當(dāng)在線段上時，當(dāng)在的延長線上時，證明，得出，結(jié)合圖形，即可求解．【詳解】（1）證明：∵，∴又∵，，∴（2）解：∵，，∴是等邊三角形，∴∵∴∴；（3）解：如圖所示，當(dāng)在線段上時，∵是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形∴，又∵，，∴∴∴∵∴如圖所示，當(dāng)在的延長線上時，同理可得，∴∴∵∴綜上所述，或【變式訓(xùn)練6】．如圖1，在等腰三角形中，，，點(diǎn)分別在邊上，，連接，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)．

(1)觀察猜想：圖中，線段與的數(shù)量關(guān)系是_______，的大小是_______；(2)探究證明：把繞點(diǎn)順時針方向旋轉(zhuǎn)到圖的位置，連接，判斷的形狀，試說明理由；(3)拓展延伸：把繞點(diǎn)在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，請直接寫出面積的最大值．【答案】(1)，；(2)為等腰直角三角形，理由見解析；(3)．【分析】（）根據(jù)，，得，再根據(jù)三角形中位線定理可知，，，，利用平行線的性質(zhì)可證得；（）先通過證明，得，，再由()同理可證；（）由三角形三邊關(guān)系可知：，由()知：是等邊三角形，，則最大值為，即可求得的最大面積．【詳解】（1）解：∵，，∴，∵點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，∴，，，，∴，，，∴，∵∠，∴，故答案為：，；（2）解：為等腰直角三角形，理由如下：由旋轉(zhuǎn)可知：，又∴，，∴，∴，，∵點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，∴，，，，∴，，，∴，∵，∴，∴為等腰直角三角形；（3）解：由三角形三邊關(guān)系可知：，即，∴的最大值為，由()知，是等腰直角三角形，，∴時，最大，．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理，三角形的三邊性質(zhì)，等腰直角三角形的判定等知識，利用平行線的性質(zhì)證明是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練7】．在中，，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)（不與、重合），把線路繞著點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)至（即），使得，連接、．(1)如圖1，點(diǎn)在線段上，如果，則__________度．

(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上，如果，則__________度．

(3)如圖3，設(shè)，，當(dāng)點(diǎn)在線段上移動時，，的數(shù)量關(guān)系是什么？請說明理由．

(4)設(shè)，，當(dāng)點(diǎn)在直線上移動時，請直接寫出，的數(shù)量關(guān)系，不用證明．【答案】(1)90(2)120(3)(4)或【分析】（1）由“”可證，得，可求的度數(shù)；（2）由“”可證，得，可求的度數(shù)；（3）由“”可證得出，再用三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論；（4）由“”可證得出，再用三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，故答案為：90；（2）∵，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，故答案為：120；（3），理由如下：∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，∴；（4）如圖4，當(dāng)點(diǎn)D在的延長線上時，，

證明方法同（3）；如圖5，當(dāng)點(diǎn)D在的延長線上時，，

理由如下：∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵，∴．綜上，或．【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理等知識，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，證明是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練8】．如圖所示，△ABC和△ADE都是等邊三角形，且點(diǎn)B、A、E在同一直線上，連接BD交AC于M，連接CE交AD于N，連接MN．

(1)求證：BD=CE；(2)求證：△ABM≌△ACN；(3)求證：△AMN是等邊三角形．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）由已知條件等邊三角形，可知AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，進(jìn)一步求證∠BAD=∠CAE，從而△ABD≌△ACE(SAS)，所以BD=CE．（2）由(1)知△ABD≌△ACE，得∠ABM=∠CAN，由點(diǎn)B、A、E共線，得∠CAN=60°=∠BAC，進(jìn)一步求證△ABM≌△ACN(ASA)．（3）由△ABM≌△ACN，得AM=AN，而∠CAN=60°，所以△AMN是等邊三角形．【詳解】（1）∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE．在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴BD=CE．（2）由(1)知△ABD≌△ACE，∴∠ABM=∠ACN．∵點(diǎn)B、A、E在同一直線上，且∠BAC=∠DAE=60°，∴∠CAN=60°=∠BAC．在△ABM和△ACN中，∴△ABM≌△ACN(ASA)．（3）由(2)知△ABM≌△ACN，∴AM=AN，∵∠CAN=60°，∴△AMN是等邊三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形判定和性質(zhì)；將等邊三角形的條件轉(zhuǎn)化為相等線段和等角，選擇合適的方法判定三角形全等是解題的關(guān)鍵．類型二、角平分線模型【模型1】：如圖一，角平分線+對稱型【模型2】：如圖二，角平分線+垂直兩邊型【模型3】如圖三，角平分線+垂直角平分線型【模型4】角平分線+平行線型例．如圖，已知平分，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了等邊對等角，以及全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形的外角的定義及性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．先延長到點(diǎn)，使，連接，再得出，證明，即可作答．【詳解】解：延長到點(diǎn)，使，連接，∵則，，，，∵，∴∵平分∴，∵，∴故答案為：D．【變式訓(xùn)練1】．如圖，在中，，和的平分線、相交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若已知周長為，，，則長為（）A． B． C． D．4【答案】B【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，在上截取，連接，平分，平分，，，，，，，，在和中，，，，，在和中，，，，，周長為20，，，，．故選：B．【變式訓(xùn)練2】．如圖，為的角平分線，且，為延長線上的一點(diǎn)，，過作，為垂足．下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的是（

）

A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④【答案】D【分析】易證，可得，可得①②正確，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可求得，即③正確，根據(jù)③可求得④正確．【詳解】解：為的角平分線，，在和中，，，①正確；，，，，，，②正確，，，，，，，③正確；過作，交的延長線于點(diǎn)，

，

平分，，在和中，，，，在和中，，，，，④正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中熟練求證三角形全等和全等三角形對邊角、對應(yīng)邊相等的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】．如圖，中，，的角平分線、相交于點(diǎn)，過作交的延長線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則下列結(jié)論：①；②；③；④四邊形，其中正確的個數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】根據(jù)三角形全等的判定和性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理逐一分析判斷即可．【詳解】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，∴∠CAB+∠ABC=90°∵AD、BE分別平分∠BAC、∠ABC，∴∠BAD=，∠ABE=∴∠BAD+∠ABE=∴∠APB=180°-（∠BAD+∠ABE）=135°，故①正確；∴∠BPD=45°，又∵PF⊥AD，∴∠FPB=90°+45°=135°∴∠APB=∠FPB又∵∠ABP=∠FBPBP=BP∴△ABP≌△FBP（ASA）∴∠BAP=∠BFP，AB=AB，PA=PF，故②正確；在△APH與△FPD中∵∠APH=∠FPD=90°∠PAH=∠BAP=∠BFPPA=PF∴△APH≌△FPD（ASA），∴AH=FD，又∵AB=FB∴AB=FD+BD=AH+BD，故③正確；連接HD，ED，∵△APH≌△FPD，△ABP≌△FBP∴，，PH=PD，∵∠HPD=90°，∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD∴HD∥EP，∴∵故④錯誤，∴正確的有①②③，故答案為：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL，注意AAA和SAS不能判定兩個三角形全等．【變式訓(xùn)練4】．已知，是的平分線．三角板的直角頂點(diǎn)在射線上移動，(1)在圖1中，三角板的兩直角邊分別與，交于，，求證：；(2)在圖2中，三角板的一條直角邊與交于點(diǎn)，另一條直角邊與的反向延長線交于點(diǎn)，猜想此時（1）中的結(jié)論是否成立，畫出圖形，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)結(jié)論仍成立，理由見解析【分析】本題考查角了角平分線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)三角形是解題的關(guān)鍵．（1）過作于，于，由為的平分線，利用角平分線定理得到，利用同角的余角相等得到一對角相等，利用得到與全等，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等即可得證；（2）同（1）可證明．【詳解】（1）解：過作于，于，∵是的平分線，∴，，∵，，∴，∴．（2）畫出圖形，結(jié)論仍成立，理由如下：過作于，于，∵是的平分線，∴，，∵，，∴，∴，∴．【變式訓(xùn)練5】．閱讀與思考下面是小明同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)筆記，請您仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)：構(gòu)造全等三角形解決圖形與幾何問題在圖形與幾何的學(xué)習(xí)中，常常會遇到一些問題無法直接解答，需要添加輔助線才能解決．比如下面的題目中出現(xiàn)了角平分線和垂線段，我們可以通過延長垂線段與三角形的一邊相交構(gòu)造全等三角形，運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)解決問題．例：如圖1，是內(nèi)一點(diǎn)，且平分，，連接，若的面積為10，求的面積．

該問題的解答過程如下：解：如圖2，過點(diǎn)作交延長線于點(diǎn)，、交于點(diǎn)，

平分，．，．在和中，，（依據(jù)1）（依據(jù)2），，，．……任務(wù)一：上述解答過程中的依據(jù)1，依據(jù)2分別是___________，___________；任務(wù)二：請將上述解答過程的剩余部分補(bǔ)充完整；應(yīng)用：如圖3，在中，，，平分交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交延長線于點(diǎn)．若，求的長．

【答案】任務(wù)一：兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等（或角邊角或），全等三角形的對應(yīng)邊相等；任務(wù)二：見解析；應(yīng)用：12【分析】任務(wù)一：根據(jù)全等三角形判定和性質(zhì)即可得到答案；任務(wù)二：先推出，得出，，進(jìn)而可得，即可得到答案；應(yīng)用：延長、交于點(diǎn)，先推出，得到，進(jìn)而可得，再推出，即可得出結(jié)論．【詳解】解：任務(wù)一：兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等（或角邊角或ASA），全等三角形的對應(yīng)邊相等；任務(wù)二：……，，；應(yīng)用：延長、交于點(diǎn)，

平分，，，，在和中，，，，，，，在和中，，．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練6】．如圖，四邊形中，平分，于點(diǎn)，．求證：．【答案】證明過程見詳解【分析】如圖所示（見詳解），過點(diǎn)作的延長線于，平分，于點(diǎn)，可證，，可求出，可證，則有，，由此即可求證．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)作的延長線于，∵平分，，∴，為公共邊，∴，∴，∵，∵，∴，∴在，中，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定方法并作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，本題難點(diǎn)在于要進(jìn)行二次全等證明．【變式訓(xùn)練7】．已知：如圖，AC∥BD，AE、BE分別平分∠CAB和∠ABD，點(diǎn)E在CD上．用等式表示線段AB、AC、BD三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】AC+BD=AB，理由見見解析【分析】在BA上截取BF=BD，連接EF，先證得，可得到∠BFE=∠D，再由AC∥BD，可得∠AFE=∠C，從而證得，可得AF=AC，即可求解．【詳解】解：AC+BD=AB，證明如下：在BA上截取BF=BD，連接EF，如圖所示：∵AE、BE分別平分∠CAB和∠ABD，∴∠EAF=∠EAC，∠EBF=∠EBD，在△BEF和△BED中，，∴（SAS），∴∠BFE=∠D，∵AC∥BD，∴∠C+∠D=180°，∵∠AFE+∠BFE=180°，∴∠AFE+∠D=180°，∴∠AFE=∠C，在△AEF和△AEC中，，∴（AAS），∴AF=AC，∵AF+BF=AB，∴AC+BD=AB．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練8】．（1）如圖1，射線OP平分∠MON，在射線OM，ON上分別截取線段OA，OB，使OA＝OB，在射線OP上任取一點(diǎn)D，連接AD，BD．求證：AD＝BD．（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求證：BC＝AC+AD．（3）如圖3，在四邊形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C為BD邊中點(diǎn)，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值．【答案】（1）見詳解；（2）見詳解；（3）AE=13【分析】（1）由題意易得∠AOD=∠BOD，然后易證△AOD≌△BOD，進(jìn)而問題可求證；（2）在BC上截取CE=CA，連接DE，由題意易得∠ACD=∠ECD，∠B=30°，則有△ACD≌△ECD，然后可得∠A=∠CED=60°，則根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠EDB=∠B=30°，然后可得DE=BE，進(jìn)而問題可求證；（3）在AE上分別截取AF=AB，EG=ED，連接CF、CG，同理（2）可證△ABC≌△AFC，△CDE≌△CGE，則有∠ACB=∠ACF，∠DCE=∠GCE，然后可得∠ACF+∠GCE=60°，進(jìn)而可得△CFG是等邊三角形，最后問題可求解．【詳解】證明：（1）∵射線OP平分∠MON，∴∠AOD=∠BOD，∵OD=OD，OA＝OB，∴△AOD≌△BOD（SAS），∴AD＝BD．（2）在BC上截取CE=CA，連接DE，如圖所示：∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠ECD，∠B=30°，∵CD=CD，∴△ACD≌△ECD（SAS），∴∠A=∠CED=60°，AD=DE，∵∠B+∠EDB=∠CED，∴∠EDB=∠B=30°，∴DE=BE，∴AD=BE，∵BC=CE+BE，∴BC＝AC+AD．（3）在AE上分別截取AF=AB=9，EG=ED=1，連接CF、CG，如圖所示：同理（1）（2）可得：△ABC≌△AFC，△CDE≌△CGE，∴∠ACB=∠ACF，∠DCE=∠GCE，BC=CF，CD=CG，DE=GE=1，∵C為BD邊中點(diǎn)，∴BC=CD=CF=CG=3，∵∠ACE＝120°，∴∠ACB+∠DCE=60°，∴∠ACF+∠GCE=60°，∴∠FCG=60°，∴△CFG是等邊三角形，∴FG=CF=CG=3，∴AE=AF+FG+GE=9+3+1=13．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等的性質(zhì)與判定、角平分線的定義、等腰三角形的性質(zhì)與判定及等邊三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造輔助線證明三角形全等．1．兩個大小不同的等腰直角三角板按圖1所示擺放，將兩個三角板抽象成如圖2所示的和，其中，點(diǎn)、、依次在同一條直線上，連結(jié)．若，，則的面積是．【答案】6【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，根據(jù)證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，則可得出答案．【詳解】解：，，即，在和中，，，，，，，，，，，，故答案為：6．2．如圖，，均是等邊三角形，點(diǎn)A，C，B在同一條直線上，且，分別與，交于點(diǎn)M，N，連結(jié)．則下列結(jié)論：（1）；（2）為等邊三角形；（3）平分；（4）；（5）平分．其中正確的有（

）【答案】（1）（2）（3）（4）【分析】證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，證得，由全等三角形的性質(zhì)得出，再由，判定為等邊三角形，進(jìn)而得到，根據(jù)平行線的判定得出，連接，過點(diǎn)C作于點(diǎn)P，作于點(diǎn)Q，根據(jù)三角形面積公式和角平線定理可證（3），再證，可判斷（5），即可解答．【詳解】解：和均是等邊三角形，，，，點(diǎn)A，C，B在同一條直線上，，，在和中，，，，在和中，，，，又，為等邊三角形，，，，故（2）（4）正確，如圖，連接，過點(diǎn)C作于點(diǎn)P，作于點(diǎn)Q，，，，，，，，平分，故（3）正確，在和中，，，，不一定等于，不一定平分，故（5）不正確，所以，正確的有（1）（2）（3）（4），故答案為：（1）（2）（3）（4）．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，角平線定理，平行線的判定，屬于綜合壓軸題，難度較大，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．3．已知，如圖，等腰?ABC中，∠A＝30°，AB＝AC＝8，D是AB上一點(diǎn)，且AD＝6，E為AC邊上一動點(diǎn)，以DE為邊向右側(cè)作等邊三角形DEF．（1）當(dāng)F在AC邊上時，AF長為；（2）連結(jié)BF，則BF的取值范圍為．【答案】【分析】（1）當(dāng)F在AC邊上時，由直角三角形的性質(zhì)可得AF的長度．（2）連接BF之后，根據(jù)題意與手拉手模型作出圖形討論出BF在什么時候最短，什么時候最長即可得出BF的范圍，詳見解析．【詳解】解：（1）如圖所示：當(dāng)F在AC邊上時，,EFD是等邊三角形，在RtADF中，（2）如圖所示：在AB上方作等邊ADG，作射線GF．與均為等邊三角形AD=GD，ED=FD，即點(diǎn)F在射線GF上運(yùn)動．當(dāng)E與A重合時，F(xiàn)與G重合時，此時BF最長．連接BG，作GHAO于H，則又當(dāng)BFGF時，BF最短，如圖所示：又而綜上所述：BF的范圍是【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形、勾股定理、全等三角形，重點(diǎn)考查了手拉手模型這一知識點(diǎn)，是歷年來中考?？嫉囊环N幾何壓軸題型之一．4．如圖，在銳角中，，，的平分線交于點(diǎn)D，點(diǎn)M，N分別是和上的動點(diǎn)，則的最小值是．

【答案】6【分析】先根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得的最小值為，然后根據(jù)垂線段最短可得當(dāng)時，取得最小值，最后利用三角形的面積公式即可得．【詳解】如圖，在上取一點(diǎn)E，使，連接，

是的平分線，，在和中，，，，，由兩點(diǎn)之間線段最短得：當(dāng)點(diǎn)共線時，取最小值，最小值為，又由垂線段最短得：當(dāng)時，取得最小值，，，解得，即的最小值為6，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短、垂線段最短等知識點(diǎn)，正確找出取得最小值時的位置是解題關(guān)鍵．5．如圖中，，分別作的兩個內(nèi)角平分線和，、相交于點(diǎn)，連接，有以下結(jié)論：①；②平分；③；④，其中正確的結(jié)論有．

【答案】①②③④【分析】由三角形內(nèi)角和定理和角平分線得出的度數(shù)，再由三角形內(nèi)角和定理可求出的度數(shù)，①正確；過點(diǎn)P作，由角平分線的性質(zhì)可知是的平分線，②正確；，故，由四邊形內(nèi)角和定理可得出，故，由全等三角形的判定定理可得出，故可得出，③正確；由三角形全等的判定定理可得出，故可得出，再由可得出，④正確；即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵、分別是與的角平分線，，∴，∴，①正確；過點(diǎn)P作，

∵、分別是與的角平分線，∴，∴，∴是的平分線，②正確；∴，∵，∴，∵，∴，∴，在與中，，∴，∴，③正確；在與中，，∴，同理，，∴，兩式相加得，，∵，∴，④正確；故答案為：①②③④．【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解答此題的關(guān)鍵．6．已知，△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，∠BDC＝60°，AB＝2，AC＝3，則AD的長是．【答案】5【分析】過D作，，交延長線于F，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和角直角三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】過D作，，交延長線于F，∵AD平分，，，∴，，∵，，∴，∵，∴，在和中，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形和角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線構(gòu)造全等三角形．7．在平面直角坐標(biāo)系中，A（a，0）、B（b，0），且a，b滿足，C、D兩點(diǎn)分別是y軸正半軸、x軸負(fù)半軸上的兩個動點(diǎn)；（1）如圖1，若C（0，4），求△ABC的面積；（2）如圖1，若C（0，4），BC=5，BD=AE，且∠CBA=∠CDE，求D點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）如圖2，若∠CBA=60°，以CD為邊，在CD的右側(cè)作等邊△CDE，連接OE，當(dāng)OE最短時，求A，E兩點(diǎn)之間的距離．【答案】（1）△ABC的面積為12；（2）D點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，0）；（3）A，E兩點(diǎn)之間的距離為【分析】（1）利用完全平方式和絕對值的性質(zhì)求出a，b，然后確定A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，從而利用三角形面積公式求解即可；（2）根據(jù)題意判斷出，從而得到，然后利用勾股定理求出，及可求出結(jié)論；（3）首先根據(jù)“雙等邊”模型推出，得到，進(jìn)一步推出，從而確定隨著D點(diǎn)的運(yùn)動，點(diǎn)E在過點(diǎn)A且平行于BC的直線PQ上運(yùn)動，再根據(jù)點(diǎn)到直線的最短距離為垂線段的長度，確定OE最短時，各點(diǎn)的位置關(guān)系，最后根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：（1）∵，∴，由非負(fù)性可知，，解得：，∴，，，∵，∴，∴；（2）由（1）知，，∴，∵，∴，在和中，∴，∴，∵，，∴，在和中，∴，∴，∵，，∴，，∴，∴，∵，∴；（3）由（2）可知CB=CA，∵∠CBA=60°，∴△ABC為等邊三角形，∠BCA=60°，∠DBC=120°，∵△CDE為等邊三角形，∴CD=CE，∠DCE=60°，∵∠DCE=∠DCB+∠BCE，∠BCA=∠BCE+∠ECA，∴∠DCB=∠ECA，在△DCB和△ECA中，∴，∴，∵，∴，即：隨著D點(diǎn)的運(yùn)動，點(diǎn)E在過點(diǎn)A且平行于BC的直線PQ上運(yùn)動，∵要使得OE最短，∴如圖所示，當(dāng)OE⊥PQ時，滿足OE最短，此時∠OEA=90°，∵，，∴，，∵，∴，∴，∴當(dāng)OE最短時，A，E兩點(diǎn)之間的距離為．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形和等邊三角形的判定與性質(zhì)等，理解平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)坐標(biāo)的特征，掌握等腰或等邊三角形的性質(zhì)，熟練使用全等三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．8．在ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是直線BC上一點(diǎn)（不與B，C重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，連接CE．（1）（請直接寫出你的結(jié)論）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上：①如果∠BAC＝90°，則∠BCE＝°；②如果∠BAC＝100°，則∠BCE＝°；（2）設(shè)∠BAC＝α，∠BCE＝β．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上移動，則α、β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由；②當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上移動，則α、β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請畫出圖形，并直接寫出你的結(jié)論．【答案】（1）①90；②80；（2）①α+β＝180°，理由見解析；②圖見解析，α+β＝180°或α＝β【分析】、（1）①由等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠ABC＝∠ACB＝45°，由“SAS”可證△BAD≌△CAE，可得∠ABC＝∠ACE＝45°，可求∠BCE的度數(shù)；②由等腰三角形的性質(zhì)求出∠ABD＝∠ACB＝40°，由“SAS”可證△ABD≌△ACE得出∠ABD＝∠ACE＝40°，則可得出結(jié)論；（2）①由“SAS”可證△ABD≌△ACE得出∠ABD＝∠ACE，再用三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論；②分兩種情況畫出圖形，由“SAS”可證△ABD≌△ACE得出∠ABD＝∠ACE，再用三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）①∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵∠DAE＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）∴∠ABC＝∠ACE＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，故答案為：90；②∵∠BAC＝100°，AB＝AC，∴∠ABD＝∠ACB＝40°，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，∵∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE＝40°，∴∠BCE＝∠ACE+∠ACB＝40°+40°＝80°，故答案為：80．（2）①α+β＝180°，理由：∵∠BAC＝∠DAE，