新高考數(shù)學二輪復習講義專題07 任意角的三角函數(shù)、誘導公式及恒等式（原卷版）

專題07講：任意角的三角函數(shù)、誘導公式與恒等式【考點專題】1．角的概念(1)定義：角可以看成一條射線繞著它的端點旋轉所成的圖形．(2)分類eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(按旋轉方向不同分為正角、負角、零角.,按終邊位置不同分為象限角和軸線角.))(3)相反角：我們把射線OA繞端點O按不同方向旋轉相同的量所成的兩個角叫做互為相反角．角α的相反角記為－α.(4)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制的定義和公式(1)定義：把長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度單位用符號rad表示．(2)公式角α的弧度數(shù)公式|α|＝eq\f(l,r)(弧長用l表示)角度與弧度的換算1°＝eq\f(π,180)rad；1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°弧長公式弧長l＝αr扇形面積公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)αr23.任意角的三角函數(shù)設α是一個任意角，α∈R，它的終邊OP與單位圓相交于點P(x，y)，則sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．三個三角函數(shù)的性質如下表：三角函數(shù)定義域第一象限符號第二象限符號第三象限符號第四象限符號sinαR＋＋－－cosαR＋－－＋tanα{α|α≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}＋－＋－4．同角三角函數(shù)的基本關系(1)平方關系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商數(shù)關系：eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).5．三角函數(shù)的誘導公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口訣奇變偶不變，符號看象限6．常見特殊角的三角函數(shù)值n0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°SKIPIF1<00SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<02πsinSKIPIF1<00SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<01SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<00-10cosSKIPIF1<01SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<00-SKIPIF1<0-SKIPIF1<0-SKIPIF1<0-101SKIPIF1<00SKIPIF1<01SKIPIF1<0-SKIPIF1<0-1-SKIPIF1<0007．兩角和與差的余弦、正弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；(2)cos(α±β)＝cosαcosβ?sinαsinβ；(3)tan(α±β)＝tanα±tanβ1?tanαtanβ8．二倍角公式(1)基本公式：①sin2α＝2sinαcosα；②cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；③tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).(2)公式變形：由cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α可得降冪公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)；sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)；升冪公式：cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.9．輔助角公式asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋θ).（其中SKIPIF1<0）＝eq\r(a2＋b2)cos(x—φ).（其中SKIPIF1<0）【方法技巧】1．求三角函數(shù)值(1)利用三角函數(shù)的定義，已知角α終邊上一點P的坐標可求α的三角函數(shù)值；已知角α的三角函數(shù)值，也可以求出角α終邊的位置．(2)判斷三角函數(shù)值的符號，關鍵是確定角的終邊所在的象限，然后結合三角函數(shù)值在各象限的符號確定所求三角函數(shù)值的符號，特別要注意不要忽略角的終邊在坐標軸上的情況．2．同角三角函數(shù)基本關系式的應用(1)利用sin2α＋cos2α＝1可實現(xiàn)正弦、余弦的互化，開方時要根據(jù)角α所在象限確定符號；利用eq\f(sinα,cosα)＝tanα可以實現(xiàn)角α的弦切互化．(2)應用公式時注意方程思想的應用：對于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα這三個式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．(3)注意公式逆用及變形應用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.3．誘導公式(1)誘導公式的兩個應用①求值：負化正，大化小，化到銳角為終了．②化簡：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少為終了．(2)含2π整數(shù)倍的誘導公式的應用由終邊相同的角的關系可知，在計算含有2π的整數(shù)倍的三角函數(shù)式中可直接將2π的整數(shù)倍去掉后再進行運算．如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cosα.4．三角函數(shù)式化簡的常用方法(1)利用誘導公式，將任意角的三角函數(shù)轉化為銳角三角函數(shù)．(2)切化弦：一般需將表達式中的切函數(shù)轉化為弦函數(shù)．(3)注意“1”的代換：1＝sin2α＋cos2α＝taneq\f(π,4).5．給值求值的解題策略(1)已知某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，要注意觀察已知角與所求表達式中角的關系，即拆角與湊角．=1\*GB3①當“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式．=2\*GB3②當“已知角”有一個時，此時應著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關系，然后應用誘導公式把“所求角”變成“已知角”．(2)由于和、差角與單角是相對的，因此解題過程中根據(jù)需要靈活地進行拆角或湊角的變換．常見角的變換有：①α＝(α－β)＋β；②α＝eq\f(α＋β,2)＋eq\f(α－β,2)；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．6．已知三角函數(shù)值求角的解題步驟(1)界定角的范圍，根據(jù)條件確定所求角的范圍．(2)求所求角的某種三角函數(shù)值．為防止增解最好選取在范圍內單調的三角函數(shù)．(3)結合三角函數(shù)值及角的范圍求角．提醒：在根據(jù)三角函數(shù)值求角時，易忽視角的范圍，而得到錯誤答案．7．利用公式T(α±β)化簡求值的兩點說明=1\*GB4㈠分析式子結構，正確選用公式形式：T(α±β)是三角函數(shù)公式中應用靈活程度較高的公式之一，因此在應用時先從所化簡(求值)式子的結構出發(fā)，確定是正用、逆用還是變形用，并注意整體代換．(1)整體意識：若化簡的式子中出現(xiàn)了“tanα±tanβ”及“tanα·tanβ”兩個整體，?？紤]tan(α±β)的變形公式．(2)熟知變形：兩角和的正切公式的常見四種變形：①tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；②1－tanαtanβ＝eq\f(tanα＋tanβ,tanα＋β)；③tanα＋tanβ＋tanα·tanβ·tan(α＋β)＝tan(α＋β)；④tanα·tanβ＝1－eq\f(tanα＋tanβ,tanα＋β).提醒：當一個式子中出現(xiàn)兩角正切的和或差時，?？紤]使用兩角和或差的正切公式．=2\*GB4㈡化簡求值中要注意“特殊值”的代換和應用：當所要化簡(求值)的式子中出現(xiàn)特殊的數(shù)值“1”，“eq\r(3)”時，要考慮用這些特殊值所對應的特殊角的正切值去代換，如“1＝tan

eq\f(π,4)”，“eq\r(3)＝tan

eq\f(π,3)”，這樣可以構造出利用公式的條件，從而可以進行化簡和求值．【核心題型】題型一：定義法求三角函數(shù)值1．（2022·吉林延邊·高三階段練習）若點SKIPIF1<0在函數(shù)SKIPIF1<0的圖象上，則SKIPIF1<0的值為（）A．0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<02．（2023秋·湖南長沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習）已知角SKIPIF1<0的終邊上有一點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2021秋·江蘇揚州·高三邵伯高級中學?？茧A段練習）已知銳角SKIPIF1<0終邊上一點A的坐標為SKIPIF1<0，則角SKIPIF1<0的弧度數(shù)為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0題型二：利用三角函數(shù)符號判斷角所在象限4．（2017·全國·校聯(lián)考二模）若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是(

)A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角5．（2019秋·河北衡水·高三統(tǒng)考階段練習）已知SKIPIF1<0，則點PSKIPIF1<0所在的象限是()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．（2022·浙江·模擬預測）已知SKIPIF1<0，則“SKIPIF1<0”是“角SKIPIF1<0為第一或第四象限角”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要題型三：知一求二7．（2021秋·福建三明·高三三明市第二中學校考階段練習）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．（2022秋·貴州貴陽·高三貴陽一中?？茧A段練習）已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．（2022秋·安徽滁州·高三?？茧A段練習）在三角形SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為__________．題型四：齊次式法求值10．（2022秋·遼寧撫順·高三校聯(lián)考階段練習）若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<011．（2022秋·云南昆明·高三校考階段練習）已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<012．（2023·全國·高三校聯(lián)考階段練習）已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0題型五：整體代換法誘導公式化簡求值13．（2014·高三課時練習）已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<014．（2022·四川遂寧·射洪中學?？寄M預測）已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<015．（2023·全國·高三專題練習）已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______.題型六：給值求角16．（2022秋·山東青島·高三青島二中校考期中）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<017．（2022秋·黑龍江雙鴨山·高三雙鴨山一中?？奸_學考試）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<018．（2022·河南·安陽一中校聯(lián)考模擬預測）已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值為_____．題型七：利用三角函數(shù)恒等變換解決三角函數(shù)性質問題19．（2023·全國·高三專題練習）以下關于SKIPIF1<0的命題，正確的是（

）A．函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調遞增B．直線SKIPIF1<0是函數(shù)SKIPIF1<0圖象的一條對稱軸C．點SKIPIF1<0是函數(shù)SKIPIF1<0圖象的一個對稱中心D．將函數(shù)SKIPIF1<0圖象向左平移SKIPIF1<0個單位，可得到SKIPIF1<0的圖象20．（2021秋·陜西榆林·高三陜西省神木中學?？茧A段練習）函數(shù)SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．021．（2021秋·北京昌平·高三昌平一中?？计谥校┮阎瘮?shù)SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的值；(2)求函數(shù)的SKIPIF1<0最小值及相應的SKIPIF1<0值；(3)若SKIPIF1<0，求函數(shù)SKIPIF1<0的增區(qū)間（直接寫出結論）.題型八：三角恒等變換與平面向量結合問題22．（2022秋·廣東·高三校聯(lián)考階段練習）已知向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<023．（2022春·上海金山·高一上海市金山中學?？计谀┮阎蛄縎KIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求函數(shù)SKIPIF1<0的單調增區(qū)間．24．（2020秋·吉林·高三?？计谥校┮阎蛄縎KIPIF1<0且SKIPIF1<0(1)用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0及SKIPIF1<0.(2)求函數(shù)SKIPIF1<0的最小值及SKIPIF1<0的值.【高考必刷】一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習）已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的終邊在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．三象限 D．第四象限2．（2023·全國·高三專題練習）已知點SKIPIF1<0在第一象限，則在SKIPIF1<0內的SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（廣東省河源市2022-2023學年高三上學期期末數(shù)學試題）已知角SKIPIF1<0的頂點為坐標原點，始邊與SKIPIF1<0軸的非負半軸重合，終邊過點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022秋·四川內江·高三威遠中學校?？茧A段練習）若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2021秋·廣東梅州·高三梅州市梅江區(qū)梅州中學?？茧A段練習）已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2022·全國·高三專題練習）若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．37．（2021·全國·高三專題練習）已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．（2020秋·江蘇蘇州·高三校聯(lián)考階段練習）已知向量SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（）A．1 B．2 C．SKIPIF1<0 D．39．（2023秋·江西·高三校聯(lián)考階段練習）若SKIPIF1<0是第二象限角，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，10．（2022·陜西西安·西安市第三十八中學校考一模）若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．3 B．SKIPIF1<0 C．2 D．411．（2022秋·重慶南岸·高三重慶市第十一中學校?？茧A段練習）曲線SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的切線的傾斜角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．212．（2022秋·河南鄭州·高三溫縣第一高級中學校聯(lián)考階段練習）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<013．（2022秋·山東·高三校聯(lián)考階段練習）設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<014．（2018·高三課時練習）已知在△ABC中，cosSKIPIF1<0＝－SKIPIF1<0，那么sinSKIPIF1<0＋cosA＝()A．SKIPIF1<0 B．－SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<015．（2022秋·江蘇南通·高三江蘇省如東高級中學校考階段練習）已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<016．（2022秋·廣西欽州·高三?？茧A段練習）已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<017．（2023秋·河南·高三安陽一中校聯(lián)考階段練習）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是第二象限的角，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．-518．（2023·湖南湘潭·統(tǒng)考二模）已知SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<019．（2022·全國·高三專題練習）已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0都是銳角，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0、SKIPIF1<0之間的關系是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<020．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)SKIPIF1<0，若函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞減，則SKIPIF1<0不能?。?/p>

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<021．（2023秋·廣西河池·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)SKIPIF1<0，則下列說法正確的是（

）A．SKIPIF1<0的一條對稱軸為SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0的一個對稱中心為SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的值域為SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0的圖象可由SKIPIF1<0的圖象向右平移SKIPIF1<0個單位得到22．（2022秋·河南·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內有且僅有1個零點，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<023．（2022秋·甘肅蘭州·高三蘭州一中?？茧A段練習）已知：函數(shù)SKIPIF1<0，則下列說法錯誤的是（

）A．將SKIPIF1<0的圖像向右平移SKIPIF1<0個單位長度得SKIPIF1<0的圖像B．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的值域為SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0的圖像關于點SKIPIF1<0對稱二、多選題24．（2022秋·福建·高三統(tǒng)考階段練習）已知SKIPIF1<0為銳角，且SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<025．（2023秋·吉林長春·高三長春市第二中學?？计谀┮阎猄KIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共線，則下列說法錯誤的是（

）A．將SKIPIF1<0的圖象向左平移SKIPIF1<0個單位得到函數(shù)SKIPIF1<0的圖象B．函數(shù)SKIPIF1<0的最小正周期為SKIPIF1<0C．直線SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的一條對稱軸D．點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的一個對稱中心26．（2022·浙江·模擬預測）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0的最小正周期是SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞減C．SKIPIF1<0的圖象向左移SKIPIF1<0個單位，圖像關于SKIPIF1<0軸對稱D．SKIPIF1<0取最大值時，x的取值集合為SKIPIF1<027．（2022秋·福建寧德·高三?？计谀┮阎猄KIPIF1<0，則下列結論正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<028．（2023·全國·高三專題練習）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0三、填空題29．（2022·高一課時練習）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的兩根，則SKIPIF1<0_________.30．（2018·高三課時練習）若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值等于________．31．（2022秋·廣東深圳·高三深圳中學?？茧A段練習）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為銳角，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<